2026年中考数学二轮复习 专题01 二次函数综合(重难专练)

专题 二次函数综速度提 技巧掌 手感养锁定目标精准打击：授予利器瓦解难点：模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感近三年：近三年：一、二次函数的图象与性质（1~2道，3~6分；二、二次函数与系数的关系（2~3题，12~15分三、二次函数与方程、不等式的关系（2~3道，6~10分四、二次函数的实际应用与几何综合（1道，6~10分）2026年：二次函数仍是中考数学核心压轴考点，全国统一命题趋势下，二次函数综合题难度稳中有升。选择、填空题压轴常考查二次函数的性质、最值、与不等式的关系；解答题（23题左右）常考查待定系数法求解析式、与系数的关系、最值综合，压轴题（24~25题）常结合几何图形、动点问题考查考向考向 二次函数图象与性1二次函数的性质11、y＝ax2+bx+c（a≠0）形状：抛物线；对称轴：直线x ；顶点坐标： 2、ayx的增大而增大（或减小ax1（2O26·=+𝑚>4，且当𝑥<0时，yx值的增大而增大，下列说法正确的是（A．𝑦1<𝑦2< B．−2<𝑦2<C．−2<𝑦1< D．𝑦2<𝑦1<【答案】【答案】【详解】解：∵𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑎−2=∴抛物线对称轴为直线𝑥=1，顶点坐标为(1,−2)，顶点纵坐标为∵当𝑥<0时，𝑦随𝑥的增大而增大，𝑥<0在对称轴𝑥=1∴抛物线开口向下，𝑎<A，B到对称轴的距离分别为𝑑1和∵𝑚>∴𝑑1=|(𝑚−2)−1|=|𝑚−3|=𝑚−3，𝑑2=|(3−𝑚)−1|=|2−𝑚|=∵𝑑2−𝑑1=(𝑚−2)−(𝑚−3)=1>∴𝑑2>𝑑1，即𝐵∴𝑦2<𝑦1<2（2O26·陕西宝鸡·一模）已知二次函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐（其中𝑎、𝑏、𝑐为常数，且𝑎0）的自变量𝑥与函则下列关于二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的说法正确的是（A．函数图象的开口向 B．函数图象的对称轴为直线𝑥=C．当𝑥<1时，𝑦的值随𝑥值的增大而减 D．当𝑥=−1时，𝑦<【答案】【答案】【详解】解：∵𝑥=0时𝑦=∴𝑐=将(−2,−5)和(1,4)分别代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+34𝑎−2𝑏+3=𝑎+𝑏+3=2𝑎−𝑏=化简得𝑎+𝑏=𝑎=解得𝑏=∴二次函数解析式为𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=−(𝑥−1)2∵𝑎=−1<∴A函数图象的对称轴为直线𝑥=1B∵开口向下，对称轴为直线𝑥=∴当𝑥<1时，𝑦的值随𝑥C当𝑥=−1时，𝑦=−(−1)2+2×(−1)+3=0，即𝑦=0，不满足𝑦<0D3（2O26·陕西西安·一模）如图，抛物线𝑦𝑎𝑥2与抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥交于点𝐴(3,𝑚)Ax B、CB是𝐴𝐶的中点，则𝑎=（ =𝑎，进而推导出𝑏=【分析】先推导出𝐵(−3,𝑚)，𝐶𝑎−3,𝑚，得到𝐴𝐵=6,𝐵𝐶=−3−【答案】∴𝐴𝐵=6,𝐵𝐶=−3−−𝑎−3=∴6=𝑎，即：𝑏=将𝐴(3,𝑚)，代入𝑦=𝑎1𝑥，𝑦=𝑎2𝑥2+𝑏𝑥𝑚=9𝑎1，𝑚=9𝑎2则9𝑎1=9𝑎2∴9𝑎1=9𝑎2+3×∴9𝑎1=∴𝑎=即𝐶𝑎−3,𝑚,𝑚 ∴由抛物线的对称性可知𝐵(−3,𝑚)，𝐶2𝑎−3−−∵抛物线𝑦=𝑎1𝑥与抛物线𝑦=𝑎2𝑥2+𝑏𝑥相交于点2𝑎 【详解】解：抛物线𝑦=𝑎𝑥的对称轴为𝑥=0，抛物线𝑦=𝑎𝑥+𝑏𝑥的对称轴为𝑥=将𝐴(3,𝑚)，代入𝑦=𝑎1𝑥，𝑦=𝑎2𝑥2+𝑏𝑥，可得到9𝑎1=9𝑎2+3𝑏，则9𝑎1=9𝑎2+3×6𝑎24（2O26·陕西咸阳·一模）已知二次函数𝑦𝑎(𝑥−2)2+9（a为常数，且𝑎0）的自变量𝑥1，𝑥2对应的函数值分别为𝑦1，𝑦2，当3<𝑥1<𝑥2时，𝑦1>𝑦2，则下列说法的是（）A．𝑎< B．该函数图象的对称轴为𝑥= D．该函数图象一定与y轴交于正半【答案】【答案】【详解】解：∵𝑦=𝑎(𝑥−2)2+9的对称轴为直线𝑥=2，顶点为(2,9)，当3<𝑥1<𝑥2时，𝑦1>∴抛物线开口向下，即𝑎0A、B∵𝑦=𝑎(𝑥−2)2+9=𝑎𝑥2−4𝑎𝑥+4𝑎+无法确定4𝑎9>0yD5（2O26·

