2026年中考数学二轮复习 专题02 方程与不等式(知识清单)

02方程与不等式（必备知识&二级结论清单+技法清内容导第一部 命题解 洞察命题意图，明确攻坚方考向聚考向聚 ►能力清第二部 技法清 构建思维框架，提炼通用解技法01解方程（组）与不等式（组030507020608第三部 分级实 分级强化训练，实现能力跃命题解技法01解方程（组）与不等式（组）：主要考查基本解法及数形结合思想。通常以选择02与方程、不等式的解有关的问题：考查逆向思维与分类讨论思想。常见题型包括：已知分式方程有增根或无解求参数；已知方程组解满足的关系（如互为相反数）03与一元二次方程的根有关的问题：重点考查判别式（△）和韦达定理（根与系数关系）的深层应用。如：判断根的情况、求参数取值范围、求与根有关的代数式值（平方和）04用方程、不等式的知识解决营销问题：命题趋势贴近生活，考查模型观念与应用意（组）技法05用方程、不等式的知识解决几何图形问题形（如等腰三角形）06用方程、不等式的知识解决方案选择：命题强调应用意识与决策能力。常见类型包07用方程、不等式的知识解决行程问题：重点考查相遇、追及及水流问题。通常结合08用方程、不等式的知识解决动点问题：这是代数与几何的综合压轴点，考查动态思tt代数t 逻辑推理能力几何直观与数形结合能力技法清技0解方与不等(1)基本思想：二元一次方程组消元分式方程：只含分式,解法：方程两边同乘各分式的最简公分母，约去分母，化为整式方程,开平方法：它适合于(x＋a)2＝b(b≥0)或(ax＋b)2＝(cx＋d)2配方法：化二次项系数为1→把常数项移到方程的另一边→→把方程整理成(x＋a)2＝b的形式→ ax2＋bx＋c＝0(a≠0)b2－4ac≥0x＝−b± (1)去分母→示“＞”或“＜，这是检查的关键。 (1)如果被污染的数字是1，请计算62123 (2)6x（1）62123618189 （2）x由题意得62x236 x【变式01（2025·浙江宁波·模拟预测）定义a*b3ab，若2*(5x)1，则x 【答案】根据新定义可得a2b5x，进而列出方程65x1x0【详解】解：由题意可知2*5x65xx11x0．【变式02（2025·山东青岛·模拟预测）5x24x11 边长是偶数，则这个等腰三角形的周长 【答案】5x24x11 35x224x167x14x2∴∴这个等腰三角形的周长为2226．3xy02】（2025·山西·一模）2xy5②x【答案】y3xy2xy5②，得5x15，x3，x3代入②6y5，y1，x∴原方程组的解为y1xy2m01】（23-24七年级下·河南南阳·期中）xy的二元一次方程组3xy2mxy4，则m的值为（ 【答案】xym3xy4求解m3xy4m1【详解】解：令方程组xy2m5②①－②2x2y2m6∴xym3∵xy4m34m1，【变式02】（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求x，y的值分别为 x7y402.5xy

4710x8y【详解】解：根据题意，得04172103x485yx解得y4x7

y4x2y【变式03】（24-25七年级下·北京·期中）已知x，y满足方程组2xy1，则x2y【答案】2xyx2y2将②xy121，1．03】（2025·辽宁抚顺·一模）(1)x24x20（配方法(2)x25x40（公式法【答案】(1)x12 ，x22(2)

5

41，

5bbb2（）一元二次方程的求根公式为x ，代入计算即可（1）x24x2x24xx24x42x22x2x12 ，x22x25x4a1，b5，c4b24ac524144105 5 x 2 x5

41，

5

41嘉嘉：两边同时除以x1，得6x1x7淇淇：移项，得6x嘉嘉：两边同时除以x1，得6x1x7淇淇：移项，得6x1x120．因式分解，得x16x10．x10，或6x10，x11x25A．嘉嘉对，淇淇 B．嘉嘉错，淇淇C．两人都 D．两人都【答案】分解时计算错误，正确因式应为x17x0，而非x15x0．【详解】解：原方程为6x1x12．嘉嘉解法：两边同除以x1，得6x1，∴x7x-10x1也是解，故漏解，错误．淇淇解法：移项得6x1x120，∴应为x17x0，x1x7．02】（2025·江苏连云港·模拟预测）xyx2y2x2y2156，则这个直角三角形的斜边 【答案】设tx2y2，将原方程转化为一元二次方程求解，得到t8

tx2y2则原方程化为tt156即t2t560t8t70解得t8或t7由于x2y20，故舍去t7

22故答案为 【典例04】（2025·陕西汉中·模拟预测）解方程： 2

3

73,

3

x 2 x【分析】本题考查了解分式方程，运用公式法解方程，先整理 x

x

42x23x80

3

73,

3

73【详解】解：

2

4x 2 x整理得 x

2x

x

4∴x2

x

4去分母得3x23x24x2x23x63x64x24，则2x23x80，Δ3242896473x3

733

732 ∴

3

73,

3

73

3

73,

3

73∴

3

73,

3

7301】（2025·广东·模拟预测）

x1

x1xx22xx21，……第二步移项､合并同类项，得2x1，……2x1，……x1∴x1．……任务一：①上述解题过程中第一步的依据 ②上述解题过程是从 步开始出现错误的，错误的原因 【答案】任务一：①2；②二；完全平方式x12x1【详解】解：任务一：①上述解题过程中第一步的依据是等式的基本性质2；故答案为：等式的基本性质2；②上述解题过程是从第二步开始出现错误的，错误的原因是完全平方式x12故答案为：二，完全平方式x12

x1

x1xxx2x12x22xx22x14x1x1x102】（2025·河北石家庄·二模）A

，B AB利用（1）BA【答案】(1)x

x

x2(2)x结合（1）BA1得

x

1（1）A2x

x22x1x1x2xx1x2x x1x2x（2）解：BA∴x

∴x12，x3，x3∴x3

3xx 【典例04】（2025·山西·一模）解不等式组x 2

【答案】1x2 3xxx32x11 解不等式①x2，解不等式②x1，不等式组的解集为1x201】（2025·江苏·一模）2x24x1 2 【详解】解：2x24x1 2 2x44x2，2x4x24，2x6，1x≥3；02】（2025·河北石家庄·三模）xmnx1，得到m1426n1322．若输入x1，则m ，n 若得到m6xnmnx【答案】(1)m2nx2，nxx1根据程序图可得4x26x2mnx（1）x1，得到m1422n132x2，∴n2321

