北师大版五年级数学上册第五单元：《找最大公因数》教案：借助列举活动帮助学生掌握找最大公因数方法落实因数应用训练培养逻辑思维与表达素养

北师大版五年级数学上册第五单元：《找最大公因数》教案：借助列举活动帮助学生掌握找最大公因数方法，落实因数应用训练，培养逻辑思维与表达素养课题与学情背景信息本教案面向小学数学学科，年级为五年级上册，教材为北师大版，课题是《找最大公因数》，隶属于第三单元“倍数与因数”的后续应用与拓展课。课型定位为在学生已经掌握因数、倍数的概念，并学习了2，5，3的倍数的特征后，通过解决实际问题（如铺地砖、分小组）引入公因数和最大公因数的概念，并探索寻找两个数最大公因数的多种方法（列举法、筛选法、短除法）的概念应用与方法探究课。学生已经能够熟练找出一个数的所有因数，并理解了因数与倍数的意义。本节课的核心价值在于：1.从“一个数的因数”拓展到“两个数共有的因数”，建立“公因数”和“最大公因数”的概念，体会因数概念的现实应用价值。2.掌握寻找两个数最大公因数的基本方法（列举法），并初步接触更高效的筛选法和短除法，发展解决问题的策略意识和优化意识。3.理解最大公因数在解决实际问题的意义，如将长方形分割成尽可能大的正方形、将总数分成相等的若干组等，培养数学应用能力。学生的认知冲突和兴趣点在于：当面对“用边长是整分米数的正方形地砖铺地，要使地砖都是整块，可以选择边长是几分米的地砖？最大是几分米？”这类问题时，如何系统地找到所有可能的解和最优解？通过“情境引入—定义概念—探索方法—应用深化—方法优化”的学习路径，引导学生由浅入深地掌握核心知识与技能。核心素养导向的教学目标知识与能力目标：概念建立：理解公因数和最大公因数的意义，知道两个数的公因数中最大的一个叫做它们的最大公因数。方法掌握：探索并掌握找两个数公因数和最大公因数的方法，重点掌握列举法。技能应用：能找出两个数的公因数和最大公因数，并能解决相关的简单实际问题。过程与方法目标：运用“问题解决法”引入概念：通过“铺地砖”等生活情境，在解决问题的过程中自然引出公因数和最大公因数的概念。运用“列举法”找出所有公因数：系统地分别列出两个数的所有因数，再找出共有的因数，从中确定最大的一个。运用“筛选法”优化寻找过程：先找出较小数的所有因数，再从这些因数中筛选出也是较大数的因数，最大者即为最大公因数。初步感知“短除法”：了解用短除法求最大公因数的基本步骤，感受其简洁性。运用“对比归纳法”总结方法特点：对比列举法、筛选法和短除法的异同，体会方法优化的价值。情感态度与价值观目标：体验数学与生活的紧密联系，感受数学的应用价值。教学重难点及突破策略教学重点：理解公因数和最大公因数的意义，掌握找两个数最大公因数的方法。教学难点：理解“公因数”概念中“公有”的含义。掌握有序、不遗漏地找出两个数所有公因数的方法，并灵活应用于解决实际问题。突破策略：“铺地砖”情境驱动概念理解：创设一个经典且直观的问题情境：“王叔叔家贮藏室长16分米，宽12分米。如果用边长是整分米的正方形地砖铺满（使用整块砖），可以选择边长是几分米的地砖？边长最大是几分米？”引导学生将“铺满”的条件转化为数学条件：地砖边长必须能整除16，也能整除12。即地砖的边长数是16的因数，也是12的因数。这样，“公因数”的概念便从解决问题的需要中自然产生。“最大是几分米”则对应“最大公因数”。“图示与列举”双轨并进：画出一个长16、宽12的长方形示意图，让学生尝试画出边长分别为1、2、3、4…分米的方格，直观感受哪些边长能“正好铺满”。同时，引导学生用学过的知识，分别用“乘法算式”或“有序对”的方法，独立找出16和12的所有因数。将图示结果与列举的因数结果进行对比，验证并加深理解。“对比与定义”明确概念：将16的因数集合和12的因数集合上下排列，用圈画出它们共有的因数：1，2，4。