2026年中考数学二轮复习 专题03 方程(组)与不等式(组)的计算专项(高频考点专练)

专题 方程（组）与不等式（组）计算专聚焦题型精准解密（11大题型精讲+变式拔高训练）题型三一元二次方程的解法题型四分式方程的解法（含验根（含数轴表示）（含整数解）题型七含参数的一元一次方程（组）求解（组）求解题型九方程与不等式的简单综合计算方程（组）与不等式（组）8～15分，以选择题、填空题为主，搭配1道基础解答题（计算类），整体以低中档题为主，侧重考查运算步骤规基础知识必备：并能在数轴上规范表示解集；掌握含参数方程（组）/不等式（组）的基础求解方法，能根据2026题型稳定：一元一次方程/方程组解法、一元二次方程解法、分式方程解法（含验根）点辨析（如不等式变号、分式方程验根）题型一一元一次方程的解法01】解方程．(1)10𝑥−3(𝑥−4)=2(𝑥1)；4−1

6【答案】(1)𝑥=(2)𝑥=1等，熟练掌握一元一次方程解法步骤是解决问题的关键．1【详解】（1）解：10𝑥−3(𝑥−4)=2(𝑥1)，去括号得10𝑥−3𝑥+12=2𝑥+2，移项得10𝑥−3𝑥−2𝑥2−12，合并同类项得5𝑥=−10，1得𝑥= （2）解：4−1 6去分母得3(3𝑥−1)−122(5𝑥−7)，去括号得9𝑥−3−12=10𝑥−14，移项得−3−1214=10𝑥−9𝑥，合并同类项得𝑥=−1．01(1)3(𝑎−1)+7=4−1

6【答案】(1)𝑎=(2)𝑦=11【详解】（1）解：3(𝑎−1)+7=去括号，3𝑎−37=32−𝑎移项，3𝑎+𝑎=32+3−7合并同类项，4𝑎=281，𝑎=

）

4−1 去分母，3(3𝑦−1)−12=去括号，9𝑦−3−12=移项，9𝑦−10𝑦=−143+合并同类项，−𝑦=1，𝑦=03(1)2𝑥−3(2𝑥+1)=𝑥+3−1

2【答案】(1)𝑥=(2)𝑥=11【详解】（1）解：2𝑥−3(2𝑥1)=𝑥62𝑥−6𝑥−3=𝑥+62𝑥−6𝑥−𝑥=6+−5𝑥=𝑥=−

）

3−1=2(𝑥−1)−6=2𝑥−2−6=2𝑥+3𝑥=12+2+5𝑥=𝑥=04(1)3(2𝑥−1)=2(𝑥+4−1

【答案】(1)𝑥=(2)𝑥=11【详解】（1）解：3(2𝑥−1)=2(𝑥2)−(1−𝑥)，去括号，得6𝑥−3=2𝑥+4−1+𝑥，3𝑥=1，得𝑥=（2）4−1=

63(𝑥1)−12=2(2𝑥1)，去括号，得3𝑥+3−12=4𝑥+2，−𝑥=11，1，得𝑥=−11．05】解方程(1)4𝑥−3(20−𝑥)=3．(2)2𝑥+1 =【答案】(1)𝑥=(2)𝑥=【分析】（1）（2）【详解】（1）解：4𝑥−3(20−𝑥)=3，去括号，得4𝑥−60+3𝑥=3移项，得4𝑥3𝑥=3+60，合并同类项，得7𝑥=63．1，得𝑥=9．

）解：3− =去分母，得2(2𝑥1)−(5𝑥−1)=6，去括号，得4𝑥+2−5𝑥+1=6，整理，得−𝑥3=移项，得−𝑥=合并同类项，得−𝑥3．1，得𝑥=𝑥−2𝑦=01】（2025·山西·一模）3𝑥+2𝑦=5②𝑥=

𝑦=−𝑥−2𝑦=3𝑥+2𝑦=5②②，得4𝑥=8，解得𝑥=2，把𝑥=2代入①，得𝑦=𝑥=

𝑦=−101】（2025·江苏苏州·二模）

3𝑥−2𝑦−7=5𝑥+2𝑦=1𝑥=𝑦=yxy即可．

3𝑥−2𝑦−7=5𝑥+2𝑦=1②由①+②得：8𝑥=8，解得：𝑥=将𝑥=1代入①，得：3−2𝑦−7=0，解得：𝑦=𝑥=∴𝑦=−202】（2025·浙江绍兴·三模）

2𝑥+𝑦=4𝑥−𝑦=19𝑥=𝑦=

2𝑥+𝑦=4𝑥−𝑦=19②②得：6𝑥=42，解得：𝑥=将𝑥=7代入①得：14+𝑦=23，解得：𝑦=𝑥=𝑦=92𝑥+3𝑦=03】（2025·福建龙岩·模拟预测）3𝑥+2𝑦=8②𝑥=𝑦=2𝑥+3𝑦=3𝑥+2𝑦=∴由32得：9𝑦−4𝑦=21−16，即5𝑦=5，解得：𝑦=把𝑦=1代入①得2𝑥+3×1=解得𝑥=𝑥=∴𝑦=104】（2025·山东淄博·中考真题）𝑥=𝑦=

