2026年中考数学二轮复习 高频考点03 函数实际应用题三大题型专练

高频考点 函数实际应用题三大题型专命题探源·考向解密（3年中考考向与命题特征根基夯实·知识整合（核心知识必备、常用结论与技巧等123每个考点中考预测题3好题速递·分层闯关（7道最新名校模拟试题+6道中考闯关题实际生活问题（资源分配等场景）8~14几何图形问题（边长/底高的反比例关系4~10分，属送分/中档区分题；核心考查“乘积为定值”的反比例关系识别；实际生活问题（进水、耗材用量等场景）最值优化问题（/最小、最省/最多、最优设计12~16分，属中高档综合题，是区分度最高的题型考点一一次函数的实际应用通用解题步骤(按顺序步骤1步骤2③明确自变量的实际取值范围（如人数、数量为正整数，时间非负等）步骤3②若求交点步骤4①实际检验：验证结果是否符合实际意义（如人数为正整数、费用非负等命题点01【典例】（2026·广东深圳·模拟预测）学校为表彰在运动会上成绩优秀的同学，计划购买甲、乙两种奖品．已知购买甲种奖品5件和乙种奖品2件需花费20元，购买甲种奖品3件和乙种奖品6件需花费30(1)求甲、乙两种奖品的单价；【答案】【答案】【分析】（1）设甲种奖品的单价为𝑥元，乙种奖品的单价为𝑦【详解】（1）解：设甲种奖品的单价为𝑥元，乙种奖品的单价为𝑦5𝑥+2𝑦=3𝑥+6𝑦=300𝑥=𝑦=30依题意可得：100−𝑚≤2𝑚，解得：𝑚≥𝑤=40𝑚+30(100−𝑚)=10𝑚+∵10>∵𝑚3m∴当𝑚=34时，100−𝑚=𝑊=10×34+3000=3340(元2A1B211A2B18元．A、B【答案】(1)A8元，B5(2)17A种文创产品，33B【答案】(1)A8元，B5(2)17A种文创产品，33B（2）AmB种文创产品(50−𝑚)个，根据“AB款文创产品数量的一半”列不等式求出𝑚≥3，设旅游团购买这两种文创产品所需w𝑤=8𝑚5(50−𝑚)【详解】（1）Ax元，By2𝑥+𝑦=𝑥+2𝑦=18𝑥𝑥=𝑦=5由题意可知𝑚≥解得𝑚≥3设旅游团购买这两种文创产品所需w元，则𝑤8𝑚即𝑤=3𝑚+∵3>又∵m为正整数，且𝑚≥3∴当𝑚=17时，w取得最小值，此时50−𝑚=50−17=2】（2026·湖北十堰·一模）(2)(2)𝑛=−20𝑚+（2）=单价×数量，分别表示出篮球、足球、气排球的花费，求2𝑥+𝑦=𝑥−𝑦=𝑥=𝑦=50解：∵气排球个数是2𝑚个，足球个数是40−𝑚−2𝑚=(40−3𝑚)个依题意得：𝑛=70𝑚+30×2𝑚+=70𝑚+60𝑚+=−20𝑚+（3）−20𝑚2000≤1800解得10≤𝑚≤𝑚≤∵𝑛=−20𝑚+2000，−20<∴当𝑚=12时，𝑛最小，此时2𝑚=24，40−3𝑚=花费最少的购买方案为篮球12个，足球4个，气排球243】（2026·河南驻马店·模拟预测）花生糕是开封市传统小吃，源于宋朝，后经元、明、清三个朝代1035【分析】（1）（2）先设购买花生糕𝑎盒，则购买牡丹饼(20−𝑎)盒，总花费为𝑊元，根据题意得出𝑊=13𝑎240，再根3倍，得出𝑎≥5，最后根据一次函数的性质求解即可．【详解】（1）解：设花生糕和牡丹饼每盒的单价分别为𝑥元，𝑦𝑥−𝑦=由题意得，3𝑥=5𝑦𝑥=𝑦=15由题意得，𝑊=25𝑎+15×0.8(20−𝑎)=13𝑎+240．又∵320−𝑎3𝑎，解得，𝑎≥5．∵13>∴𝑊随𝑎∴当𝑎=5时，𝑊此时，20−𝑎=15，𝑊min=13×5+240=命题点0295.52A型智能机器人、6B81万元．A、B【答案】(1)A、B12万元、9.5【答案】(1)A、B12万元、9.5(2)192.5【分析】（1）Ax万元，By万元，根据题意列出二元一（2）Aawwa0.5>0，wa的增大而增大，此时当𝑎=35时，w【详解】（1）Ax万元，By4𝑥+5𝑦=得：2𝑥+6𝑦=81𝑥=𝑦=9.5∴A、B12万元、9.5（2）Aaw𝑤=(12−8)𝑎+(9.5−6)(50−𝑎)=0.5𝑎+175(𝑎≤∵0.5>0，wa∴当𝑎=35时，w的值最大，最大值为𝑤=∴192.51】（2026·四川绵阳·一模）A，B1A种粽子，2B762A种粽子，1B种粽子，共92元．经了解，A求𝑎，𝑏【答案】(1)𝑎36，𝑏(2)当购进A133盒，B671864【分析】（【答案】(1)𝑎36，𝑏(2)当购进A133盒，B671864【分析】（1）（2）A种粽子𝑥B种粽子(200−𝑥)盒，得出利润𝑤8𝑥800，确定出𝑥的取值范围，结【详解】（1）2𝑎+𝑏=92𝑎=𝑏=20∴𝑎36，𝑏𝑎+2𝑏=（2）A种粽子𝑥B种粽子(200−𝑥)盒，总利润为𝑤由题意可得𝑤=(48−36)𝑥(24−20)(200−𝑥)=8𝑥∴𝑤随𝑥∵AB2∴𝑥≤解得𝑥≤∵𝑥当𝑥=133时，𝑤取得最大值，此时𝑤=1864，则200−𝑥=A133盒，B6718642（2026·河南·一模……求𝑏【答案】【答案】=单价×销量即可求出𝑏；(2)设甲种水果销售𝑎(50𝑎80)千克，则乙种水果销售(120−𝑎)千克，销售额为𝑤=×销量可得𝑤=21.6𝑎385610𝑚+20𝑛=20𝑚10𝑛=1520𝑚=解得：𝑛=28∴𝑏=40×62=（2）解：设甲种水果销售𝑎(50≤𝑎≤80)千克，则乙种水果销售(120−𝑎)千克，销售额为𝑤元，当𝑥>40时，𝑦=40×62+62×0.8(𝑥−40)=49.6𝑥+则𝑤=49.6𝑎496+28(120−𝑎)=21.6𝑎∵21.6>∴𝑤随𝑎当𝑎=80时，𝑤有最大值，𝑤=21.6×80+3856=此时120−80=40(千克3】（2026·河南平顶山·一模）2025A3B3352A1B125A，B【答案】(1)A40元，B45(2)A20套，B【答案】(1)A40元，B45(2)A20套，B401000【分析】（1）根据“5A3B3352A1B型125元”列方程组求解；w元，求出𝑤=−10𝑎+1200，然后根据一次函数的性质求解．【详解】（1）Ax元，By5𝑥+3𝑦=根据题意，得2𝑥+𝑦=125𝑥=𝑦=45答：A40元，B45（2）Aa套（a为整数），B型冰箱贴购进(60−𝑎)套，根据题意，得40𝑎+45(60−𝑎)≤2600，解得𝑎≥20，又60−𝑎0，∴𝑎≤∴20≤𝑎≤w根据题意，得𝑤=(50−40)𝑎(65−45)(60−𝑎)=−10𝑎∵−10<∴wa的增大而减小，又20≤𝑎≤60，∴当𝑎=20时，w有最大值，最大值为−1020+1200=1000，此时60−𝑎=∴A20套，B401000命题点03乙步行的速度 当18≤𝑡≤50时，求𝑦关于𝑡甲出发多长时间时，两人之间的路程为【答案】【答案】(2)𝑦=分18≤𝑡≤50和𝑡>50两种情况，求出𝑡【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：360÷6=设乙的速度为𝑥m/min，由题意，得：60×18=𝑥(18−6)，解得：𝑥=90，𝑀𝑁之间的路程为：90×(50−6)=3960m；（2）由图像可知：𝐶点的纵坐标为3960−6050=当18≤𝑡≤50时，设𝑦=𝑘𝑡𝑏，把𝐵(18,0)，𝐶(50,960)50𝑘50𝑘𝑏=960𝑏=−540∴𝑦=18𝑘+𝑏=𝑘=（3）当18≤𝑡≤50时，令𝑦=30𝑡−540=450，解得：𝑡=当𝑡>50时，60𝑡=3960−450，解得：𝑡=潮流．某科技公司计划投入一笔资金用来购买𝐴、𝐵两种型号的芯片．已知购买1颗𝐴2颗𝐵型芯片求购买1颗𝐴型芯片和1颗𝐵倍．当购买𝐴①甲车的速度 ①求出解析式代入计算即可；②【详解】（1）设：购买1颗𝐴型芯片和1颗𝐵型芯片分别需要𝑎元和𝑏𝑎+2𝑏=2𝑎+3𝑏=𝑎=𝑏=由题意得：𝑤=350(8000−𝑚)+200𝑚=−150𝑚∵𝑘=−150<∴𝑤随𝑚∵购买𝐴型芯片的数量不少于𝐵38000−𝑚≥3𝑚解得𝑚≤∵𝑚当𝑚=2000时，𝑤取最小值，𝑤=−150×2000+2800000=2500000（元此时8000−𝑚=①设𝑦乙的解析式为𝑦=𝑘2𝑥+将点(0,60)，(7,480)代入𝑦=𝑘2𝑥+𝑏=7𝑘2+𝑏=𝑘2=𝑏=所以，𝑦乙的解析式为𝑦=60𝑥+当𝑥=3时，𝑦=60𝑥+60=60×3+60=所以，甲车的速度为240÷3=②𝑦甲的解析式为𝑦甲=𝑘1𝑥将点(3,240)代入𝑦甲=𝑘1𝑥得240=3𝑘1，解得𝑘1=80所以𝑦甲的解析式为𝑦=当函数𝑦乙的图象在函数𝑦甲可列方程60𝑥60−80𝑥=解得𝑥=可列方程80𝑥−60𝑥−60=30解得𝑥=可列方程60𝑥+60=480−30解得𝑥=2】（2025·黑龙江·中考真题）A、B、CAB地接CCBC地（时间忽略不计）．两车同时出发，轿车比货车晚3h图中a的值 ，b的值 【答案】【答案】(2)𝑦=−90𝑥+2404≤𝑥≤21h9h或 【详解】（1）解：由图象可知，B、C两地的距离为120km，A、B两地的距离为∴𝑎=180+120=∵1.5=∴轿车从𝐵开往𝐶地所需的时间为：120=∴𝑏=3−1=∵轿车比货车晚3h∴货车到达𝐶地所用时间为：3−1∴𝑁8,0