告诉学生，这些共有的因数叫做它们的“公因数”。其中最大的“4”，就叫做它们的“最大公因数”。板书定义，并强调“公”即“共有”，“最大”即其中最大的一个。“方法探究与优化”：方法一：列举法：这是最基础、学生最易理解的方法。先分别列举两个数的所有因数，再找公有因数，最后找最大。强调列举的有序性（从小到大成对找），避免遗漏。方法三：短除法（初步介绍）：作为拓展，可以介绍短除法。用两个数公有的质因数（本节课可用较小的公因数）去除，除到两个商只有公因数1为止。所有除数相乘的积就是最大公因数（如：2×2=4）。让学生感受其简洁，但不作统一要求，作为后续学习的铺垫。“变式练习，巩固应用”：提供不同类型的数对进行练习：①两个数都是合数（如18和24）；②一个是质数，一个是合数（如7和21）；③两个数互质（如8和9）。让学生在实践中发现规律：当两个数是倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数；当两个数互质时，它们的最大公因数是1。通过规律总结，提升思维层次。“回归情境，解决实际问题”：设计类似“铺地砖”的问题，或者“将总数分成相等的若干组且无剩余”的问题，让学生运用所学的找最大公因数的方法去解决，体会数学建模的过程。教学准备与资源描述教师准备：多媒体课件：情境页：展示长16分米、宽12分米的长方形贮藏室地面图，提出问题。操作探究页：动态演示用边长1、2、3、4…分米的正方形去“铺”地面的过程，直观展示能否铺满。列举页：分别用列举法呈现16和12的所有因数，并用集合圈或颜色标出公因数1，2，4。概念定义页：给出公因数和最大公因数的定义。方法探究页：分步展示列举法、筛选法（先找12的因数，再筛选出16的因数）、短除法的操作步骤。规律发现页：出示几组有特点的数对（倍数关系、互质关系等），引导学生发现其最大公因数的特点。应用练习页。实物教具：画有16×12方格的长方形纸板、几个大小不同的正方形纸片（边长分别为1，2，3，4，6，8…个单位）。学生准备：练习纸、直尺。课前预习要求：复习找一个数的因数的方法，尝试找出12和18的所有因数。教学过程一、情境导入师：（指着课件上的长方形）同学们，这是王叔叔家的贮藏室地面，长16分米，宽12分米。王叔叔想用边长是整分米数的正方形地砖把它铺满，而且要用整块的地砖，不能切割。如果请你来当设计师，你会为他推荐边长是几分米的地砖呢？生1：边长1分米的可以，因为1能整除16和12。师：对，边长1分米，沿着长边能铺16块，沿着宽边能铺12块，正好铺满。还有其他选择吗？生2：边长2分米的也可以。16÷2=8，12÷2=6，都能整除。生3：边长4分米的好像也可以，16÷4=4，12÷4=3。师：（追问）边长3分米的行吗？为什么？生4：不行，16÷3除不尽，宽边铺5块后还剩1分米。师：看来不是什么边长都可以。那么，究竟哪些边长的地砖符合要求呢？我们如何系统地找出所有可能的选择？还有，王叔叔希望地砖尽可能大，这样可以省工省料，那么边长最大可以是几分米呢？今天这节课，我们就来学习《找最大公因数》，掌握了它，你就能成为一个出色的“地面铺装设计师”了！二、探究新知活动一：分析条件，引出概念师：我们再把条件理一理。“铺满”且“用整块砖”，意味着地砖的边长必须能整除贮藏室的（长），也能整除贮藏室的（宽）。也就是说，地砖的边长数，必须是16的（因数），也必须是12的（因数）。请你们先独立找出16的所有因数和12的所有因数，分别写在练习纸的左右两边。（学生独立完成，教师巡视。）师：谁来说说16的因数有哪些？请按从小到大的顺序说。生5：16的因数有1，2，4，8，16。师：12的因数呢？生6：12的因数有1，2，3，4，6，12。