𝑥−𝑦=2𝑥+3𝑦=𝑥−𝑦=

2𝑥+3𝑦=2得：3𝑦𝑦=12−4，解得𝑦=2，把𝑦=2代入②得：𝑥=𝑥=∴𝑦=2𝑥−𝑦+1=【变式05】（2005·江苏苏州·中考真题）解方程组：

𝑥=𝑦=

3𝑥+2𝑦=

3𝑥−2(𝑦+1)=3𝑥+2𝑦=103𝑥−2𝑦=3𝑥+2𝑦=10②②得，6𝑥=18，解得：𝑥=3．①−②得，−4𝑦=解得：𝑦=

𝑥=𝑦=1．题型三一元二次方程的解法01】（2026·广西柳州·一模）𝑥2−4𝑥−2=𝑥2=【答案】(1)𝑥1=2+6,𝑥2=(2)𝑥1=0,𝑥2=【分析】（1）（2）【详解】（1）解：𝑥2−4𝑥−2=0，这里𝑎=1,𝑏=−4,𝑐=−2，∴Δ=(−4)2−4×1×(−2)=24>∴𝑥=−(−4)±24=4±24=4±26=2± 𝑥1=2+6,𝑥2=2−（2）解：𝑥2=𝑥2−5𝑥=𝑥(𝑥−5)=𝑥=0,𝑥−5=∴𝑥1=0,𝑥2=01】（2026·四川成都·一模）(1)𝑥2−2𝑥−1=(2)𝑥(2𝑥−3)=【答案】(1)𝑥1=1+2，𝑥2=(2)𝑥=，𝑥= 【详解】（1）解：𝑥2−2𝑥−1=𝑎=1,𝑏=−2,𝑐=𝑏2−4𝑎𝑐=(−2)2−4×1×(−1)=8>𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐=2±8=2±22=1± ∴𝑥1=1+2，𝑥2=（2）解：𝑥(2𝑥−3)=𝑥(2𝑥−3)+2𝑥−3=0(2𝑥−3)(𝑥+1)=02𝑥−3=0或𝑥1=𝑥=3，𝑥= 02】（2025·辽宁鞍山·一模）𝑥2−𝑥−12=𝑥2−4𝑥−3=【答案】(1)𝑥=1+53，𝑥2=1− (2)𝑥1=2+7，𝑥2=【详解】（1）解：𝑥2−𝑥−12=1，移项，得：𝑥2−𝑥−13=0，其中𝑎=1，𝑏=−1，𝑐=∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=(−1)2−4×1×(−13)=53>∴𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐=−(−1)±53=1±

1+ 1−∴𝑥 ，𝑥2 （2）解：𝑥2−4𝑥−3=其中𝑎=1，𝑏=−4，𝑐=∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=(−4)2−4×1×(−3)=28>∴𝑥=−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐=−(−4)±28=2± ∴𝑥1=2+7，𝑥2=2−03】（2025·四川广元·一模）(1)𝑥2−3𝑥−4=(2)3𝑥−5−𝑥(3𝑥−5)=【答案】(1)𝑥1=4,𝑥2=(2)𝑥= = 3【详解】（1）解：𝑥2−3𝑥−4=0(𝑥−4)(𝑥+1)=0，𝑥−4=0或𝑥+1=0，解得：𝑥1=4,𝑥2=−1；（2）解：3𝑥−5−𝑥(3𝑥−5)=0，(3𝑥−5)(1−𝑥)=0，3𝑥−5=0或1−𝑥==解得 5𝑥==304𝑥2−2𝑥−1=(2)3𝑥(𝑥−1)=【答案】(1)𝑥1=1+2，𝑥2=

=1，𝑥2=【详解】（1）解：𝑥2−2𝑥−1=𝑥2−2𝑥=𝑥2−2𝑥+1=2，(𝑥−1)2=2，∴𝑥−1=±解得𝑥1=1+2，𝑥2=1−（2）解：3𝑥(𝑥−1)=3𝑥(𝑥−1)−2(𝑥−1)=0，(𝑥−1)(3𝑥−2)=0，∴𝑥−1=0或3𝑥−2=解得

=

=05】（2025·辽宁抚顺·一模）𝑥2−4𝑥−2=0（配方法𝑥2−5𝑥−4=0（公式法【答案】(1)𝑥1=2+6，𝑥2=(2)𝑥=5+41，𝑥2=5− （2）一元二次方程的求根公式为𝑥=【详解】（1）解：𝑥2−4𝑥−2=𝑥2−4𝑥=𝑥2−4𝑥+4=2+(𝑥−2)2=𝑥−2𝑥1=2+6，𝑥2=解：𝑥2−5𝑥−4=

