2026年中考数学二轮复习 专题06 几何变换综合(重难专练)

专题 几何变换综速度提 技巧掌 手感养锁定目标精准打击：授予利器瓦解难点：模拟实战挑战顶尖：挑战此重难点的中高难度题目，养成稳定攻克难题的“题感近三年：近三年：几何变换基础（1˜2道，6˜10分几何变换与全等/相似综合（1道，8˜12分几何变换与函数、动点综合（1道，10˜14分考向考向 几何变换基1平移的性质与应用5个单位长度，再绕点𝐴的对应点𝐴′逆时针旋转90⁰得到菱形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′，此时点𝐵的对应点𝐵′的坐标为（ 【答案】【答案】【分析】根据平移的性质以及旋转的性质作出菱形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′【详解】解：画出菱形𝐴′𝐵′𝐶′𝐷′由图形可得，点𝐵的对应点𝐵′的坐标为(4,2．（2026·河南商丘·一模）𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=120⁰，𝐴𝐵=𝐵𝐶，将𝐴𝐵𝐶沿射线𝐵𝐶方向平移得对应△𝐷𝐸𝐹，过点𝐵作𝐵𝑂⊥𝐴𝐶，垂足为𝑂，𝐵𝑂交𝐷𝐸于点𝑃，若𝐴𝐶=43，𝐶𝐸=3𝐵𝐸，则𝑃𝐷的长是（） 【答案】【答案】【分析】根据等腰三角形的性质，三线合一，求出∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐵=30⁰，𝐴𝑂=𝐶𝑂=2𝐴𝐶=23定理求出𝐵𝑂=2，则𝐵𝐶=4，根据线段的和差求出𝐵𝐸𝐵𝐸=𝐵𝑃=1，最后根据𝑃𝐷=【详解】解：∵∠𝐴𝐵𝐶=120⁰，𝐴𝐵=𝐵𝐶，𝐵𝑂∴∠𝐴=∠𝐴𝐶𝐵=30⁰，𝐴𝑂=𝐶𝑂=2𝐴𝐶=2∴𝐵𝑂=设𝐵𝑂=𝑥，则𝐵𝐶=在直角三角形△𝐵𝑂𝐶中，𝐵𝐶2=𝐵𝑂2∴(2𝑥)2=𝑥2+(23)，解得：𝑥=±2，∴𝑥=∴𝐵𝑂=2，则𝐵𝐶=∵𝐶𝐸=3𝐵𝐸且𝐶𝐸𝐵𝐸=𝐵𝐶=∴𝐶𝐸=3，𝐵𝐸=𝐴𝐵𝐶沿射线𝐵𝐶△∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐸𝐹=120⁰，𝐴𝐵=𝐷𝐸=∴∠𝐷𝐸𝐵=180°−∠𝐷𝐸𝐹=180°−120°=∵∠𝐴𝐶𝐵=30⁰，𝐵𝑂⊥∴∠𝑂𝐵𝐶=180°−90°−30°=𝐵𝑃𝐸∴𝐵𝐸=𝐵𝑃=∴𝑃𝐷=𝐷𝐸−𝑃𝐸=4−1=3．3．（2026·河北邯郸·一模）Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴=90°,𝐴𝐵=𝑐,𝐴𝐶=𝑏,𝐵𝐶=𝑎，将△𝐴𝐵𝐶2个单位长度，记△𝐴𝐵𝐶扫过的面积为𝑆．关于结论①，②，下列判断正确的是（结论①：点𝐴BC的距离为结论②：𝑆的最大值为2 【答案】【答案】𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝑏𝑐=∴ℎ=𝑎ABC中，∠𝐴=90⁰，𝐴𝐵=𝑐，𝐴𝐶=𝑏，𝐵𝐶=∴𝑎>𝑏，𝑎>∴如图，当𝐴𝐵𝐶沿垂直于𝐵𝐶2个单位时，扫过的面积𝑆 此时，𝑆𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆长方形𝐵𝐶𝐶′𝐵′=2𝑏𝑐4．（2026·河南周口·一模）如图，在扇形𝐴𝑂𝐵中，已知∠𝐴𝑂𝐵=90⁰，𝑂𝐴=𝑂𝐵=2，正方形𝑂𝐸𝐶𝐷 3−【详解】解：连接∴𝑂𝐶=𝑂𝐴=由平移可得：𝑂𝐺=𝐶𝐺，∠𝐴𝑂𝐵=∴𝑂𝐶2=𝑂𝐺2+𝐶𝐺2=2𝐶𝐺2，∠𝐵𝑂𝐶=∴𝐶𝐺= ∴正方形的面积为：𝐶𝐺×𝐺𝑁=2，𝑆扇形𝐶𝑂𝐵 =∵𝑆△𝐶𝑂𝐸=2×𝑂𝐺×𝐶𝐺=2×2×2=∴阴影部分的面积为：2−2−1=5．（2026·吉林长春·一模）如图，将等腰直角三角尺𝐴𝐵𝐶沿着直线𝑙△𝐴1𝐵1𝐶1的位置，连结𝐵1．已知𝐵𝐶=1，平移距离𝐴𝐴1=2．求证：四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1【分析】由平移的性质可得【分析】由平移的性质可得𝐴𝐴1=𝐵𝐵1，𝐴𝐴1∥𝐵𝐵1，则四边形𝐴𝐵𝐵1𝐴1是平行四边形，由等腰直角三角形的性质并结合勾股定理计算可得𝐴𝐵=𝐴𝐴1，即可得证．【详解】证明：由平移的性质可得：𝐴𝐴1=𝐵𝐵1，𝐴𝐴1∥𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，𝐵𝐶=∴𝐴𝐵 𝐴𝐶2+𝐵𝐶2=∴𝐴𝐵=6．（2026·江苏南通·一模）𝐴𝐵𝐶是等边三角形，𝐷是𝐴𝐵的中点，𝐶𝐸𝐵𝐶，垂足为𝐶，𝐸𝐹是由𝐶𝐸𝐺【答案】【答案】𝐶𝐸𝐺𝐷𝐶𝐵=30⁰．再根据𝐶𝐸𝐵𝐶，得到∠𝐵𝐶𝐸=90⁰，最后通过角的和差关系，用∠𝐵𝐶𝐸减去∠𝐷𝐶𝐵，即可求出先根据平移性质𝐶𝐷𝐸𝐹，得到∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=30⁰，再结合∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐵=30⁰𝐴𝐸=𝐶𝐸，∠𝐴𝐸𝐶=120⁰．接着，由𝐴𝐵=𝐶𝐵，得出𝐵𝐸垂直平分𝐴𝐶，进而得到∠𝐺𝐸𝐶=2∠𝐴𝐸𝐶=60⁰后，结合（1）中已得的∠𝐺𝐶𝐸=60⁰，推出𝐶𝐸𝐺的三个内角均为60⁰【详解】（1）解：𝐴𝐵𝐶∴∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐴=2∠𝐴𝐶𝐵=2×60⁰=∵𝐶𝐸⊥∴∠𝐵𝐶𝐸=∴∠𝐷𝐶𝐸=∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐷𝐶𝐵=（2）证明：由平移可知：𝐶𝐷∴∠𝐸𝐴𝐶∴∠𝐸𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=又∵∠𝐸𝐶𝐴=∠𝐵𝐶𝐸−∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐸𝐴𝐶=∴𝐴𝐸=𝐶𝐸，∠𝐴𝐸𝐶=120⁰，又∵𝐴𝐵=𝐶𝐵，∴∠𝐺𝐸𝐶=2∠𝐴𝐸𝐶=2×120⁰=由（1）知，∠𝐺𝐶𝐸=∴∠𝐸𝐺𝐶=∴∠𝐺𝐸𝐶=∠𝐺𝐶𝐸=𝐶𝐸𝐺2旋转的性质与应用1．（2026·广东汕头·一模）如图，在平面直角坐标系中，Rt𝑂𝐴𝐵Ax∠𝑂𝐴𝐵=90⁰，𝑂𝐴=6，𝐴𝐵=8．将△𝑂𝐴𝐵A顺时针旋转30⁰得到△𝑂′𝐴𝐵′，则点𝐵′的坐标为（A．4 B．

