2026年中考数学二轮复习 专题15 一次函数与二次函数的实际应用综合题(高频考点专练)

专题15聚焦题型精准解密（5大题型精讲+变式拔高训练）–––题型二一次函数的应用–––行程问题 题型 二次函数的应用–––喷水问 题型十二次函数的应用–––其它问题实战演练高效提分（中考仿真模拟+限时训练提升8～12分，以解答题为主，选y=kx+by=ax2+bx+cs−t、v−t牢记核心公式：总利润＝(售价−成本)×会建立平面直角坐标系解决抛物线实际问题（拱桥、投球、喷水5.明确自变量取值范围，牢记：一次函数看端点，二次函数看顶点+规范书写步骤，注意结果符合实际意义（正数、整数、合理范围）2026难度平稳：以基础建模+区间最值为主，不考偏题、怪题，重点考查题意理解与计算准确率；题型一一次函数的应用---①140②240①140②240③5632102倍，请问购买多少个篮球【答案】（1）6050（2）4540（2）m个，则购买足球（10﹣m）2倍”，mw元，根据总费用＝购买篮球和【详解】解：（1）xy元，根据题意得 𝑥+𝑦+30=1402𝑦−𝑥=根据题意得 解 𝑥=解 𝑦=6050（2）m个，则购买足球（10﹣m）个，m≥ ≤w∴wm∵10≤m≤10mm＝4时，w454001】（2025·黑龙江·中考真题）202486日，第十二届世界运动会口号“运动无限，气象万千”3个“蜀宝”1个“锦仔”3322个“蜀宝”3个“锦仔”380元．W元，在（2）2160设购买一个“蜀宝”和一个“锦仔”分别需要𝑥元和𝑦3个“蜀宝”1个“锦仔”2个“蜀宝”3个“锦仔”380设购买“蜀宝”𝑚216022003𝑥+𝑦= 𝑥=2𝑥3𝑦=380𝑦=68∴2160≤88𝑚68(30−𝑚)≤2200，解得：6≤𝑚≤8，∴𝑚=6,7,8，30−𝑚=24,23,22；∴3（3）解：由题意，得：𝑊=88𝑚+68(30−𝑚)=20𝑚∴𝑊随着𝑚∴当𝑚=6时，即方案一需要的资金最少，最少资金是20×6+2040=2160（元）；2160元．进价（元/件售价（元/件进价（元/件售价（元/件x件（𝑥<120），y(1)yx(2)2倍，请问当甲汉服购进多少件时，该店在销售完这两种汉服后【答案】(1)𝑦=−80𝑥+12000(0≤𝑥<【分析】（1）（2）x【详解】（1）x件，则乙汉服数量为(120−𝑥)100−80（元），乙每件利润为200−100=100（元）；总利润𝑦=20𝑥100(120−𝑥)=−80𝑥12000，结合条件得0≤𝑥<120yx之间的函数关系式为𝑦=−80𝑥+12000(0≤𝑥<（2）解：∵2∴120−𝑥≤2𝑥，解得：𝑥≥∵𝑥<∴40≤𝑥<120（x取整数），由（1）知𝑦=−80𝑥12000，∵−80<∴yx∴当𝑥=40时，y将𝑥=40代入得，最大利润𝑦=−8040+12000=8800（元408800每台每小时可分拣快递件数（件每台价格（万元每台每小时可分拣快递件数（件每台价格（万元5200件．求此方案中该公司计划购买甲、乙两种型号的机器人各多少台？(2)870012【答案】(1)26(2)852（2）根据128700m的取值范围，设所花总费用𝑤元，则𝑤=2𝑚+36，求出𝑤的最小值即可．【详解】（1）解：设该公司购买甲种型号的机器人𝑥台，乙种型号的机器人𝑦800𝑥+600𝑦= 5𝑥+3𝑦=𝑥=𝑦=2台，6800𝑚+600(12−𝑚)≥解得𝑚≥7.5，且𝑚设所花总费用𝑤元，则𝑤=5𝑚+3(12−𝑚)=2𝑚+∵2>∴𝑤随𝑚当𝑚=8时，𝑤取得最小值，最小值为5×8+3×4=52（万元85204】（2026·云南红河·一模）东风知春意，万亩梨花开．3月下旬，个旧加级寨梨花迎来盛花期，“梨园春晓・万亩梨花赏花季”群3213058310(1)1(2)2300瓶，且梨膏的数量至少502倍，怎样购进才能使总费用最少？并求出最少费用．【答案】(1)3020(2+2𝑏=【分析】（1）设购进的每瓶梨膏为𝑎元，每瓶梨醋为𝑏5𝑎8𝑏=310

𝑥≥300−𝑥+𝑥≤2(300−𝑥)𝑊=30𝑥20(300−𝑥)，整理得𝑊=10𝑥6000【详解】（1）解：设购进的每瓶梨膏为𝑎元，每瓶梨醋为𝑏3𝑎+2𝑏=5𝑎8𝑏=310𝑎=𝑏=203020

𝑥≥300−𝑥+𝑥≤2(300−𝑥)，解得175≤𝑥≤𝑊=30𝑥20(300−𝑥)，整理得𝑊=10𝑥10>0,∴𝑊随𝑥当𝑥=175时，𝑊𝑊min=10×175+6000=此时300−𝑥=300−175=1751257750题型二一次函数的应用---01】（2025•黑龙江）A、B、CAB地接人，停留CCBC地（

y（单位：km）x（单位：h）之间的函数图象，结合图象回答图中a的值是 ，b的值是 ；BCy（单位：km）x（单位：h）【答案】（2）y＝﹣90x+240（4≤x≤ ）h或h或 【分析】（1）A、B两地之间的距离，B、CA、C两地之间a的值；根据速度＝路程÷时间求出轿车的速度，由时间＝路程÷速度求出轿车行驶的时间，b的方程并求解即可；NM的坐标，根据速度＝路程÷时间求出货车的速度，进而求出在货BCyx之间的函数解析式即可；BBCB地开始驶CC40kmx的值即可．【详解】解：（1）由图象可知，A、B180km，B、C120km，b＝2． （2）3 −

÷2

120÷4=

y＝﹣90x+240（4≤x≤ （3）0≤x≤4时，得x=1.5≤x≤2x=

−2＜x≤8x=∴出轿车出发26h或16h或8h 01A，B，C三个景点（1）．A3500米C5060B1500A景点，休10C5C景点．两人行走时均为匀速运mmAs（米）t（分）之间的函数解析式（t的取值范围t（分）【答案】(1)𝑚=25，𝑚表示桐桐从𝐵地步行到𝐴(2)𝑠= (3)𝑡=13利用路程除以时间求出𝑚的值，根据𝑚m分桐桐往景点𝐴走，以及骑车往景点𝐶【详解】（1）解：𝑚=1500÷60=由题意和图象可知：mBA（2）设𝑠=𝑘𝑡由题意，图象经过点(25+10,0),(50−5,3500)，即35𝑘+𝑏= 𝑘=45𝑘+𝑏=3500𝑏=−12250∴𝑠=当0≤𝑡≤25时，𝑡=1500÷(70+60)

13当35<𝑡≤50时，350(𝑡−35)=70𝑡，解得：𝑡=

4 综上：𝑡=134乙步行的速度 当18≤𝑡≤50时，求𝑦关于𝑡甲出发多长时间时，两人之间的路程为【答案】(2)𝑦=分18≤𝑡≤50和𝑡>50两种情况，求出𝑡【详解】（1）解：由图像可知：甲的速度为：360÷6=设乙的速度为𝑥m/min，由题意，得：60×18=𝑥(18−6)，解得：𝑥=90，𝑀𝑁之间的路程为：90×(50−6)=3960m；由图像可知：𝐶点的纵坐标为3960−6050=当18≤𝑡≤50时，设𝑦=𝑘𝑡𝑏，把𝐵(18,0)，𝐶(50,960)18𝑘+𝑏= 𝑘=50𝑘𝑏=960𝑏=−540∴𝑦=当18≤𝑡≤50时，令𝑦=30𝑡−540=450，解得：𝑡=33；当𝑡>50时，60𝑡=3960−450，解得：𝑡=58.5；03】（2026·黑龙江佳木斯·一模）A，B两地相距630kmA，BCA地CBAC站的路程客车的速度 km/h，货车的速度 求货车出发2hC站的路程𝑦2x请直接写出货车出发多长时间，两车相距【答案】(2)𝑦2=45𝑥−90(2≤𝑥≤ 7h7【分析】（1）根据题意并结合图象可知，货车从𝐵地驶向𝐶2小时，行驶了90km，根据“路程÷时间”即可求出货车的速度；再算出𝐴地与𝐶站的距离，由图象可知客车从𝐴地驶向𝐶9小时，根据“=路程÷时间”即可求出客车的速度；（2）根据“=速度×时间”【详解】（1）解：由图象可得：货车从𝐵地驶向𝐶2小时，行驶了 则货车的速度为2= 𝐴地与𝐶站的距离为630−90=

客车的速度为9= （2）解：由（1）知，货车的速度为货车从𝐵地驶向𝐴站所需时间为630÷45=14（小时2小时后货车的行驶时间为(𝑥−2)∴𝑦2=45(𝑥−2)=45𝑥−90(2≤𝑥≤45𝑡+60𝑡=解得：𝑡=745𝑡+60𝑡=630+解得：𝑡=7 7h7h后，两车相距04】（2026·天津河北·一模）已知小华的家，文具店，图书馆依次在同一条直线上，文具店离家0.4行了4min到图书馆，在图书馆停留了8min后，再用6minx表示时间，y表示小华(1)①②填空：小华从图书馆匀速骑行回家的速度 ③当0≤𝑥≤16yxx的值，小华离家的距离为𝑦1，小华妈妈离家的距离为𝑦2，当𝑦1<𝑦2时，x的取值范围（直接写出结果即可）．时，𝑦=(2)8<𝑥<【分析】（1）①②6