−𝑏±𝑏2−4𝑎𝑐𝑎=1，𝑏=−5，𝑐=𝛥=𝑏2−4𝑎𝑐=(−5)2−4×1×(−4)=41>𝑥

−(−5)2×

5±𝑥=5+41，𝑥2=5− 题型四分式方程的解法（含验根 01】（2026·陕西西安·二模）解方程：𝑥2−1+1=【答案】𝑥=4 【详解】解 +1

方程两边同时乘(𝑥1)(𝑥−1)，得：4+(𝑥1)(𝑥−1)=𝑥(𝑥1)，解得：𝑥=3．检验：当𝑥=3时，(𝑥+1)(𝑥−1)≠∴𝑥=3 01】（2025·宁夏银川·二模）解分式方程：2𝑥−2−2=𝑥=【详解】解：原方程两边都乘以2(𝑥−1)得3−4(𝑥−1)=去括号得3−4𝑥+4=2𝑥，移项合并同类项得7=6𝑥，解得𝑥=检验：当𝑥=7时，2(𝑥−1)=2×7 =3≠所以原分式方程的解为𝑥=02】（2026·陕西西安·一模）

+

=【答案】𝑥=先方程两边同乘(𝑥−3)(𝑥3)2𝑥 【详解】解

= 方程两边同乘(𝑥−3)(𝑥3)，得2𝑥𝑥(𝑥−3)=(𝑥−3)(𝑥3)，解得𝑥=9．检验：当𝑥=9时，(𝑥3)(𝑥−3)≠0，所以原分式方程的解是𝑥=9．03】（2025·福建漳州·三模）

=𝑥

8 𝑥【详解】解 方程两边同乘以(𝑥2)(𝑥−2)得：8=𝑥(𝑥+2)−(𝑥2−4)，解得：𝑥=经检验，𝑥=2∴04】（2025·山西·一模）解方程：3−𝑥=1−3 【答案】𝑥=x 【详解】解：𝑥−4=方程两边同时乘以(𝑥−4)，得3−𝑥=𝑥−43，解得：𝑥=2，检验：当𝑥=2时，𝑥−4=2−4=−2≠∴分式方程的解为𝑥=05】（2025·陕西·模拟预测）

𝑥=【答案】𝑥=

x =【详解】解： =𝑥

(𝑥+2)(𝑥−2)+𝑥−2=方程两边都乘(𝑥2)(𝑥−2)，得𝑥2+𝑥(𝑥2)=2(𝑥2)(𝑥−2)，解得：𝑥=−4，检验：当𝑥=−4时，(𝑥2)(𝑥−2)≠0，所以分式方程的解是𝑥=−4．题型五一元一次不等式的解法（含数轴表示01】（2025·陕西·中考真题）解不等式3(2𝑥−1)≤4𝑥+1【答案】𝑥≤2将原不等式去括号得到，6𝑥−3≤4𝑥+1，通过移项、合并同类项得到2𝑥≤41得到𝑥≤2，将解集𝑥≤2【详解】解：3(2𝑥−1)≤4𝑥1去括号得：6𝑥−3≤4𝑥+1，移项、合并同类项得：2𝑥≤41得：𝑥≤201】（2025·广西·一模）解不等式：3𝑥−(4𝑥1)≤【答案】𝑥≥1【详解】解：3𝑥−4𝑥−16，3𝑥−4𝑥≤6+1，−𝑥≤𝑥≥02】（2025·广西·一模）解不等式：1−𝑥< 【答案】𝑥>1即可．

3

去分母得：1−𝑥<2𝑥1−3，整理得：−3𝑥<−3，解得：𝑥>【变式03】（2025·江苏·一模）解不等式：2(𝑥+2)≤4 ，并把解集在数轴上表示出来【答案】𝑥≥3按照解一元一次不等式的步骤，进行计算得出不等式的解集为𝑥≥3，再把𝑥≥3在数轴上表示出来，即可作【详解】解：2(𝑥2)≤4去括号得：2𝑥4≤4𝑥−2，移项得：2𝑥−4𝑥≤−2−4，合并同类项得：−2𝑥≤−6，1得：𝑥≥3；04】（2025·江苏镇江·一模）解不等式：2𝑥+3≥𝑥−2+1 【答案】𝑥≥−71可得．【详解】解：去分母得：5(2𝑥3)≥3(𝑥−2)+15，去括号得：10𝑥+15≥3𝑥−6+15，移项得：10𝑥−3𝑥≥−615−15，合并同类项得：7𝑥≥−6，1：𝑥≥−05】（2025·江苏苏州·模拟预测）解不等式：𝑥+1−4𝑥>1 【答案】𝑥<−21即可得到答案【详解】解：𝑥+1−4𝑥> 去分母，得：2𝑥(1−4𝑥)>6，去括号，得：2𝑥+1−4𝑥>6，移项和合并同类项，得：−2𝑥>1，得:𝑥<题型六一元一次不等式组的解法（含整数解2𝑥≥01】（2025·广东广州·中考真题）4𝑥−3<𝑥9【答案】2≤𝑥<42𝑥≥4𝑥−3<𝑥9②由①得：𝑥≥由②得：𝑥<则不等式组解集为2≤𝑥<01】（2026·甘肃·模拟预测）

