2025-2026学年广东省广州市越秀区铁一中学等校高一（下）期中数学试卷（含答案）

第=page11页，共=sectionpages11页2025-2026学年广东省广州市越秀区铁一中学等校高一（下）期中数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.复数5i−2的共轭复数对应的点在复平面的(

)A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限2.已知集合A={−1,0,1}，B={x|x>a}，若A∩B={0,1}，则实数a的取值范围是(

)A.[−1,0] B.(−1,0] C.(−1,0) D.[−1,0)3.|a|=6，e为单位向量，当a，e的夹角为135°时，向量a在向量e上的投影向量为(

)A.2e B.−22e4.在空间中，下面命题为假命题的个数是(

)

①过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线垂直

②过平面外一点，有且只有一条直线与这个平面平行

③过直线外一点，有且只有一个平面与这条直线平行

④过平面外一点，有且只有一个平面与这个平面垂直A.4 B.3 C.2 D.15.气象台A在早上8：00观测到一台风，台风中心在气象台A正西方向3002km处，它正向东北方向移动，移动速度的大小为40km/h，距离台风中心10010kmA.12：00−17：00 B.13：00−18：00

C.13：00−17：00 D.14：00−18：006.若sin(α+β)=12,sin(α−β)=A.5 B.−1 C.6 D.17.荀子《劝学》中说：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海.”我们可以把(1+1%)365看作是每天的“进步”率都是1%，一年后是(1+1%)365=37.7834；而把(1−1%)365看作是每天“退步”率都是1%，一年后是(0.99)365≈0.0255；这样，一年后的“进步值”是“退步值”的1.013650.99365≈1481A.130 B.230 C.150 D.1158.已知四边形ABCD是圆内接四边形，AB=4，AD=5，BD=3，则ABCD的周长取最大值时，四边形ABCD的面积为(

)A.274 B.514 C.9+3二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。9.下列说法中正确的是(

)A.若a//b，b//c，则a//c

B.对于向量a，b，c，有(a⋅b)⋅c=a⋅(b⋅c)

C.10.[x]表示不超过实数x的最大整数，如：[−1.2]=−2，[1.5]=1.已知函数f(x)=2−a2x+1为奇函数，函数A.函数g(x)的图象关于原点对称

B.函数g(x)的值域是{−2,−1,0,1}

C.函数y=g(x)−x有3个零点

D.方程g(x)−2([x]−x)=0在区间[−1,1]上有3个实数根11.如图，圆柱的轴截面ABCD是正方形，E在底面圆周上，AE=BE，AF⊥DE，F是垂足，G在BD上，DG=2BG，则下列结论中正确的是(

)A.AF⊥BD

B.直线DE与直线AG所成角的余弦值为12

C.直线DE与平面ABCD所成角的余弦值为66

D.若平面AFG∩平面ABE=l，则l//FG

三、填空题：本题共3小题，每小题512.已知向量a=(m,2)，b=(1,1)，若|a+b|=|13.定义：abcd=ad−bc，则tan20°sin20°14.已知正四棱锥S−ABCD的底面边长为1，侧棱长为2，SC的中点为E，过点E作与SC垂直的平面α，则平面α截正四棱锥S−ABCD所得的截面面积为

．四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。15.(本小题13分)

设e1,e2是两个不共线的向量，已知AB=3e1−2e2，BC=4e1+e2，CD=8e1−9e16.(本小题15分)

已知向量a=(23,sinωx),b=(cos2ωx,2cosωx)，函数f(x)=a⋅b(ω>0)，函数f(x)图像相邻对称轴之间的距离为π2．

(1)求f(x)的单调递减区间；

(2)将函数f(x)图象上所有点的横坐标缩短为原来的1217.(本小题15分)

在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若bcosC+3bsinC−a−c=0，D为AC边上一点．

(1)求角B的大小；

(2)若BD=2,BC=23且DC=2DA18.(本小题17分)

如图，在四棱锥P−ABCD中，AD//BC，AD⊥DC，BC=CD=12AD，E为棱AD的中点，PA⊥平面ABCD．

(1)求证：AB//平面PCE；

(2)求证：平面PAB⊥平面PBD；

(3)若二面角P−CD−A的大小为45°，求直线PA与平面19.(本小题17分)

著名的费马问题是法国数学家皮埃尔.德费马(1601—1665)于1643年提出的平面几何最值问题：“已知一个三角形，求作一点，使其与此三角形的三个顶点的距离之和最小.”费马问题中的所求点称为费马点，已知对于每个给定的三角形，都存在唯一的费马点，当△ABC的三个内角均小于120°时，则使得∠APB=∠BPC=∠CPA=120°的点P即为费马点.当△ABC有一个内角大于或等于120°时，最大内角的顶点为费马点.试根据以上知识解决下面问题：