C．

D．4【答案】【答案】【分析】过点𝐵′作𝐵′𝐻⊥𝑥轴于𝐻，则∠𝐵′𝐻𝐴=90⁰，根据旋转的性质得𝐴𝐵′=𝐴𝐵=8，∠𝐵′𝐴𝐵=30⁰，利用平角的定义求得∠𝐵′𝐴𝐻=60⁰，在Rt△𝐵′𝐴𝐻中利用三角函数的知识求出𝐴𝐻和𝐵′𝐻的长，即可得出答案．【详解】解：如图，过点𝐵【详解】解：如图，过点𝐵′作𝐵′𝐻⊥𝑥轴于则∠𝐵′𝐻𝐴=∵将𝑂𝐴𝐵A顺时针旋转30⁰得到∴𝐴𝐵′=𝐴𝐵=8，∠𝐵′𝐴𝐵=∵∠𝑂𝐴𝐵=∴∠𝐵′𝐴𝐻=180°−90°−30°=在Rt𝐵′𝐴𝐻中，𝐴𝐻𝐴𝐵′cos∠𝐵′𝐴𝐻8cos60⁰=4，𝐵′𝐻𝐴𝐵′sin∠𝐵′𝐴𝐻=8sin60⁰=4∴𝑂𝐻=𝑂𝐴+𝐴𝐻=6+4=∴点𝐵′10,432．（2026·湖北随州·一模）如图，已知正方形𝐴𝐵𝐶𝐷6E是𝐴𝐵边上一点，连接𝐴𝐶,𝐷𝐸𝐴𝐷𝐸D逆时针旋转90⁰至𝐷𝐶𝐹EF对应，连接𝐸𝐹与𝐴𝐶G，若𝐴𝐺=22𝐶𝐹𝐴𝐸的长为（A． C．2 【答案】【答案】E作𝐸𝐻𝐴𝐵交𝐴𝐶H，则∠𝐴𝐸𝐻=90⁰，结合正方形的性质可得设𝐴𝐸=𝐸𝐻=𝑥，则𝐴𝐻=2𝑥，证明△𝐺𝐸𝐻≌△𝐺𝐹𝐶(ASA)，可得𝐻𝐺=𝐶𝐺，从而得到𝐶𝐺=𝐻𝐺=𝐴𝐺−𝐴𝐻=2𝑥，即可求解．E作𝐸𝐻𝐴𝐵交𝐴𝐶H，则∠𝐴𝐸𝐻=A．A．∴∠𝐵=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷=90⁰=∠𝐴𝐸𝐻，∠𝐵𝐴𝐶=45⁰，𝐴𝐷∥∴𝐴𝐶 𝐴𝐷2+𝐶𝐷2=62△𝐴𝐸𝐻是等腰直角三角形，𝐸𝐻∴𝐴𝐸=设𝐴𝐸=𝐸𝐻=𝑥，则𝐴𝐻=2𝑥，∴𝐶𝐹=𝐴𝐸=𝐸𝐻=𝑥，∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐵𝐶𝐷+∠𝐷𝐶𝐹=B、C、F三点共线，即𝐵𝐹∴∠𝐺𝐸𝐻=∠𝐺𝐹𝐶，∠𝐺𝐻𝐸=∴△𝐺𝐸𝐻≌△∴𝐻𝐺=∵𝐴𝐺=22𝐶𝐹=2∴𝐶𝐺=𝐻𝐺=𝐴𝐺−𝐴𝐻=∵𝐴𝐶=𝐴𝐺+∴62=22𝑥+∴𝑥=2，即𝐴𝐸=3．（2026·河南开封·模拟预测）2的正六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹的中心与原点O重合，𝐴𝐵∥𝑥yG．将△𝑂𝐵𝐺O顺时针旋转，每次旋转90⁰2026次旋转结束B的对应点的坐标为（） B． C．− D．【答案】【答案】【分析】连接𝑂𝐴𝐴𝑂𝐵B1,34次旋转为一个循环，结合2026÷4=506……2，求解即可；【详解】解：如图，连接𝑂𝐴，可得𝑂𝐴=∵∠𝐴𝑂𝐵∵∠𝐴𝑂𝐵 =𝐴𝑂𝐵∴𝑂𝐵=𝐵𝐴=2，𝐺𝐵=2𝐵𝐴=在Rt△𝐵𝑂𝐺中，𝑂𝐺 𝑂𝐵2−𝐺𝐵2=∴B1,31次顺时针旋转90⁰B的对应点𝐵1在第四象限，其坐标为3,−1，2次顺时针旋转90⁰B的对应点𝐵2−1,−3，3次顺时针旋转90⁰B的对应点𝐵3在第二象限，其坐标为−3,1，4次顺时针旋转90⁰，点B的对应点𝐵4在第一象限，其坐标为1,3，第5次顺时针旋转90⁰，点B的对应点𝐵5在第四象限，其坐标为3,−1，4次旋转为一个循环，则2026÷4=∴𝐵2026与𝐵2对应，坐标为−1,−34．（2026·江苏徐州·一模）如图，在正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵25O是边𝐵𝐶E是直线上一动点，连接𝐷𝐸，将线段𝐷𝐸D逆时针旋转90⁰得到线段𝐷𝐹，连接𝑂𝐹，则线段𝑂𝐹 【答案】【答案】【分析】根据旋转的性质和正方形的性质证明𝐴𝐷𝐸𝐶𝐷𝐹∠𝐷𝐶𝐹=∠𝐷𝐴𝐸，确定点𝐹的运【详解】解：连接由旋转的性质可知𝐷𝐸=𝐷𝐹，∠𝐸𝐷𝐹=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝐷=𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐵=∴∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐸𝐷𝐶=∠𝐶𝐷𝐹+∠𝐸𝐷𝐶=∴∠𝐴𝐷𝐸=在𝐴𝐷𝐸𝐶𝐷𝐹𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝐸=𝐷𝐸=∴△𝐴𝐷𝐸≌△∴∠𝐷𝐴𝐸=当𝑂𝐹𝐶𝐹时，𝑂𝐹四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐵𝐴𝐷=90°,𝐴𝐵=𝐵𝐶=2∵∠𝑂𝐶𝐹=∠𝐷𝐶𝐹−90°，∠𝐵𝐴𝑂=90°−∠𝐷𝐴𝑂=90°−(180°−∠𝐷𝐴𝐸)=∴∠𝑂𝐶𝐹=在Rt𝐴𝐵𝑂中，𝐴𝐵=25，𝑂是𝐵𝐶 ∴𝐵𝑂=2𝐵𝐶=2𝐴𝐵=5= 由勾股定理得，𝐴𝑂 𝐴𝐵+𝐵𝑂 (25)+(5)=∴sin∠𝐵𝐴𝑂=𝐵𝑂= ∴在Rt△𝑂𝐹𝐶中，𝑂𝐹=𝑂𝐶sin∠𝑂𝐶𝐹=𝑂𝐶sin∠𝐵𝐴𝑂=5×5=𝐸𝐹𝐺𝐻．延长𝐵𝐸交以𝐴𝐷为直径的半圆于点𝑀，连接𝑀𝐻．若𝐴𝑀=𝐷𝑀，则𝑀𝐻的值 【分析】设直角三角形的长直角边为𝑎，短直角边为𝑏，得到𝐴𝐵=𝐴𝐷 𝑎2+,𝐸𝐻=𝑎−𝑏,𝐷𝐻=𝑏,𝐴𝐻=𝑎，连接𝐴𝑀,𝑀𝐷，根据圆周角定理结合等弧对等弦得到∠𝐴𝑀𝐷=𝐴𝑀=𝐷𝑀，进而推出𝑀,𝐴,𝐻,𝐷四点共圆，得到∠𝑀𝐴𝐻=∠𝑀𝐷𝐴=45⁰，求出𝑀𝐻=2𝐸𝐻=2(𝑎−𝑏)𝑀𝐷𝐻绕点𝑀旋转90⁰𝑀𝐴𝑁，推出𝑁,𝐴,𝐻三点共线，得到𝑁𝐻=𝐴𝐻𝐴𝑁=𝑎𝑏到𝐸𝐻=𝑁𝐸=2𝑁𝐻，进而得到𝑎−𝑏=2(𝑎+𝑏)，得到𝑎=3𝑏，进而求出𝐴𝐵,𝑀𝐻【详解】解：设直角三角形的长直角边为𝑎，短直角边为由题意，𝐴𝐵=𝐴𝐷 𝑎2+𝑏2,𝐸𝐻=𝑎−𝑏,𝐷𝐻=𝑏,𝐴𝐻=𝑎，∠𝐴𝐻𝐷=连接∵𝐴𝐷为半圆的直径，𝐴𝑀=∴∠𝐴𝑀𝐷=90⁰，𝐴𝑀=∴∠𝑀𝐴𝐷=∠𝐴𝐷𝑀=45⁰，∠𝐴𝑀𝐷+∠𝐴𝐻𝐷=∴∠𝑀𝐴𝐻=∠𝑀𝐷𝐴=45⁰，∠𝑀𝐴𝐻+∠𝑀𝐷𝐻=∴𝑀𝐻=2𝐸𝐻=将𝑀𝐷𝐻绕点𝑀旋转90⁰𝑀𝐴𝑁，则𝐴𝑁=𝐷𝐻=𝑏,∠𝐻𝑀𝑁=90⁰，𝑀𝑁=𝑀𝐻，∠𝑀𝐴𝑁=∴∠𝑀𝐴𝑁+∠𝑀𝐴𝐻=∠𝑀𝐷𝐻+∠𝑀𝐴𝐻=∴𝑁𝐻=𝐴𝐻+𝐴𝑁=𝑎+∵𝑀𝑁=𝑀𝐻,∠𝑀𝐸𝐻=∴𝐸𝐻=𝑁𝐸=∴𝑎−𝑏=2(𝑎+∴𝑎=∴𝐴𝐵 𝑎2+𝑏2=10𝑏，𝑀𝐻=2(𝑎−𝑏)=2∴∴𝑀𝐻=22𝑏=2 6．（2026·江西吉安·模拟预测）如图，在平行四边形纸条𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=8，∠𝐵=75⁰旋转后得到平行四边形纸条𝐶𝐸𝐹𝐺，点D恰好在边𝐸𝐹上，则点G到𝐵𝐶的距离 【答案】【答案】G作𝐺𝑀⊥𝐵𝐶M∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸=30⁰G作𝐺𝑀⊥𝐵𝐶在平行四边形纸条𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=8，∠𝐵=75⁰C旋转后得到平行四边形纸条𝐶𝐸𝐹𝐺D恰好在边𝐸𝐹∴𝐴𝐷=𝐶𝐵=𝐶𝐺=8，𝐴𝐵=𝐶𝐷=𝐶𝐸，∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐸=∴𝐴𝐷∥𝐶𝐵,𝐶𝐺∥𝐸𝐹，∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐸=∴∠𝐵+∠𝐵𝐶𝐷=180⁰，∠𝐸+∠𝐺𝐶𝐸=180⁰，∠𝐷𝐶𝐸=∴∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐺𝐶𝐸=∴∠𝐵𝐶𝐺=∠𝐷𝐶𝐸=∴𝐺𝑀=𝐶𝐺sin30⁰=7．（2026·安徽阜阳·一模）1将线段𝐴𝐵34个单位长度，得到线段𝐴1𝐵1，画出线段将线段𝐴𝐵绕𝑂逆时针旋转90⁰，得到线段𝐴2𝐵2，画出线段(3)在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦的第四象限内描出一个格点𝑃（要在网格内），使得𝑃𝐴=𝑃𝐴2，并写出格点𝑃的坐（3）解：取格点𝑃（答案不唯一），如图，𝑃(7,−5)，此时𝑃𝐴=𝑃𝐴2 12+62=37满足题意该四边形称为“双等四边形”，原等腰三角形称为四边形的“伴随三角形”2，在𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶=𝐴𝐷，∠𝐷=∠𝐵𝐴𝐶．此时，四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是“双等四边形”𝐴𝐵𝐶是“伴随三角形3，在𝐴𝐵𝐶中，𝐵𝐶=𝐴𝐶，将𝐴𝐵𝐶A逆时针旋转至𝐴𝐷𝐸D恰好落在𝐵𝐶边上，求4，在等腰𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，∠𝐵𝐴𝐶=80⁰，以𝐴𝐶为边向外作等腰𝐴𝐶𝐷，使四边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶为伴随三角形的双等四边形，请直接写出∠𝐴𝐶𝐷【分析】（1）根据题意，证明∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐸即可说明四边形𝐴𝐵𝐷𝐸（2）根据题意分𝐴𝐷=𝐴𝐶、𝐷𝐴=𝐷𝐶、𝐶𝐷=𝐶𝐴【详解】（1）证明：将𝐴𝐵𝐶A逆时针旋转至△∴𝐴𝐵=𝐴𝐷,𝐴𝐸=𝐴𝐶,𝐷𝐸=𝐵𝐶,∠𝐵=∴∠𝐴𝐵𝐷=∴∠𝐴𝐷𝐵=∵𝐴𝐶=∴𝐴𝐸=∴∠𝐸𝐴𝐷=∴∠𝐵=∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐸=∵∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐵+∠𝐴𝐷𝐵=180°,∠𝐴𝐷𝐸+∠𝐷𝐴𝐸+∠𝐸=∴∠𝐵𝐴𝐷=四边形𝐴𝐵𝐷𝐸（2）①当∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷=80⁰，𝐴𝐷=𝐴𝐶四边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶∵𝐴𝐷=∴∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐷=②当∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷=80⁰，𝐷𝐴=𝐷𝐶∵𝐷𝐴=∴∠𝐴𝐶𝐷=∠𝐶𝐴𝐷=③当∠𝐵𝐴𝐶=∠𝐷=80⁰，𝐶𝐷=𝐶𝐴∵𝐶𝐷=∴∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐷=∴∠𝐴𝐶𝐷=180°−∠𝐷−∠𝐶𝐴𝐷=20⁰；3轴对称的性质与应用1．（2026·辽宁葫芦岛·模拟预测）如图，一张直角三角形纸片𝐴𝐵𝐶，∠𝐴𝐶𝐵=90⁰，∠𝐴=21⁰，𝑀𝑁𝐵𝐶，将纸片沿𝑀𝑁折叠，使点𝐴落在点𝐷处，则∠𝐷𝑁𝐵的度数为（） 【答案】【答案】【分析】先根据直角三角形内角和求出∠𝐵=69⁰∠𝐴𝑁𝑀=69⁰，由折叠性质得∠𝐷𝑁𝑀=∠𝐴𝑁𝑀=69⁰，进而算出∠𝐷𝑁𝐵=42⁰．【详解】解：在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐶𝐵=90⁰，∠𝐴=21⁰，∠𝐵=90°−21°=∵𝑀𝑁∥∴根据平行线的同位角相等，得：∠𝐴𝑁𝑀=∠𝐵=折叠后点𝐴落在点𝐷处，根据折叠的性质，对应角相等，得∠𝐷𝑁𝑀=∠𝐴𝑁𝑀=∴∠𝐷𝑁𝐵=180°−∠𝐷𝑁𝑀−∠𝐴𝑁𝑀=180°−69°−69°=△△坐标为(3,3)，则点𝐸的坐标为（）A． B．3 C．3,3 D．【答案】【答案】【分析】根据点𝐶的坐标为(3,3)，得出𝑂𝐶 32+32=32，tan∠𝐶𝑂𝐴=3=1，求出∠𝐶𝑂𝐴=45⁰，根菱形的性质得出𝐵𝐶=𝑂𝐶=32，∠𝐵=∠𝐶𝑂𝐴=45⁰，𝐵𝐶𝑂𝐴，根据折叠得出∠𝐸=∠𝐵=∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，𝐸𝐶=𝐵𝐶=32，证明𝐸𝐶𝑥轴，得出𝐶𝐹=𝑂𝐹=3𝐸𝐹=𝐸𝐶−𝐶𝐹=32−3∴𝑂𝐶 32+32=32，tan∠𝐶𝑂𝐴=3=∴∠𝐶𝑂𝐴=∴𝐵𝐶∴𝐵𝐶=𝑂𝐶=32，∠𝐵=∠𝐶𝑂𝐴=45⁰，𝐵𝐶∥∴∠𝐵𝐶𝑂=180°−∠𝐶𝑂𝐴=根据折叠可得：∠𝐸=∠𝐵=45⁰，∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐸，∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸，𝐸𝐶=𝐵𝐶=3∴∠𝐶𝐷𝐵+∠𝐶𝐷𝐸=∴∠𝐶𝐷𝐵=∠𝐶𝐷𝐸=∴∠𝐷𝐶𝐸=90°−45°=∴∠𝐷𝐶𝐵=∠𝐷𝐶𝐸=∴∠𝑂𝐶𝐸=135°−45°−45°=∴∠𝑂𝐹𝐶=180°−45°−45°=∴𝐸𝐶𝑥∴𝐶𝐹=𝑂𝐹=∴𝐸𝐹=𝐸𝐶−𝐶𝐹=3∴E3,3−323．（2026·陕西咸阳·一模）如图，在菱形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐶=8，𝐵𝐷=4，𝐸为线段𝐴𝐶𝐷𝐴𝐸𝐹是平行四边形，则𝐵𝐸+𝐵𝐹的最小值 【答案】2【答案】2【分析】设𝐴𝐶与𝐵𝐷交于点𝑂，作点𝐵′，使得𝐵𝐵′∥𝐷𝐴且𝐵𝐵′=𝐷𝐴，连接𝐵′𝐸，可得四边形𝐵′𝐸𝐹𝐵是平行四边形，得到𝐵′𝐸=𝐵𝐹，即得𝐵𝐸+𝐵𝐹=𝐵𝐸+𝐵′𝐸，作点𝐵′关于直线𝐴𝐶的对称点𝐵″，连接𝐵″𝐸、𝐵𝐵″，得𝐵′𝐸=𝐵″𝐸，即得𝐵𝐸+𝐵𝐹=𝐵𝐸+𝐵″𝐸，根据两点之间线段最短可知，当𝐵，𝐸，𝐵″三点共线时，𝐵𝐸+𝐵″𝐸取得最小值，最小值为线段𝐵𝐵″的长，过点𝐵″作𝐵′′𝐻垂直过点𝐵且平行于𝐴𝐶的直线，垂足为𝐻，利用平移的性质可得𝐵″𝐻=4+2=6，𝐵𝐻=𝑂𝐴=4，最后利用勾股定理解答即可求解．∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是菱形，𝐴𝐶=8，𝐵𝐷= ∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝑂𝐴=2𝐴𝐶=4，𝑂𝐵=𝑂𝐷=2𝐵𝐷=∴𝐸𝐹∥𝐴𝐷，𝐸𝐹=作点𝐵′，使得𝐵𝐵′∥𝐷𝐴且𝐵𝐵′=𝐷𝐴，连接∴𝐵𝐵′∥𝐸𝐹，𝐵𝐵′=∴四边形𝐵′𝐸𝐹𝐵∴𝐵′𝐸=∴𝐵𝐸+𝐵𝐹=𝐵𝐸+作点𝐵′关于直线𝐴𝐶的对称点𝐵″，连接𝐵″𝐸、∴𝐵′𝐸=∴𝐵𝐸+𝐵𝐹=𝐵𝐸+根据两点之间线段最短可知，当𝐵，𝐸，𝐵″三点共线时，𝐵𝐸+𝐵″𝐸取得最小值，最小值为线段𝐵𝐵″∵𝐵𝐵′∥𝐷𝐴，𝐵𝐵′=∴点𝐵′可看作由点𝐵沿𝐷𝐴∵𝐴𝐶=8，𝐵𝐷=∴点𝐵′在点𝐵的左侧4个单位，下方2∴点𝐵′在𝐴𝐶下方4个单位处，且在过点𝐴并垂直于𝐴𝐶∵点𝐵″与点𝐵′关于𝐴𝐶∴点𝐵″在𝐴𝐶上方4个单位处，且在过点𝐴并垂直于𝐴𝐶的直线上，过点𝐵″作𝐵′′𝐻垂直过点𝐵且平行于𝐴𝐶的直线，垂足为𝐻，∴𝐵″𝐻=4+2=6，𝐵𝐻=𝑂𝐴=在Rt△𝐵𝐻𝐵″中，𝐵𝐵″ 𝐵𝐻2+𝐵″𝐻2 42+62=52=2𝐵𝐸𝐵𝐹的最小值为24．（2026·江苏扬州·一模）1𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=120⁰，D是边𝐴𝐶𝐴𝐵𝐹为等腰直角三角形时，求∠𝐴𝐵𝐸①试探究∠𝐺的大小是否变化？如果不变，请求出∠𝐺的大小；如果变化，请说明理由．②若𝐴𝐵=2△𝐵𝐹𝐺的面积最大 ，此时𝐴𝐸= 【答案】【答案】(1)∠𝐴𝐵𝐸=(2)①不变，∠𝐺=30⁰②3+2，2【分析】（1）由对称性质得∠𝐸𝐵𝐹=2×210⁰=105⁰，由三角形外角的性质得∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐵𝐹−∠𝐴𝐵𝐹（2）①设∠𝐴𝐵𝐸=𝑥，则∠𝐸𝐵𝐶=120°−𝑥，由对称性质得∠𝐹𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=120°−𝑥得∠𝐺=∠𝐹𝐴𝐵−∠𝐴𝐵𝐸②点𝐺以𝐵𝐹为弦，所对的圆周角为30⁰的圆弧上运动，过点𝑂作𝑂𝐻⊥𝐵𝐹于𝐻，交优弧𝐵𝐺′𝐹于点𝐺′𝑂𝐵，当𝐵𝐺=𝐺𝐹时，即点𝐺位于点𝐺′△𝐵𝐹𝐺【详解】（1）∵△𝐴𝐵𝐹∴∠𝐴𝐵𝐹=∴∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐴𝐵𝐶=90⁰+120⁰=边𝐵𝐶关于𝐵𝐸对称的线段为∴∠𝐸𝐵𝐹=2×210⁰=∴∠𝐴𝐵𝐸==105°−90°=设∠𝐴𝐵𝐸=𝑥，则∠𝐸𝐵𝐶=120°−𝑥，边𝐵𝐶关于𝐵𝐸对称的线段为∴∠𝐹𝐵𝐺=∠𝐶𝐵𝐸=120°−𝑥，𝐵𝐹=∴∠𝐹𝐵𝐴==∵𝐴𝐵=∴𝐵𝐹=∴∠𝐹=∠𝐹𝐴𝐵=2=2=30⁰+∴∠𝐺==30⁰+=②由①得∠𝐵𝐺𝐹=∵𝐵𝐹=𝐴𝐵=∴点𝐺以𝐵𝐹为弦，所对的圆周角为30⁰的圆弧上运动，如图，过点𝑂作𝑂𝐻⊥𝐵𝐹于𝐻，交优弧𝐵𝐺′𝐹于点𝐺′，当𝐵𝐺=𝐺𝐹时，即点𝐺位于点𝐺′△𝐵𝐹𝐺∵𝑂𝐻⊥∴𝐵𝐻=𝐹𝐻=1，𝑂𝐻垂直平分∴𝐵𝐺′=