4③当0≤𝑥≤16（2）𝑦1是分段函数，𝑦2=0.1(𝑥−4)=0.1𝑥−0.4，根据𝑦1<𝑦2【详解】（1）①解：当0≤𝑥≤

时，其速度为4= 根据题意，得𝑠=𝑣𝑡=0.1×2=𝑥=11时，小华停留在文具店，此时离家的距离为𝑥=16时，小华刚好到达图书馆，此时离家的距离为②6

4③当0≤𝑥≤

时，其速度为4= 根据题意，得𝑦=0.1𝑥；当4<𝑥≤12时，𝑦=0.4，当12<𝑥≤16时，设解析式为𝑦=𝑘𝑥+12𝑘+𝑏=16𝑘+𝑏=1.6𝑘=𝑏=−3.2故解析式为𝑦=（2）解：根据题意，得𝑦2=0.1(𝑥−4)=0.1𝑥−0.4，当0.1𝑥−0.4=0.4时，解得𝑥=8；当0.1𝑥−0.4=0.3𝑥−3.2时，解得𝑥=14；根据𝑦1<𝑦2，得8<𝑥<14．题型 一次函数的应用---方案问活动二：所购商品按原价．20050若购买原价为320元的该商品，选择活动一时需 元，选择活动二时需 元x元，当400<𝑥<600y（元）（元）【答案】(2)活动一：𝑦1=0.8𝑥；活动二：𝑦2=当500<𝑥<600时，选择活动一更省钱；当𝑥=500时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当400<𝑥<500时，选择活动二更省钱．20050320x的函数表达式，再通过比较两个函数的大小，分情况讨论哪种【详解】（1）320元的该商品，选择活动一时需付0.8×320=256（元），320÷200=1…120，则选择活动二时需付320−501=270（元），（2）当400<𝑥<600时，活动一的实付金额𝑦1与原价𝑥之间的函数表达式为𝑦1=0.8𝑥，活动二的实付金额𝑦2与原价𝑥之间的函数表达式为𝑦2=𝑥−100，当𝑦1<𝑦2时，得0.8𝑥<𝑥−100，解得𝑥>500，当𝑦1=𝑦2时，得0.8𝑥=𝑥−100，解得𝑥=500，当𝑦1>𝑦2时，得0.8𝑥>𝑥−100，解得𝑥<∴当500<𝑥<600当𝑥500时，活动一和活动二实付金额相同，任选其一即可；当400<𝑥<500时，选择活动二更省钱．(1)求购买𝐴型和𝐵设购买𝐴型公交车𝑎辆，则𝐵型公交车(10−𝑎)辆，由“公司准备购买10辆𝐴型、𝐵【详解】（1）解：设购买𝐴型新能源公交车每辆需𝑥万元，购买𝐵型新能源公交车每辆需𝑦3𝑥+𝑦=2𝑥+3𝑦=360𝑥=𝑦=80由题意得60𝑎+80(10−𝑎)≤650，解得：𝑎≥∵𝑎≤∴7.5≤𝑎≤∵𝑎∴𝑎=∴线路的年均载客总量为𝑤与𝑎的关系式为𝑤=70𝑎100(10−𝑎)=−30𝑎∵−30<∴𝑤随𝑎∴当𝑎=8时，线路的年均载客总量最大，最大载客量为𝑤=−308+1000=760（万人次∴10−8=2（辆∴购买方案为购买𝐴型公交车8辆，则𝐵型公交车2760AB地，公司拥有甲，乙两种型号车辆共24108(2)在（1）的条件下，现公司将12AmBA地的货物不得多于106t，公司该如何分派车辆才能使油耗最少？最少油耗多少升？(2)A57B93辆时，油耗最少，最少为161.6设甲种车辆有𝑥辆，乙种车辆有𝑦m的取值范围为2≤𝑚≤5，设总油耗𝑤升，然后写出𝑤关于𝑚的函数关系式，利用一次【详解】（1）解：设甲种车辆有𝑥辆，乙种车辆有𝑦𝑥+𝑦=10𝑥+8𝑦=220𝑥=𝑦=10（2）设总油耗𝑤AmA地的乙车(12−𝑚)辆，根据题意需满足∶10𝑚+8(12−𝑚)≤106解得𝑚≤又∵乙车总数10辆，而需12A∴𝑚≥∴m的取值范围为2≤𝑚≤5，A地∶甲车每辆油耗0.5×12=6升，乙车每辆油耗0.5×10=5B地∶甲车每辆油耗0.7×12=8.4升，乙车每辆油耗0.7×10=7∴𝑤=6𝑚+5(12−𝑚)+8.4(14−𝑚)+7(𝑚−2)=−0.4𝑚+∵−0.4<∴𝑤随𝑚∴当𝑚5时，𝑤𝑤=−0.4𝑚163.6=−0.45+163.6=161.6∴A57B93辆时，油耗最少，最少为161.603】（2025·河南驻马店·三模）某小区为方便业主电动汽车充电，准备购买𝐴、𝐵两种型号的充电桩，AB0.5AB5.5万元．小区准备采购𝐴、𝐵m1.2①12AnB型充电桩，两种方案的最终费用相同，直接写出𝑛②当𝑚=20AB型充电桩数量的3【答案】(1)A、B2.5万元、3万元②A11台，B9出一元一次方程；②wa的函数关系式．①n②aA型充电桩，(20−𝑎)Bw万元，利用总价=单价×wa【详解】（1）A、Bx、y𝑥=𝑥𝑦=5.5

𝑥=𝑦=答：A、B2.5万元、3（2）解：①2.5×0.9×12+3×0.9𝑛=2.5×0.88×12+3×0.88𝑛1.2解得：𝑛=10，②A型充电桩𝑎B型充电桩(20−𝑎)台，购买充电桩的总费用为𝑤AB型充电桩数量的∴𝑎

解得𝑎≤∴𝑎的取值范围为0<𝑎≤117，且𝑎根据题意，可得𝑤=2.5𝑎0.88+3(20−𝑎)0.88+1.2=−0.44𝑎∵−0.44<∴𝑤随𝑎当𝑎=11时，𝑤有最小值，此时20−𝑎=20−11=A11台，B9每辆汽车运载量/每吨水果获利/每辆汽车运载量/每吨水果获利/xAyByx4在（2）【分析】（1）等量关系为：车辆数之和＝20xy4x的值即可A种水果的车辆数×6×12+B种水果的车辆数×5×16+C种水果的车辆数×4×10W＝﹣4800x+160000k＝﹣4800＜0Wxx＝4时，W最大，即可得到答案．【详解】解：（1）𝑥≥由题意可得：−2𝑥+20≥ 20−𝑥−(−2𝑥+20)≥∵x∴x4，5，6，7，8．方案一：4A种水果，12B种水果，4C种水果；方案二：5A种水果，10B种水果，5C种水果；方案三：6A种水果，8B种水果，6C种水果；方案四：7A种水果，6B种水果，7C种水果；方案五：8A种水果，4B种水果，8C种水果．W∴Wx∴x＝4时，WW最大∴选择（2）中的方案一：4A种水果，12B种水果，4C140800x的范围，得到装运的几种方案是解决本题的关键．题型四二次函数的应用---01】（2026·河南周口·一模）花园𝐴𝐵𝐶𝐷（篱笆只围𝐴𝐵,𝐵𝐶两边），设𝐴𝐵=𝑥m． m；（用含𝑥的代数式表示花园的面积能否为240m2？若能，求出𝑥求当𝑥为何值时，花园面积𝑆【答案】(2)(3)当𝑥=16时，花园面积𝑆最大，最大值为【分析】（1）根据𝐴𝐵𝐵𝐶=32mSxx的取值范围，进而根据二次函数的（2）解：根据题意，得𝑥(32−𝑥)=整理，得𝑥2−32𝑥+240=0．解得𝑥1=12,𝑥2=,∴32−𝑥≥16,𝑥≥∴9≤𝑥≤∴𝑥（3）解：由题意得：𝑆=𝑥(32−𝑥)=−𝑥2+32𝑥=−(𝑥−16)2∵9≤𝑥≤∴当𝑥=16时，花园面积𝑆最大，最大值为1，全部利用围墙的长度，但要在Ⅰ𝐴𝐸1𝑚的水池，且需保证总种植面积2，在Ⅰ区保留面积为11𝑚2的水池且使围成的两块矩形总种植面积最大，请问𝐵𝐶【答案】(1)𝐶𝐺=8m，𝐷𝐺=(2)当𝐵𝐶=3.5m时，𝑦=（1）由围墙的长为12m，可得篱笆墙的宽为𝐴𝐷=𝐺𝐻=𝐵𝐶=(21−12)÷3=3(m)，设𝐶𝐺为𝑎m，𝐷𝐺为（2）y𝐵𝐶长为𝑥m，那么𝐴𝐷𝐻𝐺=𝐵𝐶=𝑥m，𝐷𝐶=(21−3𝑥)m，由围成的两∴篱笆墙的宽为𝐴𝐷=𝐺𝐻=𝐵𝐶=(21−12)÷3=3(m)，𝐴𝐷×𝐷𝐶−𝐴𝐸×𝐴𝐻=32，即12×3−1(12−𝑎)=32，解得：𝑎=∴𝐶𝐺=8m，𝐷𝐺=（2）解：设两块矩形总种植面积为𝑦m2，𝐵𝐶长为𝑥m，那么𝐴𝐷=𝐻𝐺=𝐵𝐶=𝑥m，𝐷𝐶=由题意得 𝑦=𝑥⋅(21−3𝑥)−4∴𝑦=−3𝑥2=−3