4x26解：由计算程序，可知m4x2nx3∵mn∴4x2x3x7技0与方不等式的解有关的问01】（2025·浙江杭州·模拟预测）mx满足足条件的m的值．

x1

x1mx x28

1【详解】Qx0x1xx1x2x12mx2x2x1m0Q方程2x2x1m0只有一个实数解，b24ac12421m0m72x2x10xx1 x0x1，x0001m0，mx121211m0m2

的值为8 或 01】（2025·广东深圳·模拟预测）x32x2mx1m x 3m解：方程两边同乘x3，得32x2mx3x，第一步整理，得m1x2第二步x3m132m5m5 【分析】本题主要考查了解分式方程，先把原方程去分母，再计算得到m1x2，分式方程无解有两种情况，第一种情况m10，第二种情况m10，则此时原方程有增根，据此求解即可．32x2mxx 3方程两边同乘x3，得32x2mx3x，第一步，整理，得m1x2，第二步，当m10，即m1当m10x∵

m1∴∴x30∴x3∴m5m1或m5∴2xym02】（2025·山东淄博·一模）x，y的二元一次方程组3x2xym若5x＋3y4，求mx，y均为非负数，求m已知wxym，在（2）的条件下，求w【答案】(1)3mw的最大值7w的最小值先求出5x3y2m，得到2m4xm解方程组得到y5m，得到m30，且5m0求出wxymm3m5m3m8，根据一次函数的性质求得w的最大值3587的最小值3382xym（1）x，y的二元一次方程组3x2xym将①＋②，得5x3y2mQ5x＋3y42m4m2x，y的二元一次方程组3x2ym1，得xmQx，ym30，且5m0m的取值范围为3m5xmy5m

2xym

y5wxymm3m5m3m8∵30w随着mQ3m5w的最大值3587w的最小值338ax3y01】（2024·广东·模拟预测）xy的方程组ax3y

2x5与2x1by求ab阅读理解：我们把 n称作二阶行列式，规定它的运算法则为 nmqnp．例 2325342，求a x的值4 2【答案】(1)先求出两个方程组的公共解，再将公共解代入含a、b的方程，求出a、b的值，进而计算ab根据二阶行列式的运算法则，将abx、a、2yax3y（1）解：∵xy的方程组ax3y

2x5与2x1by4xy∴2x53yx解该方程组得y1a3121b，a4b3∴ab437（2）x1y1a4b3

a a

2724118 2

45x2y x4y【变式02】（2024·广东江门·一模）已知方程组mx5y4与 ny1有相同的解 (1)mn(2)已知VABCABACxx2m7x3n05，求VABCm【答案】(1)n(2)SVABCm、n的值．5x2y

x

mx5y

x解方程组x4y3得y1，根据同解方程组，得出方程组 ny1的解为y1，代入求 m、nm把n4x2m7x3n0x27x120，解一元二次方程得出VABC4，根据勾股定理逆定理得出VABC5x2y x（1）解：由方程组x4y3y1 5x2y x4y∵方程组mx5y4与 ny1有相同的解 mx5y 5xny

x的解为y1∴m5∴5n1mn4m（2）解：把n

xx2m7x3n0x27x120x13x24∴VABC∵BC5，又324252，∴VABC∴ 1346△ 技法 与一元二次方程的根有关的问根的判别式：b2－4acax2＋bx＋c＝0(a≠0) — 01】（2025·湖南衡阳·模拟预测）xx2m4x4m0当m2【答案】(1)(2)x12,x24将m2（1）Δb24acm424m28m16m28mm420（2）解：当m2xx26x80，整理得x2x40，x20x40，x12x24．【变式01】（2025·北京朝阳·二模）若关于x的一元二次方程a1x2a1x10有两个相等的实数根，则实数a的值为 【答案】【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，理解方程有两个相等的实数根得到b24ac0是解题a10a124a10x的一元二次方程a1x2a1x10∴a10，a124a10a1a1a140，a1或a3，∴a3302】（2025·山东潍坊·一模）x的一元二次方程ax2bxc0a0有两个实数1，则称这样的方程为“邻根方程”．(2)x2bxc0（bc均为常数）为“邻根方程”，请写出bc满足的数量关系，并说明【答案】(1)m2或m(2)b24c1x3xm，再由“邻根方程”的定义得出m31或3m1x2bxc0的两根分别是x1x2则b24c0x1x2bx1x2c，再由“邻根方程”x1x21，求出b24c1m31或3m1，解得m2或m4（2）x2bxc0的两根分别是x1则b24c0x1x2bx1x2cx2bxc0（bc均为常数）为“邻根方程x1x21 1所以xx24xx 1所以b24c1，又因为b24c0，所以bc满足的数量关系是b24c1 01】（2025·四川绵阳·一模）xx2m2x0.25m20有两个实数根xx x1x23m的值为（ 【答案】