𝐻=

𝐹=2∠𝐺=∵𝑂𝐺′=∴∠𝑂𝐵𝐺′=∴∠𝐵𝑂𝐻=∠𝑂𝐵𝐺′+∠𝑂𝐺′𝐵=∴𝑂𝐵=2𝐵𝐻=𝐵𝐹=∴𝑂𝐻 𝑂𝐵2−𝐵𝐻2= ∴𝑆△𝐵𝐹𝐺′=2𝐵𝐹⋅𝐺=2×2×(2+=2+𝐵𝐺𝐹面积最大值是2+此时，点𝐸的位置如图所示，过点𝐸作𝐸𝐾𝐴𝐵于则𝐸𝐾=2𝐴𝐸，𝐴𝐾=cos30°𝐴𝐸=2∠𝐵𝐹𝐺=∠𝐹𝐵𝐺=∠𝐶𝐵𝐺=∴△𝐵𝐾=𝐸𝐾=∵𝐴𝐾+𝐵𝐾=∴2𝐴𝐸+2𝐴𝐸=∴𝐴𝐸=2 (2)155(3)2255根据题意，可知𝐵𝐶

2根据三角形面积公式求得𝑆△𝐴𝐵𝐶，再根据𝑆△𝐴𝐵𝐶=𝑆△𝐷𝐵𝐶【详解】（1）∴𝐷坐标为∴𝐵𝐶

2∴𝐴𝐷=∴𝐵𝐶

=155解：𝐴𝐵𝐶𝐷𝐵𝐶关于𝑦∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴𝑆△𝐴𝐵𝐶=∵𝑆△𝐴𝐵𝐶

(15

225 ∴风筝所需材料（四边形ABDC）的面积为S△ABC+S△DBC=2255+225×2=22554①点(x,y)关于原点中心对称②点(x,y)关于点(a,b)中心对称⇒对称点 2b−y) 【答案】【答案】180度能与原来的图形重合；轴对称图形是指图形沿一条【详解】解：A2．（2026·安徽安庆·一模）如图，在等边三角形𝐴𝐵𝐶中，𝐷为𝐵𝐶的中点，𝐴𝐵=4𝐶𝐸𝐹与𝐶𝐷𝐴𝐶中心对称，连接𝐵𝐹，则𝐵𝐹的长为（

【答案】【答案】【详解】解：【详解】解：𝐴𝐵𝐶为等边三角形，𝐷为𝐵𝐶∴𝐴𝐷是𝐵𝐶边上的高，𝐵𝐷=𝐶𝐷，𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，∠𝐵𝐴𝐶=∴∠𝐴𝐷𝐵=∠𝐴𝐷𝐶=90⁰，𝐵𝐷=𝐶𝐷=2𝐵𝐶=∴在Rt△𝐴𝐵𝐷中，𝐴𝐷 𝐴𝐵2−𝐵𝐷2 42−22=2𝐶𝐸𝐹与𝐶𝐷𝐴关于点𝐶∴𝐶𝐷=𝐶𝐸=2，𝐴𝐷=𝐹𝐸=23，∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐴𝐷𝐶=∴𝐵𝐸=𝐵𝐷+𝐶𝐷+𝐶𝐸=∴在Rt△𝐵𝐸𝐹中，𝐵𝐹 𝐵𝐸2+𝐹𝐸262+(2=4 边形的顶点，点𝐴，𝐵，𝐶……在𝑥轴正半轴上，∠𝐴𝑂𝑂=45∘，𝑂𝐴=1，𝐴𝐵=2，𝐵𝐶=3，𝑂𝑂=2 =22，𝐵𝐵1=32……6个平行四边形的对称中心的坐标是(A．

