离散数学及应用 课件 第3章 集合

DiscreteMathematics离散数学课前复习计算析取范式、合取范式一阶逻辑基本概念（对比命题逻辑）合成公式（永真、永假、矛盾式）等值式前束范式（掌握换名规则转换为命题逻辑的求法）3集合论部分第3章集合的基本概念和运算第4章二元关系和函数项目化任务4计算：利用集合的交并比求解图像物体检测的IoU指标项目化任务5计算：利用集合的交并比求解图像物体检测的IoU指标63.1集合的基本概念

集合的定义与表示集合与元素集合之间的关系空集全集幂集7集合定义与表示集合没有精确的数学定义理解：一些可确定的、可分辨的事物构成的整体组成集合的个体称为它的元素或成员集合的表示

列元素法

A={a,b,c,d}

描述法

B={x|P(x)}

B由使得P(x)为真的全体x

构成，

如：x

深职大23人工智能本的学生,

x

帅哥/美女？8集合定义与表示集合的性质明确性：哪些元素是属于这个集合,哪些元素不属于这个集合是明确的.比如高山就不构成集合.无序性：次序无关紧要，例如：{a,b,c}与{c,b,a}相等？互异性：必须可以相互区分，例如：{a,b,c,a,b}相等？常用数集约定：

N,Z,Q,R,C

分别表示自然数、整数、有理数、实数和复数集合.9集合与元素元素与集合的关系：隶属关系属于，不属于

实例

A={-1,1}

1

A,2A注意：对于任何集合A和元素x(可以是集合)，

x

A和x

A两者成立其一，且仅成立其一.10隶属关系的层次结构例3.1A={a,{b,c},d,{{d}}}{b,c}

Ab

A{{d}}A{d}Aa,d属于A吗？11Python中的集合集合是一个无序的不重复元素序列，使用大括号

{}

或者

set()

函数创建集合。basket

=

{'apple',

'orange',

'apple',

'pear',

'orange',

'banana’}print(basket)

{'orange',

'banana',

'pear',

'apple'}五分钟熟悉集合的基本操作：/python3/python3-set.html注意：创建一个空集合必须用

set()

而不是

{}，因为

{}

是用来创建一个空字典。DiscreteMathematics鄢小虎

离散数学13集合之间的关系

包含（子集）

A

B

x(x

A

x

B)

不包含A⊈B

x(x

A

x

B)

相等

A=B

A

B

B

A

不相等A

B

真子集

A

B

A

B

A

B

非真子集

A

B

思考：

和

的定义注意：（元素）和（集合）是不同层次的问题14集合间的关系A＝｛1，2，3，4｝B＝｛3，1，4，2｝C＝｛x|x是深职大24人工智能本的学生｝D＝｛柯秋彤,覃茜,陈一名｝E＝｛柯秋彤,杨汉鸿,陈一名,鄢小虎｝关系：A=BD

C或者D

C

选人回答：E和C是什么关系？15空集与全集空集

不含任何元素的集合实例{x|x2+1=0xR}就是空集定理空集是任何集合的子集

A

x(x

x

A)T

（推理见定理3.1）

推论空集是惟一的.证

假设存在1和2，则1

2且1

2，因此1=2全集E

相对性在给定问题中，全集包含任何集合，即

A

(A

E

)16n元集n元集:含有n个元素的集合称为n元集0元集:

∅1元集,如{a},{b}在n元集中，含有m(m≤n)个元素的子集成为它的m元子集17幂集定义全部子集构成的集合，记P(A)={x|x

A

}实例

P(

)={

}，

P({

})={

,{

}}

P({1,{2,3}})={,{1},{{2,3}},{1,{2,3}}}计数：如果|A|=n，则|P(A)|=2n=

课堂练习：设A={{1},1},B={a,{b,c},

}求P(A),P(B)183.2集合的基本运算集合基本运算的定义

文氏图（JohnVenn）例题集合运算的算律集合包含或恒等式的证明19集合基本运算的定义并

A

B={x|x

A

x

B}交

A

B={x|x

A

x

B}相对补

A

B={x|x

A

x

B}对称差

A

B=(A

B)

(B

A)=(A

B)(A

B)