C．5或

D．5或xxm2xx0.25m20xx 1 1【详解】解：∵x2m2x0.25m20有两个实数根x1x2∴xxm2,x

0.25m20 1∴x1x2x10x20∵x1x23x1x23x1x23m23m5x23x250

3

34,

3

34

x1x23，成立，故m5x10x20∵x1x23x1x23x1x23m23mx23x10

3

10,

3

10

x1x23，成立，故m1符合题意m1或m5．02】（2025·四川广安·一模）若x1x2x22x20290 x24x

的值 【答案】x22x2029xx2 【详解】解：x1x22x20290x22x20290x22x2029 又x1x22 ∴x24x 2x120292x1x222420292025．2025．技法 用方程、不等式的知识解决营销问01】（2025·四川广元·一模）由于受到手机更新换代的影响，某手机店经销的甲型号手机二月份比5009万元，二月份销售8万元．800（2）【答案】(1)45005812x元，则二月份甲型手机的每台售价为x500元，根据题意建立方y台，则购乙型手机20y（1）x元，则二月份甲型手机的每台售价为x5009000080000 x4500x4500是原方程的根，x4500．4500y台，则购乙型手机20y台，740003500y400020y76000，解得8y12∵y∴∴8129111010119128解：由（1）40004800元，500800元，85001280013600（元95001180013300（元；方案三盈利：105001080013000（元方案四盈利：11500980012700（元；方案五盈利：12500880012400（元；因为1360013300130001270012400，812【典例02】（25-26九年级上·宁夏吴忠·期末）公安交警部门提醒市民：“出门戴头盔，放心平安归”．16周岁以下禁止骑电动车，16周岁以上的市民骑电动车出行必须严格遵守“一盔一带”50150216个，七月份到九(1)(2)90200208750元，而且需要尽快减少库存，则该品牌头盔的实【答案】(1)该品牌头盔销售量的月平均增长率为(2)75x150216个，七月a元，则此时售价为90a8750元，据此（1）由题意得：1501x2216x10.2，x22.2（舍去答：该品牌头盔销售量的月平均增长率为20%（2）a元，则此时售价为90a元，90a5020010a8750，a15a215因为需要尽快减少库存，所以选择降价更多的价格，即a15a215符合题意则90a901575，7501】（2025·河南驻马店·三模）3040600110x元（x为整数(1)x①每个瓷盘的实际利润 元②实际的销售量 个(2)10000(2)50①根据售价-进价利润，进而得出答案；②销量-减少的销量利用总利润10000（1）解：①x元（x为整数3040元②∵30406001元，10个∴60010x（2）x元能赚得10000元的利润，4030x60010x10000，x10x4050（元，x40x4080（元尽量兼顾顾客的利益应定为每个艺术瓷盘为50【典例03】（2025·重庆·模拟预测）每年五月，学校团委都要举行“五月的鲜花”退队入团仪式．去年五1201803元，并且购买数量相同．受市场影响，今年五月，同种红色花朵的单价比去年同期上涨了0.5a期上涨了a%5a15a【答案】(1)9x元，则黄色花朵的单价为x3元，根据题意得120180 x根据题意得列出方程610.5a%91a%2015a12018015 120180 xx6x6∴x36399（2）解：两种花朵的购买数量均为120620（朵根据题意得：610.5a%91a%2015a12018015 a25a7500a125a230（不合题意，舍去答：a25．01】（2025·辽宁盘锦·一模）2025218123.2亿元，登顶全球动画电影票房榜，是亚洲首部票房过百亿的影片，并创造了全球单一电影市215个．(1)AB(2)AB80AB2【答案】(1)A30元，B60(2)此次购进至少要花3210AxB种哪吒玩偶的单价是2x元，利用数量=总价÷单价，结15xx的值（A种哪吒玩偶的单价，再将其代入2xB种哪吒玩偶的单价；（1）AxB种哪吒玩偶的单价为2x300300 xx30B23060答：A30元，B60（2）A种哪吒玩偶aB种哪吒玩偶80a个0a280a0aA、Bw元，花费w30a6080aw30a300，当0a160w随a∴当a53w取得最小值，最小值305348003210元答：此次购进至少要花3210元钱．【变式02】（2025·山西长治·一模）2025春晚的广泛传播，2025春晚吉祥物和相关产品迅速走2025蛇年吉祥物——“巳升升”树脂小摆件和“春碗”套装—— 4且商店购买“春碗”4000(2)为满足市场需求，商店准备第二次购入“春碗”500件，且购入“春碗”套装的数量不超过【答案】(1)50元，每套“春碗”200(2)167333x设商店购入吉祥物m件，则“春碗”套装500m件，利润为w元，根据题意得到w5m10000再求得m500（1）x元，则每套“春碗”套装的进价为x15040001

x50x50x150200（元50元，每套“春碗”200（2）解：设商店购入吉祥物m件，则“春碗”套装(500m套，利润为wQ购入“春碗”2500m2m，解得m500QmmQ50当m167w有最大值，500m500167333．167件，“春碗”33304】（2025·湖南长沙·模拟预测《长沙美食探险计划》你是长沙“烟火夜市”的小记者，需完成一1（密码谜题A：周一用“2份臭豆腐3份糖油粑粑”解锁了“120元”宝箱；B：周二用“5份臭豆腐1份糖油粑粑”解锁了“170元”宝箱．AB，破解两种小吃的单价密码．2（经营策略120人气保障：店主想提升糖油粑粑销量，每天的糖油粑粑30营收目标：当日总销售额3000元（1．1：每份“臭豆腐”的单价密码是30元，每份“糖油粑粑”的单价密码是202：最多能卖出90份臭豆腐，此时需搭配30份糖油粑粑1：设每份“臭豆腐”的单价密码是m元，每份“糖油粑粑”的单价密码是n油粑粑30份，总销售额3000x的取值范围，即可求解．1：设每份“臭豆腐”的单价密码是m元，每份“糖油粑粑”的单价密码是n2m3n根据题意 5mnm解得 答：每份“臭豆腐”的单价密码是30元，每份“糖油粑粑”的单价密码是20根据题意： 60x90x90时，糖油粑粑销量为1209030（份答：最多能卖出90份臭豆腐，此时需搭配3001】（2025·湖南长沙·模拟预测）0.65A11B种设备的数量相同．B2【答案】(1)A0.5B1.1(2)A12B612.6AxB种设备(x0.6)AmB种设备(18m台，然后根据题意列一元一次不等式组和一次函（1）AxB种设备(x0.6)根据题意得：5 xx0.5x0.5∴x0.61.1（万元A0.5B1.1（2）AmB种设备(18m根据题意得：m2(18 29m12w，则w0.5m1.118m0.6m19.8∵0.60最小值A12B612.6技法 用方程、不等式的知识解决几何图形问EC按顺时针方向每秒4EDEC6 秒时，FH∥EG（G、H为C、B对应点【答案】328/28【分析】本题主要考查平行线的性质及一元一次方程的应用．根据题意可得CEG4t6BFH8tFHAFFHAFEC