∵CBC∴𝑀4,120设𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠8𝑘+𝑏=∴4𝑘+𝑏=120

𝑘=𝑏=240∴𝑦=−90𝑥+2404≤𝑥≤8 由（2）可知，货车的速度为 120÷3=∴当轿车到达𝐵地之前，120𝑥90𝑥+40=300，解得：𝑥=

4，则

<240÷90= 𝑥=3+9=当货车到达𝐶地时，此时轿车离点𝐶的距离为

，恰好满足题意，此时𝑥=120×3= 综上：轿车出发21h9h或3h他们相遇时距离A km．【答案】【答案】 【分析】本题属于一次函数的应用，熟练掌握待定系数法是关键 设甲的函数图象为𝑠=𝑘1𝑡，乙的函图象为𝑠𝑘2𝑡100∴设甲的函数图象为𝑠=𝑘1𝑡，乙的函数图象为𝑠=𝑘2𝑡+100，则30=2𝑘1，80=𝑘2+100，解得𝑘1=15，𝑘2=∴甲的函数图象为𝑠=15𝑡，乙的函数图象为𝑠=−20𝑡+𝑠=𝑠=−20𝑡100𝑡=𝑠=A77命题点04【典例】（2026·陕西西安·模拟预测）元加上外卖送单补贴（送一次外卖为一单）补贴（元／单500500900900若某外卖小哥一个月送餐𝑥单（𝑥>500），所得工资𝑦元，求𝑦与𝑥256502【答案】【答案】(1)当500<𝑥≤900时，𝑦=5𝑥+750；当𝑥>900时，𝑦=(2)29502900单，再利用（1）【详解】（1）解：当500<𝑥≤900𝑦=1500+500×3.5+5(𝑥−500)=5𝑥+当𝑥>900𝑦=1500+500×3.5+(900−500)×5+8(𝑥−900)=综上，当500<𝑥≤900时，𝑦=5𝑥+750；当𝑥>900时，𝑦=（2）1500+500×3.5=3250（元)，5×900+750=5250（元5650>5250∴𝑥>∴当𝑦=56508𝑥−1950=解得𝑥=∴295010abb,𝑦2xa的值为，b的值为x20x【答案】50<𝑥<（1）由题意得𝑦1=10+𝑎，再结合图象将(50,50)代入，得50=10+𝑎×50a b（2）结合函数图象，可知𝑦2在𝑦1x的值即为所求，先得出𝑦1=10+0.8𝑥，当𝑥>时，𝑦2=30+0.7𝑥，令10+0.8𝑥=30+0.7𝑥x（3）当𝑥100时，𝑦2−𝑦1=10，结合题图可知，当0≤𝑥≤200x的值，当𝑥>时，令10+0.8𝑥−(30+0.7𝑥)=20【详解】（1）解：由题意知𝑦1=10+𝑎将(50,50)代入，得50=10+𝑎×解得𝑎=由题图知𝑏=（2）解：由（1）知𝑦1=10+由题意知，当𝑥>100时，𝑦2=100+(𝑥−100)×0.7=30+令10+0.8𝑥=30+解得𝑥=结合题图知，当50<𝑥<200（3）解：当𝑥=100时，𝑦1=10+0.8𝑥=90，𝑦2=∴此时𝑦2−𝑦1=结合题图可知，当0≤𝑥≤200x当𝑥>200时，令10+0.8𝑥−(30+0.7𝑥)=解得𝑥=20元时，x分𝑦（分）与投放质量𝑥kg的函数关系如图所示，已知投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，规定积求𝑎

【答案】【答案】(3)(1)用待定系数法求出一次函数的关系式为𝑦=40𝑥−100，把𝑥=8(2)根据投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分/kg，从10到𝑎增加了8kg，可知𝑎=(3)0<𝑚≤55<𝑚≤10𝑚>【详解】（1）解：设𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠当𝑥=5时，𝑦=100，当𝑥=10时，𝑦=300，5𝑘+𝑏= 10𝑘+𝑏=300𝑘=𝑏=−100∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=当𝑥=8时，𝑦=40𝑥−100=40×8−100=投放纸张超过10kg后，奖励积分为25分∴(300−100)÷25=∴𝑎=10+8=解：当0<𝑚≤5投放𝑚kg的塑料的积分为(100÷5)𝑚=20𝑚分，投放𝑚kg的纸张的积分为(100÷10)𝑚=10𝑚∵20𝑚÷(10𝑚)=∴当5<𝑚≤10投放𝑚kg的纸张的积分为(100÷10)𝑚=10𝑚∵5∵∴40𝑚−100

5×解得：𝑚=3−100此时，40𝑚−10010𝑚=50𝑚−100=50×−100

3∵

<∴当𝑚>10投放𝑚kg的纸张的积分为100+25(𝑚−10)=(25𝑚−150)∵5∵∴40𝑚−100=5(25𝑚−150)，解得：𝑚=

9此时，40𝑚−10025𝑚−150=65𝑚−250=65×110−250= 9 >命题点05【典例】（2025·河南周口·二模）“做天下头等大事，练世间顶上功夫．”20元，xyxP18【答案】【答案】(1)𝑦1=20𝑥，𝑦2=15𝑥+(2)𝑃(20,400)P20400元P（3）根据图象进行分析，当𝑥=20时，𝑦1=𝑦2；当𝑥<20时，𝑦1<𝑦2【详解】（1）解：由已知得：方案一费用与剪发次数的函数关系式为𝑦1=20𝑥，方案二费用与剪发次数的函数关系式为𝑦2=100+0.75×20𝑥=15𝑥+100；（2）𝑦=15𝑥+𝑦=𝑥=𝑦=400理由：根据图象可知：当𝑥=20时，𝑦1=𝑦2；当𝑥<20时，𝑦1<∴当𝑥=18时，𝑦1<1】（2026·河北石家庄·模拟预测）1所示．2所示．2中，𝐴𝐵所在的直线解析式为𝑦=−4𝑥+ 3