C．

【答案】【答案】(1+2+3+𝑛,2)【详解】解：如图所示，作𝑂1𝑀⊥𝑥轴于点∵∠𝐴𝑂𝑂1=45⁰，𝑂𝑂1=∴𝑂𝑀=𝑂1𝑀=∵𝑂𝐴=𝑀，𝐴∴𝑂1𝐴⊥同理可得：𝐴1𝐵⊥𝐴𝐵，𝑂𝐵=0𝐴+𝐴𝐵=3，𝐴1𝐵=𝐴𝐵=则则𝐴1𝐵2个平行四边形的对称中点，其坐标为(1+3个平行四边形的对称中心的坐标是(1+2+同理可得：第𝑛个平行四边形的对称中心的坐标是(1+2+3+⋯+6个平行四边形的对称中心的坐标是(1+2+3+4+5+6,2)，即(2，3)=(21，3)，3【详解】如图，由菱形的中心对称性可知𝐵𝐹=∴𝐷𝐸+𝐷𝑀=𝐵𝐹+𝐷𝑀=2𝐶𝐵−(𝐶𝐹+𝐶𝑀)=连接3【详解】如图，由菱形的中心对称性可知𝐵𝐹=∴𝐷𝐸+𝐷𝑀=𝐵𝐹+𝐷𝑀=2𝐶𝐵−(𝐶𝐹+𝐶𝑀)=连接∵𝑂𝐴=𝑂𝐶=2，过点𝑂作𝑂𝐻𝐴𝐷于点𝐻，作𝑂𝐺⊥𝐶𝐷于点𝐺，∵∠𝑂𝐴𝐻=∠𝑂𝐶𝐺=𝑂𝐻=𝑂𝐺=𝑂𝐴sin60⁰=3，则𝑆四边形𝑂𝐸𝐷𝑀=𝑆△𝑂𝐸𝐷+𝑆△𝑂𝑀𝐷=2𝐷𝐸⋅𝑂𝐻+2𝐷𝑀⋅=2𝑂𝐻⋅(𝐷𝐸+𝐷𝑀)=2×3×3 3【答案】【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出𝑦1+𝑦19=−2，𝑦2+=−2，……得出𝑦1+𝑦2+𝑦3+⋯⋯+𝑦19=𝑦10+(−2)×9=−19，根据题意可得𝑦0=−2，𝑦20=0，即=∴𝑦1+𝑦19=【答案】【分析】本题是坐标规律题，求函数值，中心对称的性质，根据题意得出𝑦1+𝑦19=−2，𝑦2+=−2，……得出𝑦1+𝑦2+𝑦3+⋯⋯+𝑦19=𝑦10+(−2)×9=−19，根据题意可得𝑦0=−2，𝑦20=0，即=∴𝑦1+𝑦19=−2，𝑦2+𝑦18=∵𝐴10(1,−1)即𝑦10=∴𝑦1+𝑦2+𝑦3+⋯⋯+𝑦19=𝑦10+(−2)×9=∵𝑦=𝑥3−3𝑥2当𝑥=0时，𝑦=−2，即(0,−2)，即𝑦0=∵(0,−2)关于点(1,−1)中心对称的点为(2,0)，即当𝑥=2时，𝑦20=∴𝑦0+𝑦1+𝑦2+𝑦3+⋯⋯+𝑦19+𝑦20=−2−19+0=−21，6．（2025·安徽合肥·一模）𝐴𝐵𝐶三个顶点的坐标分别为△𝐴𝐵𝐶向左平移3个单位长度，再向下平移1△𝐴1𝐵1𝐶1，请画出△𝐴1𝐵1𝐶1，并写𝐴𝐵𝐶关于点𝑂△连接𝐵1𝐶2，𝐵2𝐶1，四边形𝐵1𝐶2𝐵2𝐶1的周长 【答案】【答案】(1)见解析，𝐴1的坐标为4【详解】（1）△𝐴1𝐵1𝐶1由图可得，𝐴1的坐标为−1，3（2）△𝐴2𝐵2𝐶2（（3）解：由勾股定理得，𝐵1𝐶2=22+3213，𝐵2𝐶1 22+32=13，𝐵1𝐶1=𝐵2𝐶2 32+∴四边形𝐵1𝐶2𝐵2𝐶1的周长是𝐵1𝐶2+𝐵2𝐶1+𝐵1𝐶1+𝐵2𝐶2=4故答案为：4考向考向 几何变换与全等、相似综5合，证明另一组对应边相等）；②利用平移后对应线段平行的性质，构造相似三角形（A字型、8字1．（2026·河南商丘·一模）如图，菱形𝐴𝐵𝐶𝐷的边长为6，∠𝐵𝐴𝐷=60⁰，将该菱形沿𝐴𝐶方向平移23得到四边形𝐸𝐹𝐺𝐻，𝐸𝐻交𝐶𝐷MM到𝐴𝐶的距离为（） 【答案】【答案】【分析】作𝑀𝑁𝐴𝐶N，𝐷𝑃𝐴𝐶P，由菱形的性质和直角三角形的相关计算求出𝐴𝐶，𝐸𝐶，由平移的性质证△𝐴𝐷𝐶∽△𝐸𝑀𝐶，再根据相似比求解即可．【详解】解：作𝑀𝑁【详解】解：作𝑀𝑁𝐴𝐶N，𝐷𝑃𝐴𝐶∵菱形𝐴𝐵𝐶𝐷6，∠𝐵𝐴𝐷=∴∠𝐷𝑃𝐴=90⁰，∠𝐷𝐴𝑃=∠𝐷𝐶𝑃=30⁰，𝐴𝐷=∴𝐷𝑃=2𝐴𝐷=3，𝐴𝑃=𝐶𝑃=3𝐷𝑃=33，𝐴𝐶=2𝐶𝑃=6∵将菱形𝐴𝐵𝐶𝐷沿𝐴𝐶方向平移23得到四边形∴𝐴𝐸=23，𝐸𝐶=𝐴𝐶−𝐴𝐸=43，∠𝑀𝐸𝐶=∠𝑀𝐶𝐸=∴△𝐴𝐷𝐶∽△∴𝐸𝐶=𝑀𝑁，即43=解得：𝑀𝑁=M到𝐴𝐶6 2．（2025·上海·模拟预测）在梯形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐷=5，𝐵𝐶=15𝐴𝐵=45𝐶𝐷=25𝐷𝐶E，满足tan∠𝐴𝐸𝐷=3．将△𝐴𝐷𝐸沿𝐴𝐵△𝐹𝐺𝐻（三个顶点依次对应），在边𝐵𝐶上，则点H到直线𝐴𝐸的距离 9∠𝑃=90⁰；根据tan∠𝐴𝐸𝐷=3，𝑃𝐴=25，求出𝑃𝐸=2，𝐶𝐸=𝑃𝐷+𝐶𝐷−𝑃𝐸=2，得到𝐸为𝑃𝐶点；证∠𝐴𝐸𝐷=∠𝑄𝐻𝐸【详解】解：延长𝐶𝐷，𝐵𝐴P，连𝐻𝐸，作𝐻𝑄𝐴𝐸于【分析】延长𝐶𝐷，𝐵𝐴P，连𝐻𝐸，作𝐻𝑄⊥𝐴𝐸于𝑄，证△𝑃𝐴𝐷∽△𝑃𝐵𝐶，得𝑃𝐵=𝑃𝐶=𝐵𝐶=3 33∴△𝑃𝐴𝐷∽△99∴𝐻𝑄=5𝐸𝐻=5∴𝐸𝐻=2𝑃𝐵=2(𝐴𝐵+𝑃𝐴)=35，∠𝑃𝐸𝐻=∵∠𝑄𝐸𝐻+∠𝐴𝐸𝐷=∠𝑄𝐸𝐻+∴∠𝐴𝐸𝐷=∴tan∠𝑄𝐻𝐸=3，即：𝑄𝐸:𝐻𝑄:𝐻𝐸=3∴𝐶𝐸=𝑃𝐷+𝐶𝐷−𝑃𝐸=23∴𝑃𝐸=2∴𝑃𝐴=25，𝑃𝐷=∴𝐴𝑃2+𝑃𝐷2=∴∠𝑃=∵tan∠𝐴𝐸𝐷=3，𝑃𝐴=2 ∴𝑃𝐵=𝑃𝐶=𝐵𝐶=∵𝐴𝐵=45，𝐶𝐷=23．（2026·江西·模拟预测）𝐴𝐵𝐶沿射线𝐵𝐶BC重合，得到△𝐷𝐶𝐸𝐴𝐷．F，G分别是𝐴𝐶，𝐷𝐸的中点，连接(1)𝐴𝐷𝐹(2)若𝐶𝐺=𝐴𝐹，求证：四边形𝐴𝐵𝐶𝐷（（1）根据平移的性质得出，四边形𝐴𝐶𝐸𝐷是平行四边形，然后得出∠𝐷𝐴𝐹∠𝐶𝐸𝐺，最后利用全等三角形（2）根据平移的性质得出四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形，再根据条件得出𝐷𝐹=𝐴𝐹=𝐶𝐹∠𝐴𝐷𝐶90⁰【详解】（1）证明:由平移可知𝐴𝐷𝐶𝐸，𝐴𝐷=𝐶𝐸，𝐷𝐸=∴∠𝐷𝐴𝐹=∵F，G分别是𝐴𝐶，𝐷𝐸∴𝐴𝐹=∴△𝐴𝐷𝐹≌△（2）证明:由平移可知𝐷𝐶𝐴𝐵，𝐷𝐶=∵△𝐴𝐷𝐹≌△∴𝐶𝐺=又∵F是𝐴𝐶的中点，𝐶𝐺=∴𝐷𝐹=𝐴𝐹=∴∠𝐴𝐷𝐹=∠𝐷𝐴𝐹，∠𝐶𝐷𝐹=∴2∠𝐴𝐷𝐹+2∠𝐶𝐷𝐹=∴∠𝐴𝐷𝐶=△𝐴𝐵𝐶沿着𝐴𝐷△𝐴′𝐵′𝐶′，𝐴′𝐵′交𝐴𝐶于点𝐸，𝐴′𝐶′交𝐶𝐷于点(1)在平移过程中，线段𝐴′𝐸的长始终与𝐶𝐹(2)已知𝐴𝐷=3,𝐴𝐵=4，在平移过程中，当两个三角形的重叠部分𝐴′𝐸𝐶𝐹为菱形时，求移动的距离(2)𝐴𝐴′=【分析】（1）证明四边形𝐴′𝐸𝐶𝐹是平行四边形即可得𝐴′𝐸的长始终与𝐶𝐹∴𝐴∴𝐴𝐸=，𝐴𝐸=∴𝐸𝐶=𝐴′𝐸=∵𝐴𝐸+𝐸𝐶=𝐴𝐶，即3𝑥+3𝑥=解得𝑥=∴移动的距离𝐴𝐴′= ∴𝐴𝐷=𝐷𝐶=𝐴𝐶，即3 =5∴𝐴𝐵∥∴由平移可得，𝐴′𝐵′∥𝐴𝐵，𝐴′𝐶′∥∴𝐴′𝐵′∥∴𝐴′𝐸=（2）解：∵矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐷=3,𝐴𝐵=∴𝐶𝐷=𝐴𝐵=4，∠𝐴𝐷𝐶=∴𝐴𝐶= 𝐴𝐷2+𝐶𝐷2= 32+42=5，由平移可得，𝐴′𝐵′=𝐴𝐵=𝐶𝐷=4，设𝐴𝐴′=𝑥，则𝐴′𝐷=3−𝑥，∴𝐴′𝐸∥𝐶𝐹，𝐴′𝐸=∴△𝐴𝐴′𝐸∽△ 𝐸∽△𝐴𝐷𝐶，可得3 =5，可得𝐴𝐸=3𝑥，𝐸𝐶=𝐴𝐸=3𝑥，再由𝐴𝐸+𝐸𝐶=𝐴𝐶，即可求解出𝐴𝐴（2）由勾股定理可求得𝐴𝐶=5，根据四边形𝐴′𝐸𝐶𝐹为菱形，可得𝐴′𝐸∥𝐶𝐹，𝐴′𝐸=𝐸𝐶，则△𝐸𝐹𝐴𝐶，垂足为𝐸，交𝐵𝐶所在直线于点𝐹．探索𝐴𝐹与𝐷𝐸 【答案】(1)𝐴𝐹=(2)①𝐴𝐹=2𝐷𝐸【分析】（1）根据正方形的性质可证𝐴𝐵𝐸是等腰直角三角形，根据勾股定理可证𝐴𝐹=性质可证△𝐶𝐷𝐸≌△𝐹𝐺𝐸，根据全等三角形的性质可证△𝐷𝐸𝐺是等腰直角三角形，利用勾股定理可证𝐴𝐹=2𝐷𝐸②作𝐷𝐺𝐷𝐸，且𝐷𝐺=𝐷𝐸，连接𝐴𝐺、𝐺𝐸，可证𝐷𝐸𝐺是等腰直角三角形，利用勾股定理可证𝐴𝐹=【详解】（1）解：𝐴𝐹=2𝐷𝐸四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是正方形，𝐸是对角线𝐴𝐶∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝐴𝐸=𝐵𝐸=𝐶𝐸=∵𝐴𝐵2=𝐴𝐸2∴𝐴𝐵2=∵𝐵点与𝐹∴𝐴𝐹2=∴𝐴𝐹=四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐵𝐶𝐷=90⁰，𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐶𝐷=∵四边形𝐴𝐹𝐺𝐷∴𝐴𝐹=𝐷𝐺，𝐴𝐷=∴𝐹𝐺=∵∠𝐴𝐵𝐶=90⁰，𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐴𝐶𝐷=∵𝐸𝐹⊥∴∠𝐹𝐸𝐶=∴∠𝐸𝐹𝐶=∠𝐸𝐶𝐹=∴𝐸𝐹=∴∠𝐸𝐹𝐶=∴△𝐶𝐷𝐸≌△∴𝐸𝐷=𝐸𝐺，∠𝐹𝐸𝐺=∴∠𝐷𝐸𝐺=∠𝐹𝐸𝐶=𝐷𝐸𝐺∴𝐷𝐺2=𝐷𝐸2+𝐸𝐺2=∴𝐷𝐺=∴𝐴𝐹=②解：如下图所示，作𝐷𝐺𝐷𝐸，且𝐷𝐺=𝐷𝐸，连接𝐴𝐺、四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴∠𝐴𝐷𝐶=90⁰，𝐶𝐷=𝐷𝐴𝐶=∠𝐷𝐶𝐴=45⁰，同理，∠𝐴𝐶𝐵=45⁰，∵𝐺𝐷⊥∠𝐺𝐷𝐸90⁰，又∵𝐷𝐺=𝐷𝐸，𝐷𝐸𝐺∴𝐸𝐺2=𝐷𝐸2+𝐷𝐺2=∴𝐸𝐺=∵∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐺𝐷𝐸=∴∠𝐺𝐷𝐴=∴△𝐺𝐷𝐴≌△∴∴∠𝐺𝐴𝐷=∠𝐸𝐶𝐷=45⁰，𝐴𝐺=∴∠𝐺𝐴𝐸=∵𝐸𝐹⊥∴∠𝐹𝐸𝐶=∠𝐹𝐸𝐴=∴∠𝐸𝐹𝐶=∠𝐸𝐶𝐹=∴𝐸𝐹=∴𝐸𝐹=∵∠𝐺𝐴𝐸=∠𝐹𝐸𝐴=∴∴∴𝐴𝐹=∴𝐴𝐹=660˚，90˚，利用对应边相等、对应角相等，结合全(1,0)，则点𝐴′的坐标是（） 【答案】【答案】【分析】过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，过点𝐴′作𝐴′𝐸⊥𝑥轴于点𝐸，证明△𝐴𝐷𝐶≌△𝐶𝐸𝐴′，利用全等三角形对应边相等求出𝐶𝐸和𝐴′𝐸的长，进而求出点𝐴′的坐标．【详解】解：过点𝐴作𝐴𝐷⊥𝑥轴于点𝐷，过点𝐴′作𝐴′𝐸⊥𝑥轴于点𝐸∴𝐴𝐷=2，𝑂𝐷=2，𝑂𝐶=∴𝐶𝐷=𝑂𝐷+𝑂𝐶=∴𝐴𝐶=𝐴′𝐶，∠𝐴𝐶𝐴′=∴∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐴′𝐶𝐸=∵𝐴𝐷⊥𝑥轴，𝐴′𝐸⊥𝑥∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐸𝐴′=∴∠𝐴𝐶𝐷+∠𝐶𝐴𝐷=∴∠𝐶𝐴𝐷=在𝐴𝐷𝐶△𝐶𝐸𝐴′∠𝐴𝐷𝐶=𝐴𝐶=∴△𝐴𝐷𝐶≌△∴𝐶𝐸=𝐴𝐷=2，𝐴′𝐸=𝐶𝐷=∵点𝐶的坐标为(1,0)，点𝐴′∴点𝐴′的横坐标为1−2=−1，纵坐标为∴点𝐴′的坐标是∠𝐶𝐴𝐷=∠𝐴′𝐶𝐸得到矩形𝐴′𝐵′𝐶𝐷′，点𝐴、𝐵、𝐷的对应点分别为点𝐴′、𝐵′、𝐷′，设直线𝐴𝐷与直线𝐴′𝐷′E．猜想证明：猜想𝐷𝐸与𝐷′𝐸如图②，在旋转的过程中，当点𝐵′恰好落在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐵𝐷上时，点𝐴′恰好落在𝐴𝐷（即点𝐴′与点𝐸重合），连接𝐴′𝐶，求证：四边形𝐴′𝐷𝐵𝐶问题解决：在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷绕点𝐶顺时针旋转的过程中，设直线𝐶𝐸与直线𝐴′𝐵′F，若𝐴𝐵=𝐵𝐶=3，当𝐴′、𝐵′、D三点在同一条直线上时，请直接写出𝐴′𝐷【答案】(1)𝐷𝐸=(3)5+7或5−（1）连接𝐶𝐸，根据矩形的性质得出∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐷′𝐸=90⁰，推得∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐷′𝐸𝐶𝐷=𝐶𝐷′（2）连接𝐴𝐶，根据旋转的性质得出𝐴𝐶=𝐴′𝐶，根据矩形的性质得出𝐴𝐷∥𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=90⁰，根据等腰三角形三线合一的性质得出𝐴𝐷=𝐴′𝐷，推得𝐴′𝐷=𝐵𝐶分为：点𝐴′，𝐵′在𝐶𝐷的同一侧和点𝐴′，𝐵′在𝐶𝐷的异侧，两种情况分别求解，根据勾股定理求出𝐷=7，结合图形求出𝐴′𝐷∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷与四边形𝐴′𝐵′𝐶𝐷′∴∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐶𝐷′𝐸=∴∠𝐶𝐷𝐸=180°−∠𝐴𝐷𝐶=90⁰，即∠𝐶𝐷𝐸=∠𝐶𝐷′𝐸，根据旋转的性质可得：𝐶𝐷=∵𝐶𝐷=𝐶𝐷′，𝐶𝐸=∴Rt△𝐶𝐷𝐸≌Rt△∴𝐷𝐸=根据旋转的性质可得：𝐴𝐶=∴𝐴𝐷𝐵𝐶，𝐴𝐷=𝐵𝐶，∠𝐴𝐷𝐶=90⁰，即𝐶𝐷⊥𝐴𝐴′，又∵𝐴𝐶∴𝐴𝐷=∴𝐴′𝐷=∵𝐴′𝐷∥𝐵𝐶，𝐴′𝐷=根据旋转的性质可得：𝐵𝐶=𝐵′𝐶=3，𝐴𝐵=𝐴′𝐵′=4，∠𝐴′𝐵′𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐷𝐵′𝐶=在Rt△𝐶𝐷𝐵′中，𝐵′𝐷 𝐶𝐷2−𝐵′𝐶2 42−32=∴𝐴′𝐷=𝐴′𝐵′+𝐵′𝐷=4+同理可得𝐵′𝐷=∴𝐴′𝐷=𝐴′𝐵′−𝐵′𝐷=4−综上，𝐴′𝐷的值为4+7或4−H，连接𝐸𝐶．图1中线段𝐴𝐺与𝐶𝐸的数量关系 2，正方形𝐵𝐸𝐹𝐺Bα（0⁰≤𝛼≤90⁰），HA重合时，（1）中的结3，若𝐴𝐵=10，𝐵𝐸=5，连接𝐴𝐶，正方形𝐵𝐸𝐹𝐺Bα（0⁰≤𝛼≤90⁰），F落在对角线𝐴𝐶上时，请直接写出此时𝐴𝐺𝐹【答案】【答案】(1)𝐴𝐺=𝐶𝐸；∠𝐴𝐺𝐹∠𝐵𝐸𝐶=(2)𝐴𝐺=𝐶𝐸；∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐴𝐺𝐹=90⁰(3)结合正方形的性质，证明𝐶𝐵𝐸𝐴𝐵𝐺(SAS)根据正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，正方形𝐵𝐸𝐹𝐺𝐶𝐵𝐸𝐴𝐵𝐺(SAS)，得到𝐴𝐸=𝐶𝐸,∠𝐴𝐺𝐵=∠𝐶𝐸𝐵，证明∠𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐺𝐵−∠𝐵𝐺𝐹=∠𝐵𝐸𝐶−90°，即可得到答案．（3）由𝐵𝑂=2𝐵𝐷=52=𝐵𝐹可得𝐹、𝑂重合，根据𝑆△𝐴𝐺𝐹=2×5×5=2【详解】（1）正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，正方形∴𝐵𝐸=𝐵𝐺,∠𝐶𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐺=90°,𝐵𝐶=∴△𝐶𝐵𝐸≌△∴𝐶𝐸=𝐴𝐺,∠𝐵𝐸𝐶=∵∠𝐴𝐺𝐹+∠𝐴𝐺𝐵=∴∠𝐴𝐺𝐹+∠𝐵𝐸𝐶=故答案为：𝐴𝐺=𝐶𝐸；∠𝐴𝐺𝐹+∠𝐵𝐸𝐶=（2）解：𝐴𝐺=𝐶𝐸；∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐴𝐺𝐹=90⁰正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，正方形∴𝐵𝐸=𝐵𝐺,∠𝐺𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=90°,𝐵𝐶=∴∠𝐺𝐵𝐴=∴△𝐶𝐵𝐸≌△∴𝐴𝐺=𝐶𝐸,∠𝐴𝐺𝐵=∵正方形∴∠𝐵𝐺𝐹∴∠𝐵𝐺𝐹=𝐴𝐺𝐹=∠𝐴𝐺𝐵−∠𝐵𝐺𝐹=∠𝐵𝐸𝐶−90°，即∠𝐵𝐸𝐶−∠𝐴𝐺𝐹=90⁰；∵𝐴𝐵=10，𝐵𝐸=∴𝐴𝐶=𝐵𝐷 102+102=102,𝐵𝐹 52+52=5∴𝐵𝑂=2𝐵𝐷=52=∴𝐹在𝐴𝐶∴𝐹、𝑂∴𝑆△𝐴𝐺𝐹=2×5×5=24．（2026·福建泉州·一模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶D是边𝐵𝐶上一点，连接𝐴𝐷，将线段𝐴𝐷A逆时针旋转到𝐴𝐸位置，且∠𝐷𝐴𝐸=∠𝐵𝐴𝐶，连接𝐶𝐸．求证：𝐵𝐷=【分析】首先得到【分析】首先得到∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐶𝐴𝐸，然后证明出𝐵𝐴𝐷𝐶𝐴𝐸(SAS)，即可得到𝐵𝐷=𝐷𝐴𝐸=∴∠𝐵𝐴𝐷+∠𝐷𝐴𝐶=∠𝐶𝐴𝐸+∴∠𝐵𝐴𝐷=∵𝐴𝐵=𝐴𝐶，𝐴𝐷=∴△𝐵𝐴𝐷≌△∴𝐵𝐷=5．（2026·福建泉州·一模）在Rt𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90⁰，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8O为𝐴𝐶的中点．在𝐷𝐵𝐸中，∠𝐷𝐵𝐸=90⁰，𝐷𝐵=3，𝐵𝐸=4，连接𝐸𝑂F，使𝑂𝐹=𝐸𝑂，连接1D，E分别在𝐴𝐵,𝐵𝐶上时，求证∠𝐷𝐴𝐹=21中的𝐷𝐵𝐸Bα（0⁰<𝛼<90⁰），连接①设𝐴𝐷=𝑘k∴∴△𝐴𝑂𝐹≌△∴∠𝑂𝐴𝐹=∠𝐶，𝐴𝐹=∴∠𝐴𝐵𝐷+∠𝐷𝐴𝐹=∵∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐷𝐴𝐹=（2）解：①∵O为𝐴𝐶∴𝑂𝐴=∵𝑂𝐹=∴𝐴𝐹= 取得最小值，最小值为𝐵𝑀−4，此时𝐵𝑀⊥𝐴𝐶时，𝐵𝑀最小，再由𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵×𝐵𝐶=2𝐴𝐶×𝐵𝑀𝐵𝑀=5，𝐸𝑀=5−4=5，然后根据勾股定理可得𝐶𝑀,𝐶𝐸的长，再结合𝐴𝐷=3【详解】（1）解∵O为𝐴𝐶∴𝑂𝐴=∵𝑂𝐹=𝐸𝑂，∠𝐴𝑂𝐹=3【分析】（1）证明𝐴𝑂𝐹𝐶𝑂𝐸，可得∠𝑂𝐴𝐹=∠𝐶，𝐴𝐹=𝐶𝐸，从而得到𝐴𝐹∥𝐵𝐶∠𝐷𝐴𝐹=（2）①证明△𝐴𝐵𝐷∽△𝐶𝐵𝐸，即可得到答案；②根据平行四边形的性质可得当𝑆△𝐴𝐸𝐶𝐴𝐸𝐶𝐹E到𝐴𝐶的距离最小时，𝑆△𝐴𝐸𝐶最小，四边形𝐴𝐸𝐶𝐹E作𝐸𝑀⊥M，连接𝐵𝑀，则当𝐸𝑀最小时，四边形𝐴𝐸𝐶𝐹B，E，M(2)①𝑘=∵𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，𝐷𝐵=3，𝐵𝐸=