绝对补

A=E

A

20文氏图表示大矩形表示全集E，圆的内部表示集合21课堂练习A＝｛韩先泰,刘东璟,陈至钊｝B＝｛刘东璟,陈泓,林佩汶｝请计算：A

B,A

B,A

B,A

B？22课堂练习练习：第4题。23课堂练习分别对条件(1)到(5)，确定X集合与下述那些集合相等。

S1={1,2,…,8,9},S2={2,4,6,8},S3={1,3,5,7,9},

S4={3,4,5},S5={3,5}

若X

S3=,则X

若X

S4,X

S2=,则X若X

S3=,则X

若X

S4=,

则X=S2=S5=S3,S5=S4,S524并运算通过编程实现求给定集合A和B的并集C的运算。提示：C=A

B={x|x

A

x

B}。输入集合为a,b，输出集合为c，即

c=bing(a,b)。注意：利用set()将c设置为空集，将集合a中与b中相同的元素删除。实例：A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}。25交运算通过编程实现求给定集合A和B的交集C的运算。提示：C=A

B={x|x

A

x

B}.实例：A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}.输入集合为a,b，输出集合为c，即c=jiao(a,b)26相对补运算通过编程实现求给定集合A和B的相对补集C的运算。提示：C=A

B={x|x

A

x

B}.实例：A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}输入集合为a,b，输出集合为c，即c=bu(a,b)27对称差运算通过编程实现求给定集合A和B的差集C的运算。提示：A

B=(A

B)

(B

A)=(A

B)(A

B)

实例：A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}将该代码转换为函数：

c=bing(bu(a,b)，bu(b,a)）或c=bu(bing(a,b)，jiao(b,a)）28课前复习1.集合的性质：明确性、互异性、无序性2.计算幂集：全体子集构成的集合

计算步骤？个数？练习：第10题29课前复习3.集合的基本运算交、并、相对补(理解定义并能编程实现)jiao,bing,bu30关于运算的说明运算顺序：和幂集优先，其他由括号确定并和交运算可以推广到有穷个集合上，即

A1

A2

…An={x|x

A1

x

A2

…

x

An}

A1

A2

…An={x|x

A1

x

A2

…

x

An}某些重要结论

A

B

AA

B=

A

B=A31

交换A

B=B

AA

B=B

A结合(A

B)C=A

(B

C)(A

B)C=A

(B

C)幂等A

A=AA

A=A

与

与

分配A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)吸收A

(A

B)=AA

(A

B)=A集合运算的算律吸收律的前提：、可交换32集合运算的算律（续）

D.M律A

(B

C)=(A

B)(A

C)A

(B

C)=(A

B)(A

C)

(B

C)=B

C

(B

C)=B

C双重否定

A=A

E补元律A

A=A

A=E零律A

=

A

E=E同一律A

=AA

E=A否定

=E

E=33算律的证明利用程序验证结合律：(A

B)C=A

(B

C)分配律：A

(B

C)=(A

B)(A

C)D.M律：A

(B

C)=(A

B)(A

C)提示：令A={1,2,3,4}，B={2,4,5,7}

，C={2,3,5,9}34算律的证明bing(bing(A,B),C)=bing(A,bing(B,C))bing(A,jiao(B,C))=jiao(bing(A,B),bing(A,C))bu(A,bing(B,C))=jiao(bu(A,B),bu(A,C))35集合的基数与有穷集合包含排斥原理有穷集的计数3.3集合中元素的计数36集合A的基数：集合A中的元素数，记作cardA有穷集

A：cardA=|A|=n，n为自然数.有穷集的实例：

A={a,b,c},cardA=|A|=3

B={x|x2+1=0,x

R},cardB=|B|=0

设C是深职大23人工智能本学生组成的集合,则

C=31；特别地，|∅|=0无穷集的实例：

N,Z,Q,R,C等集合的基数与有穷集合37文氏图解决计数问题：

一条性质决定一个集合，没有特殊说明，任意两个集合都是相交的，步骤如下：文氏图38解：例190个程序员，熟悉Python的有43名，熟悉C的有32名，18人熟悉两种语言。请问有多少人对两种语言都不懂？应用39课堂练习视频讲解：/video/BV1of4y1w7Eo/?spm_id_from=333.337.search-card.all.click&vd_source=a51ca7f1bea47936da95136bb729af5440项目化任务医疗专家系统围绕症状识别、药物筛查、检查建议、疾病对比和医生推荐等功能展开，借助交集、并集、差集和对称差集等基本集合操作，实现对医疗信息的智能处理。系统中预先建立一个疾病数据库，其中包含每种疾病的基本信息，如典型症状、建议药物和必要检查项目。每种疾病的信息采用一种类似“字典”的方式存储，其中各项数据（症状、药物、检查）均以集合形式进行描述。41项目化任务当系统接收到患者的症状信息时，首先将这些症状视为一个集合，然后与预先定义的每种疾病的症状集合进行比较。这种比较主要侧重于计算两个集合的重合部分（即交集），从而直观反映出患者与每种疾病之间可能的匹配程度。为使匹配结果具有可比性，系统采用一种比例计算方法，将患者匹配到的症状数量与每个疾病的典型症状总数进行比较，形