8𝑥=根据（2）2可以看出，小球的速度有两次达到3m/s【答案】165【分析】（1）在𝑦=

𝑥

𝑦=0x （2）A的坐标，进而求出直线𝑂𝐴的解析式，把𝑥=5代入直线𝑂𝐴y（3）把𝑦=3分别代入𝑦=2𝑥

x𝑦=−𝑦=−𝑥【详解】（1）解：在𝑦=

𝑥

𝑦=0

𝑥 =0，解得𝑥= 中， 答：实验中的小球由静止开始滚动至停止所用的时长为（2）解：在𝑦=

𝑥

𝑥=2时，𝑦=

×2 =

中， 设直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠∴2𝑘=解得𝑘=∴直线𝑂𝐴的解析式为𝑦=在𝑦=2𝑥中，当𝑥=8时 𝑦=2×𝑦=2× ∴当𝑥=

s

5（3）解：在𝑦=2𝑥中，当𝑦=3时，2𝑥=3，解得𝑥= 𝑦=−𝑥

𝑦=3

𝑥 =3，解得𝑥= 3中， 411 −=间𝑥(s)之间的关系如图②所示．解得解得𝑥= 𝑥 =依题意，当𝑦=0（2）解：由（1）得𝐴𝐵所在直线的函数表达式为𝑦=−𝑥3∴𝐴𝐵所在直线的函数表达式为𝑦=−𝑥33𝑏=【详解】（1）解：设𝑂𝐴所在直线的函数表达式为𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠把(1,2)代入𝑦=∴2=∴𝑦=当𝑥=2时，𝑦=4，即𝐴点坐标为设𝐴𝐵所在直线的函数表达式为𝑦=𝑚𝑥+𝑏(𝑚≠4=2𝑚+2=3.5𝑚+𝑏𝑚=− 𝑥 =0,解得𝑥=5，故5−2=3（2）理解题意，则当𝑦=0(2)3（1）先设𝑂𝐴所在直线的函数表达式为𝑦=𝑘𝑥(𝑘≠0)，再代入(1,2)进行计算，得2=𝑘，然后求出𝐴点坐标 【答案】(1)𝑦=−4𝑥+∴5−2∴5−2=∴该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为31微克/毫升．请分别求出血液中药物浓度上升阶段和下降阶段𝑦与𝑥【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为𝑦=3𝑥(0【答案】(1)血液中药物浓度上升阶段对应的函数解析式为𝑦=3𝑥(0≤𝑥≤3)𝑦=−𝑥+12(3<𝑥≤(2)8（1）根据函数图象中的数据，可以得到血液中药物浓度上升阶段和下降阶段𝑦与𝑥（2）依据由题，令𝑦=3，结合（1）的解析式，分别求出𝑥【详解】（1）解：当0≤𝑥≤3时，设𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=𝑘𝑥，把(3,9)代入𝑦=𝑘𝑥中得9=3𝑘，∴𝑘=∴当0≤𝑥≤3时，𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=当3<𝑥≤11时，设𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=𝑎𝑥+把(3,9)和(11,1)代入𝑦=𝑎𝑥𝑏11𝑎+𝑏=1𝑎=∴𝑏=123𝑎+𝑏=∴∴当3<𝑥≤11时，𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=−𝑥+综上，血液中药物浓度上升阶段𝑦与𝑥之间的函数解析式为𝑦=3𝑥(0≤𝑥≤3)，下降阶段𝑦与𝑥之间的函数关系式是𝑦=−𝑥+12(3<𝑥≤11)．（2）解：在𝑦=3𝑥中，当𝑦=3𝑥=3时，𝑥=1，在𝑦=−𝑥+12中，当𝑦=−𝑥+12=3时，𝑥=9，9−1=8小时，𝑥（年份20202021年我国发明专利申请授权数的增长率（精确到【答案】(2)𝑘=11.84，𝑘2018−2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个；2025年发明专利申请授权数116.3万个（1）（2）利用待定系数法求出𝐴𝐵满足的函数表达式，然后得到𝑘【答案】(2)𝑘=11.84，𝑘2018−2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个；2025年发明专利申请授权数116.3万个（1）（2）利用待定系数法求出𝐴𝐵满足的函数表达式，然后得到𝑘的实际意义，然后将𝑥=2025【详解】（1）解：(69.6−53)÷53×100%≈（2）解：将𝐴(2019,45.3)，𝐵(2024,104.5)代入𝑦=𝑘𝑥𝑏2019𝑘+𝑏=2024𝑘+𝑏=104.5𝑘=𝑏=−23859.66∴𝑦=其中𝑘2018−2024年我国发明专利申请授权数年均增长约11.84万个；当𝑥=2025时，𝑦=11.84×2025−23859.66=116.34≈116.3，中考预测题【答案】【答案】(1)𝑦=0.5𝑥+【分析】（1）先从图像中确定𝐴、𝐵两点的坐标，再设出一次函数的一般式𝑦𝑘𝑥𝑏(𝑘0)，将两点坐标设𝐴𝐵所在直线的函数表达式为𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)，将𝐴、𝐵两点坐标代入得：20𝑘+𝑏=40𝑘+𝑏=90解得解得𝑘=0.5，𝑏=𝐴𝐵所在直线的函数表达式为𝑦=0.5𝑥+（2）解：设𝑂𝐴段所在直线的函数表达式为𝑦=𝑘1𝑥(𝑘1≠0)，将𝐴(20,80)代入得20𝑘1=80，解得𝑘1=∴𝑂𝐴段函数表达式为𝑦=当𝑦=20时，代入𝑦=4𝑥得4𝑥=解得𝑥=5，即手机从0充至20%需要5当𝑦=100时，代入𝐴𝐵段函数𝑦=0.5𝑥+70得：0.5𝑥+70=100，解得𝑥=60，即手机充至100%需要60分钟．∴从20%充至100%所需时间为：60−5=55（分钟洋洋”、“乐融融”A、B两款吉祥物玩偶，A型玩B40元．在销售中发现，卖出相同数量的玩偶，A7200元，B4000元．A、B10AB型玩偶数量的3【答案】【答案】(1)A90元，B50(2)3A型玩偶、7B620（1）BxA型玩偶的单价为(𝑥40)元，根据题意列出分式方程，解方程即可得（2）AaB型玩偶(10−𝑎)w元．根据题意得𝑎≥1(10−𝑎)𝑎≥2，再求出𝑤关于𝑎【详解】（1）BxA型玩偶的单价为(𝑥40)根据题意得：𝑥+40=𝑥解得：解得：𝑥=经检验𝑥50∴𝑥+40=根据题意得𝑎≥∴𝑎≥由题意可得：𝑤=90𝑎+50(10−𝑎)=40𝑎∵40>又∵a为正整数，𝑎=3时，w∴𝑤min=40×3+500=6203实验一：探究电池充电状态下电动汽车仪表盘增加的电量𝑦(%)与时间𝑡（分钟）时间𝑡（分钟增加的电量2：已行驶里程𝑠（千米显示电量行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25%，充电𝑡分钟后，增加的电量为行驶300千米后，电动汽车仪表盘显示电量为25%，充电𝑡分钟后，增加的电量为𝑦=∴充电𝑡分钟后，电动汽车仪表盘显示电量为(25+×300+100=（2）当𝑠=300时，𝑒=∴𝑒关于𝑠的函数表达式为𝑒=−𝑠+𝑏=𝑘′=−【分析】（1）=消耗的电量”列方程，求出𝑡的值即可．【详解】（1）解：①设𝑦关于𝑡的函数表达式为𝑦=𝑘𝑡（𝑘为常数，且𝑘≠0），将𝑡=10，𝑦=20代入𝑦=𝑘𝑡，得10𝑘=20，解得𝑘=∴𝑦关于𝑡的函数表达式为𝑦=②设𝑒关于𝑠的函数表达式为𝑒=𝑘′𝑠+𝑏（𝑘′、𝑏为常数，且𝑘′≠𝑏=将𝑠=0，𝑒=100和𝑠=160，𝑒=60160𝑘′+𝑏=60【答案】(1)𝑦=2𝑡，𝑒=−1𝑠+4×(560−300)+100%=行驶完剩余的路程消耗的电量为100%−35%=∴25+2𝑡−65=解得𝑡=考点二通用解题步骤(按顺序步骤1步骤2①设反比例函数解析式为：𝑦=𝑘(𝑘≠②从题目中找出一组对应值(x,y),③写出完整解析式，并注明自变量取值范围(一般为正数)步骤3xy,yx,②利用性质：𝑘>0时，在同一象限内，yx步骤4①检验解是否符合实际(如长度、时间、数量均为正数5：合并结果，写出最终答案命题点01设计了“过氧乙酸气体浓度检测仪”12为过氧乙酸气体传感器R1(Ω)的阻值随过氧乙酸气体浓度（gm3）变化的关系图象，则下面说法错误的是（）C．若过氧乙酸气体浓度不低于0.3g/m3，则传感器R1的阻值不低于D．若过氧乙酸气体浓度从0.1g/m3增大到0.3g/m3，则传感器R1的阻值减小【答案】【答案】C0.3g/m3，则传感器𝑅110ΩD、过氧乙酸气体浓度为0.1g/m3和0.3g/m3时，传感器R1的阻值分别为30Ω和10Ω，所以，若过氧乙酸气体浓度从0.1g/m3增大到0.3g/m3，则传感器R1的阻值减小20Ω，说法正确，该选项不符合题意．【变式1】（2025·黑龙江哈尔滨·中考真题）某玩具汽车的功率𝑃（单位：W）为定值，行驶速度𝑣（ 【答案】【答案】【详解】解：设功率为𝑃，由题可知𝑃=𝐹𝑣，即𝑣=将𝐹=10N，𝑣=2m/s代入解得𝑃=【变式2】（2025·贵州·中考真题）小星在阅读《天工开物》时，看到一种名为桔槔𝑔ā𝑜的古代汲水工点𝐴与点𝑂的距离𝑙拉力的大小𝐹的物体，且𝑂𝐵点𝐴与点𝑂的距离𝑙拉力的大小𝐹表格中𝑎的值是【答案】【答案】1×300=1.5×200=2×150=2.5×120=∴𝑎 =求这个反比例函数的解析式（R的取值范围R为3Ω【答案】【答案】(1)𝐼=（2）根据（1）所求求出当𝑅3ΩI【详解】（1）解：设这个反比例函数的解析式为𝐼=𝑈(𝑈≠把9，4代入𝐼=𝑈(𝑈≠0)中得：4=𝑈(𝑈≠解得𝑈=∴这个反比例函数的解析式为𝐼=𝑅（2）解：在𝐼 中，当𝑅=3Ω时，𝐼=36=命题点02【典例】（2026·甘肃·模拟预测）通过实验研究发现，初中生在数学课堂上注意力指标数𝑦随时间𝑥（分钟）0≤𝑥≤1和10≤𝑥≤220≤𝑥≤4求当20≤𝑥≤45时，𝑦与𝑥【答案】(1)𝑦=【答案】(1)𝑦=400(20≤𝑥≤（（2）解：当0≤𝑥≤10时，设𝑦=𝑘1𝑥+𝑏，由函数过原点和(10,40)，求得𝑦=令𝑦=24，则4𝑥=24，解得𝑥=当10≤𝑥≤20时，设𝑦=𝑘2𝑥+𝑏2，由函数过由图象可知，注意力指标数不低于24的时间段从𝑥=6持续到𝑥=18．故最长持续时间为18−6=12（分钟）．当20≤𝑥≤45时，𝑦 ．令𝑦=24，则𝑥=400≈16.67（16.67<20，不在区间内，舍去令𝑦=24，则−2𝑥+60=24，解得𝑥=𝑏2=则解析式为𝑦=−2𝑥+𝑘2=−210𝑘2+𝑏2=20𝑘2+𝑏2=20（2）先求出各分段的函数解析式，再分别令𝑦24解出对应𝑥，结合题意判断有效解，最终算出注意力指答：𝑦=400(20≤𝑥≤故函数表达式为𝑦=400(20≤𝑥≤将(20,20)代入𝑦=𝑥，得𝑘=由图象可知，当𝑥=20时，𝑦=【详解】（1）解：设反比例函数解析式为𝑦=𝑘(20≤𝑥≤R(单位：Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示．【答案】【答案】(1)𝐼=(2)R应控制在3.6Ω与7.2Ω（1）将(4,9)代入𝐼=𝑅（2）求出𝐼=10，𝐼=5对应的𝑅【详解】（1）解：设反比例函数关系式为𝐼=由图可知，反比例函数图象经过点∴𝑘=4×9=∴这个反比例函数的解析式为𝐼=𝑅（2）解：当𝐼=10时，𝑅=36=当𝐼=5时，𝑅=36=R应控制在3.6Ω与7.2Ω2】（2025·贵州遵义·模拟预测）40分钟的课中，学生的段𝐴𝐵的函数表达式为：𝑦=5𝑥+30(0≤𝑥≤𝑚)，线段𝐵𝐶10分钟，曲线𝐶𝐷为反比例函数m的值及曲线𝐶𝐷【答案】(1)𝑚=10；𝑦=【答案】(1)𝑚=10；𝑦=160020<𝑥≤(2)641616【详解】（1）解：把𝑦=80，𝑥=𝑚代入𝑦=5𝑥+30得80=5𝑚+解得𝑚=∵线段𝐵𝐶10∴𝑛=10+10=设反比例函数的解析式为𝑦=把𝐶(20,80)代入𝑦=