+∵21−3𝑥≤12，3𝑥<∴3≤𝑥<∴当𝐵𝐶=3.5m时，𝑦=02】（2026·辽宁沈阳·一模）设栅栏与墙平行的边的长度为𝑥m，花圃的面积为𝑆m2(1)求𝑆与𝑥的函数表达式（不用写出自变量取值范围(2)当𝑆=315m2时，求栅栏与墙平行的边的长度为多少米【答案】(1)𝑆=−1𝑥2(2)21【分析】（1）根据矩形周长（栅栏总长）（2）根据（1）中的函数表达式，令𝑆=315m2，求出对应的𝑥的值，再根据墙的长度是40m，则𝑥≤【详解】（1）解：设栅栏与墙平行的边的长度为

∴𝑆=𝑥

==

=（2）解：令𝑆=1 −

+22𝑥=315

1=

2=∴𝑥≤∴𝑥=21知𝐴𝐵⊥𝐵𝐶，𝐴𝐵=60米，𝐵𝐶=20米和总长为280米的仿古城墙围建一个“日”字形的展览馆𝐷𝐵𝐸𝐹(细线表【答案】设𝐷𝐹的长为𝑥米，根据矩形性质得𝐸𝐹=280−2𝑥−（𝑥−20）=300−3𝑥米，根据题意𝐸𝐹≤60𝑥

3展览馆𝐷𝐵𝐸𝐹的面积为𝑆，𝐷𝐹的长为𝑥米，当点𝐷在线段𝐵𝐴延长线上，𝐸𝐹280−2𝑥−(𝑥−20)−60+60=3𝑥点𝐷在线段𝐴𝐵∴𝐸𝐹=280−2𝑥−(𝑥−20)=300−3𝑥∵𝐴𝐵=∴𝐸𝐹≤60，即300−3𝑥≤∴𝑥≥故根据题意得展览馆𝐷𝐵𝐸𝐹的面积为𝑥(300−3𝑥)=4800，解得：𝑥1=80，𝑥2=20(𝑥≥80，故舍去)，当点𝐷在线段𝐵𝐴延长线上，𝐸𝐹= 3 +60=由𝐸𝐹>60，得此时𝑥<则𝑆=𝑥1802𝑥上式可化为𝑆=−3(𝑥−60)2故当𝑥=60时，𝑆有最大值，即𝑆=04】（2026·山东淄博·一模）王老师家有一块长6m、宽4m1，以前由于没有对其进行规划，导致每次浇水、施肥、2，在地块中间修建一个长、宽比为3∶2的长方形菜地，周围一圈是小路；在第一种方案中，若设菜地的宽为𝑥S关于𝑥在第二种方案中，若设道路的宽为𝑥米，求菜地面积𝑦关于𝑥【答案】(1)𝑆=−1.5𝑥2(2)𝑦=2𝑥2−14𝑥+(3)道路宽度为1m时，菜地的面积最大，此时菜地面积为设道路的宽为𝑥x【详解】（1）解：设菜地的宽为𝑥∴S关于𝑥的函数表达式为𝑆=6×4−1.5𝑥2=−1.5𝑥2解：设道路的宽为𝑥𝑦=(6−2𝑥)(4−𝑥)=2𝑥2−14𝑥+即菜地面积𝑦关于𝑥的函数表达式𝑦=2𝑥2−14𝑥+𝑥≥4−2×2𝑥≥6−41.5𝑥≤解得：1≤𝑥≤由（2）得：菜地面积𝑦关于𝑥的函数表达式𝑦=2𝑥2−14𝑥+∵𝑦=

−14𝑥+24=2

2−2，2>∴当𝑥≤2时，yx∴当𝑥=1时，y取得最大值，最大值为2×12−141+24=12，题型 二次函数的应用---销售问01】（2025•内江）2025年春节期间，我国国产动画电影《哪吒之魔童闹海》刷新了中国电影票房A100个，B2008000元．A、BBA602001元，销售量将减5Aa（60≤a≤100）元，WA款纪念品的利润（单位：元），WaW的最大值．B200个；（3）W＝﹣5（a﹣70）2+4500（60≤a≤100），W4500．B款纪念品mA款纪念品（400﹣m）A款纪念品的利润为（a﹣40）元，销售量为[200﹣5（a﹣60）]aW【详解】解：（1）Ax元，By200𝑥+300𝑦=100𝑥200𝑦=8000𝑥=𝑦=答：A40元，B20BmA（400﹣m）个，∴mB200a﹣70＝0a＝70时，W172810万元，随着观影人数的不断增多，73016.9200140本．72873024002300元（如房租、水电、人工等），在进价、成本、售价与销量关系【答案】(3)售价为23.53310【分析】（1）728730x1y2mW2Wm的二次函数关系，根据二次函数的性质【详解】（1）728730x，1，可得：10(1+𝑥)2=16.9，解得𝑥1=0.3，𝑥2=−2.3（不合题意，舍去728730日票房收入的平均增长率为y2，可列方程200+40𝑦=400，解得𝑦=5．5mW2𝑊=(𝑚−14)[200+=−40𝑚2+=−40(𝑚−23.5)2当𝑚=23.5时，W答：售价为23.53310求𝑦与𝑥【答案】(1)𝑦=−𝑥2（1）设出二次函数解析式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐根据二次函数的性质，求出函数取最大值时𝑥+++20𝑚=216【详解】（1）解：设𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，将(1,39)，(2,76)，(3,111)𝑎+𝑏+𝑐=394𝑎+2𝑏+𝑐=9𝑎+3𝑏+𝑐=

𝑎=𝑏=40𝑐=∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=−𝑥2（2）解：由（1）得：𝑦=−𝑥2+40𝑥=−(𝑥−20)2∵−1<∴当𝑥20时，𝑦最大，最大值为400，则(𝑚+6)天后原本库存剩余量为：400−[−𝑚+6)2+40(𝑚+6)，而𝑚天内再次购买的总量为∴400+(𝑚+6)2−40(𝑚+6)+20𝑚=整理得：𝑚2−8𝑚−20=解得：𝑚=10或𝑚=−2（舍去03】（2026·新疆乌鲁木齐·一模）端午节是我国的传统节日，吃粽子是中华民族传统习俗．市场上1080006000元购进的豆沙粽盒50元/10050元/盒时，售价12盒．若设海鲜粽每盒售价为𝑥元，每天销售海鲜粽的利润为𝑦元，求𝑦与𝑥【答案】(1)4030(2)𝑦

(40≤𝑥≤−2𝑥2+ (𝑥>(3)1750656000元购进的豆沙粽盒数相同，列出方程，解方程即可；分为当40≤𝑥≤50时及当𝑥>50 由题意得：𝑥=解得：𝑥=经检验，𝑥40是原分式方程的解，则𝑥−10=40−10=30，4030解：当40≤𝑥≤50100盒．单盒利润为(𝑥−40)元．则总利润：𝑦=100(𝑥−40)=100𝑥−4000(40≤𝑥≤50)当𝑥>5050元提高了(𝑥−50)元，销量减少2(𝑥−50)盒．此时销量为：100−2(𝑥−50)=则总利润：𝑦==−2𝑥2+280𝑥−8000(50<𝑥≤ (40≤𝑥≤∴𝑦与𝑥之间的关系式𝑦=−2𝑥2+ (𝑥>解：根据题意得：100−2(𝑥−50)≥70，解得：𝑥≤65，∴40≤𝑥≤当40≤𝑥≤50时，𝑦=因为𝑘=100>所以𝑦随𝑥当𝑥=50时，𝑦取得最大值，为：100×50−4000=1000，当50<𝑥≤65时：∵𝑦=−2𝑥2=−2(𝑥−70)2∴抛物线对称轴为直线𝑥=∵𝑎=−2<∴当𝑥<70时，𝑦随𝑥当𝑥=65时，y取得最大值，𝑦=∵1750>该商家每天销售海鲜粽能获得的最大利润为175065元．经市场调查，每日游客人数𝑦（人）与门票单价𝑥（元）门票单价𝑥（元游客人数𝑦（人𝑦人之间满足二次函数关系（若所有门票均售出），求游客人数𝑦与门票单价𝑥随着智能设备的引入，景区运营成本每人降低𝑎元（𝑎>3），且降低运营成本后的单价也不能低于【答案】(1)𝑦=−10𝑥+320(𝑥≥(2)𝑊=−11𝑥2+484𝑥−4324；单价为22元时利润最大，最大利润为1000(3)989+110𝑎；𝑎的值为【分析】（1）用待定系数法求游客人数𝑦与门票单价𝑥【详解】（1）解：设一次函数解析式为𝑦=𝑘𝑥𝑏(𝑘≠0)，将表格中(21,110)、(22,100)21𝑘+𝑏=22𝑘+𝑏=100𝑘=解得𝑏=320∴游客人数𝑦与门票单价𝑥的函数表达式为𝑦=−10𝑥+320(𝑥≥（2）解：设环保费𝑚与𝑦的二次函数关系式为𝑚=𝑎𝑦2+𝑏𝑦，代入(50,25)、(100,100)2500𝑎+50𝑏=10000𝑎+100𝑏=100𝑎=解 𝑏=∴𝑚=1∴𝑊=𝑥⋅=𝑥(−10𝑥+320)−10(−10𝑥+320)−100−