+

与𝑦=−(𝑥(𝑥+𝑛)2关于原点成中心对称，则代数式(𝑚+2)2+(𝑛+2)2的值 【分析】设(𝑥,𝑦)为𝑦=−(𝑥+𝑚)2−(𝑥+𝑛)2上任一点，它关于原点成中心对称的点为(−𝑥,−𝑦)𝑥−𝑥−代入可得−𝑦−𝑥−3−𝑥−1整理得𝑦=−𝑥+3−𝑥+∴𝑚=2，𝑛=2或𝑚=2，𝑛=∴(𝑚+2)2+(𝑛+2)2 1线𝑦=𝑥3+𝑥−与𝑦=−(𝑥𝑚)−(𝑥𝑛)关于原点成中心对称，(−𝑥,−𝑦)在抛物线𝑦1𝑥−3 1+𝑥 上，得𝑦=−𝑥+3−𝑥+从而𝑚=2，𝑛=2或𝑚=2，𝑛=2【详解】解：设(𝑥,𝑦)为𝑦=−(𝑥+𝑚)2−(𝑥+𝑛)2上任一点，它关于原点成中心对称的点为3那么(−𝑥,−𝑦)在抛物线𝑦11𝑥−6（2O·广东广州一模）了这个函数的一个正确的性质：小王：当𝑥2时，yx的增大而减小；小马：当𝑥>2时，𝑦>0．请你写出满足上述所有性质的一个函数解析 【答案】【答案】𝑦=【详解】解：∵当𝑥<2时，𝑦随𝑥的增大而减小，当𝑥>2时，𝑦>∴二次函数的对称轴为直线𝑥=ℎ，且ℎ≥2，开口向上，即𝑎>∵∴二次函数与𝑦≥取𝑎1，顶点纵坐标为0，则顶点坐标可为(2,0)，可得函数解析式为𝑦=(𝑥−2)2，故答案为𝑦=(𝑥−2)2（答案不唯一．2二次函数图象上点的坐标特征；1（2O26·陕西西安·三模）已知二次函数𝑦𝑎𝑥2+4𝑎𝑥𝑐(𝑎>0)的函数图像经过𝐴(1,4𝑚)，𝐵(𝑛,𝑚2两点，则𝑛的值可能是（ 【答案】【答案】判断出𝑚2+5>4𝑚，则|𝑛−(−2)|>|1−(−2)|，求解即可．【详解】解：∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑎𝑥+𝑐(𝑎>∴抛物线开口向上，对称轴为直线𝑥=−2𝑎=∵𝑚2+5−4𝑚=(𝑚−2)2+1>∴𝑚2+5>∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+4𝑎𝑥+𝑐(𝑎>0)的函数图像经过𝐴(1,4𝑚)，𝐵(𝑛,𝑚2+5)∴|𝑛−(−2)|>|1−(−2)|，解得：𝑛<−5或𝑛>1．2在范围内，即𝑛2（2O26·数，该点为“反点”．已知二次函数𝑦=𝑎𝑥2−4𝑥+3（𝑎为常数，𝑎≠0）是“自反”函数，且该函数图象上有唯一的“反点”(𝑥0,−𝑥0)，则𝑎的值为（） 【答案】【答案】【分析】根据“反点”定义，反点满足𝑦−𝑥，代入二次函数得到关于𝑥的一元二次方程，由“唯一反点”可知【详解】解：∵“反点”坐标满足横纵坐标互为相反数，即𝑦=−𝑥，且“反点”∴将𝑦=−𝑥代入𝑦=𝑎𝑥2−4𝑥+3，得:−𝑥=𝑎𝑥2−4𝑥+3，整理得𝑎𝑥2−3𝑥+3=0，∴上述一元二次方程有两个相等的实数根，判别式𝛥=∵𝛥=(−3)2−4·𝑎·3=∴令9−12𝑎=解得𝑎=【答案】【分析】先求得𝐴(1,1),𝐵(𝑏,𝑏2)，接着过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝑦轴于点𝐸，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑦轴于点𝐷𝐴𝐷𝐶𝐶𝐸𝐵(AAS)，得到𝐶𝐸=𝐴𝐷=1，𝐶𝐷=【答案】【分析】先求得𝐴(1,1),𝐵(𝑏,𝑏2)，接着过点𝐵作𝐵𝐸⊥𝑦轴于点𝐸，过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑦轴于点𝐷𝐴𝐷𝐶𝐶𝐸𝐵(AAS)，得到𝐶𝐸=𝐴𝐷=1，𝐶𝐷=𝐵𝐸=𝑏，那么𝑂𝐸=1+𝑏1=𝑏2，结合𝐵点坐标得到𝑏2=𝑏+2，然后解方程算得答案即可．【详解】解：∵点𝐴、𝐵在抛物线𝑦=𝑥2𝐴、𝐵1和𝑏(𝑏>∴𝑦𝐴==1，𝑦𝐵=𝑏如图所示：过点𝐵作𝐵𝐸𝑦轴于点𝐸，过点𝐴作𝐴𝐷𝑦轴于点∴𝐴𝐷=𝑂𝐷=1,𝐵𝐸=𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，∠𝐴𝐶𝐵=∴𝐴𝐶=𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐵𝐶𝐸=∵过点𝐵作𝐵𝐸𝑦轴于点𝐸，过点𝐴作𝐴𝐷𝑦轴于点∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐸𝐵=∵∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐶𝐴𝐷=∴∠𝐵𝐶𝐸=∠𝐴𝐷𝐶=在𝐴𝐷𝐶𝐶𝐸𝐵∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐸𝐴𝐶=∴△𝐴𝐷𝐶≌△∴𝐶𝐸=𝐴𝐷=1，𝐶𝐷=𝐵𝐸=∵𝑂𝐸∵𝑂𝐸=𝑂𝐷+𝐶𝐷+∴𝑂𝐸=1+𝑏+1=𝑏+∴𝑏2=𝑏+∴𝑏=2或𝑏=∵𝑏>∴𝑏=4（2O26· 【答案】【答案】出平移后解析式，进而得出其顶点坐标．令其横坐标为O求解．【详解】解：原抛物线𝑦=2(𝑥+𝑚)2+5的顶点坐标为x2个单位后，新抛物线的解析式为𝑦2(𝑥𝑚2)2+5(−𝑚−2,5)．因为顶点落在y轴上，所以横坐标−𝑚−20，解得𝑚=−2．5（2O26·安徽合肥·一模）已知抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐（𝑎，𝑏，𝑐是常数，𝑎𝑏0，且𝑎0）(1)若该抛物线的对称轴为直线𝑥=2，并且经过点(−1,8)(2)若直线𝑦=𝑎𝑥+𝑐经过抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐②𝐴(𝑝−4,𝑦1)，𝐵(𝑝,𝑦2)是抛物线上的两点，且𝑦1>𝑦2，求𝑝【答案】【答案】(1)𝑦=𝑥2−4𝑥+(2)①抛物线的顶点坐标为(−1,−1)；②𝑝<（1）根据题意可得抛物线的顶点为(2,−1)，设顶点式𝑦=𝑎(𝑥−2)2−1，再将点(−1,8)a的（2）①2𝑎,−12𝑎,−1代入𝑦=𝑎𝑥+𝑐 =−1②将𝐴(𝑝−4,𝑦1)，𝐵(𝑝,𝑦2)代入抛物线解析式，利用𝑦1>𝑦2∴−2𝑎=∴抛物线的顶点坐标为②设抛物线对应的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥+∴𝑦1=𝑎(𝑝−4+1)2−1，𝑦2=𝑎(𝑝+𝑦1−𝑦2=[𝑎(𝑝−4+1)2−1]−[𝑎(𝑝+1)=𝑎(𝑝−3)2−𝑎(𝑝+1)2=∵𝑦1>∴8𝑎(1−𝑝)>∵𝑎>∴1−𝑝>∴𝑝<∴𝑏=4𝑎⋅−1∴ =−1，=+𝑐=−2𝑎,−1代入𝑦=𝑎𝑥+𝑐，得𝑎化简，得𝑐=∴2𝑎,−1设抛物线对应的函数表达式为𝑦=𝑎(𝑥−2)2−1，把(−1,8)代入，可得8=9𝑎−1，解得𝑎=∴抛物线对应的函数表达式为𝑦=(𝑥−2)2−1=𝑥2−4𝑥+（2）解：①∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的最小值是考向考向 二次函数与系数的关3ab＜Oy轴右侧；b=Oy轴、c（y轴交点纵坐标，c＞O交正半轴，c＜O交负半轴，c=O过原点；1（2O26·四川泸州·一模）如图，二次函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐的图象经过𝐴(2,0)，对称轴是直线𝑥−1，下列说法正确的是（）𝑎𝑐> B．2𝑎+𝑏= C．9𝑎−3𝑏+𝑐< D．3𝑎+𝑐>【答案】【答案】【分析】本题主要考查图象与二次函数系数之间的关系，利用对称轴求2𝑎𝑏的关系，以及二次函数与方由抛物线的开口方向判断𝑎的正负，由抛物线与𝑦轴的交点判断𝑐0的关系，然后根据对称轴𝑥−1计算2𝑎+𝑏0的关系；再由与𝑥轴的交点个数判断根的判别式，进而对所得结论进行判断.【详解】解：A.抛物线开口向上，𝑎>0，抛物线交𝑦轴的负半轴，故𝑐<0，则𝑎𝑐<0，故AB.抛物线对称轴是直线𝑥=−1，则−2𝑎=−1，则𝑏=2𝑎，故𝑏−2𝑎=0，则BC.二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象经过𝐴(2,0)，对称轴是直线𝑥=−1，则另一个交点坐标为(−4,0)𝑥=−3时，𝑦=9𝑎−3𝑏𝑐<0CD.当𝑥=1时，则𝑎+𝑏𝑐<0，由于𝑏=2𝑎，代入后得3𝑎+𝑐<0，故D错误，不符合题意2（2O26·江苏宿迁·一模）如图，抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐的对称轴是直线𝑥1x轴负半轴交点横坐标−1<𝑥<0，则以下五个结论中，正确的有（）①𝑎𝑏𝑐>0；②2𝑎+𝑏=0；③𝑏2>4𝑎𝑐；④4𝑎+2𝑏+𝑐>0；⑤3𝑎+𝑐> B．2 C．3 D．4【答案】【答案】【分析】由图象可知：抛物线【分析】由图象可知：抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐的开口向下，则𝑎<0y轴交于正半轴，即𝑐>0轴为直线𝑥=−2𝑎=1，则有𝑏=−2𝑎>0【详解】解：由图象可知：抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的开口向下，则𝑎<0y轴交于正半轴，即𝑐>对称轴为直线𝑥=−2𝑎=1，则有𝑏=−2𝑎>∴𝑎𝑏𝑐<0，故①错误；2𝑎+𝑏=0，故②∴𝑏2−4𝑎𝑐>0，即𝑏2>4𝑎𝑐，故③由图象可知当𝑥=0时，则有𝑦=𝑐>0；当𝑥=−1时，则𝑦=𝑎−𝑏+𝑐<0，由𝑏=−2𝑎可得𝑦=+𝑐=3𝑎+𝑐<0，故⑤∴根据二次函数的对称性可知：当𝑥=0和𝑥=2∴当𝑥=2时，𝑦=4𝑎+2𝑏+𝑐>0，故④正确；综上所述：正确的结论有②③④共3个．3（2O26·贵州黔南·一模）如图，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于点𝐴(3,0)，与𝑦轴交于点𝐵，对称轴为𝑥=1，有下列四个结论：①4𝑎−2𝑏𝑐>0；②3𝑎2𝑐>0；③𝑎𝑥2+𝑏𝑥≥𝑎𝑏；④若−3<𝑐<−2，则−4<𝑎+𝑏+𝑐<−3，其中正确结论的个数为（ B．2 C．3 D．4【答案】【答案】【分析】由图象可知：开口向上，即𝑎>0，对称轴为直线𝑥=−2𝑎=1，即𝑏=−2𝑎<0x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，𝑐0，然后根据二次函数的图象与性质进行求【详解】解：由图象可知：开口向上，即𝑎>0，对称轴为直线𝑥=−2𝑎=1，即𝑏=−2𝑎<∴当𝑥=1时，y有最小值，即为𝑦min=𝑎+𝑏+∴x为任何值，都有𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐≥𝑎+𝑏+𝑐，即𝑎𝑥2+𝑏𝑥≥𝑎+𝑏，故③∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)的图象与𝑥轴交于点𝐴(3,0)，与𝑦轴交负半轴于点𝐵，对称轴为𝑥=∴x轴的另一个交点坐标为(−1,0)，𝑐0，则由图象可知：当𝑥=−2时，𝑦=4𝑎−2𝑏+𝑐>0，故①正确，当当𝑥=3时，则有𝑦=9𝑎+3𝑏+𝑐=由𝑏=−2𝑎可得：9𝑎−6𝑎+𝑐=0，即3𝑎+𝑐=∴3𝑎2𝑐=3𝑎𝑐+𝑐=𝑐<0，故②∵−3<𝑐<−2，3𝑎+𝑐=∴−3<−3𝑎<−2，即3<𝑎<∵𝑏=−2𝑎，𝑐=∴𝑎+𝑏+𝑐=𝑎−2𝑎−3𝑎=∵3<𝑎<∴−4<−4𝑎<−3，即−4<𝑎+𝑏+𝑐<−3，故④ 4（2O26·=𝑏2，(𝑎+𝑏)2−𝑐2，等代数式的值中，正数有（ B．3 C．1 D．2【答案】【答案】∴𝑎<0，𝑐<0，∵对称轴𝑥=−2𝑎在𝑦2𝑎>0，即𝑏>∴𝑎𝑏<0，𝑏𝑐<由图可知对称轴𝑥=−2𝑎<1，且𝑎<𝑏>2𝑎，即2𝑎+𝑏<当𝑥=1时，𝑦=𝑎+𝑏𝑐>0，当𝑥=−1𝑦=𝑎−𝑏+𝑐<∴(𝑎+𝑐)2−𝑏2=(𝑎+𝑐+𝑏)(𝑎+𝑐−𝑏)=(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎−𝑏+𝑐)<∵𝑎+𝑏+𝑐>0，𝑐<∴𝑎+𝑏−𝑐=(𝑎+𝑏+𝑐)−2𝑐>∴(𝑎+∴(𝑎+𝑏)2−𝑐2=(𝑎+𝑏+𝑐)(𝑎+𝑏−𝑐)>0；综上所述，正数只有(𝑎+𝑏)2−𝑐2这1个．5（2O26·列关系正确的是（）A．𝑎>0，𝑏>0，𝑐> B．𝑎>0，𝑏<0，𝑐<C．𝑎>0，𝑏>0，𝑐< D．𝑎>0，𝑏<0，𝑐>【答案】【答案】∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图象开口向上，与𝑥轴交于(−2,0)和∴𝑎>0，对称轴为直线𝑥= >0，关于𝑥的一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0的两根为=−2，𝑥2=∴𝑏<0，𝑥1𝑥2=𝑎=(−2)×3=−6<∵𝑎>∴𝑐<6（2O26·辽宁抚顺·一模）二次函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎0)的部分图象如图所示，对称轴为直线𝑥1过点(2,0)．现有下列说法：①𝑎𝑏𝑐<0；②−2𝑏+𝑐=0；③𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0的解集是−1<𝑥<

