河北省雄安新区部分学校2025-2026学年高二下学期4月份联考数学试卷（含答案）

2025-2026学年高二下学期4月份联考数学试卷一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.某学校开设3门球类课程､4门田径类课程和5门体操类课程供学生选修，某位学生任选1门课程学习，则不同的选法共有（）A.12种 B.11种 C.10种 D.9种【答案】A解析：种.2.已知是函数的导函数，，则（）A.0 B.1 C.2 D.3【答案】A解析：由题可得，所以.3.根据图中的函数图象，下列数值最小的是（）A.曲线在点处切线的斜率 B.曲线在点处切线的斜率C.曲线在点处切线的斜率 D.割线的斜率【答案】C解析：通过图象可知，曲线在点处、点处切线的斜率为正，在点处切线的斜率为负，割线的斜率为正，所以最小值为曲线在点处切线的斜率.故选：C.4.某校从名女生和名男生中选出人参加一项创新大赛，则选出的人中至少有名女生的概率为（）A. B. C. D.【答案】B解析：由题意得，“至少有名女生”的对立事件是“选出的人全是男生”，因此，故B正确.5.某电动自行车的耗电量与速度之间的关系式为，为使其耗电量最小，则其速度为（）A.20 B.30 C.40 D.50【答案】C解析：由题意知，令，解得，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，取得最小值.因此为使耗电量最小，则其速度应定为.故选：C.6.若函数的极小值点为1，则（）A. B. C. D.【答案】B解析：因为，所以.若，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时1是的极大值点，矛盾，故不符合题意；若，则，等号成立当且仅当，此时在上单调递增，即此时没有极值点，故不符合题意；若，当时，，当时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，此时1是的极小值点，故符合题意；综上所述，符合题意的的取值范围是.故选：B.7.用4种不同的颜色给图中6个区域染色，要求边界有重合部分的区域染上不同的颜色，则不同的染色方法有（）A.384种 B.168种 C.108种 D.192种【答案】D解析：先给2，5染色，有种方法，若1和5同色，则4有2种涂法；若1和5不同色，则4有种涂法．因为1，4分别与3，6对称，所以不同的染色方法有种．故选：D.8.已知函数在存在单调递增区间，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.【答案】A解析：考虑问题的否定，函数在上不存在单调递增区间，则对于，恒成立，分离参数得在上恒成立，则.令，求导得，当，，单调递增，所以，所以.所以原命题成立的条件为.二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.已知函数的导函数在上的图象如图所示，则下列说法正确的是（）A.在上单调递减 B.当时，取得极大值C.当时，取得极小值 D.是在上的最大值【答案】ABC解析：对于A，由题图可知时，，单调递减，故A正确；对于B，C，由题图易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以当时，取得极大值，当时，取得极小值，故BC，正确；对于D，在上的最大值应是与中的较大者，故D错误.10.已知，则下列结论正确的是（）A. B.C. D.【答案】AD解析：根据二项式定理，当我们令展开式中时，此时展开式中除了这一项，其余含有的项都为，所以，即，可得，故选项A正确；二项式其展开式的通项公式为，要求，也就是当时的系数，将代入通项公式中，先计算组合数，则，故选项B错误；令，则，即，所以又因为前面已经求得，那么，故选项C错误；对两边同时求导。左边求导为，右边求导为，即令，则即，所以，故选项D正确.故选：AD.11.已知函数在处有极大值，则（）A.B.C.曲线在点处的切线与曲线有且仅有一个公共点D.