80 𝑥 解得𝑘=∴曲线𝐶𝐷的函数表达式为𝑦=1600(20<𝑥≤（2）令5𝑥30=解得𝑥=令𝑥=解得𝑥=∵25−6.8=18.2>3】（2025·湖南郴州·模拟预测）250毫升低度白酒后，其血液中酒精含量（毫克/百毫升）随时间的增加逐步增yxy表示血液中酒精含量（毫克/百毫升），x表示饮酒后的时间（小时）．611y（毫克/百毫升）x（小时）（𝑥0）的x（时（毫克/毫升yx变化的函数图象；(2)观察表中数据及图象可发现此函数图象在直线𝑥=2【答案】(1)(2)当0≤𝑥≤时，𝑦=−200𝑥2+400𝑥【答案】(1)(2)当0≤𝑥≤时，𝑦=−200𝑥2+400𝑥；当𝑥>时，𝑦=(3)（1）（2）由图象知𝑥=2（3）求出反比例函数中𝑦=20x【详解】（1） 解：根据题意得：当0≤𝑥≤2时，yx成二次函数关系；当𝑥>2时，yx当0≤𝑥≤

5时，此时二次函数的图象的对称轴为直线𝑥=44=yx的函数关系式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2把点3

代入得：150=

3

解得：𝑎=此时的函数解析式为𝑦=−200(𝑥−1)2+200=−200𝑥2 当𝑥>2yx的函数关系式为𝑦=将点(5,45)代入，得：𝑘=∴此时的函数解析式为𝑦=

𝑥把𝑦=20代入反比例函数𝑦=

𝑥得𝑥=命题点03[此过程中水温𝑦(℃)x（分）满足一次函数关系]，当加热到100℃时自动停止加热，随后水温开，重复上述程序（如图所示），t45𝑘𝑘=𝑏=20所以当0≤𝑥≤8时，函数解析式为：𝑦=10𝑥+∵45−40=5<当𝑥=5时，𝑦=10×5+20=45分钟回到家时，饮水机内的温度约为8𝑘+𝑏=𝑏=（2）解：当0≤𝑥≤8时，设水温𝑦(℃)与开机时间𝑥（分）的函数关系为：𝑦=𝑘𝑥+当𝑦=20时，20=𝑡∴𝑡=∴当8<𝑥≤𝑡时，水温𝑦(℃)与开机时间𝑥（分）的函数关系为𝑦=𝑥把点(8,100)代入得：100=8解得：𝑚=【详解】（1）解：当8<𝑥≤𝑡时，设水温𝑦(℃)与开机时间𝑥（分）的函数关系为𝑦=𝑥【答案】(2)45分钟回到家时，饮水机内的温度约为t利用待定系数法求出当0≤𝑥≤8形𝐴𝑂𝐸𝐵为向上攀爬的梯子，𝑂𝐴=6米，𝐴𝐵=2米．以点𝑂为原点，水面所在直线为𝑥轴建立如图的直角坐【答案】(1)𝑦=63【答案】(1)𝑦=63【详解】（1）𝑂𝐴=6米，𝐴𝐵=2∴点𝐵的坐标为设𝐵𝐶段滑梯所在的双曲线的解析式为𝑦=𝑘(𝑘为常数，且𝑘≠将坐标𝐵(2,6)代入𝑦=得2=解得𝑘=∴𝐵𝐶段滑梯所在的双曲线的解析式为𝑦=𝑥（2）设点𝐶的坐标为将将𝐶(𝑚,1.5)代入𝑦=𝑥得𝑚=解得𝑚=8−2=6(米𝐵，𝐶之间的水平距离为6（3）设点𝑄的坐标为将𝑄(𝑎,𝑏)代入𝑦=𝑥得𝑏=𝑎∴𝑎=𝑏根据题意，得𝑏−2≤解得𝑏≥点𝑄到水面的距离至少3𝑥𝑥𝑦(1)探究：根据图表中的数据，请判断𝑦=𝑘1(𝑘1≠0)和𝑦=𝑘𝑥+𝑏（𝑘2≠0，𝑘2为常数） yxa【答案】(1)𝑦=𝑘2𝑥+𝑏【答案】(1)𝑦=𝑘2𝑥+𝑏能准确的反映水量𝑦与时间𝑥的函数关系，𝑦=3𝑥+(2)72【详解】（1）∵10×33=330，5×18=90，330≠∴𝑦(𝑘1≠0)不能准确的反映水量𝑦与时间𝑥𝑦=𝑘2𝑥+𝑏能准确的反映水量𝑦与时间𝑥10𝑘2+𝑏=5𝑘2+𝑏=18𝑘2=3𝑏=∴𝑦=3𝑥+（2）解：30×24×60=当𝑥=43200时，𝑦=3×43200+3=当𝑥=0时，𝑦=(129603−3)÷1800=72（天53.83.6 VEa之EaVEa的部a的值①VEa（说明理由），VEa②Ea的值12.5mm【答案】【答案】(2)①𝑉=𝑎；②该行对应的视力值是Va①VaVa系数法即可求出函数关系式．②把𝑎=12.5，代入𝑉=𝑎【详解】（1）解：5−3.8=1.2（米（2）解：①∵Va∴Va设𝑉=把𝑎=70,𝑉=0.1，代入得到𝑘=∴∴Va的函数关系是𝑉②把𝑎=12.5，代入𝑉=𝑎，得𝑉=12.5=中考预测题115秒作一次记录，计算平均数并绘制图象（小组借助计算机软件建立跳绳运动中心率𝑦随运动时间𝑥（的变化而变化的函数模型𝑦=写出第一次数据收集不合理的地方（写出一条即可《义务教育体育与健康课程标准（2022年版）》提出要“科学设置运动负荷”，体育课上，班级所有学生140的心率（结果精确到个位）；【答案】(1)(3)【分析】（1）（【答案】(1)(3)【分析】（1）（2）将𝑦=140（3）将𝑥=200【详解】（1）（2）当𝑦=140时，即212−7920=解得𝑥=47140（3）解：当𝑥=200时，𝑦=212−7920≈由于182>（𝑥>0）求𝑦与𝑥0.570米，求其两腿迈出的步长之差𝑥【答案】【答案】(1)𝑦=∵𝑥∵𝑥>∴70米，则其两腿迈出的步长之差0<𝑥≤（3）解：当𝑦≥70时，即𝑥≥∴𝑥≤（2）解：当𝑥=0.5时，𝑦=14=∴𝑦与𝑥之间的函数表达式为𝑦=𝑥∴7=∴𝑘=【详解】（1）解：设反比例函数解析式为𝑦=由图象可知，反比例函数过点【分析】（1）设反比例函数解析式为𝑦𝑥（2）将𝑥=0.5代入（1）70米，则其两腿迈出的步长之差0<𝑥≤=如图①，某兴趣小组取一根长40cmOO的左O相距10cm处挂一个重5NO右侧挂一个弹簧测力计（质量忽略不计）并用手向下（单位：N）(1)当𝐿=4cm时，𝐹= 【答案】(2)𝐿=255≤𝑥≤4𝑥（1）根据【答案】(2)𝐿=255≤𝑥≤4𝑥（1）根据𝐹1𝐿1=𝐹2𝐿2（2）求出𝐹与𝑥Lx【详解】（1）解：根据题意得：5×10=∴𝐹=12.5N；（2）解：设𝐹与𝑥的关系式为𝐹𝑘𝑥，∴𝑘=∴𝐹与𝑥的关系式为𝐹=∵𝐹𝐿=10×∴2𝑥𝐿=∴𝐿=𝑥根据题意得：𝐿≤20，𝑥≤∴x的取值范围为4≤𝑥≤当𝑥=4时，𝐿=当当𝑥=3时，𝐿=3当𝑥=2.5时，𝐿=当𝑥=2时，𝐿=当𝑥=4时，𝐿=考点三二次函数的实际应用通用解题步骤(按顺序步骤1x(通常是数量、长度、时间、价格)y(利润、面积、高度、路程等)。步骤2已知顶点(最值)：设顶点式𝑦=𝑎(𝑥−ℎ)2x轴两交点：设交点式𝑦=已知一般三点：设一般式𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+a,b,c步骤3−𝑏,4𝑎𝑐−𝑏2 ②由开口方向(𝑎＞0有最小值，𝑎<0有最大值)4命题点01【典例】（2026·江西吉安·一模）问题背景：已知二次函数的一般表达式是𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐a0的确定常数，𝑐=0，我们就称该函数为“b值函数”．例如：当𝑎=3，𝑐=0时，此二次函数为𝑦=3𝑥2+𝑏𝑥，它就是一个“b值函数”．某数学兴趣小组围绕该定义，做以下探究．对“b值函数”①“b值函数”x②b③by以上结论中，你认为正确的 （填写正确结论的序号对于“b值函数”𝑦=−3𝑥2+𝑏𝑥bxx轴的一交点为(𝑑,0)，若3≤𝑑≤4b的取值范围．设“b值函数”的顶点坐标为(𝑚,𝑛)bmn的关系．3【答案】(2)9≤𝑏≤(3)𝑛=(4)𝑆=−2𝑥【答案】(2)9≤𝑏≤(3)𝑛=(4)𝑆=−2𝑥2+𝑏𝑥，该函数是“b值函数”，当𝑏增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是【分析】（1）设“b值函数”为𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0)a0（2）先求出“b值函数”𝑦=−3𝑥2+𝑏𝑥与𝑥轴的交点坐标为(0,0)或𝑏,0，再结合题意得 (𝑎≠