45FBt秒，则0t39CEG4t6BFH8t，FHAFFH交CDP，∵FH∥EG∴FPCCEG∵AB∥CD∴FPCBFH∴CEGBFH∴4t68tt3FHAFFH交CDP，此时此时22.5tAFH8t∴180AFH3608∵FH∥EG∴FPCCEG∵AB∥CD∴FPCBFH∴CEGBFH4t63608t，t28；FB328FHEG故答案为：301】（2025·江苏扬州·模拟预测）12t分（0t60）时的钟面角，把12所在的刻度记为点A，把时针记为OB，分针记为OC．当OAOBOC两两所夹的三个角AOB,AOC,BOC中有两个角相等时，t的值 （本题中所有角的度数均不超180720 t表示出AOB0.5tBOC5.5tAOC3606tt【详解】解：∵钟表一周为∴分针每分钟走360606，时针每分钟走36012600.5，依题意得AOB0.5t，①当0t30AOB0.5tAOC6tBOCAOCAOB5.5t②当5.5t1806t30t360AOB0.5tAOC3606tBOCAOCAOB

AOCBOC时，即5.5t3606tt720③当5.5t180360t60AOB0.5tAOC3606tBOCAOCAOB360

AOCAOB时，即0.5t3606tt720综上，当t720或t720 02】（2025·广东·二模【综合与实践】计算∶ABCD的周长为100cmABAD的长度比为23，且折成的长方体形纸盒的底面为【答案】∴ABAD100250cm又∵ABAD的长度比为23AB2xcmAD3xcm2x3x50，即5x50，x10．∴AB21020cmAD31030cm．ADAB的长度等于底面正方形2y2h即y2h20（h为长方体的高∴2y2hy2h3020，即2y2hy2h10，y10cm．y10y2h20，可得10h20解得h5cm∴长方体的长、宽均为10cm、高为5cm∴V10105500cm302】（2025·江苏泰州·三模）主题：将一张长为80cm，宽为40cm的长方形硬纸板（1）23所示的有盖长方体收纳PQ和MN两边恰好重合且无重叠部分．任务一：若收纳盒的高为xcm，则收纳盒的底面EFGH的边EF的长为 ）cm,EH的长 （任务二：若收纳盒的底面积为600cm2402x40x；任务二：该收纳盒的高为（1）（2）xcmBC402x)cmAB40x)cm600cm2x【详解】解：任务一：Q长方形硬纸板的长为80cm，宽为40cmxcmEF(402x)cm，EH802x(40x)(cm)402x40xxcmEF402x)cmEH40x)(cm，(40x)(402x)600，x260x5000x110x250（不符合题意，舍去答：该收纳盒的高为10cm．【变式01】（2025·天津·一模）ABCDADAD的长不能超过26mABBCCD用篱笆，且这三边的和为40m，有下列结论：①AB的长可以为9m②ABABCD面积为168m2；③ABCD面积不能为220m2．其中正确的是（）个 【答案】ADxmAB40xmAB9xx围判断①ABCD的面积为168m2x的值，可以判断②ABCD的面积ym2，根据矩形的面积公式列出函数解析式，根据函数的性质求函数的最值可以判断③．BCxmAB40xmAB940x9x22∵AD的长不能超过26m2226，∵ABCD面积为168m240∴x· x240x3360，x12x28，∵28ABABCD面积为168m2，ABCDym2 y40 根据题意 x40 y40 ∵10，2026∴x20y有最大值，最大值为200，ABCD面积不能为220m2，故③∴正确的结论有2个，02】（2025·广东深圳·模拟预测）99辆小型客车．米，行车通道宽为3.5方案说明：①ACDE大小与原停车位相同；②FGHIGFI60个平行四边形停车位完全一致；③ACFGCDGH62辆，学校要求斜列停车位排数比垂直停车位少一排，且考数据：21.414，31.7321632：11个；103：矩形停车场的另一边60.6米．1xy2333米，直接用“总长÷车位宽”得数量（33311个1FG6米，结合GFI60RtVFJG中用余弦cos60JGJG3米，再用“（总长通道）位宽”3在RtVFJG中，用正弦sin60

FJ5.2米；设垂直车位排数为m排数为m1，根据“总车位数62”列不等式11m10m162，解得m24度：垂直车位宽排数斜车位高排数通道宽（排数141.51xyxyx2xy632：①33311②由（1）FGAC6IFGFGJ60，在RtVFJGGFI60，JGcos60JG3333310个；3：在RtVFJGGFI60FJsin60FJ 米5.2设垂直停车位有m排，则斜列停车位有m1解得m24因为m为正整数，所以m43645.233.5660.6答：矩形停车场的另一边至少60.6（a,A16C52．AC当a3PABCD内（含边界Py轴上时，求△APC【答案】(1)yx①PABCD5aAC①当a3P的坐标为35PABCD②Paa2ya0P的坐标为02，用三角形面积公式可得△APCaP在直线yx2上移动，当 时，点P在VACD内部（含边界，解不等式即可解题（1）ACykxbA16C52kb65kbk解 bACyx7解：①当a3P的坐标为35PABCD②Paa2ya0P的坐标为02CP5