3(𝑥−1)<2𝑥+2𝑥+3≥ 【答案】𝑥<43(𝑥−1)<2𝑥+

2𝑥+3≥解不等式①得，𝑥<解不等式②得，𝑥≤∴不等式组的解集为：𝑥4．【变式02】（2026·陕西西安·一模）解不等式组 1+𝑥≤3𝑥−1>【答案】−1<𝑥≤3

1+𝑥≤3𝑥−1>2(𝑥−1)解不等式1+𝑥≤4得：𝑥≤解不等式3𝑥−1>2(𝑥−1)得：𝑥>−1，故原不等式组的解集为−1<𝑥≤3．03】（2025·山西·一模）

3𝑥<𝑥+𝑥−3≤2𝑥−1−1 【答案】−1≤𝑥<2

3𝑥<𝑥+𝑥−3≤2𝑥−1−1② 解不等式①得，𝑥<2，解不等式②得，𝑥1，∴不等式组的解集为−1≤𝑥<2，03】（2025·山东青岛·模拟预测）【答案】

4𝑥>2𝑥𝑥−3<6【详解】解：先解4𝑥>3(𝑥−1)，解得𝑥>2𝑥−𝑥−3<6，即4𝑥−(𝑥−3)<12，解得𝑥<所以不等式组的解集为−3<𝑥<则整数解为04】（2026·山东潍坊·二模）

3(𝑥−1)<5𝑥+𝑥−1≥ 【答案】−2<𝑥≤3(𝑥−1)<5𝑥+

𝑥−1≥解不等式①得：𝑥>解不等式②得：𝑥≤∴不等式组的解集为−2<𝑥≤𝑥+2−1<𝑥+【变式05】（2026·重庆·模拟预测）求不等式组 6所有整数解的积2(𝑥−3)≤【答案】𝑥+2−1<𝑥+1【详解】解：

2(𝑥−3)≤解不等式①得，𝑥−3，解不等式②得，𝑥≤1，∴不等式组的解集是−3<𝑥≤∴(−2)×(−1)×0×1=题型七含参数的一元一次方程（组）01】（2025·广东中山·模拟预测）

3𝑥+2𝑦=𝑥−𝑦=−1的解也是关于𝑥,𝑦的方程𝑥−𝑎𝑦=5解，求𝑎【答案】𝑎=先通过代入消元法解已知方程组，得到𝑥、𝑦的值，再将其代入方程𝑥−𝑎𝑦=5，进而求出𝑎

3𝑥+2𝑦=𝑥−𝑦=−1②由②得𝑥=𝑦−1代入①，得3(𝑦−1)2𝑦=7，解得𝑦=2．把𝑦=2代入②，得𝑥=代入方程𝑥−𝑎𝑦=5，得1−2𝑎=5，解得𝑎=2𝑥+3𝑦=01x，y3𝑥+2𝑦=𝑎+2的解满足𝑥𝑦2𝑥+3𝑦=【答案】两方程相加得到5𝑥5𝑦=3𝑎2，把𝑥𝑦=4代入得到3𝑎+2=20，即𝑎=

3𝑥+2𝑦=𝑎+2𝑥+3𝑦=2𝑎②②得，5𝑥5𝑦=3𝑎2，即5(𝑥+𝑦)=3𝑎+2把𝑥𝑦=4代入，得20=3𝑎+∴𝑎=

𝑥+𝑦=2𝑎+2𝑥3𝑦=5𝑎的解满足𝑥−2𝑦1=0？若存在，求【答案】存在，𝑎=𝑥=𝑎+ 𝑥=𝑎+【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，利用加减消元法求出𝑦=𝑎−2，再把𝑦=𝑎−2𝑥−2𝑦1=0a

𝑥+𝑦=2𝑎+12𝑥3𝑦=5𝑎得

𝑥=𝑎+𝑦=𝑎−2𝑥=𝑎+将𝑦=𝑎−2代入𝑥−2𝑦1=0，得𝑎+3−2(𝑎−2)+1=解得𝑎=∴当𝑎=8时，方程组的解满足𝑥−2𝑦1=03

3𝑥+2𝑦=𝑚+2𝑥−𝑦=2𝑚−1m【答案】𝑚=方程组的解互为相反数，得到𝑦=−𝑥m的值．【详解】解：根据题意得：𝑥𝑦=0，即𝑦=

3𝑥+2(−𝑥)=𝑚+2𝑥−(−𝑥)=2𝑚−1𝑥=𝑚+3𝑥=2𝑚−1可得3𝑚9=2𝑚−1，解得：𝑚=−10．04】已知关于𝑥，𝑦

2𝑥+𝑦=𝑥−𝑚𝑦=4

3𝑥−2𝑦=𝑛𝑥−𝑦=2的解相同，求𝑚𝑛【答案】𝑚𝑛=∵关于𝑥，𝑦

2𝑥+𝑦=𝑥−𝑚𝑦=4

3𝑥−2𝑦=𝑛𝑥−𝑦=22𝑥+𝑦=∴3𝑥−2𝑦=1②2+②得：2(2𝑥𝑦)+3𝑥−2𝑦=3×2+1，解得：𝑥=1，将𝑥=1代入2𝑥+𝑦=3中，得到𝑦=把𝑥=1，𝑦=1分别代入𝑥−𝑚𝑦=4，𝑛𝑥−𝑦=2，解得：𝑚=−3，𝑛=3，∴𝑚𝑛=−3×3=【变式05

