2026年中考数学二轮复习 查漏补缺02 方程不等式含参与实际应用(专项训练)

02漏洞扫漏洞扫 通法锤漏洞扫描精准补漏：考点精研通法锤炼：淬炼以简驭繁的通用解题方法，实现从“会一题"到“通一类"实战淬炼能力强化：考点 一次方程（组）含参问1.一元一次方程标准形式：𝑎𝑥=a≠0，唯一解；a=0,b≠0，无解；𝑎=0,𝑏=0，无数解。含参核心：先看系数，再分类讨论。二元一次方程组：同解、错解先联立无参方程，再代入求参。题型一：题型一：先将方程化为ax=b的标准形式，根据一次项系数a是否为0分类讨论，确定解的情况；求解后检验解是否符合题意。忽略一次项系数为0的特殊情况；解出参数后未回代检验；符号计算错误。1（2025·广东深圳·中考真题）若关于𝑥的方程𝑥+𝑎=5的解为𝑥=1，则𝑎= 【答案】a的方程是解题关键．把𝑥=1xa的方程，解方程即可求解．【详解】解：∵关于𝑥的方程𝑥𝑎=5的解为𝑥=∴1+𝑎=5，解得：𝑎=4，2（2025· 【答案】【分析】本题考查了一元一次方程的解，以及解一元一次方程，理解题意，把𝑥=2代入3𝑎−2𝑥=2𝑎=2【详解】解：∵𝑥=2是方程3𝑎−2𝑥=2∴把𝑥=2代入3𝑎−2𝑥=2，得3𝑎−22=∴3𝑎=∴𝑎=3（2026·四川南充·一模）m，n互为倒数，且满足𝑚(𝑛1)=3n的值为（ 【答案】【分析】根据倒数的性质得到𝑚𝑛1，展开已知等式后代入1求出𝑚的值，再根据倒数定义即可得到𝑛的∴𝑚𝑛=∵𝑚(𝑛+1)=展开等式得𝑚𝑛+𝑚=3，把𝑚𝑛=1代入得1+𝑚=3，∴𝑚= ∴𝑛=𝑚=4．若方程3𝑥1=4和方程2𝑥+𝑎=0的解相同，则𝑎=（ 【答案】【分析】先求出3𝑥1=4的解，再代入到2𝑥𝑎=0a【详解】解：解3𝑥1=4得𝑥=1，将𝑥=1代入2𝑥+𝑎=0，得2+𝑎=0，解得𝑎−2．D．5．若关于𝑥的方程3𝑥6=0的解是关于𝑥的方程3𝑥+3𝑘=12倍，则𝑘=（ A． 【答案】【分析】求出3𝑥6=0的解为𝑥=−2，即可得到方程3𝑥3𝑘=1的解为𝑥=−1，把𝑥=−1代入方程3𝑥+3𝑘=1k的值即可．【详解】解：3𝑥6=0，移项得：3𝑥=−6，1得：𝑥=∵关于𝑥的方程3𝑥6=0的解是关于𝑥的方程3𝑥+3𝑘=12∴方程3𝑥3𝑘=1的解为𝑥=∴−3+3𝑘=解得𝑘=【点睛】本题主要考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，正确求出方程3𝑥3𝑘=1的解为𝑥=−1是题型二：方程组同解/题型二：方程组同解/3𝑥−𝑦=4𝑚+1（2023·四川眉山·中考真题）已知关于𝑥,𝑦的二元一次方程组𝑥𝑦=2𝑚−5的解满足𝑥−𝑦=4m值为（ 【答案】【分析】将方程组的两个方程相减，可得到𝑥−𝑦=𝑚3，代入𝑥−𝑦=4，即可解答．3𝑥−𝑦=4𝑚+1①【详解】解：𝑥𝑦=2𝑚−5②①−②得2𝑥−2𝑦=2𝑚+∴𝑥−𝑦=𝑚+代入𝑥−𝑦=4，可得𝑚3=4，解得𝑚=1，𝑥= 𝑦=2（2025·贵州铜仁·三模）x，y𝑚𝑥𝑛𝑦=1𝑛𝑥𝑚𝑦=−7有相同的解，则𝑚𝑛值为（ 【答案】加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为𝑥=2和𝑦=1，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于𝑚和𝑛的方程组，通过加减消元法直接求解𝑚+𝑛的值．𝑥=𝑦=1将𝑥=2,𝑦=1代入第一个方程组的𝑚𝑥𝑛𝑦=1，得：2𝑚𝑛=1①，代入第二个方程组的𝑛𝑥+𝑚𝑦=−7，得：2𝑛+𝑚=−7②，将①和②相加：(2𝑚𝑛)(2𝑛𝑚)=1+(−7)，整理得：3𝑚+3𝑛=−6，则𝑚𝑛=−2．𝑥+2𝑦=𝑚+3（2025·贵州遵义·模拟预测）x、y2𝑥𝑦=2𝑚5，若𝑥𝑦=4m（ D．【答案】【分析】本题考查解含参数的二元一次方程组．把两个方程相加，得𝑥𝑦=𝑚2，结合𝑥𝑦=4，即可【详解】解：方程组的两个方程相加，得3𝑥3𝑦=3𝑚+∴𝑥+𝑦=𝑚+∵𝑥+𝑦=∴𝑚+2=∴𝑚=2．3𝑥+𝑦= 𝑥=4（2025·江苏徐州·中考真题）若二元一次方程组2𝑥−𝑦=2的解为𝑦=𝑏则𝑎+𝑏的值 【答案】3𝑥+𝑦=【详解】解：2𝑥−𝑦=②得，5𝑥=5，解得𝑥=1，将𝑥=1代入①得，3+𝑦=3，解得𝑦=0，𝑥=∴𝑦=0∴𝑎=1，𝑏=∴𝑎𝑏=1+0=1，