师：（将两组因数上下对应排列在黑板上或课件上）请大家仔细看这两组因数，有没有一些数，既出现在16的因数队伍里，又出现在12的因数队伍里？生（齐）：有！1，2，4。师：像1，2，4这样，既是16的因数，又是12的因数，我们就说它们是16和12的公因数。（板书：公因数）其中，最大的公因数是几？生（齐）：4。师：所以，4就叫做16和12的最大公因数。（板书：最大公因数）我们用一种专门的符号来表示最大公因数：比如16和12的最大公因数，可以写作（16，12）=4。活动二：探索方法，掌握技能师：我们刚才用“分别列出所有因数，再找共同的”方法找到了公因数和最大公因数。这种方法叫做“列举法”。（板书：列举法）这是最基本的方法。大家用列举法试着找一找8和12的公因数及最大公因数。（学生练习，教师请一生板演：8的因数：1，2，4，8；12的因数：1，2，3，4，6，12；公因数：1，2，4；最大公因数：4。）师：列举法很清晰，但有时候两个数的因数都比较多，全列出来有点麻烦。有没有更快捷一点的方法呢？我们以找16和12的公因数为例。既然要找“公有”的，我们可以先找出其中较小数12的所有因数，然后拿着这些因数去“检查”它们是不是较大数16的因数。因为公因数一定不会超过较小数。先找出12的因数：1，2，3，4，6，12。然后用这些数去试除16：16÷1=16（是），16÷2=8（是），16÷3（不是），16÷4=4（是），16÷6（不是），16÷12（不是）。所以公因数是1，2，4，最大是4。这种方法，我们叫它“筛选法”。（板书：筛选法）大家用筛选法快速找一下9和15的最大公因数。（学生尝试：先找较小数9的因数：1，3，9。用它们试除15：15÷1=15（是），15÷3=5（是），15÷9（不是）。所以公因数1，3，最大公因数是3。）活动三：初步接触短除法（拓展）师：老师这里还有一种更厉害的方法，叫做“短除法”。（板书：短除法）我们来看怎么用短除法求16和12的最大公因数。（教师演示）把16和12写在短除号的里面。先观察，它们有公因数2，就用2去除。16÷2=8，12÷2=6，把商写在下面。再看8和6，还有公因数2，继续用2去除。8÷2=4，6÷2=3，商是4和3。现在4和3除了1以外，没有其他公因数了，我们就停止。那么，最大公因数就是所有除数相乘的积：2×2=4。看，结果也是4。师：短除法就像我们做除法竖式一样，一步步把公因数“提取”出来。它特别适合找因数都比较大的两个数的最大公因数。大家了解一下，以后我们会进一步学习。活动四：观察特例，发现规律师：请大家用你喜欢的方法，快速找出下面每组数的最大公因数，看看你能发现什么小秘密。①4和8②9和27③5和7④8和9（学生计算后汇报：①最大公因数4；②最大公因数9；③最大公因数1；④最大公因数1。）师：观察①和②，两个数是什么关系？（倍数关系）它们的最大公因数有什么特点？（是较小的那个数）师：观察③和④，这两个数呢？（除了1以外，没有其他公因数，我们说它们“互质”）它们的最大公因数是多少？（都是1）师：善于观察和总结规律，能让我们的计算更快捷。三、巩固练习师：方法学了，规律也发现了，现在我们来大展身手。第一关：我会找（找出下面每组数的公因数和最大公因数）6和9（公因数：1，3；最大公因数：3）10和15（公因数：1，5；最大公因数：5）14和21（公因数：1，7；最大公因数：7）20和30（公因数：1，2，5，10；最大公因数：10）第二关：快速判断（不计算，直接说出下面每组数的最大公因数）3和12（3）2.1和10（1）3.8和15（1）4.24和8（8）（应用发现的规律：倍数关系、互质关系等）第三关：火眼金睛（判断对错）两个数的公因数的个数是有限的。（√）1是所有非零自然数的公因数。（√）两个数的最大公因数一定比这两个数都小。（×，如4和8的最大公因数是4，等于较小的数。）