1CPAB156210 xaya2yx2Pyx2x2x7x5a由图可知，当 时，点P在VACD内部（含边界5a4a5a4技法 用方程、不等式的知识解决方案选择问过方程或不等式求临界值y₁y₂（常为分段函数或一次函数y₁y₂、y₁=y₂、y₁＜y₂，找到临界值，再结合自变量取值范围（如人数整数、车辆整数）确定最优选择。A型100元B型A型100元B型120元C型150元①一次性累计购买50②一次性累计购买100(1)A型安全头盔30B型安全头盔20(2)若该商店计划用9900元一次性购进两种不同型号的安全头盔100个，请你研究一下该商店的进货方案有【答案】(1)共需要5130(2)该商店的进货方案有2种，方案1：购进50A50B型安全头盔；方案2：购进8020个C根据题意列出算式得100301202095%ABACBC54005130(元答：共需要5130（2）AB两种不同型号的安全头盔时，设购进aA型安全头盔，则购进100aB型安a50100a1005050(个AC两种不同型号的安全头盔时，设购进bA型安全头盔，则购进100b个C型安全头盔，100b150100b90%9900，b80100b1008020(个BC两种不同型号的安全头盔时，设购进cB型安全头盔，则购进100c个C型安全头盔，120c150100c90%9900，c400(不符合题意，舍去该商店的进货方案有2方案1：购进50A50B型安全头盔；方案2：购进80A20个C01】（2025·河南驻马店·三模）某商店举行优惠促销活动，现有如下两种优惠方案可供选择（一120800元以内（800元，直接按商品总价格的800元，直接按商品总价格的七五折结算；xx500x【答案】(1)545475x（1）解：方案一：1205000.85545（元5000.95475（元；545475由题意，当1200.85x0.95xx1200800；x800时，1200.85x0.95xx1200（不符合题意；x800时，1200.75x0.95xx600，∴x800x80002】（2025·湖南·模拟预测）试题情境：编钟是中国古代一种极具代表性的打击乐器，也是国家非(1)150赫兹，求大小号编钟的频率分别是多(2)A．B两种不同材质的编钟配件，A30元，B50500【答案】(1)50100(2)A配件5B配件7A配件10B配件4A配件15个，B配件1个xyA配件要买mB配件要买n个，根据题意列出二元一次方程3m5n50，求其正整数解即（1）xyx1 根据题意得： x解这个方程组得y10050100（2）A配件要买mB配件要买n个．30m50n500，3m5n50，即m505nm和nm m∴n7n

m，n1 A配件5B配件7A配件10个，B配件4配件15个，B配件101】（2025·黑龙江·二模）近年来新能源汽车产业及市场迅猛增长，为了缓解新能源汽车充电难的问题，某小区计划新建地上和地下两类充电桩，每个充电桩的占地面积分别为3m2和1m21个20.8210.7万元．1116.260个充电桩，且地下充电桩的数量不少于地上充电桩数量2倍，则共有几种建造方案？并列出所有方案；现考虑到充电设备对小区居住环境的影响，要求充电桩的总占地面积不得超过am2，在（2）的条件下，若仅有两种方案可供选择，直接写出a的取值范围．【答案】(1)10.2万元，10.33118个地上充电桩，42219个地上充电桩，41320个地上充电桩，40个地下充电桩981x万元，1y120.8210.7万元．据此列出方程组并解方设新建m个地上充电桩，则新建（60m）16.22倍，据此列出不等式组并解不等式组，进一步写出方案即（1）1x万元，1yx2y2xy0.7xy0.310.2万元，10.3设新建m个地上充电桩，则新建（60m）根据题意得：60m 又Qm为正整数，m3118个地上充电桩，42个地下充电桩；219个地上充电桩，41320个地上充电桩，401时新建充电桩的总占地面积为31814296（m22时新建充电桩的总占地面积为31914198m2；3时新建充电桩的总占地面积为320140100m2Q在（2）技法 用方程、不等式的知识解决行程问（s=vt如“时间差=⋯，解后务必01】（2026·江苏苏州·模拟预测）苏州金鸡湖环湖步道是市民健身的热门场所．小苏和小州分别以步行和骑自行车的方式沿步道行进（视为直线，小苏步行速度为6km/h，小州骑自行车速度为15km/h小苏提前0.5小时从起点出发步行，小州骑车从起点追赶，则小州出发后经过 15分钟（0.25小时68千米的东方之门站接听电话（路径上

分钟（

小时

分钟（

小时）【答案】(1)110设环湖步道的总长度为a千米，分别用代数式表示出在两个站点停留后并再次追上的时间，然后比较（1）x小时首次追上小苏，由题意得：15x6x0.5，x1此时距起点15x1515

，5x小时首次追上小苏，由题意得：15x6x0.25，x11小时101510解：设金鸡湖环湖步道一圈的长度为a千米，C6D8∵C6152

∴

2

∵6∴1576 B677 CCB675 5∴CABa千米 ∴小州追上小苏需要用时为a51561a5 2 18 ∵D81581 ∴小州总用时 小时 ∵6∴11143 B64343 DDB84337 37DABa ∴小州追上小苏需要用时为a371561a37 10 90 ∵1a51a371a51a3720 18 90 ∴小州选择李公堤站通话后追上小苏所用时间比选择东方之门站通话后追上小苏所用时间多15∴01】（2025·湖南长沙·模拟预测）500m，从爱晚亭到祥云涧的路程是1500m，从祥云涧到观光长廊的路程是800m．已知小华从岳麓书院到观光长廊游览的平均速度是vm/min，观光长廊原路返回岳麓书院的时间是tmin．用含vt①小华从观光长廊返回岳麓书院的平均速度是m/min②小华从岳麓书院到观光长廊，然后再返回岳麓书院的平均速度是m/min小华从岳麓书院到观光长廊共花了2hm，所用时间比来时快了20min，求m【答案】(1)①2800；② (2)（1）50015008002800m2800t2800m280025600m2800v28002800t56002800t

2800

答案为 ；②2800vt（2）2800(1m212800，解得m20 3 m的值为2002】（2024·广东梅州·一模）周末，小明和他的爸爸来到环形运动场进行跑步锻炼，绕环运动场一400米．(1)36180秒(2)6米/5米/400米赛跑，同时同起点同向出发，等爸4米/400米终点前追上爸爸，如果能，求追上【答案】(1)40ms20m (2)400200xmsyms先求出爸爸跑到半圈所用时间为t1，再求此时小明所跑路程为s1，小明接下来追上爸爸所需时间t2，（1）