∵𝐵𝐷=3=∵∠𝐷𝐵𝐸=∠𝐴𝐵𝐶=∴∠𝐷𝐵𝐸−∠𝐴𝐵𝐸=∴∠𝐴𝐵𝐷=∴△𝐴𝐵𝐷∽△ ∴𝐴𝐷=𝐵𝐷= ∴𝐴𝐷=3；即𝑘=②在Rt𝐴𝐵𝐶中，∵∠𝐴𝐵𝐶=90⁰，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2= 62+82=10，∴当𝑆△𝐴𝐸𝐶最小时，四边形𝐴𝐸𝐶𝐹E到𝐴𝐶的距离最小时，𝑆△𝐴𝐸𝐶最小，四边形𝐴𝐸𝐶𝐹E作𝐸𝑀𝐴𝐶M，连接𝐵𝑀，则当𝐸𝑀最小时，四边形𝐴𝐸𝐶𝐹∵𝐵𝐸+𝐸𝑀≥𝐵𝑀，𝐵𝐸=∴𝐸𝑀≥B，E，M三点共线时，𝐸𝑀取得最小值，最小值为𝐵𝑀−4，此时𝐵𝑀⊥𝐴𝐶时，𝐵𝑀最小， ∵𝑆△𝐴𝐵𝐶=2𝐴𝐵×𝐵𝐶=2𝐴𝐶× ∴2×6×8=2×∴𝐵𝑀=5 ∴𝐸𝑀=5−4=∴𝐶𝑀 𝐵𝐶2−𝐵𝑀2 82−(24)2= 5∴𝐶𝐸