𝑎+2𝑏>

(𝑎𝑚+

（𝑚为任意实数．其中正确的 （填序号【答案】【答案】yy轴正半轴𝑎<0，𝑐>0，再根据对称轴可得𝑏>由此可判断说法①；将对称轴𝑥=进行化简得到𝑎=−𝑏，代入二次函数中，即𝑦=−𝑏𝑥2+𝑏𝑥+𝑐得到当−1<𝑥<2，𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐>0，可判断说法③；利用二次函数的性质可求出其最大值，由此可判【详解】解：∵由图可知，开口向下，即𝑎<0，对称轴在𝑦轴右侧，即𝑏>0，与𝑦𝑐>∴𝑎𝑏𝑐<0，故① ∴4𝑎+𝑏+𝑐>𝑚𝑎+𝑏𝑚+𝑐， 𝑎+𝑏+𝑐>𝑚𝑎+𝑏𝑚+ ∵当𝑚=2， 𝑎+2𝑏+𝑐=𝑚𝑎+𝑏𝑚+𝑐，与假设矛盾，所以假设不成立，故④不符合题意1 ∵𝑎+𝑏>𝑚(𝑎𝑚+𝑏)（𝑚为任意实数𝑎+𝑏>𝑚2𝑎+∴当𝑥=时，二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)∴与𝑥2×2−2,0，即∴由图象可知𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>0的解集为−1<𝑥<2，故③∵由图可知，开口向下，对称轴为直线𝑥=∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)对称轴为直线𝑥=，且经过点∴𝑥=−2𝑎=2，即𝑎=∴二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐可化简为𝑦=−𝑏𝑥2+𝑏𝑥+∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)经过点∴将(2,0)代入𝑦=−𝑏𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，得−4𝑏+2𝑏+𝑐=0，即−2𝑏+𝑐=0，故②∵对称轴为直线𝑥=7（2O26·山东临沂·模拟预测）二次函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐(𝑎≠0)的图像如图所示，对称轴为𝑥=1x负半轴交于(−0.5,0)，下列结论①𝑎𝑏𝑐>0；②3𝑎+𝑐>根；④4𝑎+5𝑐>0；其中正确的个数