𝑎𝑥+𝑏𝑦=

𝑥=甲、乙两人共同解方程组𝑐𝑥−3𝑦=4②，甲将①中的𝑏𝑦=−1，乙抄错𝑥=中的𝑐解得𝑦=4，则𝑎−𝑏+𝑐= 【答案】𝑥=【详解】解：甲将①中的𝑏𝑦=−1，则②∴𝑎𝑏=2，且𝑐3=4，解得𝑐=1；𝑥=乙抄错②中的𝑐𝑦=4，则①即2𝑎4𝑏=∴𝑎+2𝑏=𝑎+𝑏= 𝑎=𝑎+2𝑏=1𝑏=−1𝑎−𝑏𝑐=3−(−1)+1=5，考点 一元二次方程含参问一元二次方程定义：只含一个未知数，最高次数为2，二次项系数≠02.根的判别式：Δ=b2−4ac，用于判断实数根的个数。3.韦达定理：x+x=−b，xx= 1 含参热点：整数根、公共根、定根、有实根求参数范围。满足两个条件：满足两个条件：①二次项系数≠0；②Δ≥01（2025·四川雅安·中考真题）x的一元二次方程(𝑚−3)𝑥2+6𝑥3=0m的取值范围是（）𝑚> B．𝑚≤6且𝑚≠ C．𝑚≥ D．𝑚<6且𝑚≠【答案】0，且根的判别式Δ0，据此列【详解】解：∵x的一元二次方程(𝑚−3)𝑥2+6𝑥+3=0Δ=62−4⋅(𝑚−3)⋅3≥ 𝑚−3≠ ∴𝑚≤6且𝑚≠ 【答案】m≠0且综上，m＜1m≠0，C选项符合题意．3（2024·江苏淮安·中考真题）x的一元二次方程𝑥2−4𝑥𝑘0k的取值范围是（）A．𝑘≥ B．𝑘> C．𝑘≤ D．𝑘<【答案】【分析】本题考查根的判别式，根据方程有两个不相等的实数根，得到Δ>0【详解】解：∵一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑘=0∴Δ=(−4)2−4𝑘>0，解得：𝑘<4（2025·四川巴中·中考真题）关于x的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0有两个相等的实根，则𝑚= 【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程𝑥2−4𝑥𝑚=0有两个相等的实根，可得Δ=0，即可解答，熟知根的判别式与一元二次方程根的关系是解题的关键．∵x的一元二次方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=(−4)2−4𝑚=0，解得𝑚=4，5（2025·江苏镇江·中考真题）关于𝑥的一元二次方程𝑥2𝑚𝑥1=0有两个相等的实数根，则𝑚 ±Δ=0【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥+1=0∴Δ=即𝑚2−41×1=0，解得：𝑚=±2．