−𝑏,−

3≤3≤（3）由（1）可得“b值函数”𝑦=

4𝑎，结合题意得出𝑚=𝑛=−4𝑎（4）由矩形的性质可得𝐶𝐷𝐴𝐵𝑥m，求出𝐵𝐶(𝑏−2𝑥)m，结合矩形的面积公式可得𝑆𝐴𝐵𝐵𝐶【详解】（1）解：设“b值函数”为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠0)a0的确定常数，令𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0，则Δ=𝑏2−4×𝑎×0=𝑏2≥0，当𝑏=0时，Δ=𝑏2=0，此时𝑎𝑥2+𝑏𝑥=0有两个相等的实数根，则𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥与𝑥轴只有一个交点，故∵𝑦=

+𝑏𝑥=𝑎𝑥−

2−𝑏,−

4𝑎∵𝑎00∴𝑏增大时，−4𝑎无法确定是增大还是减小，故②−−𝑏,−

𝑏,−b

4𝑎两顶点的纵坐标相同，横坐标互为相反数，故它们关于𝑦轴对称，故③（2）解：令𝑦=0，则−3𝑥2+𝑏𝑥=

=

=∴“b值函数”𝑦=−3𝑥2+𝑏𝑥与𝑥轴的交点坐标为(0,0)或𝑏,0∵对于“b值函数”𝑦=−3𝑥2+𝑏𝑥x轴的一交点为(𝑑,0)，且3≤𝑑≤∴3

𝑏≤∴9≤𝑏≤

(𝑎≠

−𝑏,−（3）解：由（1）可得：“b值函数”𝑦=

4𝑎∴𝑚∴𝑚=−2𝑎，𝑛=∴−4𝑎，即𝑛=∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=∵𝐴𝐵+𝐶𝐷+𝐵𝐶=∴𝐵𝐶=∴𝑆=𝐴𝐵⋅𝐵𝐶=𝑥(𝑏−2𝑥)=−2𝑥2∵𝑎=−2，𝑐=∴𝑆=−2𝑥2+𝑏𝑥是“b值函数∵𝑆=−2𝑥+𝑏𝑥=−2𝑥− +8，且−2<𝑏∴顶点坐标为,𝑏4∵当𝑥4时，𝑆8=解得：𝑏=40（负值不符合题意，舍去∴𝑆−2𝑥2𝑏𝑥，该函数是“b值函数”𝑏增大时，顶点的横纵坐标均增大，当羊圈最大面积是200m2时，【点睛】本题考查了二次函数的应用，熟练掌握二次函数的性质，理解“b值函数”1】（2026·河南周口·一模）花园𝐴𝐵𝐶𝐷（篱笆只围𝐴𝐵,𝐵𝐶两边），设𝐴𝐵=𝑥m． m；（用含𝑥的代数式表示【答案】(2)(3)当𝑥=16时，花园面积𝑆【答案】(2)(3)当𝑥=16时，花园面积𝑆最大，最大值为【分析】（1）根据𝐴𝐵𝐵𝐶=32mSxx的取值范围，进而根据二次函数的（2）解：根据题意，得𝑥(32−𝑥)=整理，得𝑥2−32𝑥+240=0．解得𝑥1=12,𝑥=,∴32−𝑥≥16,𝑥≥∴9≤𝑥≤∴𝑥（3）解：由题意得：𝑆=𝑥(32−𝑥)=−𝑥2+32𝑥=−(𝑥−16)2∵9≤𝑥≤∴当𝑥=16时，花园面积𝑆最大，最大值为2】（2025·山东德州·中考真题）∴长为横向边𝑦，宽为纵向边𝑥>宽，故𝑦:𝑥=5∶3，即：𝑦=∵“日”32条纵向边组成，总型材长度为∴3𝑥+2𝑦==1.52×−窗户框架的面积最大，则𝑥= m，则𝑆=6−2𝑥⋅𝑥，即𝑆=−2𝑥2+2𝑥，从而要 𝑦=𝑥代入3𝑥+2𝑦=6得3𝑥+2×𝑥=62条纵向边组成，总型材长度为6m，则3𝑥2𝑦=6，结合长宽之比为5∶3，可得𝑦=5𝑥（1）依据题意，设窗户框架的宽𝐴𝐵（横向边长）为𝑥m,𝐴𝐷长（纵向边长）为𝑦m，由“日”3（2）该窗户框架的𝐴𝐵,𝐴𝐷1米，1.5米时，窗户框架的面积最大，最大值为∴当𝑥=1.5时，𝑆最大值为分别为=2×∴要使窗户框架的面积最大，则𝑥= 2=1.5，于是宽 ∴𝑆 ⋅𝑥，即𝑆=−𝑥2+ ∴𝑥=将𝑦=5𝑥代入3𝑥+2𝑦=6得，3𝑥+2×5𝑥=1450m21450m2【答案】【答案】(1)15(2)33根据题意得𝑥(60−2𝑥)=450，解得𝑥1=𝑥2=（2）解：设与墙平行的长度为𝑡m，花圃的面积为根据题意得𝑆=1𝑡(66−𝑡)=−𝑡2∴𝑆=−(𝑡−33)2∵−<∴当t=33时，S命题点021所示的双向通行隧道．以下为该小组研究报告的部分记录，23为隧0.27𝐴𝐶𝐵0.310°≈0.174，cos10°≈0.985，tan10°≈C到地面𝐷𝐸5.4米，两侧墙面高𝐴𝐷=𝐵𝐸=3米，地面跨度𝐷𝐸=10（宽度忽略不计）12，求涉水线离坡底的距离𝑀𝑁（0.01米3中建立适当的平面直角坐标系，求抛物线𝐴𝐶𝐵限高架上标有警示语“h米”（即最大安全限高），h的值（精确到0.1米【答案】(1)𝑀𝑁=1.5512(2)𝑦=12M作𝑀𝑃⊥𝑙，代入数值得sin10°=𝑀𝑃≈0.174=<𝑦=代入进行计算， 12𝑦=（3）认真研读题干，得出10÷2−1=4，再算出当𝑥=4时，𝑦=−1.536，则𝑂𝐺=𝐺𝐻=𝐶𝐻−𝑂𝐺=3.864，即可得出ℎ=𝐺𝐻−0.3=3.564≈3.5（米），【详解】（1）M作𝑀𝑃⊥∵斜坡的坡角𝛼为10°0.27∴∠𝑀𝑁𝑃=10°,𝑀𝑃=∵𝑀𝑃⊥𝑙，sin10°≈在Rt△𝑀𝑁𝑃中，sin10°=𝑀𝑃≈∴0.27≈∴𝑀𝑁