+

4 (5

32+(5

4=5 由①得：𝐴𝐷=∴𝐴𝐷=4𝐶𝐸=4 4 3 7点𝐺．若𝐴𝐵=4，则𝐶𝐺的长是（）A．4

D．2【答案】【答案】【分析】根据正方形的性质和勾股定理求出𝐷𝐹=42−4，根据翻折的性质得出𝐵𝐹=𝐵𝐶=∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐵𝐶𝐸=90⁰，𝐸𝐹=𝐶𝐸，根据三角形内角和定理，等角对等边可求出𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝐷𝐹=4证明𝐶𝐸𝐺∽△𝐴𝐵𝐺，根据相似三角形的性质求出𝐴𝐺=2−1，结合𝐴𝐶=𝐴𝐺+𝐶𝐺=42【详解】解：∵正方形𝐴𝐵𝐶𝐷中𝐴𝐵=∴𝐵𝐶=𝐶𝐷=4，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐴𝐷𝐶=90⁰，𝐴𝐵∥𝐶𝐷，𝐴𝐶=∴𝐴𝐶=𝐵𝐷 𝐵𝐶2+𝐶𝐷2=42，∠𝐵𝐷𝐶=∴𝐵𝐹=𝐵𝐶=4，∠𝐵𝐹𝐸=∠𝐵𝐶𝐸=90⁰，𝐸𝐹=∴∠𝐷𝐸𝐹=45⁰=∴𝐷𝐹=4∴𝐶𝐸=𝐸𝐹=𝐷𝐹=4∴△𝐶𝐸𝐺∽△∴∴𝐴𝐺=𝐴𝐵 4=又𝐴𝐶=𝐴𝐺+𝐶𝐺=4∴𝐶𝐺×42=42．（2026·黑龙江哈尔滨·一模）𝐴𝐵𝐶中，∠𝐴𝐵𝐶=90⁰BD关于𝐴𝐶对称，连接𝐶𝐷，𝐵𝐷E在𝐴𝐶上，作𝐸𝐹𝐶𝐷FM为线段𝐴𝐸的中点，连接𝐵𝑀，𝑀𝐹①∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸；②𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝐴𝐶𝐵𝐷；③𝐵𝑀=𝐹𝑀；④若𝐴𝐵=5，tan∠𝐵𝐴𝐶=3，连接𝐵𝐹其中一定正确的结论 ．（请将正确的结论序号填在横线上【答案】【答案】因为四边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐴𝐵𝐶𝐴𝐷𝐶的面积之和，结合轴对称性质中𝐴𝐶𝐵𝐷，利用三角形M作𝑀𝑁𝐴𝐷，连接𝐷𝑀，证得𝐷𝑀=𝑀𝐹，则易验证结论∴𝐴𝐵=𝐴𝐷,𝐵𝐶=又∵𝐴𝐶=∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴∠𝐵𝐴𝐸=∠𝐷𝐴𝐸，①∴𝐴𝐶⊥𝐵𝐷，𝑆四边形𝐴𝐵𝐶𝐷=𝑆△𝐴𝐵𝐶+𝑆△𝐴𝐷𝐶=2𝐴𝐶⋅𝐵𝑂+2𝐴𝐶⋅𝑂𝐷=2𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，不是𝐴𝐶⋅𝐵𝐷，②③M作𝑀𝑁𝐴𝐷，连接∵𝐸𝐹⊥𝐶𝐷，∠𝐴𝐷𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=∴𝐴𝐷∥∴∠𝑀𝑁𝐹=

∴𝑁𝐹=∵M为线段𝐴𝐸∴𝐴𝑀=∴𝐷𝑁=∴𝐷𝑀=∴𝐷𝑀=∴𝐵𝑀=④：如图，作𝐵𝐻𝐷𝐶，由图可知𝐵𝐹的最小值是点𝐵到直线𝐶𝐷的距离∵𝐴𝐵=5，tan∠𝐵𝐴𝐶=∴𝐷𝐶=𝐵𝐶=∴𝐴𝐶= 𝐴𝐵2+𝐵𝐶2= 52+152=510，由∠𝐵𝑂𝐶=∠𝐴𝐵𝐶=90°,∠𝐵𝐶𝑂=∠𝐴𝐶𝐵△𝐵𝑂𝐶∽△

∴𝐴𝐶=∴𝐵𝐶2=∴𝑂𝐶

92∴𝑂𝐵

32 ∵𝑆△𝐵𝐶𝐷=2𝐵𝐷·𝑂𝐶=∴𝐵𝐻

310×2×9= 2=综上，正确结论为综上，正确结论为𝐵𝐶𝐺若平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点为点𝐸，连接𝐸𝐺，求证：𝐸𝐺【分析】（1）由折叠得𝐴𝐷=𝐷𝐹，∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐹，由四边形𝐴𝐵𝐶𝐷是平行四边形得𝐵𝐶=∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐵𝐶𝐷，即可得𝐵𝐶=𝐷𝐹，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐹，结合对顶角∠𝐵𝐺𝐶=∠𝐷𝐺𝐹（2）由𝐵𝐶𝐺𝐷𝐹𝐺得𝐵𝐺=𝐷𝐺，由平行四边形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶与𝐵𝐷的交点为点𝐸得𝐸为𝐵𝐷中点，由等腰三角形三线合一可得𝐸𝐺为△𝐵𝐷𝐺中𝐵𝐷边上的高，即可证明．【详解】（1）证明：由折叠得𝐴𝐷=𝐷𝐹，∠𝐵𝐴𝐷=∴𝐵𝐶=𝐴𝐷，∠𝐵𝐴𝐷=∴𝐵𝐶=𝐷𝐹，∠𝐵𝐶𝐷=∠𝐹，又∵∠𝐵𝐺𝐶=∠𝐷𝐺𝐹，∴△𝐵𝐶𝐺≌△（2）证明：𝐵𝐶𝐺∴𝐵𝐺=∴𝐸𝐺为𝐵𝐷𝐺中𝐵𝐷∴𝐸𝐺⊥情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片𝐴𝐵𝐶𝐷(𝐴𝐵𝐴𝐷)，引导同学们进行折叠探究．操作一：如图1，点𝐸为边𝐵𝐶上一点，将△𝐴𝐵𝐸沿直线𝐴𝐸折叠，点𝐵的对应点𝐵′恰好落在边𝐶𝐷上．△𝐵′𝐶𝐸∽△操作二：如图2，将矩形纸片先沿对角线𝐴𝐶对折，再展开，折痕为𝐴𝐶．点𝐹为边𝐴𝐵𝐴𝐸𝐹沿直线𝐸𝐹折叠，使点𝐴的对应点𝐴′落在对角线𝐴𝐶上．（2）若𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，当点𝐴′为𝐴𝐶的三等分点时，求𝐴𝐹 【答案】（1）见解析；（2）9借助折叠的性质和矩形的直角特性，推导得出两组对应角相等，从而证明△𝐵′𝐶𝐸∽△后针对𝐴′为𝐴𝐶三等分点的两种位置情况，通过相似比建立方程，最终求出𝐴𝐹．【详解】（1）∵由折叠性质知，∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐴𝐵′𝐸=∴∠𝐸𝐵′𝐶+∠𝐴𝐵′𝐷=在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，∠𝐷=∴∠𝐴𝐵′𝐷+∠𝐷𝐴𝐵′=∴∠𝐸𝐵′𝐶=∠𝐷𝐴𝐵′，又∵∠𝐶=∠𝐷=∴△𝐵′𝐶𝐸∽△（2）解：如图，设𝐸𝐹与𝐴𝐴′交于点已知在矩形𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐵=6，𝐵𝐶=8，则𝐴𝐶=情形一：当点𝐴为靠近点𝐴的三等分点时，𝐴𝐴=𝐴𝐶=3则则 同理建立方程， ，解得𝐴𝐹 情形二：当点𝐴为靠近点𝐶的三等分点时，𝐴𝐴=𝐴𝐶=3 解得𝐴𝐹=9∴𝐴𝐵=∵∠𝐹𝐴𝑂+∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝑂𝐹𝐴=∵∠𝐴𝑂𝐹=∠𝐵=∴△𝐴𝑂𝐹∽△ ∴∠𝐹𝐴𝑂+∠𝑂𝐹𝐴=90⁰，𝑂𝐴=𝑂𝐴=𝐴𝐴= =∵由折叠知，𝐴𝐹=𝐴′𝐹，𝐴𝐸=∴𝐸𝐹垂直平分5．（2025·上海金山·模拟预测）1，我们定义：在𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶>90⁰“对等三角形”，在“对等三角形”的边𝐴𝐶上，有一动点𝐷，使“对等三角形”分为𝐴𝐷𝐸和四边形𝐷𝐸𝐵𝐶△𝐴𝐷𝐸沿着直线𝐷𝐸翻折，记𝐴的对应点为𝐴′．已知△𝐴𝐵𝐶为“对等三角形”．2，当点𝐴′与点𝐵重合时，求证：𝐵𝐶2=𝐴𝐷⋅当点𝐴′在线段𝐴𝐵的延长线上时，连接𝐴′𝐶，𝐵𝐶交𝐴′𝐷F，直线𝐵𝐶经过△𝐴′𝐶𝐷的重心，求𝐶𝐹（1）根据题意可得𝐴𝐷=𝐴′𝐷，再结合等边对等角可得∠𝐴=∠𝐷𝐴′𝐴，∠𝐴=∠𝐶△𝐴𝐵𝐷∽△𝐴𝐶𝐵，可 ，进而即可得到𝐵𝐶2=𝐴𝐷⋅ 【详解】（1）证明：∵点𝐴关于𝐷𝐸的对称点𝐴′与点𝐵∴𝐴𝐷=∴∠𝐴=∵𝐴𝐵=∴∠𝐴=∴∠𝐷𝐴′𝐴=∵∠𝐴=∴△𝐴𝐵𝐷∽△

∴𝐴𝐵=∴𝐴𝐵2=𝐴𝐷⋅∵𝐴𝐵=∴𝐵𝐶2=𝐴𝐷⋅∵直线𝐵𝐶经过△𝐴′𝐶𝐷∴点𝐹是𝐴′𝐷∵点𝐸是𝐴𝐴′∵∠𝐴=∴𝐴𝐸= ∵𝐴𝐴′= ∴𝐴𝐴′=81、中心对称1、中心对称⇨全等：两个图形关于某点中心对称⇒全等全等⇨角相等/边成比例⇨相似：利用全等得到相等角（同位角、内错角、对顶角、公共中心对称本质：旋转点𝐶成中心对称．连结𝐸𝐺，𝐵𝐸，𝐵𝐻，𝐷𝐻．若𝑆阴影=4，则𝐵𝐻的长为 【答案】【答案】2正方形𝐶𝐷𝐸𝐹的边长为3𝑎，用𝑎表示出𝑆阴影，即可求得𝑎，再利用勾股定理求得𝐵𝐻即可，正确利用题中条件点𝐺是𝐶𝐹∴𝐶𝐹=∴𝐵𝐷=𝐵𝐶+𝐶𝐷=4𝑎，𝐹𝐺=𝐹𝐶−𝐶𝐺=∵𝑆=𝑆正方形𝐴𝐵𝐶𝐺+𝑆正方形𝐹𝐶𝐷𝐸−𝑆△𝐹𝐺𝐸−𝑆△𝐵𝐷𝐸=4，则可得方程𝑎2+9𝑎2−3𝑎2−6𝑎2=4，解得𝑎=2（负值舍去如图，连接𝐴𝐶,𝐶𝐻，过点𝐻作𝐻𝑀𝐵𝐷交于点∵点𝐻与点𝐴关于点𝐶∴𝐴,𝐶,𝐻三点共线，且𝐴𝐶=∵∠𝐴𝐵𝐶=∠𝐻𝑀𝐶,∠𝐴𝐶𝐵=∵△𝐴𝐶𝐵≌△∴𝑀𝐻=𝐶𝑀=𝐴𝐶=𝐵𝐶=∴∴𝐵𝑀=∴𝐵𝐻= 𝐵𝑀2+𝑀𝐻2=25，故答案为：25．2．（2026·广西南宁·一模）【对等角六边形】定义：在凸六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，满足∠𝐴=∠𝐷，∠𝐵=∠𝐶=∠𝐹，我们称这样的凸六边形叫做“对等角六边形 2，六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹是对等角六边形，若𝐶𝐷=𝐴𝐹，求证：𝐵𝐶=3，在对等角六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹中，对角线𝐴𝐷、𝐵𝐸、𝐶𝐹交于点𝑂，已知𝑆六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹=15【答案】【答案】(1)𝐴𝐵【分析】（1）F作𝐹𝐺𝐴𝐵∠𝐴∠1=180⁰，由∠𝐴∠𝐵∠𝐶∠𝐷∠𝐸∠𝐹=×180⁰=720⁰，∠𝐴=∠𝐷，∠𝐵=∠𝐸，∠𝐶=∠𝐹，得∠𝐴∠𝐹∠𝐸=360⁰，得∠2∠𝐸=180⁰𝐹𝐺𝐷𝐸（2）连接𝐴𝐶、𝐷𝐸𝐴𝐶𝐷𝐹是平行四边形，得𝐴𝐶=𝐷𝐹，∠𝐶𝐴𝐹=∠𝐶𝐷𝐹，可得𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹（3）由六边形相对的边平行，得相对的两个三角形相似，得𝑂𝐸=𝑂𝐷，𝑂𝐹=𝑂𝐴，𝑂𝐸=𝑂𝐹，得𝑂𝐷=𝑂𝐴𝑂𝐴=𝑂𝐷，同理，𝑂𝐵=𝑂𝐸，𝑂𝐶=𝑂𝐹O是六边形的对称中心，即得𝑆四边形𝐴𝐷𝐸𝐹=2𝑆六边形=【详解】（1）F作𝐹𝐺𝐴𝐵，则∠𝐴+∠1=180⁰， ∴∠𝐴+∠𝐵+∠𝐶+∠𝐷+∠𝐸+∠𝐹=(6−2)×180⁰=720⁰，∠𝐴=∠𝐷，∠𝐵=∠𝐸，∠𝐶=∴∠𝐴+∠𝐹+∠𝐸=∴∠2+∠𝐸=∴𝐹𝐺∥∵𝐶𝐷=∴𝐴𝐶=𝐷𝐹，∠𝐶𝐴𝐹=∵∠𝐵𝐴𝐹=∴∠𝐵𝐴𝐶=∵∠𝐵=∴△𝐴𝐵𝐶≌△∴𝐵𝐶=∴6由（1）

