2025-2026年济南天桥区九年级中考数学二模考试试题（含答案）

年九年级学业水平考试模拟测试数学试题注意事项：本试题共8页，满分为150分，考试时间为120分钟。答题前，请考生务必将自己的学校、班级、姓名和准考证号填写在答题卡上，并同时将学校、班级、姓名填写在试卷规定的位置上。答选择题时，必须使用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；答非选择题时，用0.5mm黑色签字笔在答题卡上题号所提示的答题区域作答。答案写在试卷上无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。第Ⅰ卷（选择题共40分）一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列实数中，是有理数的为（）A.2B.πC.0D.32.盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人，寓意天地人和。如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同3.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（）A.1.75×103B.1.75×1012C.1750×108D.1.75×10114.下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）5.下列运算正确的是（）A.a6÷a2=a3B.(−2a3)3=−6a6C.a3+a3=a6D.a2·a3=a56.已知a<b，则下列不等式变形不正确的是（）A.a+1<b+1B.3−a<3−bC.−2a−1>−2b−1D.a2<7.若x=−1是关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是（）A.−1B.0C.1D.28.将分别标有“大”、“美”、“泉”、“城”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回后再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“泉城”的概率是（）A.516B.16C.189.如图，在△ABC中，∠C=90∘，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M,N为圆心，以大于12③作射线AP交BC于点D；④分别以A,D为圆心，以大于12⑤作直线GH，分别交AC,AB于点E,F。依据以上作图，若AF=3，CE=1，则△ACD的面积是（）A.2B.22C.42D.6210.定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”。若二次函数y=x2−2x+c（c为常数）在−1<x<3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（）A.4<c<7B.4<c<254C.0<c<7D.0<c<第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带、不按以上要求作答的答案无效。填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.因式分解：x2−25=。12.一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14，那么黑球的个数大约是13.如图，在⊙O中，OA=2，∠C=45∘，则图中阴影部分的面积为。（第13题图）（第14题图）（第15题图）14.A,B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地。甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当t=3时，甲、乙两人相距km。15.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE=4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB=5，CF=2，则线段EP的长是。三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：(13)−1+∣−3∣−2sin60∘+(π−2026)0−817.（本小题满分7分）解不等式组：2x－18.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点，且AE=CF。求证：AF=CE。19.（本小题满分8分）如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角∠APN、俯角∠BPN都为15∘，摄像头高度OP=150cm，识别的最远水平距离OQ=120cm。（1）小玲站在离摄像头水平距离80cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线AP处），请问小玲的身高约为多少厘米？（2）身高145cm的小婷，头部高度为16cm，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由。（结果精确到0.1cm。参考数据：sin15∘≈0.26，cos15∘≈0.97，tan15∘≈0.27。）20.（本小题满分8分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC。（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若AC=10，tan∠ACE=3421.（本小题满分9分）人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来。为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析：【收集数据】（1）随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本。下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：______。（请填写序号）①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩；②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩；③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩；④分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%学生的竞赛成绩。【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A,B,C,D四组进行整理如表：组别ABCD成绩（a/分）60≤a<7070≤a<8080≤a<9090≤a≤100【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图。【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：（2）①抽取学生竞赛成绩的样本容量为______；请补全频数直方图；②抽取的样本数据中中位数所在组别是______组；（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______度；（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数。22.（本小题满分10分）【问题背景】2026央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱。为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A,B两种机器人玩具。素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元。素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍。【问题解决】（1）求购进A,B两种机器人玩具的单价；（2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A,B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？23.（本小题满分10分）如图1，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=nx（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）求△AOC的面积；（3）如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”。在平面内是否存在点P,Q（点P在直线AB上方），使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。24.（本小题满分12分）如图，二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象经过点B(4,0)和点M(1,4)，与x轴交于另一点A。（1）求二次函数的表达式；（2）在x轴上方的二次函数图象上有一动点C，①如图1，作射线BC，当BC平分∠ABM时，求点C的坐标。②如图2，连接BC,AC，设点C的横坐标为m，当△ABC为锐角三角形时，求出m的取值范围。25.（本小题满分12分）已知四边形ABCD中，E,F分别是AB,AD边上的点，DE与CF交于点G。【问题发现】（1）如图1，四边形ABCD是正方形，DE⊥CF，DECF=（2）如图2，四边形ABCD是矩形，DE⊥CF，AB=m，AD=n，DECF=【拓展探究】（3）如图3，四边形ABCD是平行四边形，∠B=∠EGF，求证：DECF=AD请写出完整的证明过程，以下思路仅供参考。思路一：在AD的延长线上取点M，使CM=CF……思路二：在线段DF上取点N，使CN=CD……【解决问题】（4）如图4，BA=BC=5，DA=DC=10，∠BAD=90∘，DE⊥CF，求DECF答案一、选择题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）1.下列实数中，是有理数的为（C）A.2B.πC.0D.32.盖碗茶是中国传统饮茶方式，茶具由盖、碗、托三件组成，又称“三才碗”，盖为天、托为地、碗为人，寓意天地人和。如图，是一种盖碗茶具的实物图，关于它的三视图，下列说法正确的是（A）A.主视图与左视图相同B.主视图与俯视图相同C.左视图与俯视图相同D.三种视图都相同3.ChatGPT是人工智能研究实验室OpenAI新推出的一种由人工智能技术驱动的自然语言处理工具，其技术底座有着多达175000000000个模型参数，数据175000000000用科学记数法表示为（D）A.1.75×103B.1.75×1012C.1750×108D.1.75×10114.下列博物馆标志既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（A）5.下列运算正确的是（D）A.a6÷a2=a3B.(−2a3)3=−6a6C.a3+a3=a6D.a2·a3=a56.已知a<b，则下列不等式变形不正确的是（B）A.a+1<b+1B.3−a<3−bC.−2a−1>−2b−1D.a2<7.若x=−1是关于x的一元二次方程x2+x+m=0的一个根，则此方程的另一个根是（B）A.−1B.0C.1D.28.将分别标有“大”、“美”、“泉”、“城”四个汉字的小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字不同外其他完全相同，每次摸球前先搅匀，随机摸出一球，放回后再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字可以组成“泉城”的概率是（C）A.516B.16C.189.如图，在△ABC中，∠C=90∘，①以点A为圆心，以适当长为半径画弧，交AC于点M，交AB于点N；②分别以M,N为圆心，以大于12③作射线AP交BC于点D；④分别以A,D为圆心，以大于12⑤作直线GH，分别交AC,AB于点E,F。依据以上作图，若AF=3，CE=1，则△ACD的面积是（C）A.2B.22C.42D.6210.定义：若一个点的横、纵坐标之和为6，则称这个点为“和谐点”。若二次函数y=x2−2x+c（c为常数）在−1<x<3的图象上存在两个“和谐点”，则c的取值范围是（B）A.4<c<7B.4<c<254C.0<c<7D.0<c<第Ⅱ卷（非选择题共110分）注意事项：第Ⅱ卷必须用0.5mm黑色签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不能使用涂改液、胶带纸、修正带、不按以上要求作答的答案无效。填空题请直接填写答案，解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤。二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分。）11.因式分解：x2−25=(x+5)(x﹣5)。12.一只不透明的袋中装有2个白球和n个黑球，这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，摸到白球的概率为14，那么黑球的个数大约是613.如图，在⊙O中，OA=2，∠C=45∘，则图中阴影部分的面积为π﹣2。（第13题图）（第14题图）（第15题图）14.A,B两地相距80km，甲、乙两人沿同一条路从A地到B地。甲、乙两人离开A地的距离s（单位：km）与时间t（单位：h）之间的关系如图所示，则当t=3时，甲、乙两人相距40km。15.如图，正方形ABCD的对角线AC上有一点E，且CE=4AE，点F在DC的延长线上，连接EF，过点E作EG⊥EF，交CB的延长线于点G，连接GF并延长，交AC的延长线于点P，若AB=5，CF=2，则线段EP的长是1322三、解答题（本大题共10个小题，共90分。解答应写出文字说明、证明或演算步骤。）16.（本小题满分7分）计算：(13)−1+∣−3∣−2sin60∘+(π−2026)0−8=3+3﹣3+1﹣22=4﹣2217.（本小题满分7分）解不等式组：2x－解不等式①得x<2解不等式②得x≥−1∴解集为−1≤x<2整数解为：−1,0,118.（本小题满分7分）如图，在菱形ABCD中，E,F分别是边AB,BC上的点，且AE=CF。求证：AF=CE。证明：∵四边形ABCD是菱形∴AB=BC,