±题型四：根与系数的关系（韦达定理）题型四：根与系数的关系（韦达定理）1（2026·安徽淮南·一模）关于𝑥的一元二次方程3𝑥2+2𝑥−𝑚0有两实数根，其中一根为𝑥1，则这两根之积为（） 【答案】【详解】解：∵𝑥=1是一元二次方程3𝑥2+2𝑥−𝑚=0∴将𝑥=1代入方程得3×12+2×1−𝑚=0，解得𝑚=5，∴关于𝑥的一元二次方程为3𝑥2+2𝑥−5= ∴两根之积为𝑎=3=2（2026·河北张家口·一模）若一元二次方程𝑥2+𝑚𝑥𝑚−10的两根之积为2𝑚2，则𝑚（ 【答案】【详解】解：𝑥2+𝑚𝑥+𝑚−1=由一元二次方程根与系数的关系可得，𝑥1𝑥2=∵两根之积为2𝑚∴𝑚−1=2𝑚+2，解得𝑚=∴原方程为𝑥2−3𝑥−4=解得𝑥1=−1，𝑥2=4∴𝑚=3（2025·四川乐山·中考真题）若方程𝑥2−𝑥−2=0的两个根是𝑥1和𝑥2，则𝑥2𝑥+𝑥𝑥2的值为（1 1 【答案】 一元二次方程的两个根为𝑥1和𝑥2，则𝑥1+𝑥2=−𝑎，𝑥1𝑥2=【详解】解：∵𝑥1和𝑥2是方程𝑥2−𝑥−2=0∴𝑥1+𝑥2=1，𝑥1𝑥2=∴𝑥2𝑥2+𝑥1𝑥2=𝑥1𝑥2(𝑥1+𝑥2)=−2×1= 4（2026·江苏南京·模拟预测）设𝑥1，𝑥2是方程𝑥2−4𝑥𝑚=0的两个根，且𝑥1−2𝑥1𝑥2+𝑥2=0，则𝑚 【答案】【分析】根据根与系数的关系得出关于𝑚【详解】解：∵𝑥1，𝑥2是方程𝑥2−4𝑥+𝑚=0的两个根，则𝑥1+𝑥2=4，𝑥1𝑥2=𝑚，∴𝑥1−2𝑥1𝑥2+𝑥2=4−2𝑚=0，解得：𝑚=2．5（2026·=m，n满足𝑚2−𝑚𝑏=1，4𝑛2−2𝑛𝑏=1，且𝑚≠2𝑛，求𝑚𝑛 (2)𝑚𝑛=（1）求出Δ=𝑏2+4（2）m和2𝑛是方程𝑥2−𝑏𝑥−1=0的两个根，且𝑚≠2𝑛（1）证明：由题意可得：Δ=(−𝑏)2−4×1×(−1)=𝑏2∵𝑏2≥∴𝑏2+4>0，即Δ>（2）解：由𝑚2−𝑚𝑏=1得𝑚2−𝑚𝑏−1=0，由4𝑛2−2𝑛𝑏=1得，(2𝑛)2−𝑏⋅(2𝑛)−1=m和2𝑛是方程𝑥2−𝑏𝑥−1=0的两个根，且𝑚≠2𝑛．由根与系数的关系得𝑚⋅(2𝑛)=−1．∴𝑚𝑛=考点 分式方程含参问分式方程含参核心：先正常去分母化成整式方程，再讨论参数。0（；②常见考法：分式方程有解、无解、解为正数/负数、整数解含参求值。隐形陷阱：参数算完，一定要回头检验会不会产生增根。0；第四步：结合题目要求（有解0；第四步：结合题目要求（有解/无解/正数解）只看整式方程，忘记排除增根；正负解题目漏掉不等号限制；参数算🎧0的1（2025·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）如果关于𝑥的分式方程1−𝑥+𝑥−1=2无解，那么实数𝑚的值是（A．𝑚= B．𝑚= C．𝑚=1或𝑚= D．𝑚≠1且𝑚≠【答案】m值即可．【详解】解：方程去分母，得：𝑚𝑥−𝑥2(1−𝑥)，整理，得：(𝑚+1)𝑥=2；∴①整式方程无解，则：𝑚1=0，解得：𝑚=②分式方程有增根，则：𝑥−1=0，解得：𝑥=把𝑥=1代入(𝑚1)𝑥=2，得：𝑚1=2，解得：𝑚=1；综上：𝑚=1或𝑚=−1 2（2025·黑龙江·中考真题）已知关于𝑥的分式方程𝑥−4−4−𝑥=3解为负数，则𝑘的值为（ A．𝑘< B．𝑘> C．𝑘<−4且𝑘≠ D．𝑘>−4且𝑘≠【答案】 【详解】解：𝑥−4−4−𝑥=得𝑥−4=得𝑥+3𝑘=解得：𝑥=