𝑎𝑥+5𝑦=4𝑥−𝑏𝑦=−2②，由于甲看错了方程①中的𝑎𝑥=

𝑥=

𝑦=−1乙看错了方程②中的𝑏，得到方程组解为𝑦=4；试计算 10【答案】

𝑥=𝑦=−1满足方程𝑥=𝑦=4满足方程①a、b𝑥=𝑦=−1代入4𝑥−𝑏𝑦=−2，得−12𝑏=解得𝑏=𝑥=𝑦=4代入𝑎𝑥+5𝑦=15，得5𝑎+20=解得𝑎=∴=

=1−1=题型八含参数的一元一次不等式（组）−𝑥≥>则𝑚的值为（ 【答案】m−𝑥≥𝑥𝑚>1②解不等式①，得𝑥≤解不等式②，得𝑥>由数轴上的解集可得−1<𝑥≤∴1−𝑚=𝑚=2，𝑥<𝑚+【变式01】（2025·广东深圳·三模）若关于𝑥的不等式组3𝑥−1<8的解集为𝑥<𝑥<𝑚+（A．𝑚≥ B．𝑚≤ C．𝑚≥ D．𝑚≤【答案】3𝑥−1< 𝑥<𝑥<𝑚+2𝑥<𝑚+23𝑥−1<∵𝑥<𝑚+2的解集为𝑥<∴𝑚+2≥∴𝑚1；C．𝑥−𝑚>02】若关于𝑥𝑥−2𝑚<−1无解，则𝑚的取值范围是（A．𝑚< B．𝑚> C．𝑚≤ D．𝑚≥【答案】2+𝑚≥2𝑚−1𝑥−𝑚>𝑥−2𝑚<解不等式①得𝑥>2+𝑚，解不等式②得，𝑥2𝑚−1，𝑥−𝑚>𝑥−2𝑚<−12+𝑚≥2𝑚−1，解得𝑚≤3，𝑥−𝑎≥ 03x2𝑥−𝑎≤2𝑏+1的解集是3≤𝑥≤5，则𝑎的值是（ B．

【答案】“同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解”求出不等式组的解集，因为题目告知不等式组解集，即可求出答案．𝑥−𝑎≥2𝑥−𝑎≤2𝑏+1由①得：𝑥≥𝑎+由②得：2𝑥≤2𝑏+1+𝑥

∴此不等式组的解集为：𝑎𝑏≤𝑥≤

由题可知：此不等式组的解集为：3≤𝑥≤𝑎+𝑏𝑎+𝑏=2𝑏+1+𝑎=

𝑎=𝑏=6

=𝑥<【变式04（2026·河南周口·一模关于𝑥的不等式组𝑥≥𝑎恰好有两个整数解则𝑎的取值范围 【答案】−2<𝑎≤𝑥<【详解】解：关于𝑥𝑥≥𝑎的解集为𝑎≤𝑥<∵∴这两个整数解为0、∴−2<𝑎≤05】（2025·四川绵阳·二模）3𝑥>2𝑥−1的整数解均满足不等式组𝑎−6<𝑥≤𝑎，则𝑎2𝑥+3≤ 值范围 【答案】1≤𝑎<a的不等式组即可解决问题．【详解】解：解不等式3𝑥>2𝑥−1得，𝑥>−1；解不等式2𝑥+3≤5得，𝑥≤1，所以不等式组的解集为：−1<𝑥≤1，0，1．又因为此不等式组的整数解均满足不等式组5<𝑥≤𝑎−6𝑎−6𝑎≥所 解得1≤𝑎<故答案为：1≤𝑎<

=1𝑚的取值范围是A．𝑚<1且𝑚≠ B．𝑚>C．𝑚>−5且𝑚≠ D．𝑚>−2且𝑚≠【答案】xm𝑚 【详解】解：方程 =

𝑥−2−𝑥−2=去分母得，𝑚−(2𝑥−3)=解得：𝑥=

3∴𝑥≠2，即3≠2，解得𝑚≠∴𝑥>0，即3>0，解得𝑚>m的取值范围是𝑚>−5且𝑚≠2𝑥+5𝑦=01】（2025·广东广州·二模）x、y𝑥−3𝑦=2+𝑚的解满足3𝑥2𝑦>7的最小值为（ 【答案】的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得3𝑥2𝑦4𝑚2，再根据方程组解的情况得到关于𝑚2𝑥+5𝑦=𝑥−3𝑦=2+𝑚②由②得：3𝑥+2𝑦=4𝑚+方程组的解满足3𝑥+2𝑦>∴4𝑚+2>解得：𝑚>∴m02】（2025·四川泸州·二模）x3=𝑎−2x 等式组𝑥−4≤2𝑥−3≥

a的值之和是（ 【答案】方程，得到解的条件为𝑎>1且𝑎≠3；再解不等式组，得到𝑎≤5．综合条件得𝑎的取值范围为1<𝑎≤5𝑎≠33 𝑎【详解】解 2两边同乘(𝑥−1)得：3=𝑎−2(𝑥−1)，整理得𝑥=2∴𝑎−1>∴𝑎>∴𝑎−1≠∴𝑎≠𝑥−4≤2𝑥−3≥𝑎𝑥−4≤