+𝑏𝑥+𝑐+2=

【答案】【答案】【详解】解：①∵函数图像开口向下，对称轴为𝑥=1y∴𝑎<0，𝑏=−2𝑎>0，𝑐>∴𝑎𝑏𝑐<0，故①②∵x轴交于(−0.5,0)，且对称轴为𝑥=将𝑥=3代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠得：𝑦=9𝑎+3𝑏+将𝑏=−2𝑎代入，得𝑦=3𝑎+由图像可知，3𝑎𝑐<0，故②③将𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐+1=0变形得：𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=−由图像可知，二次函数与直线𝑦=−2∴方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=−一定有两个不相等的实数根，故③④将(−0.5,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠得：4𝑎−2𝑏+𝑐=整理得：𝑎−2𝑏4𝑐=将𝑏=−2𝑎代入，得5𝑎4𝑐=0(1)，将𝑥=1代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐(𝑎≠0)得：𝑦=𝑎+𝑏+𝑐>0将𝑏=−2𝑎代入，得𝑦=−𝑎+𝑐>（1）+（2）得：4𝑎5𝑐0，故④正确；所以正确的个数为2个，考向考向 二次函数与方程、不等式的关411y=a(x−h)²+k（a≠O，a＞O时，x=h时，yka＜O时，x=h时，yk；3、注意：实际应用中，最值需结合自变量的实际意义取舍（如长度、人数不能为负1（2O26·𝑚−5，最小值，当𝑥=−2时，𝑦取得最大值，则𝑚的取值范围是（ A．3≤𝑚≤ B．−5≤𝑚≤ C．−3≤𝑚≤ D．𝑚≥【答案】【答案】【详解】对抛物线配方得：𝑦=−𝑥2−4𝑥+𝑐=−(𝑥+2)2+(𝑐+∵𝑎=−1<∴抛物线开口向下，对称轴为𝑥=−2，在𝑥=−2∵−5≤𝑥≤𝑚−5，且𝑥=−2时𝑦∴−2𝑚−5，解得𝑚≥又𝑥=−5时𝑦取得最小值，二次函数在闭区间的最小值出现在离对称轴更远的端点处，𝑥=−5𝑥−2的距离为|−5−(−2)|=3，因此区间右端点𝑚−53|(𝑚−5)−(−2)|≤3化简得|𝑚−3|3，解得0≤𝑚≤6，取两个不等式的交集得3≤𝑚≤6，2（2O26·陕西西安·三模）已知二次函数𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3𝑎，当−4𝑥0y1，且函数3b的值为（） C．−2或 D．−5或【答案】【答案】【分析】由二次函数图象平移的规律得𝑦=𝑎(𝑥−3)2+𝑏(𝑥−3)−3𝑎，由经过原点得𝑎=1𝑏轴为直线𝑥=−1，①当𝑎>0时，②当𝑎<03个单位长度后，得𝑦=𝑎(𝑥−3)2∴𝑎(0−3)2+𝑏(0−3)−3𝑎=解得𝑎=∵𝑥=−2𝑎=−2𝑎=∴二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3𝑎的对称轴为直线𝑥=①当𝑎>0∵当−4≤𝑥≤0y1，−1−(−4)>∴当𝑥=−4时，𝑦=∴16𝑎−4𝑏−3𝑎= 将𝑎=2𝑏代入得：16𝑎−3𝑎−4𝑏=13𝑎−4𝑏=2𝑏−4𝑏=2𝑏=解得𝑏=②当𝑎<0∵当−4𝑥0y∴当𝑥=−1时，𝑦=∴𝑎−𝑏−3𝑎=将𝑎=2𝑏代入得：𝑎−3𝑎−𝑏=−2𝑎−𝑏=−𝑏−𝑏=−2𝑏=解得𝑏= 综上，b的值为−2或3（2O26· 【详解】解：二次函数𝑦=𝑥2+𝑚𝑥+𝑚2−𝑚中，𝑎=1>0∵二次函数图象经过点∴将𝑥=0,𝑦=6代入解析式得：𝑚2−𝑚=6，整理得𝑚2−𝑚−6=0，解得𝑚=3或𝑚=∵对称轴在𝑦轴左侧，二次函数对称轴公式为𝑥=𝑥2<0，解得𝑚>0，因此𝑚=−2舍去，得𝑚=将𝑚=3代入二次函数解析式得：𝑦=𝑥2+3𝑥+32−3=𝑥2+3𝑥+配方得𝑦=(𝑥+2)+434（2O25·江苏淮安·一模）二次函数𝑦1𝑥2−𝑎𝑥𝑎3的顶点为𝑃，则点𝑃到直线𝑦10 求最值．先求出二次函数图象顶点的纵坐标，然后即可表示出点𝑃到直线𝑦=10的距离，再根据二次函数的性质，即可求得点𝑃到直线𝑦=10的距离的最小值．当𝑎1P到直线𝑦102=2(𝑎−1)+2∴点P到直线𝑦=10的距离为 4×二次函数𝑦=𝑥2−𝑎𝑥𝑎5（2O26·=若点𝑃(2,−3)6个单位长度，再向右平移𝑚(𝑚>0)个单位长度后，恰好落在𝑦=+𝑏𝑥𝑏−1的图象上，求𝑚当𝑛≤𝑥≤5时，𝑦7，最小值−2，求𝑛【答案】【答案】(1)𝑦=−𝑥2+4𝑥+3，顶点坐标为(3)−1≤𝑛≤（1）bP平移后的点的坐标，然后把坐标代入（1）（1）解：∵二次函数𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑏−1（𝑏为常数）的图象经过点𝐴(−1,𝑡)，𝐵(5,𝑡)∴该函数的对称轴为直线𝑥 =2，则−2×(−1)=解得𝑏=∴该二次函数的表达式为𝑦=−𝑥2+4𝑥+当𝑥=2时，𝑦=−22+4×2+3=−4+8+3=（2）解：点𝑃(2,−3)6个单位长度，再向右平移𝑚(𝑚>0)个单位长度后的坐标为(2+𝑚,−9)，将(2+𝑚,−9)代入𝑦=−𝑥2+4𝑥+3中，得−9=−(2+𝑚)2+4(2+𝑚)+3，解得𝑚=4或𝑚=−4（舍去m4；（3）解：由（1）知，该二次函数的对称轴为直线𝑥2，顶点坐标为(2,7)，开口向下，又当𝑛≤𝑥≤5时，𝑦7，最小值−2，∴当𝑥=2时，𝑦∵当𝑥=5时，𝑦=−52+4×5+3=−25+20+3=∴−1∴−1≤𝑛≤6（2O26·=当0≤𝑥≤3时，求𝑦当0≤𝑥≤𝑚时，𝑦的最大值和最小值的和为17，求𝑚【答案】【答案】(1)二次函数的解析式为𝑦=−𝑥2+4𝑥+(2)𝑦的取值范围为7≤𝑦≤(3)𝑚的值为1或5（1）将点(−1,2)，(5,2)代入𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，即可求出𝑏、𝑐（1）解：将点(−1,2)，(5,2)代入𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+2=−(−1)2−𝑏+2=−52+5𝑏+𝑐𝑏=𝑐=7∴二次函数的解析式为𝑦=−𝑥2+4𝑥+（2）解：二次函数𝑦=−𝑥2+4𝑥+7的对称轴为𝑥=当0≤𝑥≤3时，𝑥=2时，函数取最大值，此时𝑦=−22+4×2+7=11，当𝑥=0时，函数取最小值，此时𝑦=−02+4×0+7=7，∴𝑦的取值范围为7≤𝑦≤当0<𝑚<2时：𝑥=0时，函数取最小值，得𝑦𝑚𝑖𝑛=−02+4×0+7=𝑥=𝑚时，函数取最大值，得𝑦𝑚𝑎𝑥=−𝑚2+4𝑚+7，得−𝑚2+4𝑚+7+7=解得𝑚=1或𝑚=3（舍去当2≤𝑚≤4𝑥当2≤𝑚≤4𝑥=0时，函数取最小值，得𝑦𝑚𝑖𝑛=−02+4×0+7=𝑥=2时，函数取最大值，得𝑦𝑚𝑎𝑥=−22+4×2+7=11，当4<𝑚𝑥=2时，函数取最大值，得𝑦𝑚𝑎𝑥=−22+4×2+7=𝑥=𝑚时，函数取最小值，得𝑦𝑚𝑖𝑛=−𝑚2+4𝑚+7，得−𝑚2+4𝑚+7+11=解得𝑚=5+2或𝑚=−5+2（舍去综上，𝑚的值为1或5+2．11y=0，ax²+bx+c=0，（x₁,0（x₂,0(𝑥1+𝑥2)−4𝑥1𝑥2，结合韦达定理𝑥1=−𝑎、𝑥1𝑥2=𝑎1（2O26·福建泉州·一模）已知二次函数𝑦(𝑎2+1)𝑥2+𝑏𝑥𝑐x轴交于(𝑥1,0)、(𝑥2,0)𝑥1<𝑥2．若点𝐴(𝑚,𝑛)在该二次函数的图象上，则下列判断正确的是（A．当𝑛<0时，𝑚< B．当𝑛>0时，𝑚>C．当𝑛>0时，𝑚< D．当𝑛<0时，𝑥1<𝑚<【答案】【答案】x轴的交点位置，根据开口向上抛物线的函数值【详解】解：∵a，𝑎2≥∴𝑎2+1>0∵x轴交于(𝑥1,0)、(𝑥2,0)，且𝑥1<∴当𝑦<0时，𝑥1<𝑥<𝑥2；当𝑦>0时，𝑥<𝑥1或𝑥>∵∵点𝐴(𝑚,𝑛)在抛物线上，即𝑦=∴当𝑛<0时，𝑥1<𝑚<𝑥2，当𝑛>0时，𝑚<𝑥1或𝑚>A：当𝑛<0时，𝑥1<𝑚<𝑥2，而𝑚<0不一定成立，故该选项错误，不符合题意；对于选项B：当𝑛>0时，𝑚<𝑥1或𝑚>𝑥2，故该选项错误，不符合题意；C：当𝑛>0时，𝑚<𝑥1或𝑚>𝑥2，故该选项错误，不符合题意；对于选项D：当𝑛<0时，𝑥1<𝑚<𝑥2，故该选项正确，符合题意；2（2O26·0，当增大而增大，则下列结论正确的是（）A．该函数图象的对称轴为直线𝑥= B．该函数图象与x轴只有一个交 D．𝑎<0，𝑏<【答案】【答案】【详解】解：∵二次函数𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+4中，当𝑥<1时，𝑦随𝑥∴抛物线开口向下，即𝑎<0，且对称轴𝑥=−2𝑎≥1，因此对称轴不一定为𝑥=1A由−2𝑎≥1，𝑎<不等式两边同乘2𝑎得−𝑏2𝑎，整理得𝑏≥−2𝑎，∵𝑎<∴−2𝑎>0，可得𝑏>0D该函数的判别式Δ=𝑏2−4×𝑎×4=∵𝑏2≥0，𝑎<∴−16𝑎>∴𝛥=𝑏2−16𝑎>∴函数图象与𝑥B错误；=∵𝑎<0，𝑏>∴−4𝑎>∴4−4𝑎>4，即最大值一定大于4，不可能是4C3（2O26·==（A．± D．±【答案】【答案】A、B两点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2，利用一元二次方程根与系数的关系，结合完全平方公式的A、B两点的横坐标分别为𝑥1，𝑥2，当𝑦=0时，得方程𝑥2−𝑚𝑥−3=0，判别式Δ=(−𝑚)2−4×1×(−3)=𝑚2+12>根据一元二次方程根与系数的关系可得，𝑥1+𝑥2=−1=𝑚，𝑥1𝑥2=∴(𝑥1−𝑥2)2=(𝑥1+𝑥2)−4𝑥1𝑥2=𝑚∵𝐴𝐵=|𝑥1−𝑥2|=∴𝑚2+12=16，解得𝑚=±2．