2根据题意，解𝑥=

<即3𝑘12<0，解得：𝑘<分母𝑥−4≠0，即𝑥≠4，即 ≠解得：𝑘≠−𝑘−4，

3（2026·四川达州·一模）x的方程𝑥−2+2−𝑥=3解为非负数，则𝑘的取值范围是（A．𝑘≤ B．𝑘≥ C．𝑘≤2且𝑘≠ D．𝑘≥2且𝑘≠【答案】 【详解】解：原方程可变形为𝑥−2−𝑥−2=方程两边同乘(𝑥−2)去分母得：𝑥𝑘−4𝑘=3(𝑥−2)，整理得，𝑥−3𝑘=3𝑥−6，移项合并得，2𝑥=解得：𝑥=

2

≠2解不等式 ≥0得，𝑘≤ 解不等式 ≠2得，𝑘≠∴𝑘的取值范围是𝑘≤2且𝑘≠

4（2025·陕西延安·一模）x的分式方程5+𝑥−2=2−𝑥m的值为（ D．2或【答案】先确定分式方程的分母为𝑥−2和2−𝑥，令分母为零得增根𝑥2；再将分式方程两边同乘最简公分母𝑥−2化为整式方程；最后把增根𝑥=2代入整式方程，计算得出𝑚的值，进而判断选项． 【详解】解：分式方程5+𝑥−2=2−𝑥的分母为𝑥−2和2−𝑥=令分母为零，得增根𝑥=方程两边同乘𝑥−2去分母，得：5(𝑥−2)𝑥=−𝑚．将增根𝑥=2代入整式方程：5×(2−2)+2=−𝑚，即0+2=−𝑚，解得𝑚=−2． 5（2025·江苏南京·中考真题）已知𝑥=2是方程𝑥−𝑎+𝑎−𝑥=1的解，则𝑎的值 【答案】【分析】本题考查分式方程的解，熟练掌握其意义是解题的关键．将原方程去分母后把𝑥2代入解得𝑎的【详解】解：原方程去分母得：1−2𝑎=∵𝑥=21−2𝑎=2−𝑎，解得：𝑎=−1，当𝑥=2,𝑎=−1时，原分式方程有意义，考点 不等式（组）含参问不等式性质：两边乘除负数，不等号方向必须改变1（2025·广东广州·一模）关于𝑥的不等式解集在数轴上表示如图，设𝑚𝑥+1，则𝑚的取值范围是（A．0<𝑚≤ B．0≤𝑚≤ C．𝑚<0或𝑚≥ D．𝑚≤0或𝑚≥【答案】【分析】根据不等式的解集和分式有意义的条件分段讨论，分别求出𝑥+1【详解】解：由数轴可知关于𝑥的不等式解集为−3<𝑥≤∵𝑥中𝑥≠ ①当−3<𝑥<0时，𝑥<∴𝑥<∴𝑥+1<0，即𝑚<②当0<𝑥≤1时，𝑥≥∴𝑥≥∴𝑥+1≥4，即𝑚≥综上，𝑚的取值范围是𝑚<0或𝑚≥2（2024

m+1的差不大于13，则m的值可能为 【答案】

−𝑚

1）≤13m≤4，

−𝑚

xmx﹣n＞0

，则关于x的不等式（m+n）x＞n﹣m的解集是

【答案】mnxmx﹣n＞0，x＜1x＜𝑛=1m＝5n（m≠0，n≠0， 代入不等式（m+n）x＞n﹣m

＜−若关于x的不等式2﹣m﹣x＞0的正整数解共有3个，则m的取值范围是 【答案】mm的范围．2﹣m﹣x＞0得：x＜2﹣m，5（2024·江苏无锡·三模）已知关于x的不等式(𝑎+2)𝑥<1的解集为𝑥>𝑎+2，则a的取值范围 【答案】𝑎<【分析】根据不等式的基本性质，由不等式(𝑎+2)𝑥<1的解集为𝑥>𝑎+2，可得：𝑎+2<0【详解】解：∵不等式(𝑎2)𝑥<1的解集为𝑥>∴𝑎+2<∴a的取值范围为：𝑎<故答案为：𝑎<先解🎧已知不等式，再借助数轴判断参数范围，重点确定先解🎧已知不等式，再借助数轴判断参数范围，重点确定端点是否取等号，最后写🎧2𝑥−1<1（2024·四川南充·中考真题）x𝑥𝑚1的解集为𝑥<3m的取值范围是（ B．𝑚≥ C．𝑚< D．𝑚≤【答案】2𝑥−1< 𝑥<𝑥<𝑚+1𝑥<𝑚+1∵不等式组的解集为：𝑥<∴𝑚+1≥∴𝑚2；B．x

−1(𝑥−𝑎)>𝑥−1≥

无解，则𝑎的取值范围是（A．𝑎≥ B．𝑎≤ C．𝑎> D．𝑎<【答案】−1(𝑥−𝑎)>

𝑥−1≥2𝑥+1解不等式①得：𝑥<解不等式②得：𝑥≥∴𝑎≤𝑥≥若关于𝑥𝑥<−3有解，则（𝑚≥ B．𝑚> C．𝑚≤ D．𝑚<【答案】𝑥≥【详解】解：关于𝑥𝑥<−3∴𝑚<−3，故选：D2𝑥−1>4（2025·河北·一模）若关于x的不等式组𝑥<𝑚+1的整数解是4和5，则m的取值范围是 A．5<𝑚≤ B．3<𝑚< C．4≤𝑚< D．4<𝑚≤【答案】【分析】2𝑥−1>不等式（组）𝑥<𝑚+145得到𝑚2𝑥−1>𝑥<𝑚+1②解不等式①，得：𝑥>2𝑥−1>∵𝑥<𝑚+145<𝑚1≤6，解得4<𝑚≤5，𝑥−𝑎>5．若关于𝑥𝑏−3𝑥>