(−10𝑥+=−11𝑥2∵−11<∵对称轴𝑥=

=22，满足𝑥≥∴当𝑥=22时，𝑊=−11×222+484×22−4324=（3）解：运营成本每人降低𝑎𝑊=𝑥⋅𝑦−(10−𝑎)𝑦−100−

=𝑥(−10𝑥+320)−(10−𝑎)(−10𝑥+320)−100−

(−10𝑥+=−11𝑥2+(484−10𝑎)𝑥+∵−11<

∵对称轴为𝑥=−2×(−11)=∴当𝑥≥22−11时，𝑊随𝑥∵𝑎> ∴−11< ∴22−11<

<21，即

<21，𝑥≥∴当𝑥=21时，𝑊=−11212+(484−10𝑎)×21+320𝑎−4324=989+当𝑊=1429时，989+110𝑎=1429，解得𝑎=4，题型 二次函数的应用---拱桥问01】（2026·陕西西安·一模）一座三拱桥横跨于湖面之上，三个桥洞𝐿1、𝐿2、𝐿3以及桥面𝐿均呈抛物称，桥洞𝐿2的最高点𝐷在𝑂𝐶上，且𝐺𝐻40米，桥洞𝐿3最高点到湖面𝐺𝐻5米．求桥洞𝐿3 12分别在𝐿、1上，点1、2到𝑂𝐶12米．已知 12这两条标语的总长(𝑀1𝑁1+【答案】(1)𝑦=−1𝑥2根据题意得到𝐹(10,0)，𝐻(20,0)，求出桥洞𝐿3所在抛物线的顶点坐标为(15,5)，设𝐿3𝑦=𝑎(𝑥−10)(𝑥−20)，将(15,5)由于点𝑀1、𝑀2到𝑂𝐶12米，当𝑥=12时，求出

16，得到

= =

𝑀

=𝑀𝑁

=(12,5 5，根据对称性可知，2 1【详解】（1）解：由题意知，𝐸𝐹=𝑂𝐹=10，即∵𝐺𝐻40米，桥洞𝐿1、𝐿3关于𝑦𝑂𝐻=𝑂𝐺=20，即桥洞𝐿3最高点到湖面𝐺𝐻5∴顶点坐标的横坐标为 =15，纵坐标为设𝐿3抛物线𝑦=𝑎(𝑥−10)(𝑥−20)，5=∴𝑎=桥洞𝐿3所在抛物线的函数表达式为𝑦=−1(𝑥−10)(𝑥−20)=−1𝑥2 （2）解：由于点𝑀1、𝑀2到𝑂𝐶1211 1 当𝑥=12时，𝑦=−𝑥+12= ×12+12= ∴当𝑥=12时 122+6×12−40=∴

𝑦=−5 51=(12,5∴𝑀

=9−=1 5根据对称性可知，𝑀2𝑁2=故(𝑀𝑁+𝑀𝑁)=2×29=1 2

501】（2025·甘肃兰州·模拟预测）问题情境：如图18公里处的渭源县城的一座名为“灞陵桥”的纯木质拱桥，因渭水(1)模型建立：如图2x轴，桥拱与水面的一个交点为原点，过原点且垂直于水面的线为𝑦1 (01 (0≤𝑥≤【答案】(1)𝑦=−(𝑥−12) (2)（2）求出当𝑦=3.5时𝑥∵𝐵设抛物线的表达式为𝑦=𝑎(𝑥−12)2将点𝑂(0,0)代入表达式可得𝑎×(0−12)2+8=0，解得𝑎=−111 (0≤𝑥≤∴抛物线的表达式为𝑦=−(𝑥−12) （2）11 将𝑦=3.5代入𝑦=−(𝑥−12)11 得−(𝑥−12)+8=解得𝑥1=21，𝑥2=∴小舟高度为3.5米时，最大的通行宽度为21−3=18（米∵两艘小舟宽为6米，6+6=12<02】（2024·浙江绍兴·一模）120米，6452．353【答案】(1)𝑦=−𝑥5.5【分析】（1）设抛物线的函数表达式为𝑦=𝑎𝑥2+6（𝑎≠0），把𝐵（10，0）a的值，即可得出（2）将𝑥=5y的值，可求出支柱𝑀𝑁 （3）将𝑥=2y的值，再与5+4【详解】（1）设抛物线的函数表达式为𝑦=𝑎𝑥2+6（𝑎≠0）．把𝐵（10，0）代入得：100𝑎+6=0，解得𝑎=3抛物线的函数表达式为𝑦=−𝑥3x=5时，𝑦=−3×25+6=∴𝑀𝑁=10−4.5=5.5（米当𝑥=

𝑦=

5+2

8 组长：×××组长：×××长𝐵𝐶=16m，宽𝐴𝐵=标杆𝐸𝐹7.5m，标杆底端到左墙的距离为𝐵𝐹=4m；(1)1P到路面𝐵𝐶(2)21【答案】(1)𝑦=−𝑥+8P1(2)【分析】（1）根据题意建立平面直角坐标系，设函数表达式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑐，根据题意，得点𝐸,𝐷【详解】（1）设函数表达式为𝑦=𝑎𝑥2

16𝑎+𝑐=64𝑎+𝑐=6𝑎=−解 32𝑐=11∴抛物线的函数表达式为：𝑦=−𝑥当𝑥=0时，𝑦=∴P到路面𝐵𝐶的距离为𝑦=∴当𝑥=3时 1×32+8≈7.72𝑦=【变式04】（2026·河南南阳·一模）校门上部呈抛物线形，校门下部为矩形𝐴𝑂𝐵𝐶，已知𝑂𝐴=5m，𝑂𝐵=4m，校门最高点到𝐵𝐶的距离𝑃𝐷=m．现需在校门上部的点𝑀，𝑁处各悬挂一个灯笼（点𝑀，𝑁均在抛物线上），且点𝑀，𝑁关于𝑃𝐷求抛物线的函数表达式，并写出自变量𝑥【答案】(1)图见解析，点𝑃的坐标为5(2)𝑦=

+(0≤𝑥≤【分析】（1）根据要求建立平面直角坐标系，根据矩形的性质得到𝑂𝐴=𝐵𝐶=5m，𝑦𝐵=𝑦𝐶

=

5，𝑂𝐵=4m求出𝑦=

𝑃𝐷=

2（2）设抛物线的函数表达式为𝑦=𝑎

+2，将

，求出当𝑥=时y的值，即𝑂𝐸= 【详解】（1）∴𝑂𝐴=𝐵𝐶=5m，𝑦𝐵=∵P∴B、C关于𝑃𝐷∴𝐵𝐷

2𝐵𝐶

即

=∵𝑃𝐷

5m，𝑂𝐵= ∴𝑦𝑝=2+4=2即点𝑃的坐标为5 （2）解：设抛物线的函数表达式为𝑦=𝑎 +2由题意，得将

(0,4)代入表达式，得4=𝑎

+2解得𝑎=∴抛物线的函数表达式为𝑦=

+13(0≤𝑥≤∵𝑀𝑁=2m，∴𝐸𝐹=∴𝑂𝐸=1(𝑂𝐴−𝐸𝐹)=

当𝑥=2时，𝑦=−5∵6.1−1.5=

+=∴灯笼最底端离地面的高度为题型 二次函数的应用---投球问米的𝐴𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥1.8（𝑎，𝑏为常数）图象的一部分，其中𝑦（米）是球的高度，𝑥（米）是球和原点的水平距𝑡（秒𝑥（米𝑡（秒𝑥（米求𝑦与𝑥(3)当𝑡为1.6秒时，小明将球击回、球在第一象限的运动路线可以看作是二次函数𝑦=−0.02𝑥2+𝑝𝑥+ 【答案】(1)𝑦=−0.05𝑥2+0.8𝑥+𝑝≤（2）先求出球和原点的水平距离𝑥（米）与时间𝑡（秒）的关系式为𝑥=10𝑡（3）先求出击球点位置为(16,1.8)，再将(16,1.8)代入𝑦=−0.02𝑥2+𝑝𝑥+𝑚，求出𝑦=+𝑝𝑥6.92−16𝑝，根据𝑥=2时，𝑦≥1.84𝑎+2𝑏+1.8=16𝑎+4𝑏+1.8=4.2

𝑎=𝑏=0.8∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=−0.05𝑥2+0.8𝑥+（2）解：由表格可知𝑡=0,𝑥=∴设球和原点的水平距离𝑥（米）与时间𝑡（秒）的关系式为：𝑥=𝑘𝑡(𝑘≠0)，代入(0.4,4)得：0.4𝑘=4，解得：𝑘=∴𝑥=对于𝑦=−0.05𝑥2+0.8𝑥+1.8，𝑎=−0.05<∵对称轴为：直线𝑥=