=1.55（米依题意，设抛物线𝐴𝐶𝐵的解析式为𝑦=𝑎𝑥2(𝑎<0)，∵C到地面𝐷𝐸5.4米，两侧墙面高𝐴𝐷=𝐵𝐸=3米，地面跨度𝐷𝐸=10把𝐵(5,−2.4)代入𝑦=𝑎𝑥2，得−2.4=25𝑎，∴𝑎=∴𝑦∴𝑦=12𝑥∴10÷2−1=∴当𝑥=4时，𝑦= ×42=则𝑂𝐺=∴𝐺𝐻=𝐶𝐻−𝑂𝐺=5.4−1.536=∴ℎ=𝐺𝐻−0.3=3.864−0.3=3.564（米∴ℎ=3.564≈3.5（米均呈抛物线型，水平横梁𝐴𝐶=16m，𝐿1的最高点𝐵到𝐴𝐶的距离𝐵𝑂=4m，𝐿2，𝐿3关于𝐵𝑂称．𝑀𝑁，𝑀𝑃，𝑁𝑄为框架，点𝑀，𝑁在𝐿1上，点𝑃，𝑄分别在𝐿2，𝐿3上，𝑀𝑁𝐴𝐶，𝑀𝑃𝐴𝐶，𝑁𝑄𝐴𝐶求抛物线𝐿1𝑦=已知抛物线𝐿3的函数表达式 3𝑦=

5，求𝑀𝑁 𝑁𝑄=【答案】【答案】(1)𝑦=−1 (2)𝑀𝑁=（1）理解题意，先设抛物线𝐿1的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−0)2+4，结合二次函数的对称性得𝐴(−8,0),𝐶(8,0)，再代入𝑦=𝑎(𝑥−0)2+4进行求解，即可作答．（2

1 3=再结合抛物线，的函数表达式分别为𝑦=− 1 3

代入𝑦=

=5，整理得𝑥2−12𝑥+36=(𝑥−6)2=0【详解】（1）解：∵𝐵𝑂=∴抛物线𝐿1的顶点𝐵坐标为设抛物线𝐿1的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−0)2∵𝐴𝐶=将𝐶(8,0)代入𝑦=𝑎(𝑥−0)2+4，得0=64𝑎+则𝑎=11∴𝑦=−𝑥 12（2）解：由（1）得抛物线1的函数表达式𝑦= 12∵𝑀𝑁∥𝐴𝐶，𝑀𝑃⊥𝐴𝐶，𝑁𝑄⊥

5，且抛物线𝐿3的函数表达式为𝑦=−3∴𝑦=

𝑁𝑄= 11 =−𝑥+4− = 整理得𝑥2−3(𝑥−4)2=∴𝑥2−3𝑥2+24𝑥−48=∴𝑥2−12𝑥+36=(𝑥−6)2=0，解得𝑥1=𝑥2=6，∴𝑀𝑁=2×6=128米，按照如图所示的方式建立平面直角坐标系．【答案】(1)𝑦=−2(𝑥−6)2+8(0≤【答案】(1)𝑦=−2(𝑥−6)2+8(0≤𝑥≤(2)【详解】（1）,8，即设抛物线的解析式为：𝑦=𝑎(𝑥−6)2+8(𝑎≠代入点(12,0)得𝑎(12−6)2+8=解得：𝑎=∴抛物线解析式为𝑦=2(𝑥−6)2+8(0≤𝑥≤（2）由题意得：𝑥𝐴=2−3=将𝑥=2代入𝑦=−2(𝑥−6)2−3.5 >则𝑦=−×(2−6)+8=9120.27米时（即积水达到涉水线处），车23𝐴𝐶𝐵和矩形𝐴𝐷𝐸𝐵𝐶到地面5.4米，两侧墙面高𝐴𝐷=𝐵𝐸=3米，地面跨度𝐷𝐸=102，过点𝑀作𝑀𝑃⊥𝑙，已知斜坡的坡角𝛼=10∘，求涉水线离坡底的距离𝑀𝑁（0.01米，sin10∘≈0.174，cos10∘≈0.985，tan10∘≈【问题解决】车辆进入隧道，应在行驶车道内通行（禁止压线），且必须保证车辆顶部与隧道顶部（3）认真研读题干，得出10÷2−1=4，再算出当𝑥=4时，𝑦（3）认真研读题干，得出10÷2−1=4，再算出当𝑥=4时，𝑦=−1.536，则𝑂𝐺=𝐺𝐻=𝐶𝐻−𝑂𝐺=3.864，即可得出ℎ=𝐺𝐻−0.3=3.564≈3.5（米)12代入进行计算，得𝑦= 𝑥，即可作答（2）C𝐴𝐶𝐵的解析式为𝑦𝑎𝑥2(𝑎0)，再把【分析】（1）M作𝑀𝑃⊥𝑙，代入数值得sin10°=𝑀𝑃≈0.174(3)3.5(2)C为坐标原点，建立平面直角坐标系：𝑦=【答案】(1)1.55【详解】（1）M作𝑀𝑃⊥∵α为10°0.27∴∠𝑀𝑁𝑃=10°，𝑀𝑃=∵𝑀𝑃⊥𝑙，sin10°≈在Rt△𝑀𝑁𝑃中，sin10°=𝑀𝑃≈∴0.27=∴𝑀𝑁

=1.55（米C依题意，设抛物线𝐴𝐶𝐵的解析式为𝑦=𝑎𝑥2(𝑎<∵C到地面𝐷𝐸5.4米，两侧墙面高𝐴𝐷=𝐵𝐸=3米，地面跨度𝐷𝐸=10把𝐵(5,−2.4)代入𝑦=𝑎𝑥2，得−2.4=25𝑎，∴𝑎=∴𝑦=−12∴10÷2−1=∴当𝑥=4时，𝑦= ×42=则𝑂𝐺=∴𝐺𝐻=𝐶𝐻−𝑂𝐺=5.4−1.536=∴ℎ=𝐺𝐻−0.3=3.864−0.3=3.564（米∴ℎ=3.564≈3.5（米命题点03x/y/x/y/yx之间的函数表达式（x的取值范围300【答案】【答案】(1)𝑦=−𝑥+(2)1030（1）（2）先表示出日销售额的函数表达式，再令𝑤=300x∴设函数表达式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠∵当𝑥=25时，𝑦=15；当𝑥=28时，𝑦=∴12=28𝑘+𝑏，解得𝑏=40∴𝑦=−𝑥+15=25𝑘+𝑘=∴yx之间的函数表达式为𝑦=−𝑥（2）解：由（1）知，𝑦=−𝑥+∴日销售额𝑤=𝑥𝑦=𝑥(−𝑥+40)=−𝑥2∴令𝑤=300，即−𝑥2+40𝑥=300，整理可得𝑥2−40𝑥+300=0，解得𝑥1=30，𝑥2=1】（2025·黑龙江大庆·中考真题）为推进我市“红色研学”A，B2A3B155元；4A1B纪念品135AB纪念品组成．规定：每套纪念品的售价不低于a元（65≤𝑎≤72a为整数）．ABaW【答案】【答案】(1)A纪念品成本25B纪念品的成本35(2)𝑎=（1）A纪念品成本𝑥B纪念品的成本𝑦元，根据“2A3B155元；4A1B135元”（2）先根据利润公式求出𝑊关于𝑎【详解】（1）A纪念品成本𝑥B纪念品的成本𝑦2𝑥+3𝑦=由题意得：4𝑥+𝑦=135𝑥𝑥=𝑦=35（2）解：由题意得，𝑊=𝑎−(25+35)80+10(72−𝑎)=−10𝑎2∵−10<0，对称轴为直线𝑎==70，65≤𝑎≤72a∴当𝑎=70时，𝑊答：当𝑎70W14000A100个，B2008000元．A、B两款“哪吒”12000A、B两款“哪吒”400个，B款纪念品多少个？aW的最大值．【答案】(1)A款“哪吒”40元，B款“哪吒”20(2)B200(3)𝑊=−5(𝑎−70)2+4500(60≤𝑎≤100)，WA款“哪吒”x元，B款“哪吒”yA20030014000A100个，B2008000BmA款纪念品(400−𝑚)12000元建A款纪念品的利润为(𝑎−40)200−5(𝑎−60)WW【详解】（1）A款“哪吒”x元，B款“哪吒”y