的解集为−1<𝑥<1，则(𝑎+𝑏)2025= 【答案】首先求出含有𝑎和𝑏的不等式组解集，再根据不等式组的解集为−1<𝑥<1，求出𝑎和𝑏𝑥−𝑎> 【详解】解：解关于𝑥𝑏−3𝑥>0得3+𝑎<𝑥<𝑥−𝑎>关于𝑥𝑏−3𝑥>0的解集为−1<𝑥<∴3+𝑎=−1,3=∴𝑎=−4,𝑏=∴(𝑎+𝑏)2025=(−4+3)2025=考点 方程不等式实际应用问方程应用：找等量关系不等式应用：找至少、至多、不超过、不少于3.分式方程必须双重检验（+实际意义题型八：方程（组）题型八：方程（组）1（2024·现有若干名客人．若12313个盘子，问客人和盘子各有多3013x位客人，根据盘子的数量为定值，列出方程进行求x 依题意，得2𝑥−2=3𝑥+3，解得𝑥= 所以2𝑥−2=2×30−2=30132（2026·使建筑和家具等物品拥有统一的美学特征．槽口榫（1）是最基本、最简单的榫卯连接之一．凸出的部2为槽口榫中一部分榫身的平面图，已知榫身长∶=7∶3，榫头长∶=3∶1，榫身宽∶=3∶1，榫身长与榫头长【答案】【分析】设榫头长为𝑥cm

3𝑥cm，根据榫身长与榫头长之和为20cm求出𝑥【详解】解：设榫头长为榫身长∶=∴

3𝑥∵榫身长与榫头长之和为∴3𝑥+𝑥=解得𝑥=∴榫头长为6cm，则榫身长为榫头长∶=∴榫头宽为3=榫身宽∶=∴榫身宽为2×3=∴此面的表面积为：14×6+6×2=3（2025·，用了56元．A，B两种饮料每杯分别是多少元？【答案】A饮料每杯12元，B8每杯𝐴饮料𝑥元，每杯𝐵饮料𝑦元，根据“小丽买了𝐴，𝐵1杯，用了203杯𝐴5【详解】解：设每杯𝐴饮料𝑥元，每杯𝐵饮料𝑦𝑥+𝑦=2𝑥+5×0.8𝑦=56𝑥=解得：𝑦=8答：每杯𝐴饮料12元，每杯𝐵84（2025·2𝑥+𝑦=13𝑥+2𝑦=7xyx，y2所表示的方程组，并求出该2𝑥+3𝑦= 𝑥=【答案】𝑥2𝑦=8𝑦=2所表示的方程组，进行求解即可．2𝑥+3𝑦=𝑥+2𝑦=2，得2𝑥+4𝑦=③−①，得𝑦=3．把𝑦=3代入②𝑥+6=𝑥=𝑥=∴𝑦=5（2026·：“一十斗．问秉各几何？”712捆下等禾10812 【答案】上等禾谷每捆重26斗，下等禾谷每捆重52xy(7𝑥−1)+2𝑦=2𝑥+(8𝑦+1)=10𝑥=

𝑦= 答：上等禾谷每捆重26斗，下等禾谷每捆重521（2025·(1)a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%．求用智能机器人采（a的代数式表示）(2)400041天，a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低30%，再列代数式即千克；根据要采摘41天，再建立分式方程求（1）解：∵a元，相比人工采摘，用智能机器人采摘的成本可降低∴用智能机器人采摘的成本是(1−30%)𝑎=0.7𝑎（元∴5𝑥

4𝑥解得：𝑥=经检验𝑥=200∴5𝑥=1000（千克2（2025·20千克，机器人𝐴800千克所用时间与机器人𝐵1000千克所用时间相等．求机器人𝐴𝐵A80B100AxB每小时搬运(𝑥+20)千克化工原料，根据机器人𝐴800千克所用时间与机器人𝐵1000千克所用时间相AxB每小时搬运(𝑥20) 𝑥=解得𝑥=经检验，𝑥=80∴𝑥+20=A80B1003（2025·距离学校240km200名师生参加了最近一次活动．1.25倍，求大巴车的速度；该景区对学生（或儿童）10302200y 𝑥−1.25𝑥=解得𝑥=经检验，𝑥80是原方程的解，且符合题意．80千米/小时．根据题意，可列方程：10𝑦+30(200−𝑦)=2200，解得𝑦=190人．4（2026·714810项．(2)其中的热门项目“骑跑两项”12056人，其中4支，平均每支队伍的人数增了10%，求第十五届有多少支参赛队【答案】(1)24182(2)16根据题意得7𝑥+14=8𝑥−10，解得𝑥=则7𝑥14=7×24+14=24182(1+(1+根据题意 化简得𝑦+4

𝑦176𝑦132𝑦528，176𝑦−132𝑦=528，44𝑦=𝑦

44𝑦=经检验，𝑦=12𝑦+4=12+4=165（2025·1.5倍．先由甲、乙两个车间共同完150010天完成这批订单．(2)30230成的时间和乙车间单独完成的时间，再根据“10天完成这批订单”建立分式方程求解；由题意得：𝑥+1.5𝑥解得：𝑥=