4（2O26·=≠（1）𝑐−𝑏= ∴2+1>2或2+1<解得𝑏>2或𝑏<−6，由（1）得𝑐−𝑏=1，∴𝑏=∴𝑐−1>2或𝑐−1<∴𝑐>3或𝑐<>2+2+=4+𝑏+1（2）抛物线𝑦=−𝑥+𝑏𝑥+𝑏+1>4（1）代入𝑥=𝑐可得−𝑐2+𝑏𝑐𝑐=0，即−𝑐(𝑐−𝑏−1)=∵𝑐≠∴𝑐−𝑏−1=∴𝑐−𝑏=2+=4+𝑏+1（2）求出顶点纵坐 （1）代入𝑥=𝑐可得−𝑐2+𝑏𝑐+𝑐=0，即−𝑐(𝑐−𝑏−1)=0，然后两边同时除以𝑐𝑐>3或𝑐<5（2O26· 【答案】【答案】𝑚≥【分析】根据二次函数与𝑥轴的交点，得4𝑚2−27>0，根据点𝐶(1,0)在线段𝐴𝐵上，即𝑥1≤1≤𝑥2(𝑥1−1)(𝑥2−1)≤0，展开整理可得7−𝑚≤0，解出𝑚【详解】解：∵二次函数𝑦=𝑥2−(2𝑚+1)𝑥+𝑚+7与𝑥轴交于𝐴，𝐵∴𝛥>0−(2𝑚1)−41×(𝑚7)>整理得：4𝑚2−27>设𝐴(𝑥1,0)、𝐵(𝑥2,0)且𝑥1<由韦达定理得：𝑥1+𝑥2=−𝑎=2𝑚+1，𝑥1𝑥2=𝑎=𝑚+∵点𝐶(1,0)在线段𝐴𝐵上，即𝑥1≤1≤∴(𝑥1−1)(𝑥2−1)≤展开可得：𝑥1𝑥2−(𝑥1+𝑥2)+1≤∴𝑚+7−(2𝑚+1)+1≤∴7−𝑚≤∴𝑚≥当𝑚≥7时，𝑚2≥∴4𝑚2≥∴4𝑚2−27≥196−27=169>0，𝛥>0∴𝑚的取值为：𝑚7，故答案为：𝑚≥7．6（2O26·江苏连云港·模拟预测）已知二次函数𝑦𝑥2+2(𝑎1)𝑥3𝑎2−2𝑎3，axaa为何值，该函数的顶点在函数𝑦=2𝑥2+8𝑥+8当0<𝑎<3时，求该函数图像的顶点纵坐标y的取值范围 【答案】【答案】(1)𝑎=0≤𝑦<（1）x轴上，则方程𝑥2+2(𝑎+1)𝑥+3𝑎2−2𝑎+3=0与𝑥轴只有一个交O解答即可；（3）由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标𝑦=2𝑎2−4𝑎+2=2(𝑎−1)2【详解】（1）𝑦=0得：𝑥2+2(𝑎1)𝑥3𝑎2−2𝑎3=判别式Δ=2(𝑎+1)−4×1×(3𝑎2−2𝑎+3)=4𝑎2+8𝑎+4−12𝑎2+8𝑎−12=−8𝑎2∴−8𝑎2+16𝑎−8=0，解得𝑎=1；（2）证明：由题意得：𝑦=𝑥2+2(𝑎+1)𝑥+3𝑎2−2𝑎+3=(𝑥+𝑎+1)2+2𝑎2−4𝑎+∴该二次函数的顶点坐标为(−𝑎−1,2𝑎2−4𝑎+将顶点横坐标𝑥=−𝑎−1代入函数𝑦=2𝑥2+8𝑥+8𝑦=2(−𝑎−1)2+8(−𝑎−1)+8=2(𝑎2+2𝑎+1)−8𝑎−8+8=2𝑎2−4𝑎+2，因此，无论a为何值，该函数的顶点都在函数𝑦=2𝑥2+8𝑥+8的图像上；（3）解：由（2）可知，该函数图像的顶点纵坐标𝑦=2𝑎2−4𝑎+2=∴函数𝑦=2(𝑎−1)2的顶点坐标为在0<𝑎≤1上，𝑦随𝑎的增大而减小，在1<𝑎<3上，𝑦随𝑎𝑎=1时，𝑦有最小值，最小值为𝑦=0，当𝑎=0时，𝑦=2，当𝑎=3时，𝑦=2×(3−1)2=函数𝑦=𝑥2+2(𝑎1)𝑥3𝑎2−2𝑎+3y的取值范围是0≤𝑦<7（2O26·江苏盐城·一模）在平面直角坐标系中，抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥−5𝑎（a，b为常数，𝑎0）的对称轴是直线𝑥=2xA、B两点（AB的左边yC．②点𝑃(𝑥1,𝑡)，𝑄(𝑥2,𝑡)为抛物线图象上的两个动点，若|𝑥1−𝑥2|≥8t(3)在抛物线上有两点(𝑚−2,𝑦1)和(𝑚,𝑦2)，若𝑦1>𝑦2m(2)①𝑦=−𝑥2+4𝑥+5；②𝑡≤(3)𝑚>（1）由抛物线的对称轴是直线𝑥=2，可得𝑏=−4𝑎，可得𝑦=𝑎(𝑥−2)2−9𝑎，由抛物线顶点为（2）①把𝐷(2,9)代入𝑦=𝑎(𝑥−2)2−9𝑎即可得到解析式；②由交点的含义可得𝑥2−4𝑥+𝑡−5=0，可得+𝑥2=4，𝑥1𝑥2=𝑡−5，进一步计算|𝑥1−𝑥2|（3）由离对称轴直线𝑥=2越近，值越大，离对称轴直线𝑥=2(𝑚−2,𝑦1)和(𝑚,𝑦2)，且𝑦1>𝑦2（1）解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−5𝑎（a，b，c为常数，𝑎<0）的对称轴是直线𝑥=∴−2𝑎=∴𝑏=∴𝑦=∴𝑦=∵𝑎<∴−9𝑎>（2）解：①将(2,9)代入𝑦=𝑎(𝑥−2)2−9𝑎，得−9𝑎=9，∴𝑎=∴此抛物线的表达式为𝑦=−(𝑥−2)2+9=−𝑥2+4𝑥+②根据题意，得−𝑥2+4𝑥+5=∴𝑥2−4𝑥+𝑡−5=∴𝑥1+𝑥2=4，𝑥1𝑥2=∴|𝑥1−𝑥2| (𝑥1−𝑥2)2 (𝑥1+𝑥2)2−4𝑥1𝑥2 42−4(𝑡−5)≥∴𝑡≤解：∵𝑎<∵抛物线的对称轴是直线𝑥=∴离对称轴直线𝑥=2越近，值越大，离对称轴直线𝑥=2∵抛物线上有两点(𝑚−2,𝑦1)和(𝑚,𝑦2)，且𝑦1>∴|2−𝑚+2|<∴(4−𝑚)2<(2−𝑚)2，解得：𝑚>3．6＜0＜01（2O25·（ A．𝑚< B．0<𝑚≤ C．0≤𝑚≤ D．𝑚<0或𝑚≥【答案】【答案】【分析】本题考查了根的判别式：一元二次方程的定义，一元二次方程𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐=0(𝑎≠0)的根与Δ=𝑏2−4𝑎𝑐有如下关系：当Δ>0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ=0Δ<0若一元二次方程有两个实数根，则根的判别式Δ=𝑏2−4𝑎𝑐≥0，建立关于𝑚的不等式，求出𝑚的取值范∵关于𝑥的一元二次方程𝑚𝑥2−6𝑚𝑥+3=0∴Δ=𝑏2−4𝑎𝑐=36𝑚2−12𝑚≥解得：𝑚≤0或𝑚≥又∵𝑚≠∴𝑚<0或𝑚≥2（2O25·浙江·二模）关于𝑥的函数𝑦1=−𝑥2+2𝑥3，𝑦2=𝑘𝑥−𝑘4，𝑦3=−𝑘𝑥𝑘4，当𝑚<𝑥<时，𝑦2<𝑦1．若𝑦3<𝑦1，则 A．−𝑚+2<𝑥< B．𝑚+2<𝑥< C．1<𝑥<−𝑚+ D．1<𝑥<𝑚+【答案】【答案】先根据解析式得抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线𝑥=1，再得出直线𝑦2=𝑘𝑥−𝑘+4𝑦3=(𝑚−1)𝑥+5−𝑚都经过定点(1,4)根据当𝑚<𝑥<1时，𝑦2<𝑦1，求得𝑘=1−𝑚，从而得出𝑦3=(𝑚−1)𝑥5−𝑚，抛物线与直线𝑦2=𝑘𝑥−𝑘4的交点坐标为(𝑚,𝑘𝑚−𝑘4)，求得抛物线与直线𝑦3=(𝑚−1)𝑥+5−𝑚的另一交点横坐标为2−𝑚，根据𝑦3<𝑦1，利用数形结合思想即可求解．【详解】解：∵𝑦1=−𝑥+2𝑥+3=−(𝑥−1)∴抛物线的开口向下，顶点坐标为(1,4)，对称轴为直线𝑥1，把𝑥=1代入𝑦2=𝑘𝑥−𝑘+4，得𝑦2=4，∴直线𝑦2=𝑘𝑥−𝑘4经过定点∵当𝑚<𝑥<1时，𝑦2<∴抛物线与直线𝑦2=𝑘𝑥−𝑘4设抛物线与直线𝑦2=𝑘𝑥−𝑘4的交点坐标为(𝑚,𝑘𝑚−𝑘4)，把(𝑚,𝑘𝑚−𝑘+4)代入𝑦1=−𝑥2+2𝑥+3，得𝑘𝑚−𝑘+4=−𝑚2+2𝑚+解得：𝑚=1−𝑘或𝑚=1（舍去∴𝑘=∴𝑦3=−𝑘𝑥+𝑘+4=−(1−𝑚)𝑥+1−𝑚+4=(𝑚−1)𝑥+把𝑥=1代入，得𝑦3=∴𝑦3=(𝑚−1)𝑥+5−𝑚经过定点设抛物线与直线𝑦3=(𝑚−1)𝑥5−𝑚的交点坐标为(𝑛,(𝑚−1)𝑛5−𝑚)，把(𝑛,(𝑚−1)𝑛+5−𝑚)代入𝑦1=−𝑥2+2𝑥+3，得(𝑚−1)𝑛+5−𝑚=−𝑛2+2𝑛+化简得：𝑛2+(𝑚−3)𝑛2−𝑚=0，解得：𝑛=2−𝑚或𝑛=1∴抛物线与直线𝑦3=(𝑚−1)𝑥5−𝑚的另一交点横坐标为∵𝑦3<∴1<𝑥<2−𝑚．3（2O25·浙江台州·二模）已知二次函数𝑦𝑥2+𝑏𝑥𝑐过点𝐴(𝑥1,𝑦1)，𝐵(𝑥1+𝑡,𝑦2)，𝐶(𝑥1+2𝑡,𝑦3)三点．记𝑚=𝑦2−𝑦1，𝑛=𝑦3−𝑦2，则下列判断正确的是（）A．若𝑛−𝑚>2，则𝑡< B．若𝑛−𝑚<2，则𝑡>C．若𝑡>1，则𝑛−𝑚> D．若𝑡<1，则𝑛−𝑚<【答案】【答案】=𝑚==[(𝑥1+𝑡)2+𝑏(𝑥1+𝑡)+𝑐]−(𝑥12+𝑏𝑥1+=(𝑥1+𝑡)2+𝑏(𝑥1+=𝑡2+2𝑡𝑥1𝑛==[(𝑥1+2𝑡)2+𝑏(𝑥1+2𝑡)+𝑐]−[(𝑥1+𝑡)2+𝑏(𝑥1+𝑡)+=(𝑥1+2𝑡)2+𝑏(𝑥1+2𝑡)+𝑐−(𝑥1+𝑡)2−𝑏(𝑥1+=3𝑡2+2𝑡𝑥1∴𝑛−𝑚=(3𝑡2+2𝑡𝑥1+𝑏𝑡)−(𝑡2+2𝑡𝑥1+𝑏𝑡)=2𝑡，若𝑛−𝑚>2，即2𝑡2>2，∴𝑡>1或𝑡<若𝑛−𝑚<2，则2𝑡2<∴−1<𝑡<1；故B错误；若𝑡>1，则𝑛−𝑚=2𝑡2>2C若𝑡<1时，例如𝑡=−1时，即𝑛−𝑚=2𝑡2=2D错误；4（2O26·安徽阜阳·一模）已知抛物线𝑦𝑎𝑥2−2𝑎𝑥𝑐(𝑎0)过点(3,0)，则当𝑦0时，自变量𝑥的取值范围是（）A．𝑥< B．−1<𝑥< C．1<𝑥< D．𝑥<−1或𝑥>【答案】【答案】结合开口向下判断𝑦>0时𝑥的取值范围．【详解】∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2−2𝑎𝑥+𝑐(𝑎<0)的对称轴为𝑥=∴由对称性，抛物线过点∵𝑎<∴∴当𝑦>0时，𝑥的取值范围是−1<𝑥<−=1，且过点【答案】𝑥<0或𝑥>【详解】解：令𝑥=0，可得∴令𝑦=0，可得0=2𝑥−3，解得𝑥=∴𝐴2,0x的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>【答案】𝑥<0或𝑥>【详解】解：令𝑥=0，可得∴令𝑦=0，可得0=2𝑥−3，解得𝑥=∴𝐴2,0x的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>2𝑥−3即𝑎𝑥2+(𝑏−2)𝑥+𝑐+3>0的解集为𝑥<0或𝑥>6（2O25·湖北武汉·三模）已知抛物线𝑦𝑎𝑥2+𝑏𝑥𝑐经过(−1,𝑚)，(0,3)，(2,𝑚)三点(0<𝑚3)四个结论：①𝑎𝑏=0；②若不同两点