200𝑥+300𝑦=100𝑥+200𝑦=8000𝑥𝑥=𝑦=20由题意得，40(400−𝑚)+20𝑚≤12000，解得𝑚≥（3）解：由题意得，𝑊=(𝑎−40)=(𝑎−40)(200−5𝑎+=(𝑎−40)=500𝑎−20000−5𝑎2+=−5(𝑎−70)2∵−5<0，60≤𝑎≤∴当𝑎−700，即𝑎=70时，W110件．设该款巴小虎吉祥物降价x元，则每天售出的数量 件630【答案】(1)(60+【答案】(1)(60+33864060故答案为：(60+10𝑥)；根据题意可得：(40−30−𝑥)(60+10𝑥)=630，整理可得：𝑥2−4𝑥+3=0，解得：𝑥1=1,𝑥2=由于要让利于游客，𝑥=1则𝑊=(40−30−𝑥)(60+10𝑥)=(10−𝑥)(60+=−10𝑥2+40𝑥+=−10(𝑥−2)2∵−10<∴当𝑥=2时，𝑊取最大值为640元，此时销售价为38元，A，BABA，BAB型客车15A600B450人的车辆数相同．A3200元/辆；B3000元/辆．Am辆，租车费用(3200−50𝑚)元/辆；B8A530A，B10(1)A，B(2)【答案】(1)A60人，B45(2)27000A型客车每辆载客量为𝑥m【详解】（1）A型客车每辆载客量为𝑥 𝑥=解之得𝑥=经检验：𝑥=60答：A60人，B45（2）A型客车𝑚辆，B型客车(10−𝑚)辆，租车总费用𝑤60𝑚+45(10−𝑚)≥解之得𝑚≥3𝑤=(3200−50𝑚)𝑚+3000×0.8×=−50𝑚2+800𝑚+∵−50<0，且对称轴为𝑚=

=∴𝑚≤8时，𝑤随着𝑚∵𝑚取正整数，且𝑚≥3∴当𝑚=6时，𝑤27000（元∴27000命题点04剖面图如图（3）所示，从𝐴点击球，击球点是拋物线的最高点，点𝐴到地面的距离𝐴𝑂2.4m，球网上端点𝐵到地面的距离𝐵𝐶=1.55m，人与球网之间的距离𝑂𝐶=1.6m，假设两种击球路线都经过点𝐵正上方处的点𝐷，网前吊球和扣杀球的落点分别为点𝐸、请在图（3）［模型应用 间𝑡(s)之间的关系式为ℎ=5𝑡2．乙在看到甲击球的同时，尝试接球，从甲击球到乙能成功接球的时间至少 52【答案】（1）扣杀球击球路线的函数表达式为𝑦=−𝑥 ；网前吊球击球路线的函数表达式为𝑦=− 8+5；（2） ；（3）=（3）0.5则设直线𝐴𝐷的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑛= 1.6𝑘+𝑛=1.6𝑘=−2𝑛= ∴扣杀球击球路线的函数表达式为𝑦=−𝑥 设网前吊球击球路线的函数表达式为𝑦=𝑎𝑥2∴1.6=𝑎×1.62∴𝑎=55∴网前吊球击球路线的函数表达式为𝑦=−𝑥+ 55 （2）令𝑦=0，则−𝑥5 ∵𝑥>8∴𝑥=∴𝐸83,0∴𝑂𝐸=8∴𝐶𝐸=𝑂𝐸−𝑂𝐶=8故答案为：8（3）对于𝑦=−1𝑥+12，令𝑦=0，则 12=−𝑥 ∴𝑥=5∴

∴𝑂𝐹=∴𝐴𝐹

+𝑂𝐴2

24

12

=12∵扣杀球时，羽毛球的平均速度约为12 5∴5 （秒 ∵5<∴∵从𝐴 =5𝑡∵𝑡>∴𝑡=52∵23>米的𝐴𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥1.8（𝑎，𝑏为常数）图象的一部分，其中𝑦（米）是球的高度，𝑥（米）是球和原点的水平距𝑡（秒𝑥（米𝑡（秒𝑥（米求𝑦与𝑥(3)当𝑡为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数𝑦=−0.02𝑥2+𝑝𝑥+【答案】(1)𝑦=−0.05𝑥2+0.8𝑥+𝑝≤【答案】(1)𝑦=−0.05𝑥2+0.8𝑥+𝑝≤（2）先求出球和原点的水平距离𝑥（米）与时间𝑡（秒）的关系式为𝑥=10𝑡（3）先求出击球点位置为(16,1.8)，再将(16,1.8)代入𝑦=−0.02𝑥2+𝑝𝑥+𝑚，求出𝑦=+𝑝𝑥6.92−16𝑝，根据𝑥=2时，𝑦≥1.84𝑎+2𝑏+1.8=16𝑎+4𝑏+1.8=4.2𝑎=解得：𝑏=0.8∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=−0.05𝑥2+0.8𝑥+（2）解：由表格可知𝑡=0,𝑥=∴设球和原点的水平距离𝑥（米）与时间𝑡（秒）的关系式为：𝑥=𝑘𝑡(𝑘≠0)，代入(0.4,4)得：0.4𝑘=4，解得：𝑘=∴𝑥=对于𝑦=−0.05𝑥2+0.8𝑥+1.8，𝑎=−0.05<∵对称轴为：直线𝑥=

=∴当𝑥=8时，𝑦max=−0.05×82+0.8×8+1.8=5，此时10𝑡=8，解得：𝑡=（3）解：由题意得，当𝑡=1.6时，𝑥=1.6×10=∴𝑦==−0.05×162+0.8×16+1.8=将(16,1.8)代入𝑦=−0.02𝑥2+𝑝𝑥𝑚，则−0.02×162+16𝑝+𝑚=1.8，∴𝑚=∴𝑦=−0.02𝑥2+𝑝𝑥+∵𝑥=2时，𝑦≥∴−0.02×22+2𝑝+6.92−16𝑝≥解得：𝑝≤故答案为：故答案为：𝑝≤y与水平距离𝑥之间的关系如图②所示．石块第一次与水面接触于点𝐹，运动路径近似为抛物线𝐶1，且𝐶1:𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，石块在水面上弹起后第二次与水面接触于点𝐺，运动路径近似为抛物线𝐶2，且𝐶2:𝑦=−1𝑥2+𝑚𝑥+𝑛．（忽略不计(1)如图②

1时，若点𝐹坐标为(2,0)，求抛物线𝐶𝑎=−,𝑏= (2)在（1）的条件下，若𝐹𝐺=4，在水面上有一个截面宽𝐴𝐵=1，高𝐵𝐶=0.5的矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的障碍物，点的坐标为(4.5,0)，判断此时石块沿抛物线𝐶2小星在抛掷石块时，若𝐶1的顶点需在一个正方形𝑀𝑁𝑃𝑄区域内（包括边界），且点𝐹在(3,0)和(4,0)（包括这两点），其中𝑀1,1,𝑁(1,1),𝑄1 ，求𝑎的取值范围．（在抛掷过程中正方形与拋物线𝐶在同 平面内【答案】【答案】(1)𝑦=−1𝑥2+1𝑥+ (2) ≤𝑥≤【分析】（1）（2）首先得到𝐺(6,0)，然后求出𝐶:𝑦=−1(𝑥−2)(𝑥−6)= +𝑥−5然后将𝑥=5.5（3）首先求出𝑃1,2，然后由|𝑎|越小开口越大，|𝑎|越大开口越小，点𝐹在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点a【详解】（1）∵当𝑎=−,𝑏=时，𝐶:𝑦=−𝑥+𝑥 ∴0=−2×