=经检验：𝑥120是原方程的解，且符合题意，则1.5×120=180（件，由题意得：𝑚≤2(30−𝑚)，解得：𝑚≤设生产总量为𝑤𝑤=180𝑚+120(30−𝑚)=60𝑚+∵𝑚>∴𝑤随着𝑚∴当𝑚=20时，𝑤30∴30−𝑚=30−20=1（2026·20234800万元，经过连续两年的增长，20258112万元．请根据以上信息求出这两年该公司机器人【答案】根据题意得4800(1+𝑥)2=8112，解得𝑥1=0.3，𝑥2=−2.3（负值，舍去∴该公司机器人项目营业收入的年平均增长率为0.3=30%，2（2026·题．随着“哪吒”IP10元/个的20元/5024600元，则这种钥匙扣的30元/25元/x元/x元/根据题意，得：(𝑥−10)50−4解得：𝑥1=30，𝑥2=

=∴30元/25元/3（2025·m．(1)矩形围栏的面积为150m2时，三边分别长多少设垂直于墙的一边长𝑥m，根据矩形围栏的面积为150m2则𝑥(40−2𝑥)=150解得：𝑥1=5、𝑥2=当𝑥=5时，40−2𝑥=30>25（不符合题意，舍去）当𝑥=15时，40−2𝑥=10<25（符合题意）∴则有𝑆=𝑥(40−2𝑥)=−2(𝑥−10)2当𝑥=10时．𝑆有最大值𝑆=当𝑥=10时，40−2𝑥=20<25（符合题意∴4（2026·2023256亿元，2025400亿元．(2)2026600亿元，若按照这个年平均增长率增长，该市能否实现目（1）x2023256亿元，2025400（2）2026（1）x，根据题意得，256(1+𝑥)2= 解得𝑥=4=25%或𝑥=−4（舍去答：这两年该市机器人产业总产值的年平均增长率为（2）2026年机器人产业总产值为400×(1+25%)=500（亿元<6005（2025·252024(2)20247800100件，求最少购进多少件甲种商(2)40x2022125元，经过两次降价后，202480元列出方程求解即可；m件，则购进乙种商品(100−𝑚)7800m由题意得，125(1−𝑥)2=80，解得𝑥=0.2=20%或𝑥=1.8（舍去答：乙种商品每件进价的年平均下降率为（2）m件，则购进乙种商品(100−𝑚)件，由题意得，(125−25×2)𝑚+80(100−𝑚)≤7800，∴75𝑚8000−80𝑚≤7800，解得𝑚≥40，∴m4040件，40件．题型十一：题型十一：不等式（组）“至少、至多、不超过、不少于”等不等关系列不等式（组；解🎧解集后取整数解确定方案，1（2025·5646252(1)11(2)50360元，那么该工厂最少可以购买多【答案】(1)68(2)204𝑥+5𝑦=6𝑥+2𝑦=52𝑥=𝑦=8答：11686𝑚+8(50−𝑚)≤解得，𝑚≥202（2025·2B842A3B86(1)AB(2)A，B50830A【答案】(1)AB款材料包各需16元和18(2)A款材料包35（1）AB款材料包各是𝑥元和𝑦（2）A款材料包𝑎（1）AB款材料包各需𝑥元和𝑦3𝑥+2𝑦= 𝑥=2𝑥+3𝑦=86𝑦=18AB款材料包各需16元和18（2）A款材料包𝑎16𝑎18(50−𝑎)≤830，解得𝑎≥35，∵a∴a最小为A款材料包353（2025·人的单价比𝐵125万元购买𝐴20万元购买𝐵款机器人的数(2)如果购买𝐴、𝐵12台，且购买𝐴款机器人的数量不少于𝐵款机器人数量的一半，请设计购买【答案】(1)𝐴5万元，𝐵4(2)购买成本最少的方案是购买𝐴4台，𝐵8（1）（2）设𝐴款机器人的单价为𝑥万元，则𝐵款机器人的单价为(𝑥−1)25万元购买𝐴20万元购买𝐵𝐴款机器人𝑚台，则购买𝐵款机器人(1−𝑚台，根据购买𝐴款机器人的数量不少于𝐵款机器人数量的一半，列出一元一次不等式，解得𝑚≥4，再设购买成本为𝑤万元，根据题意列出𝑤关于𝑚数关系式，然后由一次函数的性质即可解决问题． 