=∴当𝑥=8时，𝑦max=−0.05×82+0.8×8+1.8=5，此时10𝑡=8，解得：𝑡=（3）解：由题意得，当𝑡=1.6时，𝑥=1.6×10=∴𝑦==−0.05×162+0.8×16+1.8=将(16,1.8)代入𝑦=−0.02𝑥2+𝑝𝑥𝑚，则−0.02×162+16𝑝+𝑚=1.8，∴𝑚=∴𝑦=−0.02𝑥2+𝑝𝑥+∵𝑥=2时，𝑦≥∴−0.02×22+2𝑝+6.92−16𝑝≥解得：𝑝≤故答案为：𝑝≤01】（2026·广东珠海·一模）掷实心球是某市中考体育考试选考项目．小强为了解自己实心球的训(1)【答案】(1)𝑦=−0.1(𝑥−4)2(2)【分析】（1）根据抛物线的顶点为𝐵(4,3.6)可以设解析式为𝑦=𝑎(𝑥−4)2+3.6(𝑎≠0)，再将点𝐴(0,2)代入（2）根据题意将𝑥=9∴设抛物线的顶点式为：𝑦=𝑎(𝑥−4)2+3.6(𝑎≠0)，将出手点𝐴(0,2)代入解析式：2=𝑎(0−4)2+3.62=16𝑎+16𝑎=解得𝑎=∴抛物线的解析式为𝑦=−0.1(𝑥−4)2由题意得，将𝑥=9代入抛物线解析式，得𝑦=−0.1×(9−4)2+3.6=−0.1×25+=1.1（米∴1.1<02】（2026·辽宁铁岭·二模）足球训练中球员从球门正前方8米的𝐴1 (2)若球门𝑂𝐵=2.52米，守门员最大防守高度𝑂𝐶=2.25米，若射门路线的形状、最大高度均保持不变，当1 【答案】(1)抛物线的函数表达式为𝑦=−(𝑥−2)𝑛的取值范围为4.4<𝑛<【分析】（1）根据题意，先得出对应的顶点坐标和𝐴（2）先得出移动后的函数表达式，由点𝐵，𝐶坐标即可得出𝑛令抛物线的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−2)2+3，将点𝐴(8,0)代入𝑦=𝑎(𝑥−2)2得0=𝑎(8−2)2解得𝑎=11 故抛物线的函数表达式为𝑦=−(𝑥−2) 1 （2）解：令移动𝑛(𝑛>0)米后得抛物线表达式为1=−(𝑥 1 1 若恰达到𝐶点，即𝑥=0时，1=−(0+𝑛−2)+3=解得𝑛=5或𝑛=−1（舍去 1 若恰达到𝐵点，即𝑥=0时，1=−(0+𝑛−2)+3=解得𝑛=4.4或𝑛=−0.4（舍去）；综上，𝑛的取值范围为4.4<𝑛<5．速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一𝑂正上方2米的𝐴𝐴水平距离6米处达到最高，最高点距离地面3.米．在如图所示的平面直角坐标系中，𝑂为原点，𝐴在𝑦球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中𝑦（米）是球的高度，𝑥（米）是球与原点的水平距离． 度范围为66米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落𝑑（0<𝑑<3𝑑1 【答案】(1)𝑦=1 (3)𝑑2（2）把𝑥=13代入（1）（3）把𝑦=6代入（1）中解析式，求得𝑥=14【详解】（1）解：由题意得，抛物线的顶点坐标为∴设抛物线的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−6)2+3.5，把𝐴(0,2)代入可得2=𝑎×62+3.5，解得，𝑎=11 ∴抛物线的函数表达式为𝑦=−(𝑥−6)（2）解：由题意，把𝑥=13代入𝑦=−1×(𝑥−6)2+3.5𝑦=−1×(13−6)2+3.5= −1.07≈𝑦=（3）解：由题意，把𝑦=5代 1×𝑦=

5=−1×(𝑥−6)2

得 解得𝑥=14，𝑥=−2（舍去），16−14=2（米），∴𝑑的最小值是2(1)1 1 【答案】(1)𝑦=−(𝑥−4)(2)该网球的落地点𝐵𝑦=𝑎(𝑥−4)2+3.2，把点𝐴的坐标(−3,0.75)代入𝑦=𝑎(𝑥−4)2+3.2，求出𝑎1 （2）当𝑦=0时，可得方程−(𝑥−4)+3.2=0，解方程可得：𝑂𝐵=1 设抛物线的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−4)2+3.2，把点𝐴的坐标(−3,0.75)代入𝑦=𝑎(𝑥−4)2+3.2，可得：0.75=𝑎(−3−4)2+3.2，解得：𝑎=11 抛物线的解析式为𝑦=−(𝑥−4)当𝑦=0时，1 可得： (𝑥−)+3.2=1 解得：𝑥1=12，𝑥2=−4（不符合题意，舍去∴𝑂𝐵=∴1×36.6=∵12<∴该网球的落地点𝐵题型 二次函数的应用---喷水问2Hh为1.2米．可以把洒水车喷出的上、下边缘抽象为两条抛物线的部分图象．上边缘抛物线最高点𝐴2米，喷出水的最大射程𝑂𝐶6米．把绿化带横截面抽象为矩形𝐷𝐸𝐹𝐺，其水平宽度𝐷𝐸=1.5米．竖直高度𝐸𝐹=0.7米，洒水车与绿化带之C，H求上边缘抛物线的函数解析式，下边缘抛物线的解析式及与𝑥B【答案】(2)上边缘抛物线的解析式为𝑦1=−0.1(𝑥−2)2+1.6；下边缘抛物线的解析式为𝑦2=−0.1(𝑥+2)2的坐标为(3)2≤𝑂𝐷≤【分析】（1）C、H（2）先推导出上边缘抛物线的顶点为𝐴(2,𝑘)，且过点𝐻(0,1.2)和𝐶(6,0)，设上边缘抛物线的顶点式为𝑦1=𝑎(𝑥−2)2+𝑘(𝑎≠0)，将𝐻(0,1.2)，𝐶(6,0)分别代入，求出上边缘抛物线的解析式为：𝑦1=−0.1(𝑥−2)2+1.6，由下边缘抛物线是上边缘抛物线向左平移得到，且过点𝐻(0,1.2)，设下边缘抛物线的解析式为𝑦2=−0.1(𝑥−2+𝑚)2+1.6，将𝐻(0,1.2)代入，求出下边缘抛物线的解析式为𝑦2=−0.1(𝑥+2)2+1.6B（3）先求出𝑂𝐵=2，则𝑂𝐷≥2，将𝑦1=0.7代入𝑦1=−0.1(𝑥−2)2+1.6，解得𝑥=−1（不符合题意，舍去）或𝑥=5，此时𝑂𝐷=5−1.5=3.5，则2≤𝑂𝐷≤3.5，即可解答；【详解】（1）解：∵Hh为1.2∵喷出水的最大射程𝑂𝐶6所以设上边缘抛物线的顶点式为𝑦1=𝑎(𝑥−2)2+𝑘(𝑎≠0)，1.2=4𝑎+0=16𝑎+𝑘𝑎=解得𝑘=1.6∴上边缘抛物线的解析式为：𝑦1=−0.1(𝑥−2)2+1.6，即𝑦1=−0.1𝑥2+0.4𝑥+1.2，∴设下边缘抛物线的解析式为𝑦2=−0.1(𝑥−2𝑚)2+1.6，1.2=−0.1(−2+𝑚)2解得𝑚=4或𝑚=0（与上边缘重合，舍去∴下边缘抛物线的解析式为：𝑦2=−0.1(𝑥2)2+1.6，令𝑦=0，则−0.1(𝑥+2)2+1.6=0，即(𝑥+2)2=解得𝑥=2或𝑥=−6（不符合题意，舍去∴xB的坐标为∴𝑂𝐵=2，则𝑂𝐷≥将𝑦1=0.7代入𝑦1=−0.1(𝑥−2)2+1.6−0.1(𝑥−2)2+1.6=解得𝑥=−1（不符合题意，舍去）或𝑥=∴当𝑥=5F在上边缘抛物线上，此时𝑂𝐷=5−1.5=∴2≤𝑂𝐷≤01】（2026·山西晋城·一模）并说明理由．（【答案】(1)𝑦=−1(𝑥−12)2

=【分析】（1）设顶点式𝑦=𝑎(𝑥−12)2+16先求出距离地面高度不低于12mx由（1）5个单位长度可得新的抛物线，再令𝑦=0求出落地点与表演台中心水平【详解】（1）解：根据题意，该抛物线的顶点N的坐标为12，16，设该抛物线的表达式为𝑦=𝑎(𝑥−12)2+16，把𝑂(0,0)代入，得0=𝑎(0−12)2解得𝑎=∴

1(𝑥−12)2𝑦=（2）解：当𝑦=12

1(𝑥−12)2解得：𝑥1=6,𝑥2=

12=∵

<当6≤𝑥≤18时，铁水在飞行过程中距离地面高度不低于距离地面高度不低于12m的水平飞行距离为18−6=由题意知，新抛物线解析式为𝑦=−1(𝑥−12)2+16+5=−1(𝑥−12)2当𝑦=0

1(𝑥−12)20=解得：𝑥1=12+321,𝑥2=12−321（不符合题意，舍去∵12+ +4=29.749>与表演台中心水平距离为28m02】（2026·江苏扬州·一模）问题情境：如图，某生态景观园区为打造“滨水乐仪”（水平面上）0y（单位：m）0x（单位：m）近似x1 0x（单位：m）近似满足关系式：𝑦−0.05𝑥2+𝑡𝑥0水平距离44m处有一MM的4m范围内（含4m），1 【答案】(1)𝑦=−(𝑥−20)(3)2≤𝑡≤1 1 1 （2）对于𝑦=−(𝑥−20)+10，令𝑦=5，则−(𝑥−20)+10=5 （3）对于𝑦=−0.05𝑥2+𝑡𝑥中，令𝑦=0，求出方程的根，根据题意可得44−4≤𝑥≤44+4，即可求解𝑡的【详解】（1）设𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=𝑎(𝑥−20)2+10(𝑎≠0)，∵当𝑥=0时，𝑦=∴𝑎×(0−20)2+10=解得𝑎=11 ∴𝑦与𝑥的函数关系式为𝑦=−(𝑥−20)1 （2）解：由题意得，对于𝑦=−(𝑥−20)+10，令𝑦1 则−1(𝑥−20)2+10=解得𝑥1=20−102，𝑥2=20+∴𝑥2−𝑥1=20答：观赏灯带可铺设的最大长度为20（3）解：在𝑦=−0.05𝑥2+𝑡𝑥中，令𝑦=则−0.05𝑥2+𝑡𝑥=解得𝑥1=0（舍去），𝑥2=