(1)若z∈C，求|z−2|+|z+2|+|z+2i|的最小值；

(2)在△ABC中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，点P为△ABC的费马点．

①若tanC+3=tanB(3tanC−1),sinB=sinC，且a=6，求PA⋅PB+PB⋅PC+参考答案1.B

2.D

3.D

4.A

5.B

6.A

7.D

8.A

9.CD

10.BCD

11.AD

12.2

13.314.315.解：(1)证明：BC=4e1+e2，CD=8e1−9e2．

则BD=BC+CD=(4e1+e2)+(8e1−9e2)

=12e1−8e2=4(3e1−2e2)=4AB，

所以AB与BD共线．

因为AB与BD16.解：(1)f(x)=a⋅b=23cos2ωx+2sinωxcosωx

=3(1+cos2ωx)+sin2ωx=2sin(2ωx+π3)+3,ω>0，

因为f(x)相邻的对称轴之间的距离为π2，

所以f(x)的最小正周期为π，所以2π2ω=π，解得ω=1，

所以f(x)=2sin(2x+π3)+3，

令π2+2kπ≤2x+π3≤3π2+2kπ,k∈Z，则π12+kπ≤x≤7π12+kπ,k∈Z，

所以f(x)的单调递减区间为[π12+kπ,7π12+kπ]，k∈Z；

(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π3)+317.解：(1)由bcosC+3bsinC−a−c=0，结合正弦定理得sinBcosC+3sinBsinC−sinA−sinC=0，

在△ABC中，sinA=sin(π−A)=sin(B+C)=sinBcosC+cosBsinC，

所以sinBcosC+3sinBsinC−(sinBcosC+cosBsinC)−sinC=0，

整理得(3sinB−cosB−1)sinC=0，结合sinC≠0，可得3sinB−cosB−1=0，

所以3sinB−cosB=2sin(B−π6)=1，即sin(B−π6)=12，

由B∈(0,π)，可得B−π6∈(−π6,5π6)，所以B−π6=π6，即B=π3；

(2)由(1)可知∠ABC=π3，设DA=m，则DC=2DA=2m，(m>0)，

设∠ADB=θ，则∠BDC=π−θ，

在△ABD中，由余弦定理得cos∠ADB=cosθ=AD218.解：(1)证明：在四棱锥P−ABCD中，因为BC//AE且BC=AE，

所以四边形BCEA为平行四边形，

则AB//EC，

又因为AB⊄平面PCE，EC⊂平面PCE，

所以AB//平面PCE；

(2)证明：因为PA⊥平面ABCD，BD⊂平面ABCD，

所以PA⊥BD，

连接BE，由BC//DE且BC=DE，

所以四边形BCDE为平行四边形，

又因为DE⊥CD，BC=CD=1，

所以平行四边形BCDE为正方形，则BD⊥EC，

又因为AB//EC，所以BD⊥AB，

又因为PA∩AB=A，PA、AB⊂平面PAB，

所以BD⊥平面PAB，

因为BD⊂平面PBD，

所以平面PBD⊥平面PAB；

(3)由PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，

所以PA⊥CD，又因为CD⊥AD，PA∩AD=A，PA、AD⊂平面PAD，

所以CD⊥平面PAD，

又因为PD⊂平面PAD，所以CD⊥PD，

故∠PDA为二面角P−CD−A的平面角，

即∠PDA=45°，

设BC=CD=1，在Rt△PAD中，PA=AD=2，作AM⊥PB，垂足为M，

由(2)知，平面PBD⊥平面PAB，平面PBD∩平面PAB=PB，AM⊂平面PAB，

所以AM⊥平面PBD，

则PM为直线AP在平面PBD上的投影，

所以∠APM为直线AP与平面PBD所成的角，

在Rt△PAB中，AB=CE=2,PA=2,PB=6，

所以AM=PA⋅ABPB=233，

在Rt△AMP19.(1)设z=x+yi，(x,y∈R)，则|z−2|+|z+2|+|z+2i|表示点Z(x,y)到△ABC三顶点A(−2,0)，B(2,0)，C(0,−2)的距离之和．

依题意结合对称性可知△ABC的费马点位于虚轴的负半轴上，

且∠APB=120°，则∠PAO=∠PBO=30°．

此时|PA|+|PB|+|PC|=2cos30∘×2+(2−2tan30°)=23+2．

所以|z−2|+|z+2|+|z+2i|的最小值为23+2；

(2)①因为tanC+3=tanB(3tanC−1)，所以tanC+tanB=−3+3tanBtanC，

所以tanC+tanB1−tanBtanC=−3，所以tan(C+B)=−3，所以tanA=3，

因为0<A<π，所以A=π3；

因为sinB=sinC，由正弦定理可得b=c，所以△ABC是等边三角