𝑥≤𝑥≥∵2𝑥−3≥𝑎∴𝑎+3≤∴𝑎≤综上：1<𝑎≤5且𝑎≠∴整数𝑎为2,4,5，2+4+5=11；C𝑚< 𝑥【变式03】（2025·甘肃酒泉·二模）若𝑚是不等式组5𝑚>𝑚+4的整数解，解关于𝑥的分式方程 +1𝑥【答案】𝑥=m的范围，继而求出𝑚2，将𝑚2代入分式方程，去分母转化为整式方程，求x的值并检验即可．𝑚<𝑚>11<𝑚<∵m∴𝑚=𝑥将𝑚=2𝑥

+1=𝑥−2 𝑥2−4+1=2+𝑥2−4=𝑥2+2𝑥，𝑥=经检验，𝑥=−1

𝑥+𝑦=3𝑎+𝑥−𝑦=5𝑎1的解𝑥、𝑦均是非负数，求𝑎【答案】−≤𝑎≤aa当作

𝑥+𝑦=3𝑎+𝑥−𝑦=5𝑎+②得：2𝑥=8𝑎+𝑥=4𝑎+①−②得：2𝑦=−2𝑎𝑦=−𝑎+∵x、y

𝑥+𝑦=3𝑎+𝑥−𝑦=5𝑎1的解𝑥、𝑦4𝑎+5≥∴−𝑎+4≥0解得：

≤𝑎≤2𝑥+𝑦=05】（24-25七年级下·安徽亳州·月考）𝑥−𝑦=2𝑎+1的解满足−4<𝑥2𝑦≤0【答案】−5≤𝑎<由二元一次方程组可知𝑥+2𝑦=−𝑎−5，进而根据−4<𝑥+2𝑦≤0求解即可．2𝑥+𝑦=𝑥−𝑦=2𝑎+①−②得𝑥2𝑦=∵−4<𝑥+2𝑦≤∴−4<−𝑎−5≤0，解得−5≤𝑎<01】（2025·河北邯郸·一模）小丁和小迪分别解方程𝑥−𝑥−3=1𝑥−2解：去分母，得=去括号，得𝑥−𝑥3=𝑥−2合并同类项，得3=𝑥−2解得𝑥=5∴原方程的解是𝑥=解：去分母，得𝑥(𝑥−3)=去括号得𝑥𝑥−3=合并同类项得2𝑥−3=解得𝑥=你认为小丁的解 ，小迪的解 【答案】(1)(2)𝑥=1（2）解：𝑥−𝑥−3=𝑥−2𝑥+(𝑥−3)=𝑥+𝑥−3=𝑥=经检验，当𝑥=1时，𝑥−2=−1≠∴𝑥=101】（2025·贵州毕节·一模） 6−𝑥<解：4𝑥−1−𝑥< 第一4𝑥−𝑥<−9 3𝑥< 𝑥< 任务：以上解题过程中，从 步开始出错，请写出正确的解题过程【分析】小明同学的错误在于去分母时，不等式左边的𝑥这一项没有乘以分母6，正确的做法是先去分母，再移项、合并同类项，最后将系数化为1来求解不等式．解：4𝑥−1−6𝑥<−9，4𝑥−6𝑥<−9+1，−2𝑥<𝑥>02】（2025广东·中考真题）在解分式方程1−𝑥=1−2第一步 •（x第一步 •（x﹣2）= x＝4

（x﹣2）=

x＝2

𝑥−𝑦=033𝑥+2𝑦=7②由方程①得𝑦=将方程③代入②得3𝑥(𝑥−4)=解得𝑥=把𝑥=3代入③𝑦=𝑥=∴𝑦=由①×2得2𝑥−2𝑦=由②＋③得5𝑥=解得𝑥=把𝑥= ①得𝑦 5代 𝑥= 𝑦=(1)芊芊的消元方法 ；浩浩的消元方法 (2)判 【答案】(1)𝑥=(2)𝑦=−1浩浩的做法中，由①×2得2𝑥−2𝑦=4③由2得2𝑥−2𝑦=8③．由②+③得5𝑥=15．解得𝑥=把𝑥=3代入①得𝑦=𝑥=∴𝑦=−105】（2024·宁夏银川·模拟预测）以下是圆圆解方程𝑥+1−𝑥−3=1 解：去分母，得3(𝑥1)−2(𝑥−3)=去括号，得3𝑥1−2𝑥+3=移项，合并同类项，得𝑥=(1)