𝑥=解得：𝑥=经检验，𝑥=5∴𝑥−1=答：𝐴5万元，则𝐵4根据题意得：𝑚≥解得：𝑚≥设购买成本为𝑤根据题意得：𝑤=5𝑚+4(12−𝑚)=𝑚+∵1>∴𝑤随𝑚当𝑚=4时，𝑤有最小值，此时，12−𝑚=8，答：购买成本最少的方案是购买𝐴4台，𝐵84（2025·买𝐴90万元，购买𝐵60万元，𝐵型机器人单价比𝐴3求𝐴型、𝐵10台配备到某生产线，要求𝐴、𝐵11070【答案】(1)𝐴9万元，𝐵6(2)方案一：𝐴1台，𝐵9台；方案二：𝐴2台，𝐵8台；方案三：𝐴3台，𝐵7设配备𝐴型机器人𝑦台，则配备𝐵型机器人(10−𝑦)1070万 根据题意，得𝑥=解得𝑥=经检验，𝑥9是原分式方程的根，且符合题意，所以，𝑥−3=6．所以，𝐴9万元，𝐵6根据题意，得9𝑦+6(10−𝑦)≤70，解得𝑦≤3∵要求𝐴、𝐵1y∴𝑦1，2，33方案一：𝐴1台，𝐵9方案二：𝐴2台，𝐵8方案三：𝐴3台，𝐵75（2025·的金额是2400B款哪吒玩偶的金额是1600AB款哪吒玩偶少50个，AB2(1)A、B(2)A、BA、B两款玩偶共100个，BA2倍，且总金额不超过1100元，问：有多少种进货方【答案】(1)A款哪吒玩偶的单价是16元，B8(2)4（1）（2）BxA款哪吒玩偶的单价是2𝑥=总价÷单价，结合用2400A款哪吒玩偶的数量比用1600B款哪吒玩偶少50x的分式方程，解之x的值（B款哪吒玩偶的单价，再将其代入2𝑥A款哪吒玩偶的单价；mm4种进货方案．（1）BxA款哪吒玩偶的单价是2𝑥1600根据题意得：𝑥−2𝑥=解得：𝑥=经检验，𝑥=8∴2𝑥=2×8=16（元答：A款哪吒玩偶的单价是16元，B8（2）mA款哪吒玩偶，则再次购进(100−𝑚)B100−𝑚≤16𝑚8(100−𝑚)≤1100 3≤𝑚≤2又∵m∴m可以为∴441（2025·24015012天，问快马几天可追上慢马？据此可知快马追上慢马的天数是（）A．5 B．10 C．15 D．20【答案】x天，根据两匹马的行走距离相等列方程求解即可．x天，则追上时慢马走了(𝑥12)天，由题意，得240𝑥=150(𝑥+12)，解得𝑥=20天，2（2025·山东滨州·中考真题）2025年20231016.9万个．设全市公共充电桩数量的年平均增长x，则可列方程为（）A．10(1+2𝑥)= B．10(1+𝑥)2=C．10(1+𝑥2)= D．10(1+𝑥)=【答案】20232025年初是两年时x，则两年后的数量为初始数量乘以(1+𝑥)的平方．【详解】解：∵1016.9∴一年后数量为10(1+𝑥)，两年后数量为10(1+𝑥)(1+𝑥)=10(1+∴可列方程：10(1+𝑥)2=16.9，3𝑥−𝑦=4𝑚+3（23−24七年级下·河南南阳·期中）已知关于𝑥,𝑦𝑥𝑦2𝑚−5的解满足𝑥−𝑦则𝑚的值为（ 【答案】首先通过将方程组的两个方程相减，得到𝑥−𝑦=𝑚+3，再代入已知条件𝑥−𝑦=4求解𝑚3𝑥−𝑦=4𝑚+1【详解】解：令方程组𝑥𝑦=2𝑚−5②①－②，得：2𝑥−2𝑦=2𝑚∴𝑥−𝑦=𝑚+∵𝑥−𝑦=∴𝑚3=4，解得：𝑚=1，2𝑥+𝑦=𝑘+4（2025· 𝑥+2𝑦= 的解𝑥，𝑦满足0<𝑥+𝑦<1，则𝑘的取值范围（A．−1<𝑘< B．−4<𝑘< C．0<𝑘< D．𝑘>【答案】【分析】先将方程组中的两个方程相加，求出𝑥𝑦关于𝑘的表达式，再根据0<𝑥𝑦<1列出不等式组，组变形求出𝑥+𝑦的表达式，再利用不等式组求解是解题的关键．2𝑥+𝑦=𝑘+𝑥+2𝑦=∴(2𝑥+𝑦)+(𝑥+2𝑦)=(𝑘+1)+3𝑥+3𝑦=𝑘+𝑘+𝑥+𝑦 ∵0<𝑥+𝑦<∴0