9x9y，于是9y9x20③+，得18y120y6020 ，得18x80x4040ms20ms （2（2）理由：爸爸跑到半圈所用时间为t200100(s 此时小明所跑路程为s1005500(m 爸爸和小明的距离200500100(m 因此小明接下来追上爸爸所需时间t10054)100(s 追上时，小明的爸爸总路程20010041000(m400m 400追上当时距离终点还有4001000200(m 文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头AB文化背景：白居易《忆江南》中写道“山寺月中寻桂子，郡亭枕上看潮头AB：法镜寺（游山寺）AB，BC，Cx的函数图象如右图所示．已知：大巴车速度是自8倍．（1）A→B和大巴车B→C；（2）b（3）（2）（3）3 本题只要抓住时间和总路程即可．从图象中可以梳理出来的已知条件有，总路程为36km1.25h；大巴车行驶时长(a0.75a0.75(h；加上已知“8倍”速度为mkm/h，大巴车nkm/h，解二元一次方程组

n

b表示返程回到接待点的时间，只要求出返程用了多少时间即可，在已知大巴车速度的情况下，可a的代数式列式，直接可求解，即总时长(a1.255a（1）(a0.75)a0.75(h)设自行车的速度为mkm/h，大巴车的速度为nkm/h

n mn

29所以自行车的速度为144km/h，大巴车的速度为1152km/h A→B为1441.25180(kmB→C11520.75864(km 36115229h，b529529h b的值为529h总时长(a1.255a

a1.255a3(h)所以游客在两个景点游玩的总时长为3h03】（2024·广东广州·模拟预测）今年年初一美丽的白鹅潭江而进行了以“活力湾区，新彩广州”为202千米到达目的地，共110倍．(1)(2)88a千米/（a0aa【答案】(1)40千米/4千米/(2)ax千米/小时，则甲开车的平均速度是10x千米/小时，利用时间路程速1x的分式方程，解之经检验后，可得出甲步行的平均速度，再将其代入10x中，即可求出甲开车的平均速度；利用路程速度时间，可列出关于a（1）x千米小时，则甲开车的平均速度是10x千米202 x4x410x10440（千米小时40千米4千米（2）(48a20a8即1a)21，a1a3（不符合题意，舍去 答：的值为204】（2025·福建泉州·模拟预测）在物理学中，物体做匀速直线运动时，路程s，速度v，时间t之间的关系为svt，其速度v与时间t的函1所示，可以发现在0tt0．这段时间内路程s的数值等于图中阴影部分的面积（即v轴、t轴、直线tt0及直线vv0围成的矩形的面积）的数值，同理，物体做匀变速直线运动时也有类似的结论，当v是关于t2，在0tt0这段时间内路程s（即t轴、直线tt0及直线vkt围成的直角三角形的面积）3是甲、乙的速度v与时间tA02B36．甲在3秒内经过的路程 （单位求出发后，甲、乙速度相等的时间t求出发后，甲、乙相遇的时间t【答案】(1)t1t2因而甲的速度v与时间t的函数解析式为v2t0，然后根据svt即可求出甲在3秒内经过的路程；由图3可知，甲的速度v与时间t的函数图象是以原点为端点的一条射线，因而设vktk0，又因B36B36代入，得63k，解得k2，则乙的速度v与时间t的函数解析式为v2tt0，当甲、乙速度相等时，根据题意得22t，解方程即可求出t甲、乙相遇说明甲、乙所行路程相等，甲的路程为svt2t，乙的路程为s1vtt2得2tt2，解方程即可求出t（1）解：由图3可知：甲的速度v与时间t的函数图象为平行于t轴的一条射线，又QA02，甲的速度v与时间t的函数解析式为v2t0甲在3svt236m，6m；解：由图3可知：甲的速度v与时间t设vktk0，B3663k，k2，乙的速度v与时间t的函数解析式为v2tt022tt出发后，甲、乙速度相等的时间为t1svt2t，s1vt12ttt2 2tt2，t22t0，t2或0（不合题意，故舍去出发后，甲、乙相遇的时间为t2【点睛】本题主要考查了从函数的图象获取信息，求一次函数解析式，一元一次方程的应用（第1第2第3签第4第5第1第2第3签第4第5第6签C工业求：小明从第4签到第6签的平均速度是起点到第3签的平均速度v的0.8倍，且他从第4签到第6点到第32h，求v的值．【答案】v的值为5km/h【分析】此题考查了分式方程的应用，根据题意得1735.523.521735.523.52 v5

v5是所列方程的解，且符合题意，v的值为5km/h．02】（2025·陕西西安·模拟预测）2025220日西安市教育局印发《2025年西安市初中学业水生小明（男）和小红（女）近期参加完“体育与健康”考试，小明在“耐力、心肺功能”1000米，若357100分，小红在“耐力、心肺功能”800347秒，则10010008001.5倍，若他俩同时起跑小红跑完800100040100100800x800x米/1000米的速度是1.5x米/800100040 x200x20010002001.51031 320357∴100技法 用方程、不等式的知识解决动点问t，二表01】（2025·江苏苏州·模拟预测）A表示的数为aB表示的数为b，点C示的数为c，点CAB的中点已知ab满足|a7|(b9)20PQ在数轴上同时开始PB出发向左匀速运动，速度为每秒4个单位长度，点Q从点C出发向左匀速运动，速度为每秒2个单位长度．填空：ab ，c PQ之间相距1P运动到C后，立刻以每秒2A后，再以每秒8B点时停止运动；点QA后，立刻以每秒4B点时停止运动，在此运动过程中，是否会存在CP2CQ？若存在，请直接写出运动时间t的值；若不存在，请说明理由．【答案】(1)279 t的值为126或 根据绝对值与平方的非负性，求出a7b9，则ab2，再由点CABbcca，即cab1设运动时间为tP表示的数为94t，点Q表示的数为12tP在点Q右侧时，P在点Q左侧时，逐个求解即可；P的运动时间，再讨论点Q的运动时间，继而分阶段讨论是否存在CP2CQP到CQ从CA时，即0t2②P从CAQ从CA时，即2t4③P从CAQA回C4t6，④PA返回CQ从CB6t7⑤P从CBQ从CB7t8（1）解：Qa7b9)20a70，b90a7，b9ab2Q点CABbcca即cab1，2解：设运动时间为tP表示的数为94t，点Q表示的数为12tQPQ之间相距1个单位长度，P在点Q解得t7P在点Q解得t9 综上，或秒之后，