2−𝑡,𝑦2在此抛物线上，则𝑦1=𝑦2；③若(−3,𝑛)【答案】【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过(−1,𝑚)，(0,3)，(2,𝑚)三点(0<𝑚<∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为𝑥=−2𝑎∴𝑎𝑏=0；【答案】【详解】解：∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过(−1,𝑚)，(0,3)，(2,𝑚)三点(0<𝑚<∴抛物线开口向下，抛物线的对称轴为𝑥=−2𝑎∴𝑎𝑏=0；=2，𝑐=∵不同两点𝐴(𝑡,𝑦1)，𝐵2−𝑡,𝑦2在此抛物线上，且不关于直线𝑥=2∴𝑦1≠𝑦2； ∴𝑛∴𝑛=9𝑎−3𝑏+∵𝑏=∴𝑛=12𝑎+∴关于𝑥的方程𝑎(𝑥+1)2+𝑏(𝑥+1)+3−𝑛=0为𝑎(𝑥+1)2−𝑎(𝑥+1)−12𝑎=∴(𝑥+1)2−(𝑥+1)−12=解得两根为𝑥1=3，𝑥2=−4；∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过∴𝑎−𝑏+3−𝑚=即𝑎𝑥2+(𝑏−3+𝑚)𝑥=𝑥(𝑎𝑥+𝑏−3+𝑚)=0的两根为𝑥1=−1，𝑥2=∵抛物线𝑦=𝑎𝑥2+(𝑏−3+𝑚)𝑥=𝑥(𝑎𝑥+𝑏−3+𝑚)∴𝑦=𝑎𝑥2+(𝑏−3+𝑚)𝑥<0即关于𝑥的不等式𝑎𝑥2+𝑏𝑥<(3−𝑚)𝑥的解集是𝑥<−1或𝑥>0．故④正确，7（2O26·=直线𝑦=𝑎𝑥+𝑚B，直接写出不等式1𝑥2+𝑏𝑥+𝑐>𝑎𝑥+𝑚𝑏𝑏=𝑐=−4−4=0=1×(−2)2−2𝑏+（1）解：∵抛物线𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐经过𝐴(−2,0)、𝐶(0,−4)（1）把𝐴(−2,0)、𝐶(0,−4)代入𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐，求出抛物线表达式，再求出𝐵(4,0)(2)𝑥<0或𝑥>【答案】(1)直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑥−4；抛物线的解析式为𝑦= +𝑏𝑥+𝑐>𝑎𝑥+𝑚的解集是𝑥<0或𝑥>𝑎=𝑚=−4∴直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=−4=解得：𝑥1=−2,𝑥2=∴∵直线𝑦=𝑎𝑥+𝑚经过点B，0=4𝑎+当𝑦=0时，0=∴抛物线的解析式为𝑦=8（2O26·浙江衢州·一模）已知二次函数𝑦𝑎𝑥2+(2𝑎1)𝑥2（常数𝑎0．(1)当𝑎=1(2)是否存在实数𝑎，使得对于任意实数𝑡，当𝑥取2+𝑡和2−𝑡时，对应的函数值始终相等？若存在，求出𝑎的当1<𝑥<2时，若𝑦>𝑥始终成立，求𝑎∴−2𝑎=解得𝑎==∴对称轴为直线𝑥=∵对于任意实数𝑡，当𝑥取2+𝑡和2−𝑡二次函数𝑦=𝑎𝑥2+(2𝑎+1)𝑥+2的对称轴为直线𝑥= ∴顶点坐标为24（2）解：存在，𝑎=−63𝑥+（1）解：当𝑎=1时，𝑦=𝑥+3𝑥+2（3）根据题意列出𝑎𝑥2+(2𝑎+1)𝑥+2>𝑥，得出𝑎>(2)存在，𝑎=(3)𝑎≥−4，且𝑎≠（1）（2） 【答案】(1)−,−（（3）解：根据题意得，𝑎𝑥2+(2𝑎+1)𝑥+2>𝑎(𝑥2+2𝑥)>当1<𝑥<2时，𝑥2+2𝑥>0故𝑎当1<𝑥<2时，𝑥2+2𝑥随𝑥∴3<𝑥2+2𝑥<∴−3<𝑥2+2𝑥<∵当1<𝑥<2时，若𝑦>𝑥∴𝑎≥−4，且𝑎≠ 考向考向 二次函数综合应7113、注意：自变量的取值范围需符合实际场景（如时间、长度不能为负1（2O26·位：s）之间的函数关系如图所示．下列结论：①3秒时达到最高点；②小球从抛出到落地经过的路程是80m；③当𝑡=5时，ℎ=20；④当ℎ=35时，𝑡=2．其中正确的有（） 【答案】【答案】后分别将𝑡=5和ℎ=35代入即可判断③④．33解得：𝑡=3±4，故④综上所述，其中正确的有)29当ℎ=35时，35=当𝑡=5时，ℎ= ×(5−3)2+40 )29∴函数解析式为ℎ=把𝑂(0,0)代入得0=𝑎(0−3)2+40，解得𝑎=−②小球从抛出到落地经过的路程应为该小球从上升到落下的长度，故40×2=80m，故②③设函数解析式为：ℎ=𝑎(𝑡−3)2【答案】𝑊=−12𝑥2元，再由总利润车辆数×【详解】解：由题意得，𝑊=18−2(𝑥−3)×(6𝑥−20)，整理得𝑊=−12𝑥2+184𝑥−480．2【答案】𝑊=−12𝑥2元，再由总利润车辆数×【详解】解：由题意得，𝑊=18−2(𝑥−3)×(6𝑥−20)，整理得𝑊=−12𝑥2+184𝑥−480．3（2O·山东青岛一模）学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液（1A点喷出（2y3所示的平面直角坐标A𝐵为1cm，𝐵为4cm，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+15，这滴洗手液在水平方向喷出3cm时，到台面高度为A小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心𝑀𝑁约为4cmMA3cm．若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心𝑀𝑁h令𝑥=11，得𝑦=−×112+×11+15= ∵𝑎=−<0，抛物线开口向下 2×− =∴在𝑥2时，yx∴手心𝑀𝑁h的范围是4≤ℎ≤ 【答案】(1)𝑦=−𝑥2+𝑥+ 4≤ℎ≤（2）令𝑦=0把(4,18)、(7,15)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+15，16𝑎+4𝑏+15=49𝑎7𝑏15=𝑎=−𝑏所以洗手液轨迹的函数关系式为𝑦=−𝑥2+𝑥+ （2）解：令𝑦=0，得−𝑥2+𝑥+15= 解得𝑥=12或𝑥=−5（舍去与喷口水平距离为12−4=（3）M横坐标为𝑥4+3=7N横坐标为𝑥7+4=11．当洗手液恰好落到手心左端M时：令𝑥=7，得𝑦=−×72+×7+15=4（2O26·广东东莞·一模）某校数学小组开展以“炒菜锅和锅盖中的数学”【建立方法】以锅口和锅盖贴合面的直径为𝑥y轴，建立如图所示的平面直角坐标系．把锅盖纵截面圆弧和锅的纵截面的抛物线分别记为𝐶1，𝐶2．【收集信息】锅口和锅盖贴合面的直径都为32cm，锅深为16cm，锅盖高为请求出抛物线𝐶2求出圆弧𝐶124cm，高度为10cm的圆柱形器皿竖直放入该锅内蒸食物，锅盖能否正常盖上？请说由题意可知，由题意可知，𝑂𝐴=32，𝐵𝐷=半径为(𝑥−16)2−16(0≤𝑥≤∴抛物线𝐶2的解析式为𝑦𝑂𝐴=32，𝐵𝐷=8，则𝑀𝐷=𝑀𝐵−8，由垂径定理可得，𝑀𝐵⊥𝑂𝐴，𝐴𝐷=2𝑂𝐴=16，在Rt△𝑀𝐴𝐷（3）作组合图形的内接矩形𝐸𝐹𝐺𝐻，且𝐸𝐹=𝐺𝐻=24，𝐺𝐻𝑥轴，设𝐺𝐻交𝑀𝐵于点𝐼，连接𝑀𝐻，根据垂径定理和勾股定理容易计算出𝑀𝐼=16，则点𝐼(16,4)，点𝐻(4,4)．将𝑥=4代入抛物线解析式求出点𝐸(4,−7)，因此𝐸𝐻=11，由𝐸𝐻>10可判断锅盖能盖上．设抛物线𝐶2的解析式为𝑦=𝑎(𝑥−16)2−16，0=解得𝑎=圆弧𝐶1所在圆的半径为【答案】(1)𝑦 (𝑥−16)2−16(0≤𝑥≤∴𝑀𝐷=𝑀𝐵−𝐵𝐷=∴𝑀𝐵⊥∴𝐴𝐷=𝑂𝐷=2𝑂𝐴=在Rt△𝑀𝐴𝐷中，𝐴𝐷2+𝑀𝐷2=∴162+(𝑟−8)2=𝑟2，解得𝑟=20，∴圆弧𝐶1所在圆的半径为（3）解：如图，矩形𝐸𝐹𝐺𝐻是组合图形的内接矩形，且𝐸𝐹=𝐺𝐻=24，𝐺𝐻𝑥轴，设𝐺𝐻交𝑀𝐵于点𝐼，连由（1）和（2）可知，组合图形关于直线𝑥=16∴结合图形可知，当矩形𝐸𝐹𝐺𝐻关于直线𝑥=16对称时，𝐸𝐻∴𝑀𝐵⊥∴𝐻𝐼=2𝐺𝐻=由（2）可知，𝑀𝐻=20，𝐵𝐷=在Rt△𝑀𝐻𝐼中，𝑀𝐼 𝑀𝐻2+𝐻𝐼2 202−122=∴𝐵𝐼=𝑀𝐵−𝑀𝐼=∴𝐼𝐷=𝐵𝐷−𝐵𝐼=∵𝐺𝐻∥𝑥轴，𝐻𝐼=将𝑥=4代入𝑦=1(𝑥−16)2−16，得𝑦=∴𝐸𝐻=4−(−7)=∵11>5（2O26·河南信阳·一模）信阳南湾湖隧道打通了5A级景区交通瓶颈，被形容为“天堑变通途”x轴，以𝑂𝐴y轴建立平面直角坐标系，抛物线的表达式可以用𝑦=−72𝑥+𝑏𝑥+2P(3)直线𝑦=𝑥𝑏与隧道𝐴𝐵b P6,2由𝑦=−(𝑥2−12𝑥)+2=−(𝑥−6)2+（2）解：根据题意，得𝑦=−(𝑥−6)2+=整理，得=25解得𝑥1=5,𝑥2=5故𝑥2−𝑥1=5−5=5=48 【答案】(1)𝑦=−𝑥2+𝑥+5 （2）令𝑦=−(𝑥−6)2+=3.65 （3）当直线𝑦=𝑥+𝑏与抛物线有唯一交点恰好是𝐴(0,2)时，此时𝑏=2，当直线𝑦=𝑥𝑏交点恰好是𝐵(12,2)时，此时12+𝑏=2，解得𝑏=−10，根据直线𝑦=𝑥𝑏与隧道𝐴𝐵上方的抛物线有唯一（1）解：长方形的长𝑂𝐶为12m，宽𝑂𝐴为2m，以𝑂𝐶x轴，以𝑂𝐴y面直角坐标系，抛物线的表达式可以用𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+2得解得𝑏=∴2= ×122+12𝑏+故抛物线的表达式为：𝑦=−𝑥2+𝑥+整理，得整理，得1−10(𝑏−2)=解得𝑏=此时𝑥=𝑥=−5故𝑏=2.1当直线𝑦𝑥𝑏与抛物线有唯一交点恰好是𝐴(0,2)时，此时𝑏=2，当直线𝑦𝑥𝑏与抛物线有唯一交点恰好是𝐵(12,2)时，此时12+𝑏=2，解得𝑏=因为直线𝑦𝑥𝑏与隧道𝐴𝐵上方的抛物线有唯一交点，1∴Δ=𝑏−4𝑎𝑐 −4×72×(𝑏−2)= 故𝑥2+𝑥+𝑏−2=0 直线𝑦=𝑥𝑏与隧道𝐴𝐵整理，得𝑥2+𝑥+𝑏−2= 5 故−𝑥2+𝑥+2=𝑥+𝑦=𝑥+𝑦=−5𝑥2+5𝑥+6（2O26·山西朔州·一模）数学建模：如图𝑥轴，竖直向上为𝑦轴，建立平面直角坐标系（单位长度为1m边缘所在的抛物线分别记为𝐿1，𝐿2，将抛物线𝐿1与水平地面的右侧交点记为𝐴，顶点记为𝑀；抛物线𝐿2与水平地面的交点分别记为𝐵，𝐶（点𝐵在点𝐶的左侧，顶点记为𝑁；两抛物线的交点记为𝐷．测量数据：两盏射灯之间的距离为1.6m，即抛物线𝐿1向右平移1.6m后与抛物线𝐿2重合，点𝑀，𝑁3，小李同学的爸爸想定做一款沙发靠墙摆放，将沙发靠墙的一面抽象为矩形𝐸𝐹𝐺𝐻，已知该款沙发的高度𝐸𝐹1m，请通过计算说明，若𝐸𝐹和𝐺𝐻需要完全摆放在这两盏射灯在墙上的照射区域内（点𝐷位𝑦=−(𝑥−1.2−1.6)2+2.4=−(𝑥−2.8)2+2.4=解得：𝑥1=4，𝑥2=∴两盏射灯在地面的照射区域的宽度𝑂𝐶=（3）解：令−(𝑥−1.2)2+2.4=【答案】(1)𝑀(1.2,2.4)；𝑦=−(𝑥−1.2)2(3)1.62（2）先求出抛物线𝐿2的解析式𝑦=−(𝑥−2.8)2+2.4，然后求出𝐶(4,0)，𝐵(1.6,0)∴抛物线𝐿1的解析式为：𝑦=−(𝑥−1.2)2（3）令−(𝑥−1.2)2+2.4=1x的值，令−(𝑥−2.8)2+2.4=1x设抛物线𝐿1的解析式为：𝑦=𝑎(𝑥−1.2)2+2.4，把𝑂(0,0)代入得：0=𝑎(0−1.2)2+2.4，解得：𝑎=21.62.8+5−1.2− 解得：𝑥3=2.8+5，𝑥4=2.8−5+2.4=解得：𝑥1=1.2+5，𝑥2=1.2−57（2O·山东青岛一模）12饰，𝑙1、𝑙2为阁楼屋梁，装饰木条𝐷、𝐷分别与𝑙1、𝑙2平行，且均与抛物线窗户𝐵有唯一交点．同时，用相同木条在窗户上方与木条𝐷、𝐷之间搭建支架𝑃、𝑀、𝑁，其中点𝑃、𝑁在抛物线上，点𝑀、𝑄分别在木条𝐷、𝐷上．信息一：窗户水平宽度𝐴𝐵为1.6米，竖直高度𝑂𝐶为0.6米（其中𝐶为抛物线顶点2所示的平面直信息二：𝑙和𝑙关于𝑦轴对称，且𝑙