0.20.3=【答案】(1)(2)𝑥=（2）【详解】（1）𝑥+12−3=去分母，得3(𝑥1)−2(𝑥−3)=6，去括号，得3𝑥+3−2𝑥+6=6，移项，合并同类项，得𝑥=−3；

）0.20.3=5(𝑥+

=去分母得15(𝑥1)−10(𝑥−3)=3，去括号得15𝑥15−10𝑥30=3，移项得15𝑥−10𝑥=3−15−30，合并同类项得5𝑥=1得𝑥=504】（2025广东深圳模拟预测）x的方程3−2𝑥+2+𝑚𝑥=−1mm

解：方程两边同乘(𝑥−3)，得(3−2𝑥)−(2+𝑚𝑥)=3−𝑥整理，得(𝑚1)𝑥=−2当𝑥=3时，原方程无解，此时，(𝑚+1)×3=

5，因此，𝑚=−5𝑚= 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到(𝑚1)𝑥−2，分式方程无解有两种情况，第一种情况𝑚+1=0，第二种情况𝑚+1≠0，则此时原方程有增根，据此求解即可．𝑥−3

2+𝑚𝑥=方程两边同乘(𝑥−3)，得(3−2𝑥)−(2+𝑚𝑥)=3−𝑥，第一步，整理，得(𝑚+1)𝑥=−2，第二步，当𝑚1=0，即𝑚=−1时，此时满足原方程无解，当𝑚+1≠0时，𝑥=−2，∴𝑥−3=∴𝑥=∴3(𝑚+1)=∴𝑚=综上所述，𝑚=−1或𝑚=01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）x的一元二次方程𝑥2+(𝑚−4)𝑥−4𝑚=(1)(2)当𝑚=−2【答案】(1)(2)𝑥1=2,𝑥2=（1）（2）将𝑚=−2【详解】（1）证明：由题知，Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=(𝑚−4)2−4×1×=𝑚2−8𝑚+16+=𝑚2+8𝑚+=(𝑚+4)2≥∴（2）解：当𝑚=−2x的一元二次方程为𝑥2−6𝑥8=0，整理得(𝑥−2)(𝑥−4)=0，则𝑥−2=0或𝑥−4=0，解得𝑥1=2，𝑥2=4．01】（2026·安徽阜阳·一模）已知关于𝑥的一元二次方程2𝑥2−4𝑥+𝑎=0𝑎的取值范围是（A．𝑎≠ B．𝑎< C．𝑎> D．𝑎<2且𝑎≠【答案】【详解】解：∵关于𝑥的一元二次方程2𝑥2−4𝑥+𝑎=0∴Δ=(−4)2−4×2·𝑎=16−8𝑎>解得𝑎<01】（2026·河北沧州·一模）已知关于𝑥的一元二次方程(𝑘−1)𝑥2−2𝑥+2=0有实数根，则𝑘范围是（A．𝑘<

B．𝑘≤

C．𝑘<且𝑘≠ D．𝑘≤且𝑘≠ 【答案】0且判别式0．【详解】解：∵方程(𝑘−1)𝑥2−2𝑥+2=0∴𝑘−1≠∴𝑘≠∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐≥其中𝑎=𝑘−1，𝑏=−2，𝑐=Δ=(−2)2−4×(𝑘−1)×2=4−8(𝑘−1)=12−8𝑘≥解得𝑘≤综上，𝑘的取值范围是𝑘≤2且𝑘≠03x的一元二次方程𝑥2+2𝑘𝑥+2𝑘−3=(1)k(2)若𝑥1,𝑥2为该方程的两个根，求𝑥2+𝑥2（k的代数式表示 【答案】(1)(2)4𝑘2−4𝑘+【详解】（1）证明：Δ=(2𝑘)2−4×1×=4𝑘2−8𝑘+=4(𝑘−1)2∵(𝑘−1)2≥∴4(𝑘−1)2+8>0，即Δ>∴k（2）解：∵𝑥,𝑥2x的一元二次方程𝑥2+2𝑘𝑥+2𝑘−3=0∴𝑥1+𝑥2=−2𝑘,𝑥1𝑥2=∴𝑥2+𝑥2=(𝑥1+𝑥2)2−2𝑥1𝑥2=(−2𝑘)2−2(2𝑘−3)=4𝑘2−4𝑘+ 04】（2026·湖北黄石·一模）已知一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0有两个实数根求𝑚m的值，使得𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=3m【答案】(1)𝑚≤(2)存在，𝑚=（2）利用一元二次方程根与系数的关系可得𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=𝑚，再由𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=3【详解】（1）解：∵一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0有两个实数根𝑥1、∴𝛥≥∴(−2)2−4𝑚≥∴𝑚≤∵一元二次方程𝑥2−2𝑥+𝑚=0有两个根∴𝑥1+𝑥2=2，𝑥1𝑥2=∵𝑥1+𝑥2−𝑥1𝑥2=∴2−𝑚=3，解得𝑚−1，∵𝑚≤∴𝑚=5】（2025·四川绵阳·一模）x的一元二次方程𝑥2−(2𝑘−1)𝑥+𝑘−3=k若𝑥,𝑥是方程𝑥2−(2𝑘−1)𝑥+𝑘−3= 1+1=3，求k的值．1