之间相距1解：分阶段讨论是否存在CP2CQ：P的运动时间，PB到C912秒，此时0t2P表示的数为94tP从CA174秒，此时2t6P表示的数为12t252tPAB972秒，此时6t8P表示的数为78t68t55再讨论点Q点Q从CA174秒，此时0t4，点Q表示的数为12t点QAB974秒，此时4t8，点Q表示的数为74t44t23PB到CQ从CA时，即0t2CP94t184tCQ112t2t若CP2CQ，则84t22t，即84t4t，解得t②P从CAQ从CA时，即2t4CP152t2t4CQ112t2t若CP2CQ，则2t422t，即2t44t，解得t2(不满足2t4，舍去③P从CAQA返回C4t6CP152t2t4CQ14t23244t若CP2CQ，则2t42244t解得t26④PA返回CQ从CB6t7CP18t55568tCQ4t2314t24若CP2CQ，则568t24t24解得t13⑤P从CBQ从CB7t8CP8t5518t56CQ4t2314t24若CP2CQ，则8t5624t24，t的值为126或13 01】（2025·黑龙江佳木斯·二模）ABCDADBC，ÐB90°AD8cmBC12cmAB6cmQA出发2cm/sADDPB1cm/sBCC运动，当其中一点t秒．(1)tP，Q，B，D(2)tPQDCABCDt的【答案】(1)t(2)tDQBPDQBPBPDQtPQDCABCD面积的一半，可得（1）DQ82t，BPtDQBPDQBPBPDQ82tt，解得t8

梯形

1

梯形

t 当为时，

，，

（2）DQ82t，PC12t，AQ∵PQDCABCDS梯形

1

梯形ABCD1ABAQBP11ABADBC 22tt1(812)解得t1001】（2024·福建泉州·二模）如图，在RtVABCC90AB10cmAC8cmAAC上以2cm/s的速度运动．设运动的时间为ts(1)直接填空：BC的长 (2)当VPAB是等腰三角形时，求t【答案】(1)(2)t25或5或8(1)角形的判定与性质及勾股定理分别列出关于t的方程，最后，逐一进行计算即可．102（1）解：C90AB10cmAC102AB2ACAB2AC

6cm6（2）解：①1ABPACAP2tcmCPACAP82tcmPDABDACPBP．由（1）BC6cm．∴APBP2tcm在RtVBCPBC2CP2BP2，即6282t22t2，t25∵AP1AB∴2t10，t5．③2AP2P2ACAP22tcmP2CP2AAC2t8cm”，即2t88，t8∴当VPABt25或5或801】（2025·江苏无锡·模拟预测）ABCDAB6BC8PA出发，沿ABB1个单位长度/QBBCC2个单位长度/秒t秒t0．当t2时，求VPBQ是否存在某一时刻t，使VPBQ的面积等于矩形 【答案】t3,VPBQ的面积最大，且为

4

先由矩形的性质得ÐB90°BQ4,BPABAP4V先由矩形的性质得ÐB=90°，结合时间和速度，得出BQ2t,BPABAP6t，运用三角形面积公式进行列式得S t26tV 14812，运用三角形面积公式进行列式V t3230∵ABCD∴ÐB=依题意，当t2AP212,BQ224∴BPABAP624∴VPBQ的面积1BPBQ1448 解：∵ABCD∴ÐB=

AP1tt,BQ2t2t∴BPABAP6t∵824,616，即0t4，

1BPBQ16t2tt26t ∵10∴函数SV

t26t的开口向下，在t

V

V V即把t3代入 t26t，得 3263V V∴t为3VPBQ的面积最大？最大面积是9ABCDAB6BC8∴ÐB90°ABCD的面积6848∵VPBQ∴ 14812

4V V由（2）得 t26tV∴t26t12则t26t91293∴t3230t使得t323t，使VPBQ

4实战演1（2025·mn

3n5，n2

3m5，且mn【答案】知条件相加减，得到mn ，

2

7，进而得出mn2

m2 m2

3n5，n2

3m5将两式相减得m2

3nn2

m23nn2mnmnmnmnQmnmn0

3m30 mn3将两式相加得m2

3nn2

3mm2n2

3mn10m2n23 10m2n27mn2m22mnn2mn2 m2 72（2025· 距，v表示像距．若凸透镜和物体距离20cm时，凸透镜另一侧的光屏上成了一个清晰的像，仅移动凸透镜，将像距减小10cm，光屏上又成了一个清晰的像，那么该凸透镜的焦距是 【答案】【分析】本题考查分式方程的应用，根据像距减小10cm，得到物距增加10cm，根据焦距是个定值，列出【详解】解：由题意，移动凸透镜后，像距变为v10cm，物距变为201030cm

1

1 v解得v30或v20（舍去∴1115 ∴ƒ12cm；3（2025·数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图①，将9个数填在33（三行三列）的方格中，如果满足填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则xy 【答案】【分析】本题考查了三阶幻方的核心性质（每行、每列、每条对角线上的三个数字之和相等，即幻和相等）Sxy的值．【详解】解：设三阶幻方的幻和为S22xbx4y2aa2解①得b4，解②y0，则Sy2b再代入①xxy601．2x3x4（2025·（1） 2 x（2）解方程：2x2x