，𝑄𝑃𝑥轴，𝑀𝑁𝑥轴，𝑀𝑄∥𝑥

𝑦=−4𝑥+3米的木条，计划用于制作装饰木条𝐷𝐹、𝐷𝐸和支架𝑃𝑄、𝑄𝑀、𝑀𝑁3（木条裁剪过程中的损耗不计（3）先求出𝐷0,4，𝐸(1,0)，则𝐷𝐸 𝑂𝐷2+𝑂𝐸2=4，设装饰木条𝐷𝐸,𝐷𝐹和支架𝑃𝑄,𝑄𝑀,𝑀𝑁的总长度5−𝑏=0 −3 15得，−16𝑥+4𝑥+5−𝑏=0，根据直线𝐷𝐸与抛物线有一个交点，则Δ −4+0.6=−4𝑥+𝑏【答案】(1)𝑦=（2）设直线𝐷𝐸表达式为：𝑦=−𝑥𝑏,与抛物线𝑦= (2)𝑦=−4𝑥+𝑚,−15𝑚2+

15 𝑙，设

5，则𝑄𝑚,4𝑚+4，则𝑙=2𝑃𝑄+𝑄𝑀+2𝐷𝐸=

8

+2𝑚5，再求出0<𝑚5，然后根据二次函数的性质求解𝑙的最大值与3∴设抛物线表达式为𝑦=𝑎𝑥2将𝐵(0.8,0)代入得，0.64𝑎0.6=解得𝑎=

15∴抛物线的表达式为𝑦=−16𝑥（2）解：∵𝑙2:𝑦=−4𝑥+1，𝐷𝐸∥∴设直线𝐷𝐸表达式为：𝑦=−4𝑥+与抛物线𝑦=

+0.6=−4𝑥+15 整理得，−16𝑥+4𝑥+5−𝑏=∴Δ

3 −4×−

5−𝑏=解得𝑏= ∴直线𝐷𝐸表达式为：𝑦=−4𝑥+（3） 将𝑥=0代入𝑦=−4𝑥+4得，𝑦=∴𝐷0,4 将𝑦=0代入𝑦=−4𝑥+4得，−4𝑥+4=解得𝑥=∴𝐷𝐸 𝑂𝐷2+𝑂𝐸2=设𝑃𝑚,15𝑚2+3，则𝑄𝑚,3𝑚+3 ∴𝑙=2𝑃𝑄+𝑄𝑀+ = −4𝑚+4−−16𝑚+ +2𝑚+2× =8

+2𝑚+当

=0.6时 −4𝑚+4=解得解得𝑚=∴0<𝑚≤ >0，对称轴为𝑚=−2=−∴当0<𝑚≤5时，𝑙随着𝑚∴当𝑚=5时，𝑙max=40<3，81121（2O26·= E，以𝐴𝐵yCM，P是半圆上的一动点，连接①E在⊙𝑀②𝐶𝐷的长为③PC重合，则∠𝐷𝑃𝐸=④P的运动过程中，若𝐴𝑃=23，则𝑃𝐸=

+⑤N是𝑃𝐸PABN运动的路径长是𝜋．则正确的选项为（） 【答案】【答案】【分析】①𝑀𝐸=2=𝐴𝑀E在⊙𝑀上，答案可求；②由题意，𝑂𝐷=2，利用勾股定理𝑂𝐶故𝐶𝐷=𝑂𝐶𝑂𝐷，结论可得；③由锐角三角函数可求∠𝑂𝐶𝑀=30°∠𝐸𝐶𝐷=2∠𝑂𝐶𝑀=15°，结论可得；④连接𝐸𝐴,𝐸𝐵A作𝐴𝐾𝑃𝐸K函数求得𝐴𝐾,𝐸𝐾,𝐾𝑃，则𝑃𝐸=𝐸𝐾𝑃𝐾，结论可得；⑤连接𝑀𝑁，则𝑀𝑁𝑃𝐸N的运动轨迹，根N运动的路径长．【详解】解：∵𝑦=−1𝑥2+𝑥+ )2∴𝑂𝑀=1,𝑀𝐸=

2=令𝑥=0，则𝑦=∴𝑂𝐷=令𝑦=0

+𝑥+2=解得：𝑥=−1或𝑥=∴𝑂𝐴=1,𝑂𝐵=∴𝐴𝐵=∴⊙𝑀∴𝑀𝐸=2,⊙𝑀∴E点在⊙𝑀上．故①②连接𝑀𝐶，则𝑀𝐶=2在𝑅𝑡𝑂𝐶𝑀中，sin∠𝑂𝐶𝑀=∴∠𝑂𝐶𝑀=∴𝑂𝐶=𝑀𝐶×cos30°=∴𝐶𝐷=𝑂𝐶𝑂𝐷=3+2．故②由②知：∠𝑂𝐶𝑀=∴∠𝑀𝐸𝐶=∵𝑀𝐸=𝑀𝐶=∴∠𝑀𝐶𝐸=∴∠𝑀𝐶𝐸=∠𝐷𝐶𝐸=2∠𝑂𝐶𝑀=∵PC∴∠𝐷𝑃𝐸=∠𝐷𝐶𝐸=15°．故③④如图，连接𝑃𝐵,𝐴𝐸,𝑀𝐸A作𝐴𝐾𝑃𝐸∵𝑀𝐸=∴E点在⊙𝑀∴∠𝐴𝐸𝑃=∴∠𝐴𝑃𝐵= 2 ∴sin∠𝐴𝐵𝑃=𝐴𝐵=4=2∴∠𝐴𝐵𝑃=∴∠𝐴𝐸𝑃=∵𝐴𝐸 𝑀𝐴2+𝑀𝐸2=2∴𝐸𝐾=𝐴𝐸·cos∠𝐴𝐸𝑃=22×2=𝐴𝐾=𝐴𝐸·sin∠𝐴𝐸𝑃=22×2=∵∠𝐴𝑀𝐸∵∠𝐴𝑀𝐸=∴∠𝐴𝑃𝐸=2∠𝐴𝑀𝐸=𝐴𝐾𝑃∴𝑃𝐾=𝐴𝐾=∴𝑃𝐸=𝐸𝐾+𝑃𝐾=2+6．故④∵G，F为𝐴𝐸,𝐵𝐸∴𝐹𝐺为𝐸𝐴𝐵∴𝐹𝐺=2𝐴𝐵=连接∵N为𝑃𝐸的中点，M∴𝑀𝑁⊥∴N运动的路径长是2×2𝜋1=𝜋．故⑤综上，正确的选项为2（2O26·𝐴𝐵𝐶的边上沿𝐶→𝐵→𝐴1A时停止，以𝐷𝑃𝐷𝑃𝐸𝐹．设点P的运动时间为t秒，正方形𝐷𝑃𝐸𝐹的面积为S．当点P由点B运动到点A时，如图2，S是关于t的二次函数．则①当𝑡=1时，𝑆= ；②𝑚= 【答案 【分析】先由函数图象可得当点𝑃运动到𝐵点时，𝑆=𝑃𝐷2=6，由此求出𝐵𝐶=2，当𝑡=1时，点𝑃的运动1，即此时点𝑃在𝐵𝐶上，求出𝑃𝐶=1，再利用勾股定理求出𝑃𝐷=3，最后根据正方形面积公式求出𝑆3，当点𝑃在𝐴𝐵2可知，对应的二次函数的顶点坐标为(4,2)，可设𝑆关于𝑡的函数解析式为𝑆=𝑎(𝑡−4)2+2，利用待定系数法求出𝑆=(𝑡−4)2+2，当𝑡=7时，𝑆=(7−4)2+2=【详解】解：由函数图象可得当点𝑃运动到𝐵点时，𝑃𝐶=𝐵𝐶，𝑃𝐷=𝐵𝐷，𝑆=𝑃𝐷2=∵𝑃𝐶2+𝐶𝐷2=𝑃𝐷2，𝐶𝐷=∴𝑃𝐶 𝑃𝐷2−𝐶𝐷2=∴𝐵𝐶=当𝑡=1时，𝑃𝐶=1，此时点𝑃在𝐵𝐶∴𝑃𝐷 𝑃𝐶2+𝐶𝐷2=∴𝑆=𝑃𝐷2=3；由图可知，对应的二次函数的顶点坐标为∴设𝑆=𝑎(𝑡−4)2把(2,6)代入，得𝑎(2−4)2+2=解得，𝑎=∴𝑆=(𝑡−4)2+2，当𝑡=7时，𝑆=(7−4)2+2=即即𝑚=3（2O26·=的解析式为𝑦=−2𝑥+3，点𝑃是𝑥轴上方抛物线上一点，其横坐标为求𝑎作直线𝐵𝐶，若0<𝑚<4，且点𝑄是抛物线上另一点，横坐标为𝑚2，𝑃𝐷𝑦轴交𝐵𝐶于点𝐷，𝑄𝐸𝑦轴交𝐵𝐶于点𝐸，求𝑆△𝑃𝐶𝐷+𝑆△𝐵𝑄𝐸的值；过点𝑃作𝑥轴的平行线𝑎和垂线𝑏，垂线交直线𝐵𝐶于一点，过这一点再作𝑥轴的平行线𝑐，直线𝑎1、𝑏1、与𝑦轴围成一个矩形，这个矩形的周长记为②过点𝑃作𝑃𝑄𝑥轴交抛物线于另一点𝑄，过𝑄分别作𝑥轴的垂线𝑎2，𝑥轴的平行线𝑏2交直线𝐵𝐶于一点，过这一点作𝑥轴的垂线𝑐2，𝑎2，𝑏2，𝑐2与𝑥轴围成一个伴随矩形，这个伴随矩形的周长记为𝐿2，若𝐿1+𝐿2=18，求𝑚𝑚𝑚+𝑚+3（3）由题意知：𝑃当−2<𝑚<0时，矩形相邻两边长分别为 −2𝑚，0<𝑚<6且𝑚≠4m，−𝑚2+𝑚②分当−2<𝑚<0时，当0<𝑚≤4时，当4<𝑚<6（1）解：当𝑦=−2𝑥3=0时，𝑥=【答案】(1)𝑎=𝑚2−5𝑚(−2<𝑚<(3)①𝐿1−1𝑚2+5𝑚(0<𝑚<6)（1）先求出𝐵(6,0)，将𝐵(6,0)代入𝑦=𝑎𝑥2+𝑥+3，求出𝑎=−（2）由题意知：𝑃𝑚+𝑚+3，𝑚+2,−𝑚+4，𝑚,−𝑚+3𝑚+2,−𝑚+2到𝑃𝐷=−𝑚2+𝑚，𝑄𝐸=−𝑚2+𝑚+2，再根据𝑆△𝑃𝐶𝐷+𝑆△𝐵𝑄𝐸=𝑃𝐷·𝑥𝑃+𝑄𝐸·(𝑥𝐵−𝑥𝐸)∴∵B在𝑦=𝑎𝑥2+𝑥+3∴0=36𝑎+6+解得：𝑎=