【答案】(1)

+𝑥=2𝑘−1,𝑥

1 =𝑘−3，结合+=3，得到关于𝑘的方程进 1

【详解】（1）证明：∵𝑥2−(2𝑘−1)𝑥+𝑘−3=∴Δ=(2𝑘−1)2−4(𝑘−3)=4𝑘2−8𝑘+13=4(𝑘−1)2+9>∴无论𝑘（2）解：由题意，𝑥1+𝑥2=2𝑘−1，𝑥1𝑥2=∴

+

=

=∴𝑥1+𝑥2=∴2𝑘−1=∴𝑘=（限时训练：25分钟1．（2025·广东深圳·模拟预测）(1)2𝑥−19=7𝑥+(2)2 【答案】(1)𝑥=(2)𝑥=1【详解】（1）解；2𝑥−19=7𝑥+移项得：2𝑥−7𝑥=19+6，合并同类项得：−5𝑥25，1得：𝑥=−5；（2）解：2= 两边同乘𝑥(2𝑥1)，得2(2𝑥1)=6𝑥，整理，得4𝑥+2=6𝑥，移项、合并同类项，得−2𝑥=解得𝑥=2．（2025·山东滨州·一模）

−𝑥+

𝑥2−4𝑥+4

2− =【答案】xx的值代入化简后的分式计算即可．【详解】解：原式=−𝑥2+4⋅

⋅ =−(𝑥+2)(𝑥−2)⋅

由方程2−2𝑥+1=

𝑥= 2∴=

=

=3．（2025·山东滨州·一模）2−3

4(2)𝑥2+7𝑥−8=【答案】(1)𝑥=(2)𝑥1=−8，𝑥2=1【详解】（1）解：𝑥+1−3= 4，得2(𝑥1)−12=去括号得：2𝑥2−12=移项：2𝑥−5𝑥=−1−3𝑥=1，𝑥=（2）解：𝑥2+7𝑥−8=∴(𝑥+8)(𝑥−1)=𝑥+8=0或𝑥−1=解得：𝑥1=−8，𝑥2=4．（2026九年级上·江苏·专题练习）(1)解方程：𝑥2−6𝑥−2=𝑥>(2)

4𝑥−3<6+

【答案】(1)𝑥1=3+11，𝑥2=3−(2)−2<𝑥<3【详解】（1）解：𝑥2−6𝑥−2=𝑥2−6𝑥=𝑥2−6𝑥+9=2+(𝑥−3)2=∴𝑥−3=±∴𝑥1=3+11，𝑥2=3−𝑥>𝑥−2（2）

4𝑥−3<6+解不等式①得：𝑥−2，解不等式②得：𝑥<3，∴不等式组的解集为：−2<𝑥<3，5．（2025·江苏常州·模拟预测）𝑥−𝑦=44𝑥+2𝑦=−1−3(𝑥−2)≥

1+2𝑥>𝑥=【答案】(1)𝑦=(2)𝑥≤𝑥−𝑦= 【详解】（1）4𝑥+2𝑦=−12+②，得：6𝑥=解得：𝑥= 将𝑥=6代入①，得：6−𝑦=解得：𝑦=6

𝑥=𝑦=17−3(𝑥−2)≥ （2）

1+2𝑥> ②解不等式①，去括号：−3𝑥6≥移项合并：−2𝑥≥1：𝑥≤解不等式②，去分母：1+2𝑥>移项合并：−𝑥>−41：𝑥4；故不等式组的解集为：𝑥≤6．（2025·浙江·模拟预测）(1)2𝑥−1=𝑥+𝑦=𝑥−𝑦=【答案】(1)𝑥=𝑥=𝑦=x【详解】（1）解：方程两边同时乘(𝑥1)，得2𝑥−1=𝑥1，解得：𝑥=2，检验：把𝑥=2代入𝑥1≠∴分式方程的解为𝑥=

𝑥+𝑦=𝑥−𝑦=5②②，得2𝑥=4，解得：𝑥=2，把𝑥=2代入①，得2+𝑦=−1，解得：𝑦=−3，𝑥=∴𝑦=−37．（2025·福建泉州·三模）（1）

2𝑥>2𝑥−1≥1𝑥−2 ）解方程

=

【答案】（1）−2≤𝑥<2；（2）𝑥=【分析】本题考查了解一元一次不等式组和解分式方程，根据不等式的解集找出不等式组的解集是解（1）的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2）的关键．2𝑥>【详解】解：（1）2𝑥−1≥1𝑥−2② 解不等式①得：𝑥<2，解不等式②得：𝑥≥−2，∴不等式组的解集为−2≤𝑥<（2）方程两边都乘以(2𝑥−1)(𝑥−2)得2𝑥(𝑥−2)+𝑥(2𝑥−1)=解得：𝑥=检验：把𝑥=4代入(2𝑥−1)(𝑥−2)≠所以𝑥=5即原方程的解是𝑥=8．（2026·江苏南京·一模）(1)4𝑥2−1=(2