2

（1）2x2（2）x的关键，能把分式方程转化成整式方程是解（2） 2x3x（1） x Q解不等式①x2，解不等式②x2，不等式组的解集为2x2（2）方程两边都乘以2x1x2得2xx2x2x12x22xx4x4代入2x1x20x4x45（2025·山东潍坊·三模）xx22xk10有两个实数根x1x2(1)求实数k(2)若两个实数根x1x2x1x2x1x24，求k【答案】(1)k(2)k由一元二次方程的根的情况列得0kx1x22x1x2k1（1）解：∵xx22xk10有两个实数根x1∴b24ac441(k1)∴k2（2）x1x22x1x2k1∵x1x2x1x24∴k由（1）知k2kx（元/个y（个6x（元/个y（个(1)yx(2)6000【答案】(1)y20x180050x(2)60yxxx的取值范围选择合适（1）解：由题意可知，yx的一次函数．yxykxbk0，76052k k74053kb，解得 ∴yxy20x180050x75（2）解：根据题意，得x50y6000x2140x48000．x160x280．∵50x75∴x606060007（2025·A，B两种等级的农产品对外销售，已知6A4B等级农产品共收入1124A2B等级农产品共收入68（不考虑加工损耗）(1)AB(2)8元购进6000千克农产品，全部加工后对外销售，要求总利润不低于16000元，A等级农产品多少千克？【答案】(1)A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10(2)要求总利润不低于16000A等级农产品2000Ax元，By6x4y4x2y68.A等级农产品mB等级农产品6000m128m1086000m16000（1）Ax元，By6x4y x由题意得4x2y68.解得y 答：A等级农产品每千克销售单价为12元，B等级农产品每千克销售单价为10（2）A等级农产品mB等级农产品6000m千克，由题意得128m1086000m16000．解得m2000答：要求总利润不低于16000A等级农产品2000①140②240③5①140②240③56(1)32(2)102倍，请问购买多少个篮球时，【答案】(1)6050(2)4xy设蓝球有m个，购买的总费用是w元，根据题意，列出不等式求出m的范围，列出一次函数解析（1）xy5x6 xy30

xy302yx40或2yx 或 5x6 （三个方程组任选一个即可 xy506050（2）设蓝球有m个，则足球有10m2m10mm10设购买的总费用是wQ100w随着mm10且m为整数，当m4w540元；4个的时候，所花费用最少．9（2025·湖南岳阳·一模）x的一元二次方程ax2bxc0（a0）的两个实数根分别为x1x2（x1x2，分别以x1x2为横坐标和纵坐标得到点Mx1x2M为该一元二次方程的衍生(1)直接写出方程x22x0的衍生点M的坐标 (2)xx22m1xm22m0①求证：不论m②M(2)①见解析；(mmM①（1）解：x22x0∴x12x20x1x2为横坐标和纵坐标得到点Mx1x2x1x2x22x0的衍生点为(20)．(20)．（2）解：①证明：x22m1xm22m∴Δb24m124m24m22m14m240∴m②x22m1xm22mx22m1xmm20∴xmxm20，x1mx2m2∴x22m1xm22m0M为(mm2)10（2025·14002000A，BAB20

2A种球拍的进价不变，购进数量在第一次的基础上增加了3mB种球拍的进价上涨了mB种球拍的数量在第一次的基础上减少了2m副，总花费4100元，求m的值．【答案】(1)A70B50元AxB种羽毛球拍每副的进价为x2014002000A，B

2根据总花费4100（1）AxB种羽毛球拍每副的进价为x20由题意得140020001x70 x20x70∴x20702050A70B50（2）A种羽毛球拍14007020（副B种羽毛球拍20005040（副，根据题意可得70203m50m402m4100，整理得m275m3500，解得m5或m70（不符合题意，舍去则m5m11（2025·AB书籍厚度的比为56AA书籍厚度为1cm，桌子的高度为6xcmycm3A书籍与桌子的高度和为79cm，5B书籍与桌子的高度和为AxcmB6xcmycm3xy由题意，得 55xyxy76A书籍厚度为1cm，桌子的高度为76cm12（2025·1：在数学活动课上小明提出利用边长相等的等边三角形和正方形设计出一些图形如图a n （用含m的代数式表示直接写出S关于k（k为正整数）23100个，求mk的【答案】(1)163mS2km30,k求出n关于m根据“23100个，”建立二（1）n与m设nkmbk0∵m1,n4；m2,nkb∴2kb7k解得 b∴n3m1当m5a3´5+116，故答案为：163m1；S与2k成一次函数关系，设Sk12kb1k10，∵S4,2k2；S6,2k4∴4kb6 k1∴ ∴S2k2n2kmS1003m12k即m2k2100mk341（2025·2x2y73组，…x，y，zx2y2z15的正整数解有（） B．21 C．28 D．42【答案】x2y看作整体t，得到t2z15的正整数解有6组；再分x2ytt3则t2z15的正整数解中t357t2z15的正整数解有6又x2yt3的正整数解有1组；x2yt5的正整数解有2组；x2yt7的正整数解有3组；x2yt9的正整数解有4组；x2yt11的正整数解有5组；x2yt13的正整数解有6组；∴x2y2z15的正整数解组数为：12345621．2（2025·四川绵阳·一模）x的方程x2bxc0的一根大于1，另一根小于1是（A．bc

B．b

C．b24c

D．c【答案】yx2bxcAB、DC【详解】解：Ayx2bxc∵二次项系数a10Qx的方程x2bxc0的一根大于1，另一根小于∴x11bc0，即bc1，x的方程x2bxc0x1、x2x1x2bx的方程x2bxc0的一根大于1，另一根小于1，x10x22.1x1x22.1b，即b不一定为2，Qx的方程x2bxc0的一根大于1，另一根小于一元二次方程x2bxc0有两个不相等的实数根，即b24c0，x的方程x2bxc0x1、x2，x1x2c，即cx1x2，x的方程x2bxc0的一根大于1，另一根小于1，x10x22x1x20c0，即c不一定小于0，

3x1x3（2025·四川眉山·中考真题）x的不等式组

xa123a的值之和为（x 1 【答案】a的取值范围，再解分a的值，最后求和即可．3x1x解①x5解