∴𝑂𝐸=𝑂𝐷，𝑂𝐹=𝑂𝐴，𝑂𝐸=

∴𝑂𝐷=∴𝑂𝐴2=∴𝑂𝐴=同理，同理，𝑂𝐵=𝑂𝐸，𝑂𝐶=∵𝑆六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹=∴𝑆四边形𝐴𝐷𝐸𝐹=2𝑆六边形𝐴𝐵𝐶𝐷𝐸𝐹=3．（2025·江苏南京·一模）（1）如图1，在平面直角坐标系中，𝐴(−4,1)，𝐵(−1,3)，𝐴′(2,−1)，线段 𝐶′的坐标 如图2，在5×5𝐴𝐵𝐶的三个顶点都在格点上，请在图2中画出一个以𝐴𝐵▱𝐴𝐵𝐷𝐸，顶点𝐷，𝐸在格点上且满足𝑆▱𝐴𝐵𝐷𝐸=如图3，在▱𝐴𝐵𝐶𝐷中，𝐴𝐸𝐵𝐷于点𝐸，若𝐶𝐹𝐵𝐷于点𝐹，请用在图3中作出符合题意F．（不要求写作法，但要保留作图痕迹）①M的坐标即可；②根据𝐶关于点𝑀对称点𝐶′F即为所求．【详解】解由中点坐标公式可得−4+2设点𝐶(−5,−1)关于𝑀的对称点𝐶′坐标为∵点𝑀(−1,0)是𝐶𝐶′

∴ =

=∴𝑎=3，𝑏=∴（2）∵𝑆▱𝐴𝐵𝐷𝐸=证明：∵四边形𝐴𝐵𝐶𝐷∴𝐴𝑂=𝐶𝑂,𝐴𝐷∥∴∠𝐽𝐴𝑂=在𝐴𝑂𝐽𝐶𝑂𝐾∠𝐽𝐴𝑂=𝐴𝑂= ∠𝐴𝑂𝐽=∴△𝐴𝑂𝐽≌△∴𝐽𝑂=∴𝐶𝐽∥𝐴𝐾∵𝐴𝐸⊥∴𝐶𝐹⊥考向考向 几何变换综合应91．（2026·四川达州·一模）如图，将函数𝑦=2(𝑥−3)2+1y轴向上平移得到一条新函数的图象，其中点𝐴(2,𝑚)，𝐵(7,𝑛)平移后的对应点分别为点𝐴′，𝐵′．若曲线段𝐴𝐵20（图中的阴影部分），则新图象的函数表达式是（A．𝑦=2(𝑥+2)2 B．𝑦= C．𝑦=2(𝑥−3)2 D．𝑦=2(𝑥−3)2 【答案】【答案】【分析】连接𝐵,𝐴′𝐵′,𝐴′𝐵′𝐴的面积，由题意易得点𝐴、𝐵的水平距离即为该平行四边形𝐴′𝐵′𝐴的高，然后可得𝐴𝐴′=4，进而问题可求解．【详解】解：连接【详解】解：连接∴点𝐴,𝐵的水平距离为7−2=∴5𝐴𝐴′=∴𝐴𝐴′=∴4个单位长度，则平移后的抛物线解析式为𝑦=(𝑥−3)22．（2026·陕西西安·模拟预测）在平面直角坐标系中，直线𝑦=−2𝑥𝑏与𝑥轴交于点𝐴，与𝑦轴交于点𝐵，若点𝐴关于𝑦轴的对称点𝐴′的坐标为(−4,0)，则△𝑂𝐴𝐵的面积为（） 【答案】【答案】AbB坐标，最后根据直角【详解】解：∵点𝐴′(−4,0)是点𝐴关于𝑦轴的对称点，关于𝑦∵点𝐴在直线𝑦=−2𝑥𝑏∴将𝐴(4,0)代入解析式得0=−2×4+𝑏，𝑏=8，即直线解析式为𝑦=−2𝑥8，∵𝐵是直线与𝑦轴的交点，令𝑥=0，得𝑦=∵𝑂𝑂𝐴𝐵为直角三角形，𝑂𝐴=4，𝑂𝐵=∴𝑆△𝑂𝐴𝐵=2×𝑂𝐴×𝑂𝐵=2×4×8=3．（2025·四川绵阳·一模）在平面直角坐标系𝑥𝑂𝑦中，若矩形𝐴𝐵𝐶𝐷的对角线𝐴𝐶x轴平行，且对角线𝐵𝐷在直线𝑦=𝑘𝑥(𝑘<0)上，则称矩形𝐴𝐵𝐶𝐷为“𝑘率矩形”．如图，矩形𝐴𝐵𝐶𝐷为“−1率矩形”，点𝐴的坐标为𝑚,−2−1，且直线𝑦=−3𝑥−2平分该矩形的面积，则点𝐶坐标是（ B．( 【答案】【答案】“−1率矩形”，可设𝐸(−𝑡,𝑡)，因为直线𝑦=−3𝑥−2平分该矩形的面积，所以直线𝑦=−3𝑥−2经过点(−𝑡,𝑡)，从而求出点𝐸的坐标，由𝐴𝐶∥𝑥轴，𝐴𝑚,−2−1，可得点𝐴的坐标，最后根据𝐴𝐸=𝐸𝐶求得点𝐶设直线𝑦=−3𝑥−2∴直线𝑦=−3𝑥−2经过点∴𝑡=∴𝑡=∴𝐴𝐶𝑥∴−2−1=∴𝑚=∴∵𝐴𝐸=𝐶(2,1)，4．（2026·浙江·模拟预测）同一平面直角坐标系中，抛物线𝑦=

+

与𝑦=−(𝑥(𝑥+𝑛)2关于原点成中心对称，则代数式(𝑚+2)2+(𝑛+2)2的值 【分析】设(𝑥,𝑦)为𝑦=−(𝑥+𝑚)2−(𝑥+𝑛)2上任一点，它关于原点成中心对称的点为(−𝑥,−𝑦)1线𝑦=𝑥3+𝑥−与𝑦=−(𝑥𝑚)−(𝑥𝑛)关于原点成中心对称，(−𝑥,−𝑦)在抛物线𝑦=1𝑥−3 1+𝑥 上，得𝑦=−𝑥+3−𝑥+∴(𝑚+2)2+(𝑛+2)2 ∴𝑚=2，𝑛=2或𝑚=2，𝑛=3−𝑥+1整理得𝑦=−𝑥+3−𝑥−−𝑥−代入可得−𝑦𝑥−1𝑥−那么(−𝑥,−𝑦)在抛物线𝑦1从而𝑚=2，𝑛=2或𝑚=2，𝑛=2【详解】解：设(𝑥,𝑦)为𝑦=−(𝑥+𝑚)2−(𝑥+𝑛)2上任一点，它关于原点成中心对称的点为3 5．（2025·福建莆田·模拟预测）在平面直角坐标系中，有反比例函数𝑦=𝑥与𝑦=−𝑥𝐴𝐵𝐶𝐷，原点𝑂与对角线𝐴𝐶、𝐵𝐷的交点重叠，且如图所示的阴影部分面积为9，则𝐴𝐵= 【答案】3【答案】3【详解】解：由图知有反比例函数𝑦=𝑥与𝑦=−𝑥的图象和正方形𝐴𝐵𝐶𝐷，且正方形对角线的交点为点∴根据图形的中心对称性可知图中𝑦∴正方形𝐴𝐵𝐶𝐷的面积𝑆=𝐴𝐵2=2×=2×∴𝐴𝐵=3 故答案为：3∠𝐵=90⁰，反比例函数𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象经过𝐴𝐶的中点已知点𝐸(𝑚,1)，将点𝐸绕点𝑃逆时针旋转90⁰，若旋转后的点𝐸′恰好落在𝑦=𝑘(𝑥>0)的图象上，求𝑚∵∵∴𝐴𝐸=𝐴𝐵𝐶是等腰直角三角形，点𝑃是𝐴𝐶∵反比例函数𝑦=𝑥(𝑥>0)的图象经过点∴3=3，解得：𝑘=∴反比例函数的表达式为𝑦=𝑥(𝑥> ∴∴𝑡 =3，𝑛 =【答案】(1)𝑦=𝑥(𝑥>(2)𝑚=（2）连接𝑃𝐸，𝑃𝐵，𝑃𝐸′△𝐴𝑃𝐸≌△𝐵𝑃𝐸′(ASA)可得𝐵𝐸′=𝐴𝐸=𝑚−1，即𝐸′(5,𝑚)（1）【详解】（1）等腰直角三角形𝐴𝐵𝐶的顶点𝐴𝐵=𝐵𝐶=4，𝐴𝐵∥𝑥∴∴∴𝑃𝐴=𝑃𝐵=𝑃𝐶，∠𝑃𝐴𝐵=∠𝑃𝐶𝐵=45⁰，∠𝐵𝑃𝐴=∠𝐵𝑃𝐶=∠𝑃𝐵𝐴=∠𝑃𝐵𝐶=45⁰，即∠𝑃𝐴𝐵=∵将点𝐸绕点𝑃逆时针旋转∴∠𝐸𝑃𝐸′=∠𝐵𝑃𝐴−∠𝐸𝑃𝐵=∠𝐸𝑃𝐸−∠𝐸𝑃𝐵，即∠𝐴𝑃𝐸=∴△𝐴𝑃𝐸≌△∴𝐵𝐸′=𝐴𝐸=∴ 恰好落在𝑦=∴𝑚=∴𝐸57．（2026·河南信阳·一模）如图，▱𝐴𝑂𝐵𝐶的顶点为网格线的交点，反比例函数𝑦=𝑥的图象过点𝐴，点连接𝐴𝐵，在图中用直尺和2𝐵𝐴𝐵𝐶沿𝐶𝑂所在直线平移，且点𝐶与点𝑂（不写画法 反比例函数图象上，点𝐵′ ②四边形𝐴′𝐵′𝐵𝐴 （特殊四边形），它的面积等 【答案】【答案】(1)𝑦=【分析】（1）由网格可得点𝐴(1,4)在反比例函数𝑦=𝑥图象上，用待定系数法求出𝑘=4函数解析式𝑦=（2）先根据平行四边形性质确定点𝐶坐标，按平移规律求出𝐴′、𝐵′ ′②由平移的性质，可知𝐴𝐵∥𝐴′𝐵′,𝐴𝐵=由图象，可知𝐴′𝐵=𝐴𝐵′，由勾股定理，得𝐴𝐵 32+32=32，𝐴𝐴′ 52+52=5∴𝑆矩形𝐴′𝐵′𝐵𝐴=𝐴𝐴∙𝐴𝐵=52×32=平移后𝐵′(4−5,1−5)=(−1,−4)，代入，代入𝑦=4，(−1)×(−4)=4=𝑘，故点𝐵′①平移后𝐴′(1−5,4−5)=(−4,−1)，代入𝑦=4，(−4)×(−1)=4=𝑘，故点𝐴′由平行四边形性质得𝐶坐标为(5,5)，将△𝐴𝐵𝐶平移使𝐶与𝑂重合，平移规律为横坐标减5，纵坐标减∵反比例函数𝑦=𝑥经过点∴𝑘=1×4=∴反比例函数的解析式为𝑦=（2）△𝐴′𝐵′𝑂8．（2026·湖北黄冈·模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥−3𝑥=2xA，ByP是直线𝐵𝐶上方的抛物线上一点，连接𝑃𝐵,𝑃𝐶𝑃𝐶𝐵3个单位得新抛物线，新抛物线中𝑥≤4的部分记为“W”两点𝑀(2,𝑚)和𝑁(2,1−𝑚)，其中𝑚≠2，将线段𝑀𝑁M顺时针旋转90⁰NH①QH的坐标（m的式子表示②当矩形𝐻𝑀𝑁𝑄的四边与“W”m∴∴抛物线的解析式为令𝑦=−𝑥2+4𝑥−3=0，则−(𝑥−1)(𝑥−3)=0，解得𝑥1=1,𝑥2=3，∴将𝑥=0代入𝑦=−𝑥2+4𝑥−3，则𝑦=设直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=𝑘𝑥−3B点坐标代入得3𝑘−3=0，解得𝑘=直线𝐵𝐶的解析式为𝑦=（2）1P作𝑃𝐷𝑥轴交直线𝐵𝐶【详解】（1）解：抛物线𝑦=−𝑥2+𝑏𝑥−3的对称轴为直线𝑥=−𝑏=2，解得𝑏=3 +8（3）平移后的抛物线为𝑦=−𝑥2+4𝑥，对称轴是𝑥=①当𝑚>1−𝑚，𝑚<1−𝑚两种情况讨论，利用旋转的性质结合正方形的性质即可分别求出点𝐻，点𝑄的坐②H+3𝑚，根据△𝑃𝐶𝐵=−2(𝑚2【分析】（1）利用待定系数法求解即可求出抛物线的解析式；令𝑦=−𝑥2+4𝑥−3=0，求出𝑥1==3，可得𝐴(1,0)，𝐵(3,0)，将𝑥=0代入𝑦=−𝑥2+4𝑥−3，可得𝐶(0,−3)（2）P作𝑃𝐷⊥𝑥轴交直线𝐵𝐶D，设点𝑃(𝑚,−𝑚2+4𝑚−3)，则𝐷(𝑚,𝑚−3)，求出𝑃𝐷=或𝑚<或𝑚=5−3+(3)①H点的坐标为(3−2𝑚,𝑚)，Q点的坐标为(3−2𝑚,1−𝑚)；②𝑚【答案】(1)𝑦=−𝑥2+4𝑥−3；𝑦=(2)𝑃𝐵𝐶设点𝑃(𝑚,−𝑚2+4𝑚−3)，则∴𝑃𝐷=−𝑚2+4𝑚−3−(𝑚−3)=−𝑚2