=M的4m范围内(含4m)，则44−4≤𝑥≤44+4，即40≤𝑥≤48，∴40≤20𝑡≤解得2≤𝑡≤A点到台面高度𝐴𝐵为18cm，𝑂𝐵为4cm，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+15，这滴洗手液在水平方向喷出3cm时，到台面高度为15cm．A小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心𝑀𝑁约为4cmMA3cm．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心𝑀𝑁h【答案】(1)𝑦=

+4𝑥+4≤ℎ≤【分析】（1）（2）令𝑦=0（3）MN把(4,18)、(7,15)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+15，16𝑎+4𝑏+15=49𝑎+7𝑏15=𝑎=−

𝑏=

𝑦=

+4𝑥+（2）解：令𝑦=0

+𝑥+15=解得𝑥=12或𝑥=−5（舍去）．与喷口水平距离为12−48cm．故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离8cm（3）M横坐标为𝑥=4+3=7N横坐标为𝑥=7+4=11．M时：令𝑥=7

𝑦=−4 +4×7+15=N令𝑥=11

𝑦=−4

+4×11+15= ∵𝑎=−<0，抛物线开口向下

= 4=

2×− ∴在𝑥>2时，yx∴手心𝑀𝑁h的范围是4≤ℎ≤斜坡上有一棵小树𝐴𝐵（垂直于水平面），树高4mA0的距离𝑂𝐴=4m1所示的平面直角坐标系，在喷水过程中，水流运行的路线是抛物线，水流到达的最大高度是6mBC处．(1)(2)2，现决定在山上种另一棵树𝑀𝑁（垂直于水平面），树的最高点不能超过喷水路线，为了加固树，【答案】(1)𝑦=−1𝑥2+2(2)25【分析】（1）延长𝐵𝐴xH，求出𝐵B为抛物线的顶点，设出顶点式，待定系数法（2）求出直线𝑂𝐶的解析式，设𝑀𝑡3𝑡，则𝑁𝑡,1𝑡2+23𝑡，将𝑃𝑁转化为二次函数求最值即可 【详解】（1）解：如图，延长𝐵𝐴xH，则∠𝐴𝐻𝑂=∵∠𝐴𝑂𝐻=30°，𝑂𝐴=∴𝐴𝐻

𝑂𝐴=2m，𝑂𝐻=𝑂𝐴⋅cos∠𝐴𝑂𝐻=4cos30°=4

=2∵𝐴𝐵=∴𝐵𝐻=𝐴𝐵+𝐴𝐻=4+2=∴𝐵23,6∵6BB∴设抛物线解析式为𝑦=𝑎(𝑥−23)将𝑂(0,0)代入得12𝑎+6=0，解得 𝑎=

1(𝑥−2𝑦=𝑦=

+6= +2（2）解：由（1）知，𝐴23,2，设直线𝑂𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥，则23𝑘=2，解得：𝑘=3，∴𝑦=2，设𝑀𝑡3𝑡，则𝑁𝑡,1𝑡2+23𝑡 ∴𝑀𝑁= 3 1𝑡2+5+23𝑡−+23𝑡−𝑡=∵∠1=∴∠2=

∴∠𝑁𝑀𝑃=∠2=∵𝑁𝑃⊥∴∠𝑁𝑃𝑀=1 5

1 5

525525∴𝑃𝑁=𝑀𝑁⋅sin∠𝑁𝑀𝑃=−2 <

+3𝑡sin60°=−2

+3𝑡×2=−4

525∴当𝑡 525答：𝑃𝑁的最大值为25题型 二次函数的应用---图形运动问01】（2026·河南周口·模拟预测）1，在𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵3cm，𝐵𝐶=5cm，∠𝐴=90°．动点𝑃(1)当𝑡= s时，△𝐴𝑃𝑄的面积是△2①请你求出𝐴𝑃𝑄的面积𝑆2中画出4≤𝑡≤8②在点𝑃、𝑄运动的过程中，请直接写出𝐴𝑃𝑄3时，对应的𝑡【答案】(1)当𝑡=2s3s△𝐴𝑃𝑄 (2)5；见解析；②6C（2）①结合（1）分三种情况：当𝑡≤3时；当3<𝑡≤4时；当4≤𝑡≤8时，结合二次函数的和一次函数的【详解】（1）P在𝐴𝐵上时，此时𝐴𝑃=𝑡cm,𝐴𝑄=𝑡cm，其中𝑡≤∵∠𝐴=90°△𝐴𝑃𝑄 ∴𝐴𝑃×𝐴𝑄=2，

=解得：𝑡=2（负值舍去P在𝐵𝐶QCQ作𝑄𝐷𝐵𝐶DA作𝐴𝐸𝐵𝐶E，此时𝐵𝑃=(𝑡−3)cm，𝐶𝑃=(8−𝑡)cm，𝐴𝑄=𝑡cm，其中3<𝑡<4，∵𝐴𝐵=3cm，𝐵𝐶=5cm，∠𝐴=∴𝐴𝐶 =∴𝐶𝑄= ∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵×𝐴𝐶=2𝐴𝐸× ∴×3×4=𝐴𝐸×5，解得：𝐴𝐸= ∵sin𝐶=𝐵𝐶= ∴5=∴𝐷𝑄=3(4−𝑡)，𝐴𝑃𝑄∴𝑆△𝐴𝑃𝑄=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐴𝐵𝑃−𝑆△𝐶𝑃𝑄= 即2×3×4−2×5

×(4−𝑡)×(8−𝑡)=解得：𝑡1=12−2

12+2 12+2P在𝐵𝐶QCA作𝐴𝐸⊥𝐵𝐶E，此时𝐶𝑃=5+3−𝑡=(8−𝑡)cm，𝐴𝑄=4cm，其中4≤𝑡≤8，𝐴𝑃𝑄∴1𝐶𝑃×𝐴𝐸=2，即1(8−𝑡)×12= 解得：𝑡=3综上所述，当𝑡=2s3s△𝐴𝑃𝑄（2）解：①由（1）得：当𝑡≤3时，𝑆=此时当𝑡=3时，S取得最大值，为

3

当3<𝑡≤4时，𝑆=×3×4−×

×5(4−𝑡)×(8−𝑡)=

𝑡+5𝑡=

+5∵−3<此时当𝑡=4时，S5当4≤𝑡≤8时，𝑆=1(8−𝑡)×

5=−𝑡+5∵6<∴yx∴此时当𝑡=4时，S5综上所述，S5对 𝑆=−5𝑡+5，当𝑡=8时，𝑆=

𝑆=−5𝑡+5画出4≤𝑡≤8②当𝑡≤

时 =此时𝑡=6（负值舍去33 当3<𝑡≤4时，−(𝑡−4)+= 此时𝑡=4±6（不符合题意，舍去当4≤𝑡≤8时， 48=−𝑡+ 此时𝑡=2△𝐴𝑃𝑄3时，对应的𝑡的值为6201】（2026·山东青岛·一模）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵8，𝐵𝐶=6．点𝑃从点𝐴出发，沿𝐴𝐵方向动．当点𝑄到达点𝐶时，𝑃，𝑄同时停止运动．设运动时间为𝑡秒（0<𝑡≤3）．连接𝑃𝑄，将线段𝑃𝑄绕点𝑃按当𝐸𝑄𝐶𝐷时，求𝑡【答案】(1)𝑡=(2)𝑆=(𝑡−1)2+15，当𝑡=1时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐹的面积最小，最小值为(3)存在，𝑡7−【分析】（1）根据矩形的性质，结合旋转的性质，得到𝑃𝐵=𝑄𝐵t𝐴𝑃𝐹𝐵𝑄𝑃，得到𝐴𝐹4−𝑡，表示𝑆四边形𝐴𝑃𝑄𝐹=(𝑡−1)2+15 证明△𝐸𝐺𝐷∽△𝐸𝑁𝑄，得到8+𝑡=8−3𝑡【详解】（1）解：由题意得，𝑃𝑄=𝑃𝐸，∠𝐸𝑃𝑄=∴∠𝑃𝑄𝐸=∴𝐴𝐵∥∴当𝐸𝑄𝐶𝐷时，𝐸𝑄∴∠𝑄𝑃𝐵=∠𝑃𝑄𝐸=∴𝑃𝐵=即8−𝑡=解得𝑡=∴∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐶𝐵𝐴=∴∠𝐴𝐹𝑃+∠𝐴𝑃𝐹=∠𝐵𝑃𝑄+∠𝑃𝑄𝐵=∵∠𝐸𝑃𝑄=∴∠𝐴𝑃𝐹+∠𝐵𝑃𝑄=∴∠𝐴𝑃𝐹=∴△𝐴𝑃𝐹∽△∴𝐴𝐹=