若时，的值域为，则t的取值范围为【答案】BC解析：，，因为函数在处有极大值，所以，即，解得或3，当时，，当时，；当时，；当时，，此时为极小值点，不符合题意，当时，，当时，；当时，；当时，，此时为极大值点，所以；对于A，由以上可得，故A错误；对于B，，易知函数为奇函数，其图象关于原点对称，而的图象是由函数的图象向右平移两个单位后，向上平移两个单位得到，所以的图象关于点成中心对称，即，故B正确；对于C，由，所以切线方程为，即，联立可得，解得，即方程有三重根，所以曲线在点处的切线与曲线有且仅有1个公共点，故C正确；对于D，因为，极大值，极小值，，结合单调性可得当的值域为，则的取值范围为，故D错误.三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知函数的定义域为，且为的导函数，若，则__________.【答案】解析：由导数的定义，可得函数在处的导数满足：，则，解得.13.从0~9这十个数字中选取3个数，能组成无重复数字的三位偶数__________个.（用数字作答）【答案】解析：末位是0时：末位有1种选法，十位有种选法，百位有种选法，故末位是0的三位偶数有；末位不是0时：个位有种选法，百位有有种选法，十位有种选法，故末位不是0的三位偶数有；所以共有个．故答案为：.14.设，且，若能被13整除，则等于______．【答案】12解析：∵，且，∴，∵能被13整除，∴能被13整除，∵，∴．故答案为：12．四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出必要的文字说明､证明过程及演算步骤.15.已知函数.（1）求的单调区间；（2）若，求的最大值与最小值.解：（1）因为.令，得或，当变化时，的变化情况如表所示.02+0-0+单调递增0单调递减单调递增所以的单调递增区间为和，单调递减区间为.（2）由（1）知当时，取得极小值.当时，取得极大值0.又由f-1所以.16.已知的展开式中，二项式系数的和为64，求：（1）；（2）含的项；（3）各项系数和.解：（1）因为二项式系数的和为64，所以，解得.（2）由（1）知，则二项式变为，由二项式定理可得展开式的通项为，令，得，故含的项为.（3）令，则各项系数和为.17.为庆祝校庆，5名同学（3男2女）相约观看《哪吒之魔童降世》，他们的座位在同一排且连在一起．（列出算式并计算结果）（1）若男生必须坐在一起，女生必须坐在一起，共有多少种不同坐法？（2）若所有男生互不相邻，且所有女生也互不相邻，共有多少种不同坐法？（3）同学甲和同学乙必须相邻，且他们都不与同学丙相邻，共有多少种不同坐法？解：（1）先将3名男生排在一起，有种排法，再将2名女生排在一起，有种排法，将排好的男生、女生分别视为一个整体，再进行排列，共有种排法，由分步乘法计数原理可知，共有种排法．（2）先将3名男生排好，共有种排法，再在这3名男生中间的2个空位中插入2名女生，共有种排法，再由分步乘法计数原理，共有种排法．（3）先将甲乙丙以外的其余2人排好，共有种排法，由于甲乙相邻，则有种排法，最后将排好的甲乙这个整体与丙分别插入原先排好的2人的中间及两边共3个空位中，共有种排法，由分步计数原理，共有种排法．18.已知，曲线在点处的切线方程为.（1）求实数的值；（2）若，求曲线过点的切线方程.解：（1）由函数，其中，可得，因为曲线在点处的切线方程为，可得，且，即，解得.（2）由（1）知，，可得，设切点为，则切线的斜率，故切线方程为，因为切线过点，所以，整理得，解得或，所以切点为或，此时，曲线过点的切线方程为或.19.已知函数．（1）当时，判断的单调性；（2）若有极值点，求的取值范围；（3）若有三个零点，求的取值范围．解：（1）当时，，该函数的定义域为，，令，其中，则，当时，，即函数在上单调递增，当时，，即函数在上单调递减，所以，故函数的减区间为，无增区间.（2）因为，所以，由可得，设，其中，若函数有极值点，则直线与函数有交点（非切点），，当时，，即函数在上为增函数，当时，，即函数在上为减函数，如下图所示：由图可知，解得，故实数的取值范围是.（3）由可得，所以函数有三个零点方程有三个实根，令，其中，且，，①当时，对任意的，，即函数在上为增函数，此时函数有且只