−𝑥 (−𝑚2+

3 ∴△𝑃𝐶𝐵=2𝐷𝑃 𝐶=

×3=−2(𝑚−2)+8∵−2<∴ ∴当𝑚=2△𝑃𝐵𝐶8（3）解：平移后的抛物线为𝑦=−𝑥2+4𝑥，对称轴是直线𝑥=①当𝑚>1−𝑚时，即𝑚>2时，MN的上方，𝑀𝑁=H点的坐标为(3−2𝑚,𝑚)，Q点坐标为当𝑚<2时，MN的下方，𝑀𝑁=H点的坐标为(3−2𝑚,𝑚)，Q点坐标为m取何值，H点的坐标均为(3−2𝑚,𝑚)，Q点的坐标均为②H在对称轴的左侧，当矩形𝐻𝑀𝑁𝑄的四边与“W”有且只有一个公共点时，∴−(3−2𝑚)2+4(3−2𝑚)=𝑚，化简得4𝑚2−3𝑚−3=解得𝑚=

3± ∵𝑚>∴𝑚

3+8H在对称轴的右侧，当矩形𝐻𝑀𝑁𝑄的四边与“W”有且只有一个公共点时，点𝑄(3−2𝑚,1−𝑚)H在直线𝑥=4的右侧． 若点𝑄(3−2𝑚,1−𝑚)在抛物线上，−(3−2𝑚)2+4(3−2𝑚)=1−𝑚，化简得4𝑚2−5𝑚−2=0，解得𝑚=5± ∵𝑚<∴𝑚

5− H在直线𝑥=4的右侧，3−2𝑚>4，解得𝑚<综上可知：𝑚3+5−或𝑚或𝑚<101．（2026·四川南充·一模）𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐴𝐶，P是边𝐵𝐶上一动点（不与端点重合）．由𝐴𝐵𝑃旋转得到．下列说法：①∠𝑃𝐴𝑄的大小是变化的；②𝐴𝐶平分∠𝐵𝐶𝑄；③𝐴𝑄有最小值；④𝐶𝑄𝑃𝐶成一次函数关系；⑤四边形𝐴𝑃𝐶𝑄的面积为定值．正确的有（A．1 B．2 C．3 D．4【答案】【答案】【分析】根据旋转的性质可得𝐴𝑄=𝐴𝑃，∠𝐴𝐶𝑄=∠𝐵，∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑄，𝐶𝑄=𝐵𝑃，𝑆△𝐴𝐶𝑄=𝑆△𝐴𝐵𝑃，则可证明∠𝑃𝐴𝑄=∠𝐵𝐴𝐶，据此可判断①；根据等边对等角可得∠𝐴𝐶𝐵=∠𝐵=∠𝐴𝐶𝑄，据此可判断②；根据𝐴𝑄=𝐴𝑃，且垂线段最短可判断③；根据𝐵𝐶=𝐵𝑃+𝑃𝐶=𝐶𝑄+𝑃𝐶可判断④；根据𝑆四边形𝐴𝑃𝐶𝑄=𝑆△𝐴𝐶𝑃𝑆△𝐴𝐶𝑄=𝑆△𝐴𝐶𝑃+𝑆△𝐴𝐵𝑃=𝑆△𝐴𝐵𝐶可判断【详解】解：由旋转的性质可得𝐴𝑄=𝐴𝑃，∠𝐴𝐶𝑄=∠𝐵，∠𝐵𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑄，𝐶𝑄=𝐵𝑃，𝑆△𝐴𝐶𝑄=∴∠𝐵𝐴𝑃+∠𝐶𝐴𝑃=∠𝐶𝐴𝑄+∴∠𝑃𝐴𝑄=∵𝐴𝐵=∴∠𝐴𝐶𝐵=∴∠𝐴𝐶𝐵=∵𝐴𝑄=𝐴𝑃∴当𝐴𝑃𝐵𝐶时，𝐴𝑃有最小值，即此时𝐴𝑄有最小值，故③∵𝐵𝐶=𝐵𝑃+𝑃𝐶=𝐶𝑄+∴𝐶𝑄=−𝑃𝐶+∵𝑆四边形𝐴𝑃𝐶𝑄=𝑆△𝐴𝐶𝑃+𝑆△𝐴𝐶𝑄=𝑆△𝐴𝐶𝑃+𝑆△𝐴𝐵𝑃=1，将正方形𝐴𝐵𝐶𝐷折叠，使点𝐴的对应点𝐴′落在𝐵𝐶边上，折痕分别与𝐴𝐵，𝐶𝐷交于点𝐸,𝐹 在（1）EF与𝐴𝐴′交于点𝑂，连接𝐵𝐷交𝐸𝐹于点𝐺2．求证：𝑂𝐺=𝑂𝐸3，正方形𝐴𝐵𝐶𝐷9，M是𝐴𝐵边上的一个动点，点𝑁在𝐶𝐷边上，且𝐶𝑁=4，连接𝑀𝑁，将【答案】【答案】(1)𝐸𝐹=𝐴𝐴′,𝐸𝐹⊥【分析】（1）根据折叠的性质可得𝐸𝐹垂直平分𝐴𝐴′，再构造十字架模型证𝐴𝐴′=𝐸𝐹（2）连接𝐺𝐴，𝐺𝐴′，𝐺𝐶𝐴𝐵𝐺≌𝐶𝐵𝐺(SAS)，可得𝐺𝐴=𝐺𝐶，∠𝐺𝐶𝐵=∠𝐺𝐴𝐵，再证=90⁰，可得𝑂𝐺=𝐸𝐹=𝐴𝐴′（3）Q在线段𝐵𝐶上或𝐵𝐶延长线上，设𝐴𝑀=𝑥，由题易得𝐵𝑀𝐷𝑁=𝑄𝑁=5，𝐶𝑄=3，则𝐵𝑄=612，进而分别在Rt△𝐵𝑀𝑄中，𝑀𝑄2=𝐵𝑀2+𝐵𝑄2，在Rt△中，𝑀𝑄2=𝑃𝑄2+𝑃𝑀2∵∠𝐵𝐴𝐷=∠𝐷=∠𝐴𝐻𝐹=∴𝐻𝐹=∴𝐴𝐷=∴𝐻𝐹=∴𝐴𝐴′⊥∴∠𝐴𝐸𝑂+∠𝐸𝐴𝑂=90⁰，又∵∠𝐴𝐸𝑂∠𝐻𝐹𝐸=90⁰，∴∠𝐸𝐴𝑂=又∵∠𝐴𝐵𝐴′=∠𝐹𝐻𝐸=∴△𝐴𝐵𝐴′≌△∴𝐴𝐴′=在𝐴𝐵𝐺𝐶𝐵𝐺𝐵𝐴=∠𝐴𝐵𝐺=∠𝐶𝐵𝐺𝐵𝐺=∴△𝐴𝐵𝐺≌△∴𝐺𝐴=𝐺𝐶，∠𝐺𝐶𝐵=∴𝐺𝐴=∴𝐺𝐴′=∴∠𝐺𝐴′𝐶=∴∠𝐺𝐴′𝐶=又∵∠𝐺𝐴′𝐶+∠𝐺𝐴′𝐵=∴∠𝐺𝐴′𝐵+∠𝐺𝐴𝐵=∴在四边形𝐴𝐵𝐴′𝐺中，∠𝐴𝐵𝐴′+∠𝐴𝐺𝐴′=又∵𝑂𝐴=𝑂𝐴′，∴𝑂𝐺=

∵由（1）有𝐸𝐹=∴𝑂𝐺=又∵𝐸𝐹=𝑂𝐸𝐺𝐹∴𝐸𝐹=𝑂𝐸+𝐺𝐹+∴𝑂𝐸+𝐺𝐹=∴𝑂𝐺=𝑂𝐸+解：线段𝐴𝑀28．连接𝑀𝑄，设𝑃𝑀=𝐴𝑀=𝑥，∵𝐴𝐵=𝐵𝐶=𝐴𝐷=𝐶𝐷=9，𝐶𝑁=∴𝐷𝑁=𝑄𝑁=5，𝐵𝑀=在Rt△𝐶𝑄𝑁中，𝐶𝑄= 𝑄𝑁2−𝐶𝑁2=3，当点Q落在线段𝐵𝐶上时，如图，此时𝐵𝑄=𝐵𝐶−𝐶𝑄=在Rt△𝐵𝑀𝑄中，𝑀𝑄2=𝐵𝑀2+𝐵𝑄2=(9−𝑥)2+36，在Rt△𝑃𝑀𝑄中，𝑀𝑄2=𝑃𝑄2+𝑃𝑀2=81+𝑥2，则(9−𝑥)2+36=81+𝑥2，解得𝑥=2，∴𝐴𝑀=Q在𝐵𝐶此时此时𝐵𝑄=𝐵𝐶+𝐶𝑄=在Rt△𝐵𝑀𝑄中，𝑀𝑄2=𝐵𝑀2+𝐵𝑄2=(9−𝑥)2+144，在Rt△𝑃𝑀𝑄中，𝑀𝑄2=𝑃𝑄2+𝑃𝑀2=81+𝑥2，则(9−𝑥)2+144=81+𝑥2，解得𝑥=8，∴𝐴𝑀=3．（2026·江苏扬州·一模）1𝐴𝐵𝐶中，𝐴𝐵=𝐵𝐶，∠𝐴𝐵𝐶=120⁰，D是边𝐴𝐶𝐴𝐵𝐹为等腰直角三角形时，求∠𝐴𝐵𝐸①试探究∠𝐺的大小是否变化？如果不变，请求出∠𝐺的大小；如果变化，请说明理由．②若𝐴𝐵=2△𝐵𝐹𝐺的面积最大 ，此时𝐴𝐸= 【答案】【答案】(1)∠𝐴𝐵𝐸=(2)①不变，∠𝐺=30⁰②3+2，2【分析】（1）由对称性质得∠𝐸𝐵𝐹=2×210⁰=105⁰，由三角形外角的性质得∠𝐴𝐵𝐸=∠𝐸𝐵𝐹−∠𝐴𝐵𝐹（2）①设∠𝐴𝐵𝐸=𝑥，则∠𝐸𝐵𝐶=120°−𝑥，由对称性质得∠𝐹𝐵𝐸=∠𝐶𝐵𝐸=120°−𝑥得∠𝐺=∠𝐹𝐴𝐵−∠𝐴𝐵𝐸②点𝐺以𝐵𝐹为弦，所对的圆周角为30⁰的圆弧上运动，过点𝑂作𝑂𝐻⊥𝐵𝐹于𝐻，交优弧𝐵𝐺′𝐹于点𝐺′𝑂𝐵，当𝐵𝐺=𝐺𝐹时，即点𝐺位于点𝐺′△𝐵𝐹𝐺【详解】（1）∵△𝐴𝐵𝐹∴∠𝐴𝐵𝐹=∴∠𝐴𝐵𝐹+∠𝐴𝐵𝐶=90⁰+120⁰=边𝐵𝐶关于𝐵𝐸对称的线段为∴∠𝐸𝐵𝐹=2×210⁰=∴∠