（2）解：由题意知：𝑃𝑚4

+𝑚+3，𝑄𝑚+2,−4𝑚+4，𝐷𝑚,−2𝑚+3𝑚+2,−2𝑚+2

1

1

1 ∴𝑃𝐷=

+𝑚+3−−2𝑚+3=

+2𝑚，𝑄𝐸=

+4−−2𝑚+2=

+2𝑚+ ∴𝑆△𝑃𝐶𝐷+𝑆△𝐵𝑄𝐸=2𝑃𝐷·𝑥𝑃+2= 2𝑚−4𝑚+2𝑚+2−4

+2𝑚+2 =−8=

+4

+8

−4𝑚+（3）解：由题意知：𝑃𝑚4

+𝑚+3①当−2<𝑚<0时，矩形相邻两边长分别为

1∴1=2−𝑚+4𝑚−2𝑚=

当0<𝑚<6且𝑚≠4

+

1∴1=2𝑚−4𝑚+2𝑚=

1𝑚2−5𝑚(−2<𝑚<综上：𝐿1

−1

+5𝑚(0<𝑚<6)当−2<𝑚<0时，伴随矩形相邻两边长为4+

1𝑚2+𝑚+3

3∴2=24+𝑚−2𝑚−4

+𝑚+3=−2𝑚+4𝑚+∴

+

−5𝑚+−𝑚+4𝑚+14=−𝑚−𝑚+14 ∴𝑚2+𝑚+4=0 ∴𝐿2=22𝑚−4−𝑚−4+𝑚+=2𝑚∴𝐿1+𝐿2=−𝑚2+5𝑚+𝑚2−2=5𝑚−2=∴𝑚=4（舍去综上：m的值为=−2𝑚+4𝑚+当0<𝑚≤4时，伴随矩形相邻两边长为4+𝑚−𝑚，−𝑚+𝑚3 1 ∴𝐿2=24+𝑚−2𝑚−4+𝑚+当4<𝑚<6𝑚2−4−𝑚，−𝑚2+𝑚+3∴𝐿1+𝐿2=−𝑚2+5𝑚−𝑚2+4𝑚+=−2𝑚2+9𝑚+14=∴𝑚1=2，𝑚2=4（舍去4（2O26·=(1,0)，𝐶(0,3)，D (3)2，𝑃是抛物线上一动点且在第二象限内．连接𝑃𝐵交𝐴𝐶于点𝐸，当𝐵𝐸=2时，求点𝑃【答案】【答案】(1)𝑦=−𝑥2−2𝑥+(2)(3)－1（1）（2）先求得点𝐴(−3,0)，过点𝐷作𝐷𝐹𝑥轴于点𝐹，根据四边形𝐴𝑂𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐹+𝑆梯形𝐵𝐶𝐷𝐹，即可求（3）先求得直线𝐴𝐶的解析式，过点𝑃作𝑥轴的平行线，交𝐴𝐶于点𝑄，证明𝑃𝑄𝐸𝐵𝐴𝐸形的性质结合已知可得−𝑚2−3𝑚=2（1）解：将点𝐵(1,0),𝐶(0,3)代入𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥+𝑐−1+𝑏+𝑐=𝑐=𝑏=解得：𝑐=∴𝑦=−𝑥2−2𝑥+∵𝑦=−𝑥2−2𝑥+3=−(𝑥+1)2（2）解：当𝑦=0时，−𝑥2−2𝑥+3=解得：𝑥1=−3,𝑥2=如图所示，过点𝐷作𝐷𝐹𝑥轴于点∴𝐴𝐹=−1−(−3)=2，𝐷𝐹=4，𝐶𝑂=3，𝐹𝑂=∴四边形𝐴𝑂𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐷𝐹+𝑆梯形 =2×2×4+2×(4+3)×=2（3）解：设直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥+𝑏(𝑘≠0)，代入−3𝑘+𝑏= 𝑏=𝑘=𝑏=∴直线𝐴𝐶的解析式为𝑦=𝑥设𝑃(𝑚,−𝑚2−2𝑚+3)，则𝑄(−𝑚2−2𝑚,−𝑚2−2𝑚+∴𝑃𝑄=−𝑚2−2𝑚−𝑚=∴△𝑃𝑄𝐸∴△𝑃𝑄𝐸∽△∴𝐴𝐵=𝐵𝐸=∴𝐴𝐵= =∴−𝑚2−3𝑚=解得：𝑚=−1或𝑚=−2．5（2O26·=相交于点A，与x轴正半轴相交于点B，与y轴相交于点C，直线𝐴𝐷与y轴相交于点𝐷 ，E是第象限抛物线上一点，连接𝐴𝐸yGE作𝐸𝐹𝑦轴交直线𝐴𝐷FxHE点m．(1)A，B，C(2)当𝑆四边形𝐷𝐺𝐸𝐹=8𝑆△𝐴𝐷𝐺时，求𝐸𝐹(3)作𝐸𝑀𝑥M点横坐标为2𝑚1，以𝐸𝑀,𝐸𝐹为邻边构造矩形①当矩形𝐸𝐹𝑁𝑀m②当抛物线经过矩形𝐸𝐹𝑁𝑀m+2𝑚++2𝑚+3+𝑚+=−𝑚2+𝑚+，根据𝑆四边形𝐷𝐺𝐸𝐹=8𝑆△𝐴𝐷𝐺，得到𝑆△𝐴𝐸𝐹= 四边形+=𝑆△𝐴𝐷𝐺，证明△𝐴𝐷𝐺∽△𝐴𝐹𝐸，得到𝐴𝐹=3，进而得到𝐴𝐻=𝐴𝐹=3，求出𝐻(2,0)，进而得到𝑚=2 ，𝐻(𝑚,0)，进而求出𝐸𝐹=+2𝑚+3)，𝑚,− （1）求出𝑥=0时的函数值，求出𝑦=0(3)①3<𝑚<1；②5或14【答案】（1）解：∵𝑦=−𝑥2+2𝑥+∴当𝑥=0时，𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=3，当𝑦=−𝑥2+2𝑥+3=0时，解得𝑥1=−1,𝑥2=（2）解：∵𝐴(−1,0),𝐷0,2∴设直线𝐴𝐷的解析式为𝑦=𝑘𝑥−，把𝐴(−1,0)

，则𝑘=− −𝑘−2= ∴𝑦=由题意，𝐸(𝑚,−𝑚2+2𝑚+3)，𝐹𝑚,1𝑚1∴𝐸𝐹=

+2𝑚+3+2𝑚+2=∵𝑆四边形𝐷𝐺𝐸𝐹=

+2𝑚+∴𝑆△𝐴𝐸𝐹=𝑆四边形𝐷𝐺𝐸𝐹+𝑆△𝐴𝐷𝐺=∵𝐸𝐹𝑦∴𝐸𝐹∥∴△𝐴𝐷𝐺∽△ △𝐴

= ∴𝐴𝐹=∵𝐸𝐹∥ ∴𝐴𝐻=𝐴𝐹=∴𝐴𝐻=∴𝐴𝐻=3𝐴𝑂=∴𝑂𝐻=𝐴𝐻−𝑂𝐴=∴𝐻(2,0)，即𝑚=∴𝐸𝐹=

+2×2+2=（3）解：①∵𝑦=−𝑥2