=

𝐵𝑄

∴𝐴𝐹=∴𝑆四边形𝐴𝑃𝑄𝐹=𝑆梯形(4−(4−+2𝑡)× −(8−𝑡)× =(𝑡−1)2∵1>∴当𝑡=1时，四边形𝐴𝑃𝑄𝐹的面积最小，最小值为解：假设存在合题意的𝑡，过点𝐸作𝐸𝑀𝐵𝐴，交𝐵𝐴的延长线于点𝑀，作𝐸𝑁𝐵𝐶，交𝐵𝐶∵∠𝐴𝑃𝐹=∠𝑃𝑄𝐵，𝑃𝑄=𝑃𝐸，∠𝐸𝑀𝑃=∠𝑃𝐵𝑄=∴△𝐸𝑀𝑃≌△∴𝐸𝑀=𝑃𝐵=8−𝑡，𝑀𝑃=𝐵𝑄=∴𝐸𝐺=𝐴𝑀=𝑡，𝐸𝑁=8+𝑡，𝐷𝐺=𝐶𝑁=8−𝑡−6=2−𝑡,𝑁𝑄=8−𝑡−2𝑡=∵∠𝐷𝐸𝐺=∠𝑄𝐸𝑁，∠𝐸𝐺𝐷=∠𝐸𝑁𝑄=∴△𝐸𝐺𝐷∽△∴𝐸𝐺=𝐺𝐷

解得𝑡1=7−17，𝑡2=7+17>3(舍 7−∴当𝑡 7−02】（2025·吉林·模拟预测）如图，在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，𝐵𝐶=3cm，D是𝐵𝐶重叠部分的面积为𝑆(cm2)P运动的时间为𝑡(s)．(1)𝐴𝐶= A落在边𝑃𝑅t𝑃𝑄𝑅△𝐴𝐵𝐶St【答案】(2)𝑡=−3𝑡2+33𝑡+15

0<𝑡<(3)𝑆

−33𝑡2+33𝑡+45

<𝑡< （1）结合直角三角形的相关性质进行列式，再把数值代入tan∠𝐵=𝐵𝐶，可得出𝐴𝐶=3（2）解直角三角形𝐴𝐶𝑃得出𝑃𝐶

3

=1，结合D是𝐵𝐶的中点，

𝐶𝐸=𝐶𝐷=2𝐵𝐶=（3）分两种情形：当0<𝑡<1时，设𝑅𝑄与𝐴𝐵W，作𝑊𝑉⊥𝐵𝐶V，则𝑊𝑉=3𝑄𝑊=

3−𝑡 2而得出

，可求得

，进而得出结果；同样求得当2<𝑡<3时的结果【详解】（1）解：∵在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90°，∠𝐵=30°，𝐵𝐶=∴tan∠𝐵=即tan30°=𝐴𝐶= ∴𝐴𝐶故答案为：即△𝑃𝑄𝑅是等边三角形，∴∠𝑅𝑃𝑄60°，由（1）得𝐴𝐶=∵∠𝐴𝐶𝑃=∴𝑃𝐶=

=∵D是𝐵𝐶 ∴𝐶𝐸=𝐶𝐷=2𝐵𝐶=∴𝐸𝑃=𝐶𝐸−𝑃𝐶=∴动点PQ分别从点EDP以1cm/s的速度沿𝐸𝐷向终点DQ以1cm/s的速度沿∴𝑡=当0<𝑡<2时，设𝑅𝑄与𝐴𝐵W，作𝑊𝑉𝐵𝐶∵∠𝑅𝑃𝑄=60°，∠𝐵=∴∠𝐵𝑊𝑄=∠𝑅𝑄𝑃−∠𝐴𝐵𝐶=60°−30°=∴∠𝐵=∴𝑄𝑊=𝐵𝑄=∴𝑊𝑉=3𝑄𝑊=

3 2 3 3 ∴𝑆△𝐵𝑊𝑄=2×𝐵𝑄×𝑊𝑉=2

2−𝑡×

2−𝑡=

则𝑆△𝐴𝐵𝐶=1×𝐴𝐶×𝐵𝐶=1

×32 33 2

3

3153∴𝑆=𝑆△𝐴𝐵𝐶−𝑆△𝐵𝑊𝑄=23−当2<𝑡<3

=−4

4+∴𝑃𝑄=𝐵𝐸−𝐸𝑃−𝐵𝑄=

=

3𝑃𝑄=3𝑃𝑄2=△𝑃𝑅𝑄=2×𝑃𝑄× 则𝑅𝑇=𝑅𝑄−𝐵𝑄=𝑃𝑄−𝐵𝑄=(6−2𝑡)−∵∠𝑅𝑃𝑄+∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝑃𝑊𝐵=∠𝑅𝑊𝑇=

=2∴𝑅𝑊=2𝑅𝑇,𝑊𝑇

△𝑅𝑇𝑊=2𝑅𝑊×𝑊𝑅

则𝑆=

=−33𝑡2+33𝑡+45 −3𝑡2+33𝑡+1530<𝑡<综上所述：𝑆

−33𝑡2+33𝑡+45

<𝑡< 03】（2025·山东青岛·模拟预测）如图，在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷和𝑅𝑡△𝐶𝐷𝐸中，𝐴𝐵=8cm，𝐵𝐶=𝐶𝐸=6cm，动点P从点A出发，沿𝐴𝐵方向匀速运动，速度为1cms；同时，动点Q从点E出发，沿𝐸𝐷方向匀速运动，速度为2cms．过点P作𝑃𝐹∥𝐷𝐸，与𝐵𝐷交于点M，与𝐵𝐶交于点F，连接𝐹𝑄．设时间为𝑡（0<𝑡≤5），解当𝐹𝑄𝐵𝐷t设五边形𝐴𝑃𝐹𝑄𝐷的面积为𝑆(cm2)，求𝑆ttQ在∠𝐸𝐹𝑀t【答案】(1)𝑡=39

(2)𝑆=−𝑡

+48(0<𝑡≤5) 过点𝑄作𝑄𝐺𝐵𝐸交𝐵𝐸于𝐺，证明𝐵𝐷𝐸是等腰三角形，得到∠𝐸的三角函数值，当𝐹𝑄𝐵𝐷∠𝑄𝐹𝐸=∠𝐷𝐵𝐸△𝑄𝐹𝐸（2）根据𝑆𝐴𝑃𝐹𝑄𝐷=𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐸𝐷−𝑆△𝑃𝐵𝐹−𝑆△𝑄𝐹𝐸（3）过点𝑄作𝑄𝐻𝑃𝐹交𝑃𝐹于𝐻，连接𝐷𝑃，当点𝑄在∠𝐸𝐹𝑀的平分线上时，𝑄𝐺=𝑄𝐻，根据𝑆𝐴𝑃𝐹𝑄𝐷=+𝑆𝐴𝑃𝑄𝐷求出代数式，再结合（2）【详解】（1）解：如图，过点𝑄作𝑄𝐺𝐵𝐸交𝐵𝐸于由题意知，𝐴𝐵=𝐷𝐶=8cm，𝐵𝐶=𝐶𝐸=62+∴𝐵𝐷=𝐷𝐸62+𝐵𝐷𝐸是等腰三角形，∠𝐷𝐵𝐸=

tan∠𝐸=𝐶𝐸=6=3，cos∠𝐸=𝐷𝐸=10=5，sin∠𝐸=𝐷𝐸=10=∴∠𝑃𝐹𝐵=∵𝐴𝑃=𝑡cm，𝐸𝑄=∴𝑃𝐵=𝐴𝐵−𝐴𝑃=8−𝑡，𝐷𝑄=𝐷𝐸−𝑄𝐸=∴𝐵𝐹

=3(8−𝑡)，𝐸𝐹=𝐵𝐸−𝐵𝐹= 3

=6+当𝐹𝑄𝐵𝐷时，∠𝑄𝐹𝐸=∵∠𝐷𝐵𝐸=∴∠𝑄𝐹𝐸=𝑄𝐹𝐸∴𝐹𝐺=𝐺𝐸

2𝐸𝐹

6+

𝑡=3

∴cos∠𝑄𝐸𝐺=𝐺𝐸=3+8𝑡

∴24+3𝑡=

解得：𝑡=40解：∵0<𝑡≤∴𝑄点运动到点𝐷由（1）知，𝐴𝑃=𝑡，𝑃𝐵=8−𝑡，𝐵𝐹=

3，𝑄𝐸=2𝑡，sin∠𝐸= 𝐹𝐸=6+ ∴𝑄𝐺=𝑄𝐸sin∠𝐸=5×2𝑡=5𝑆𝐴𝑃𝐹𝑄𝐷=𝑆梯形6+ ×8−2×4(8−𝑡)× 6+4

2×8−8(8−𝑡)

6+4

=9×

(64−16𝑡+𝑡2)−

5−3 3=72−24+6𝑡−8𝑡−5−5=48+ 𝑡2+5=−

+

∴𝑆=−

+6𝑡+48(0<𝑡≤解：如图，过点𝑄作𝑄𝐻𝑃𝐹交𝑃𝐹于𝐻，连接当点𝑄在∠𝐸𝐹𝑀的平分线上时，𝑄𝐺=

，𝐹𝐸=6

3𝑡，𝑄𝐺=4

1𝑡，𝐵𝐺=𝐵𝐸−𝐺𝐸=12−3

8𝑡=∴𝑄𝐻=4

1𝑡，𝑃𝐹𝑃𝐵2𝑃𝐵2+

=5(8−𝑡)， 5∴𝑆△𝑃𝐹𝑄=2𝑃𝐹·𝑄𝐻=2×4

×4+2𝑡=

𝑡而𝑆𝐴𝑃𝑄𝐷=𝑆梯形𝐴𝐵𝐶𝐸𝐷−𝑆梯形6+ 𝑃𝐵+ × ×𝐵𝐺−2𝐺𝐸×(8−𝑡)+4(8−𝑡)+4+2

×9−8𝑡−2×3+8𝑡×4+2=

𝑡2−2𝑡+54

𝑡2+2𝑡+33=−𝑡+3𝑡+∴𝑆𝐴𝑃𝐹𝑄𝐷=𝑆△𝑃𝐹𝑄+=−

𝑡2+20+−

𝑡2+3𝑡+=−1𝑡2+3𝑡+结合（2）−

+3𝑡+32=

9

+3𝑡+ 解得：𝑡=±∵0<𝑡≤04】（2025·江苏徐州·模拟预测）在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=22，∠𝐴=45°，以𝐴𝐵所在直线为𝑥轴，𝐴为坐标原点建立直角坐标系，将▱𝐴𝐵𝐶𝐷绕𝐴点按逆时针方向旋转90°得到▱𝑂𝐸𝐹𝐺（1）C、F秒（3），▱𝐴𝐵𝐶𝐷与▱𝑂𝐸𝐹𝐺重叠部分的面积为𝑦，当点𝐷移动到▱𝑂′𝐸𝐹𝐺的内部时，求𝑦与𝑥之间的关【答案】(2)𝑦=−1𝑥2+2𝑥−2(2<𝑥<−1(𝑥−4)2+4(2<𝑥≤(3)𝑦