两个合数的最大公因数不可能是1。（×，如8和9都是合数，最大公因数是1。）第四关：实际应用我能行有两根木料，一根长18分米，另一根长24分米。要把它们截成同样长的小段，每段最长是多少分米？一共可以截成多少段？（先求18和24的最大公因数：6。所以每段最长6分米。18分米的可截3段，24分米的可截4段，一共3+4=7段。）五（1）班有男生24人，女生18人。体育课上，老师要把男、女生分别分成若干小组进行活动，要使每组人数相同，每组最多可有几人？这时男、女生分别可分几组？（求24和18的最大公因数：6。每组最多6人。男生分4组，女生分3组。）第五关：挑战思维a=2×3×5，b=2×3×7，a和b的最大公因数是多少？（找出它们公有的质因数：2和3，相乘得6，所以最大公因数是6。这为后续学习分解质因数求最大公因数做铺垫。）一个数既是36的因数，又是60的因数，这个数最大是多少？（就是求36和60的最大公因数，是12。）四、课堂小结师：同学们，今天的“寻找”之旅收获颇丰。我们一起来梳理一下。师：什么是两个数的公因数？（生：既是…又是…的因数）什么又是最大公因数？（生：公因数中最大的一个）师：我们学习了哪几种找最大公因数的方法？（列举法、筛选法，还了解了短除法）你觉得在什么情况下用列举法比较好？（数比较小时）什么情况下可以考虑用筛选法？（一般情况）短除法呢？（数较大或想更快捷时）师：我们还发现了两个关于最大公因数的“小秘密”：当两个数是倍数关系时，最大公因数是（较小的数）；当两个数互质时，最大公因数是（1）。师：最大公因数在生活中有什么用？（解决“最大”、“最长”、“最多”这类等分或分割问题）希望大家能用好这个工具，解决更多实际问题。五、作业布置必做作业：完成练习册《找最大公因数》一课的练习题。用列举法和筛选法分别找出20和28的最大公因数，并比较哪种方法你觉得更方便。选做作业（挑战自我）：“方法比较师”：写一篇数学小日记，比较列举法、筛选法和短除法（如果你理解了）在找最大公因数时的优缺点。“生活发现家”：在身边找一找，有没有可以用“找最大公因数”来解决的问题？把它记录下来，并尝试解决。作业评价量表（Rubric）：优秀（4星）：能清晰阐述公因数与最大公因数概念；能熟练运用至少两种方法求最大公因数，并能解决较复杂的实际问题；能主动完成方法比较或问题发现任务。良好（3星）：理解概念，能正确运用列举法或筛选法求最大公因数；能解决基本的应用问题。达标（2星）：知道概念，但在找公因数时有遗漏，或应用解题时有步骤错误；完成了必做作业。需努力（1星）：对公因数概念理解不清，找最大公因数方法混乱；需要重新进行情境操作和概念辨析。预设性教学反思本节课是因数倍数知识体系中的重要应用节点，其成功的关键在于能否将抽象的“公因数”概念与直观的、有意义的现实问题紧密捆绑，让学生在解决问题的需求驱动下，主动探究方法，并体会方法的多样性与优化。“铺地砖”情境：从问题到概念的完美转化：“边长是整分米数且能铺满”这一生活化条件，被准确地转化为“边长数必须是长和宽的因数”这一数学条件。当学生分别列出16和12的因数后，“公因数”作为一个描述“共同拥有的因数”的自然词汇便呼之欲出。而“最大边长”的需求，则直接指向“最大公因数”。这个过程避免了概念的强行灌输，实现了“数学化”的自然过渡。“列举法”的基础夯实与“筛选法”的策略引导：列举法是学生利用已有技能（找因数）就能直接上手的“原生态”方法，必须让每个学生掌握并体验其过程，这是理解概念和后续方法的基础。在此之上，引导学生思考优化：“一定要把两个数的因数都列全吗？”启发他们发现，公因数一定不会超过较小数，因此可以先找较小数的因数，再去“筛选”较大数的因数。这种从“全列”到“筛选”的思维转变，是算法优化和策略意识的重要培养。“短除法”的引入：播种与展望：短除法是求