+2×2+∴𝑐=∴抛物线𝐶1的表达式为𝑦=

+2𝑥+∵𝐹𝐺=4，点𝐹坐标为∴𝐶:𝑦=−1(𝑥−2)(𝑥−6)=

+5𝑥−∵点𝐴的坐标为(4.5,0)，𝐴𝐵=∴将𝑥=5.5

=0.35<𝑦=

+5𝑥−∴此时石块沿抛物线𝐶2∵正方形𝑀𝑁𝑃𝑄，𝑀1,1,𝑁(1,1),𝑄1, 2∴𝑃1,∴𝑎<∵|𝑎|越小开口越大，|𝑎|越大开口越小，点𝐹在(3,0)和(4,0)之间（包括这两点∴M，且经过点(4,0)a∴设𝐶1的表达式为𝑦=𝑎𝑥− 将将(4,0)代入得，0=𝑎 1解得𝑎=∴设𝐶1的表达式为𝑦=𝑎(𝑥−1)2+将(3,0)代入得，0=𝑎(3−1)2+解得𝑎=∴𝑎的取值范围为−≤𝑥≤−离度离度O的水平距离为5m【答案】【答案】(1)抛物线的表达式𝑦=− +(2)水火箭距离地面的竖直高度5(1)根据题意可设抛物线的表达式𝑦𝑎𝑥2𝑏𝑥(𝑎0)，结合体图标可知抛物线的顶点坐标为(15,9)，代入求(2)由题意知𝑥5【详解】（1）解：根据题意可知抛物线过原点，设抛物线的表达式𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥(𝑎≠−𝑏=−𝑏2=𝑎=−，解 25𝑏=则抛物线的表达式𝑦=−𝑥2+1 （2）解：由题意知𝑥=5，则𝑦=−1×52+6×5=命题点05（2024·陕西·中考真题形喷泉装置上都有上下两个喷头，这两个喷头朝向一致，喷出的水流均呈抛物线形．当围观游人喊声较小时，下喷头喷水；当围观游人喊声较大时，上下两个喷头都喷水．如图所示，点𝐴和点𝐵是一个柱形喷泉装置𝐵上的两个喷头，𝐴喷头喷出的水流的落地点为𝐶．以𝑂为原点，以𝑂所在直线为𝑥轴，𝐵所在直线为𝑦轴，建立平面直角坐标系．（柱形喷泉装置的粗细忽略不计）已知：𝑂𝐴=1m，𝑂𝐵=2m，𝑂𝐶=3m，从𝐴喷头和𝐵喷头各喷出的水流的高度𝑦(m)与水平距离𝑥(m)关系式分别是𝑦=−1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐 1𝑥2+𝑏𝑥+𝑦= (1)求𝐴(2)一名游人站在点𝐷处，𝑂𝐷4m．当围观游人喊声较大时，𝐵𝐷【答案】【答案】(2)==把𝑥=1代入𝑦=−1𝑥2+2𝑥+1，得𝑦= ++1 （2）解：依题意，函数𝑦=1𝑥2+2𝑥+ 令𝑥=4，得𝑦=−1×42+2×4+2=<可求得𝑏=（2）根据𝐵喷头喷出的水流高度与水平距离的函数关系式，令𝑥=4，通过计算𝑦【详解】（1）解：∵𝑂𝐴=1m，𝑂𝐵=2m，𝑂𝐶=3m，从𝐴喷头和𝐵喷头各喷出的水流的高度𝑦(m)离𝑥(m)之间的关系式分别是𝑦=−1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐和𝑦=1𝑥2+𝑏𝑥+令𝑥=0，易得𝑐=1,𝑐′=令𝑥=3，得𝑦=−1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=−3+3𝑏+2×−=1𝑥2+2𝑥+ 和𝑦=−1𝑥2+2𝑥+ 函数𝑦=−1𝑥2+2𝑥+1的对称轴为直线𝑥= 1所示，某学习小组对该喷泉池从数学的角度进行研究．(1)2米的圆上，0.751.25米.学习小组根据喷泉的实景进行抽象，以池中心为原点，水平方向为𝑥轴，竖直方向为𝑦2所示的函数图象，求水柱所(2)第二象限的抛物线与第一象限的抛物线关于𝑦(3)学习小组通过进一步分析发现：当喷头竖直高度调整时，喷头喷出的水柱抛物线形状不发生改变，当喷头竖直高度增加ℎ米，水柱落点形成的圆半径相应增加𝑑米，ℎ与𝑑之间存在一定的数量关系，求出ℎ与𝑑之间的数量关系式；过调整喷头的高度，喷灌四周的绿化带，当喷头竖直高度增加5（（3）hdh4(𝑥+0.75)2∴抛物线的顶点式为𝑦=4(𝑥−0.75)2∴水柱所在的抛物线的函数表达式为𝑦=解得𝑎=𝑦=𝑎(𝑥−0.75)2将点(2,0)代入，得0=𝑎(2−0.75)2（4）将ℎ=54(2+𝑑−0.75)2+1.25+ℎ（3）h米，经过点(2+𝑑,0)，可得0=(4)【分析】（1）先设抛物线的顶点式为𝑦=𝑎(𝑥−0.75)2+1.25，再将点(2,0)(3)ℎ=4𝑑2(2)𝑦=−4(𝑥+0.75)2【答案】(1)𝑦=−4(𝑥−0.75)2则2.1<2.351<=2.351，2.1+0.5=∵2+𝑑≈2解得𝑑=41−5或𝑑=−41−5（舍去 当ℎ=𝑑2+2𝑑−=则ℎ=420=−(2+𝑑−0.75)2+1.25+2】（2026·广东深圳·一模）综合与实践：公园里的“音乐喷泉”O0.5米处．喷头喷出的水流在忽略空气阻力的情况下，其运动轨迹呈抛物线型，且O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系（x轴在水面水平方向，y轴竖直向上）．B的坐标为(2,1.5)C点．CO5①在喷头高度不变的情况下，若要达到设计师的要求，最高点𝐵′的坐标应该如何改变？设𝐵′(𝑚,𝑛)mn【答案】(1)𝑦=−0.25𝑥2+𝑥+(2)(2+(3)①𝑛=(5−𝑚)2②0.6【分析】（1）（2）令𝑦=0（3）①设出新的顶点式，待定系数法进行求解即可；②由题意，得到𝑚2，进而求出𝑛的值，求出功率【详解】（1）解：由题意，抛物线的顶点为设抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥−2)2将𝐴(0.0.5)代入解析式，得0.5=𝑎(0−2)2+1.5，解得𝑎=∴抛物线的函数表达式为𝑦=−0.25(𝑥−2)2（2）解：令𝑦=0，则0=−0.25(𝑥−2)2解得𝑥1=2+6，𝑥2=2−6（舍∴𝐶2+6,0∴𝑂𝐶=2+即音乐喷泉的水池半径为(2+（3）①设新最高点𝐵′(𝑚,𝑛)．设新抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥−𝑚)2+𝑛，将𝐴(0.0.5)，𝐶(5,0)𝑎𝑚2+𝑛=𝑎(5−𝑚)2+𝑛=0𝑎 解解 𝑛=故𝑛=②由题意得𝑚=∴𝑛=

=∴∴功率比为1.5=0.60.63】（2026·山西太原·一模）1，某生态景观园区为打造“滨水乐活”𝑥𝑦与𝑥【答案】(1)作图见解析，𝑦=−(𝑥−14)(2)14(3)1.6≤𝑡≤【答案】(1)作图见解析，𝑦=−(𝑥−14)(2)14(3)1.6≤𝑡≤3 3 3 （2）对于𝑦=−(𝑥−14)+6，令𝑦=5，则−(𝑥−14)+6=5 （3）对于𝑦=−0.04𝑥2+𝑡𝑥中，令𝑦=0，求出方程的根，根据题意可得45−5≤𝑥≤45+5，即可求解𝑡的【详解】（1）设𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=𝑎(𝑥−14)2+6(𝑎≠0)，∵当𝑥=0时，𝑦=∴𝑎×(0−14)2+6=解得𝑎=33 ∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=−(𝑥−14)3 （2）解：由题意得，对于𝑦=−(𝑥−14)+6，令𝑦3 33 则−(𝑥−14)+6=解得𝑥1=14−76，𝑥2=14+7∴𝑥2−𝑥1

14答：观赏灯带可铺设的最大长度为14（3）解：在𝑦=−0.04𝑥2+𝑡𝑥中，令𝑦=则−0.04𝑥2+𝑡𝑥=解得𝑥1=0（舍去），𝑥2=

=M5m的范围内(含则则45−5≤𝑥≤45+5，即40≤𝑥≤∴40≤25𝑡≤解得1.6≤𝑡≤命题点06【典例】（2025·四川攀枝花·中考真题）跨学科主题学习活动中，某探究小组对“弹珠在水平轨道上运动快”并进一步应用．1所示，设计一个由倾斜和水平轨道组成的实验装置，将弹珠从倾斜轨道顶端由静运动时间运动快慢运动路程 示．（选填：一次、二次、反比例【应用】当弹珠到达水平轨道上𝐴点时，前方𝐵点处有一辆电动小车以3cm/s

1𝑡2+12𝑡𝑣=−2𝑡+

𝑦=应用：设𝐴𝐵=𝑑

1𝑡2+12𝑡≥𝑑+3𝑡，得 1𝑡2+9𝑡，根据二次函数求最值即可 𝑑≤ 𝑚=【检验】：设𝑣=𝑘𝑡𝑚，把(0,12),(4,10)4𝑘𝑚=10𝑘=−

2𝑚=∴𝑣=−𝑡+验证：当𝑡=20时

𝑣=−2×20+12=𝑐=设𝑦=𝑎𝑡2+𝑏𝑡+𝑐，把点(0,0),(8,8