−

+15(3<𝑥<4)【分析】（1）根据勾股定理和坐标知识可求出𝐶，𝐹（2）因为∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐺𝑂𝐴=45°，以及重叠部分的面积可用四边形𝐴𝑂𝐻𝐷和三角形𝐴𝑂𝐹的面积来表示出来，（3）分两种情况：当2<𝑥≤3时和当3<𝑥<4时进行讨论，分别求出表示面积的解析式，然后根据二次【详解】（1）解：如图，过𝐶作𝐶𝐻𝑥轴，过𝐹作𝐹𝑄𝑥∵在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，已知𝐴𝐵=5，𝐵𝐶=22，∠𝐴=∴𝐵𝐶∥∴∠𝐶𝐵𝐻=∠𝐷𝐴𝐵=∴𝐶𝐻

=则𝐵𝐻=𝐶𝐻=2，𝑂𝐻=5+2=∴同理可得，𝐹𝑄=𝑄𝐸=2，𝑂𝑄=5+2=由题意得，∠𝐷𝐴𝐵=∠𝐺𝑂𝐴=∴𝑂𝑀=𝐴𝑀=2𝑂𝐴=2𝑥，∠𝐴𝑀𝑂= ∵𝐶𝐷=𝐴𝐵=∴∴𝐷𝐻=∴𝑦=𝑆四边形𝑂𝐻𝐷𝑀=𝑆梯形 =2(𝐷𝐻+𝐴𝑂)⋅𝑂𝐻−2𝑀𝐴⋅ =2(𝑥−2+𝑥)×2−2 =−1𝑥2点𝐷移动到▱𝑂𝐸𝐹𝐺∴−2<2−𝑥<解得：2<𝑥<∴𝑦与𝑥

1𝑥2+2𝑥−2(2<𝑥<𝑦=解：2秒后，𝐷移动到▱𝑂′𝐸𝐹𝐺的内部，当2<𝑥≤3时，如图，𝑂𝐴=𝑥，𝐷𝐽=𝑥−2，由（1）知𝑂𝑁=2，则𝐴𝑁=𝐴=45°，𝐹𝐺𝑥∴𝑀𝑁=𝐴𝑁=∵𝑆=𝑆梯形 ∴𝑦= 2(𝑥+𝑥−2)×2−21=−2𝑥+=−1(𝑥−4)2∵2<𝑥≤∴当𝑥=3时，𝑦有最大值当3<𝑥<4时，如图，延长𝐶𝐷与𝐹𝐺交于点𝑃𝑀=𝐷𝑃=𝑃𝑁−𝑀𝑁，即𝑃𝑀=𝐷𝑃=2−(𝑥−2)=𝑅𝐽=𝐸𝐽=𝑥+2−5=∵𝑆=𝑆正方形∴𝑦=2×2−2=−𝑥2+7𝑥−

−2=−

+4 当𝑥=2时，𝑦4−1(𝑥−4)2+4(2<𝑥≤∴综上所述，𝑦与𝑥之间的关系式为𝑦=

−

+15(3<𝑥<4)4题型十二次函数的应用---的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为𝐶1，𝐶2．【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm，锅深为16cm，锅盖高为请求出抛物线𝐶2求出圆弧𝐶124cm，高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说【答案】(1)𝑦=1(𝑥−16)2−16(0≤𝑥≤圆弧𝐶1所在圆的半径为𝑂𝐴=32，𝐵𝐷=8，则𝑀𝐷=𝑀𝐵−8，由垂径定理可得，𝑀𝐵𝑂𝐴，𝐴𝐷

1𝑂𝐴=16，在Rt𝑀𝐴𝐷勾股定理构造方程，解出圆𝑀（3）作组合图形的内接矩形𝐸𝐹𝐺𝐻，且𝐸𝐹=𝐺𝐻=24，𝐺𝐻∥𝑥轴，设𝐺𝐻交𝑀𝐵于点𝐼，连接𝑀𝐻，根据垂径定理和勾股定理容易计算出𝑀𝐼=16，则点𝐼(16,4)，点𝐻(4,4)．将𝑥=4代入抛物线解析式求出点𝐸(4,−7)，因此𝐸𝐻=11，由𝐸𝐻>10可判断锅盖能盖上．设抛物线𝐶2的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−16)2−16，0=解得𝑎= 1 (0≤𝑥≤∴抛物线2的解析式为𝑦 (𝑥−16) 由题意可知，𝑂𝐴=32，𝐵𝐷=∴𝑀𝐷=𝑀𝐵−𝐵𝐷=∴𝑀𝐵⊥∴𝐴𝐷=𝑂𝐷

1𝑂𝐴=在Rt△𝑀𝐴𝐷中，𝐴𝐷2+𝑀𝐷2=∴162+(𝑟−8)2=𝑟2，解得𝑟=20，∴圆弧𝐶1所在圆的半径为（3）解：如图，矩形𝐸𝐹𝐺𝐻是组合图形的内接矩形，且𝐸𝐹=𝐺𝐻=24，𝐺𝐻𝑥轴，设𝐺𝐻交𝑀𝐵于点𝐼由（1）和（2）可知，组合图形关于直线𝑥=16∴结合图形可知，当矩形𝐸𝐹𝐺𝐻关于直线𝑥=16对称时，𝐸𝐻∴𝑀𝐵⊥∴𝐻𝐼

1𝐺𝐻=由（2）可知，𝑀𝐻=20，𝐵𝐷=𝑀𝐻2+在Rt𝑀𝐻2+

=∴𝐵𝐼=𝑀𝐵−𝑀𝐼=∴𝐼𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝐼=∵𝐺𝐻∥𝑥轴，𝐻𝐼=1 将𝑥=4代入𝑦 (𝑥−16)−16，得𝑦=1 ∴𝐸𝐻=4−(−7)=∵11>(1)xy𝑥𝑦yx(2)在（1）1B时距水面的高度为𝑛(m)B开始计，则她到水面的距离ℎ(m)与时间𝑡(s)之间满足ℎ=−5𝑡2+𝑛．2：已知运动员甲在达到最高点后需要1.6s270C动作，请通过计算说明，【答案】(1)𝑦=−5(𝑥−3.5)2(2)（2）先求出𝑛=11.25，再求出𝑡=1.6h【详解】（1）解：由表格可知，图象过点∴ℎ

=∴设函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−3.5)2𝑎(3−3.5)2+𝑘=∴𝑎(4.5−3.5)2+𝑘=6.25𝑎=𝑘=11.25∴𝑦=−5(𝑥−3.5)2故答案为：3.5，𝑦=−5(𝑥−3.5)2（2）解：𝑦=−5(𝑥−3.5)2∴𝑛=∴ℎ=−5𝑡2当𝑡=1.6时，ℎ=−5×1.62+11.25=∵−1.55<02】（2025·山西运城·模拟预测）AB水池.xBxy轴，0为坐标原点，建立平面直角坐标系.BC与水池面的距离为8CB3米.(1)求水滑道𝐴𝐶𝐵所在抛物线的解析式(x的取值范围(2)B与对面水池边缘的水平距离𝑂𝐸=12D与水池边缘的安全距离𝐷𝐸米.若某人腾空后的路线形成的抛物线𝐵𝐷恰好与抛物线𝐴𝐶𝐵B②D是否在安全范围内？请说明理由(水面与地面之间的高度差忽略不计【答案】(1)𝑦=1(𝑥+3)2+

①米；𝑦=−

+8；②D ，从而可设抛物线为𝑦=𝑎(𝑥+3)2+7，𝐵(0,2)，故2=𝑎(0+3)2+7，可得𝑎=1 ①依据题意，由抛物线𝐵𝐷恰好与抛物线𝐴𝐶𝐵B成中心对称，故抛物线𝐵𝐷的顶点与抛物线的顶点C关于点B成中心对称，则B是它们的中点，又𝐶 ，𝐵(0,2)，从而抛物线𝐵𝐷的顶点为 可得此人腾空后的最大高度；进而可设抛物线𝐵𝐷为𝑦=𝑎′(𝑥−3)2+

8

1(𝑥−3)2+

𝑦=0x可得𝑂𝐷的长，从而求出𝐷𝐸𝑦=

8【详解】（1）解：由题意，水滑道𝐴𝐶𝐵所在抛物线的顶点𝐶 可设抛物线为𝑦=𝑎(𝑥+

+又∴2=𝑎(0+∴𝑎=8

+8∴抛物线为𝑦=1(𝑥+3)2+ ①抛物线𝐵𝐷恰好与抛物线𝐴