3<

解不等式0<3，得𝑘+4>0，即𝑘>3<1，得𝑘+4<3，即𝑘<综上，−4<𝑘<故选：B5（2025·=𝑥12−24𝑥1+𝑥2的值为（ 【答案】及根与系数的关系得出𝑥12−25𝑥1−1=0，𝑥1+𝑥2=25，将𝑥12−25𝑥1−1=0，𝑥1+𝑥2=25代入变形后的【详解】解：∵𝑥1，𝑥2x的一元二次方程𝑥2−25𝑥−1=0∴𝑥12−25𝑥1−1=0，𝑥1+𝑥2=∴𝑥12−25𝑥1=∴𝑥12−24𝑥1+=𝑥12−25𝑥1+𝑥1+=(𝑥12−25𝑥1)+(𝑥1+=1+= 6（2026·安徽合肥·一模）已知关于𝑥的分式方程𝑥+1−1+𝑥=2的解为负数，则𝑘的值为（A．𝑘< B．𝑘> C．𝑘<3且𝑘≠ D．𝑘>3且𝑘≠【答案】 【详解】解：𝑥+1−1+𝑥=去分母得𝑥𝑘−1=2(𝑥1)，解得𝑥=𝑘−3，∴𝑥<0，且分母𝑥1≠0，即𝑘−3<0，且𝑘−3≠−1，解得𝑘<3，且𝑘≠2．7（2025·

3𝑥−1≤𝑥+𝑥+1≥−𝑥+

x 式方程𝑥−1=2−1−𝑥a的值之和为（ 【答案】a的取值范围，再解分a的值，最后求和即可．3𝑥−1≤𝑥+

𝑥+1≥−𝑥+解①得：𝑥≤解②得：𝑥≥

2

3𝑥−1≤𝑥+∵x

𝑥+1≥−𝑥+

2≤𝑥≤当2≤4时，解集包含𝑥=此时𝑎≤

分式方程𝑥−1=2−1−𝑥化简为：𝑥−1=𝑥−1解得𝑥=

2

要求解为正整数且𝑥≠1即𝑎6∵𝑎≤∴𝑎=6

22当𝑎=6时，不等式组的解集为2.5≤𝑥≤5，整数解为3,4,5，满足条件．当𝑎=8时，不等式组的解集为3.5≤𝑥≤5，整数解为4,5，满足条件．则所有满足条件的整数𝑎之和为6+8=14，7（2025·加，每名学生只参加其中的一项．经统计，参加“太空遨游”的人数比参加“深海探秘”2 【答案】设参加“深海探秘”的人数为𝑥人，则参加“太空遨游”的人数为(2𝑥20)人，根据总人数列出方程求解即可．【详解】解：设参加“深海探秘”的人数为𝑥人，则参加“太空遨游”的人数为(2𝑥20)𝑥2𝑥20=200，解得𝑥=60，∴参加“深海探秘”60人，8（2025·四川攀枝花·中考真题）已知a、b是方程𝑥2+2𝑥−3=0的两根，则1+1的值 【答案】a、b1，−3，代入【详解】解：𝑥2+2𝑥−3=(𝑥−1)(𝑥+3)=𝑥1=1,𝑥2=∴a、b ∴𝑎+𝑏=1−3=9（2025·(𝑛2−2023𝑛−2026)= 【答案】【分析】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，代数式求值，熟练掌握：如果一元二次方程𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的两根为𝑥，𝑥，则

+

𝑥𝑥=．

2=−𝑎,1 根据根与系数的关系和方程的解得到𝑚2−2024𝑚−2025=0，𝑛2−2024𝑛−2025=𝑚𝑛=2024,𝑚𝑛=−2025，代入，并再将原式化简为𝑚𝑛−(𝑚𝑛)+1【详解】解：∵方程𝑥2−2024𝑥−2025=0的两个根分别是𝑚、∴𝑚2−2024𝑚−2025=0，𝑛2−2024𝑛−2025=0，𝑚+𝑛=2024,𝑚𝑛=∴𝑚2=2024𝑚+2025，𝑛2=2024𝑛+=(2024𝑚+2025−2023𝑚−2026)(2024𝑛+=(𝑚−1)=𝑚𝑛−(𝑚+𝑛)+=−2025−2024+1=10（2026·50个．72个．若每周的增长率相36003084个陶艺碗，则以小明目前水平和爸爸一起【答案】(1)10050这个增长率为3（1）x个，则小明平均每天制作的陶艺碗的数量是(𝑥−50)34100个，列出方程，解方程即m72个，列出方n3600（1）x根据题意得：3𝑥−4(𝑥−50)=100，解得：𝑥=100，∴𝑥−50=100−50=50（个1005050(1+𝑚)2=解得𝑚1=0.2，𝑚2=−2.2（舍去n10072(100+72)𝑛+3084=解得：𝑛=311（2025·①一次性购买𝐴2020②一次性购买𝐵151530本𝐴10本𝐵224020本𝐴40本𝐵型相册，共需支3100元．(1)A，B(2)若该社团计划购买𝐴型和𝐵15本，要求𝐴型相册数量大于或等于𝐵2倍，且总费用870元，请你设计购买方案，并写出所需费用最少的购买方案．【答案】(1)A60元，B50(2)3110本𝐴型相册，5本𝐵211本𝐴型相册，4本𝐵312本𝐴型相册，3本𝐵1850元（1）（2）设这家商场𝐴型相册每本的零售价是𝑥元，𝐵型相册每本的零售价是𝑦元，