∠B=∠B∵AE=CF∴AB−AE=BC−CF∴BE=BF在△ABF和△CBE中：AB=CB∴△ABF≌△CBE

(SAS)∴AF=CE19.（本小题满分8分）如图1是某住宅单元楼的人脸识别系统（整个头部需在摄像头视角范围内才能被识别），其示意图如图2，摄像头P的仰角∠APN、俯角∠BPN都为15∘，摄像头高度OP=150cm，识别的最远水平距离OQ=120cm。（1）小玲站在离摄像头水平距离80cm点M处，恰好能被识别（头的顶部恰好在仰角线AP处），请问小玲的身高约为多少厘米？（2）身高145cm的小婷，头部高度为16cm，当她直立站在离摄像头最远处点Q时，小婷能被摄像头识别吗？请说明理由。（结果精确到0.1cm。参考数据：sin15∘≈0.26，cos15∘≈0.97，tan15∘≈0.27。）解：(1)如图，过M作OQ的垂线分别交PA，PB于点E,D，交水平线于点F，由题意知∠POQ=∠OPF=∠FMO=90∘，∴四边形POMF是矩形。∴PF=OM=90

cm，MF=OP=160

cm。在Rt△PEF中，tan∠EPF=EFPF∴EF=PF·tan15∘=90×tan15∘≈24.3(cm)。∴ME=MF+EF=160+24.3=184.3(cm)。∴小张的身高约为184.3

cm。(2)如图，过Q作OQ的垂线分别交PA,PB于点C,G，交水平线于点H，同上可知四边形POQH是矩形。∴PH=OQ=150

cm，QH=OP=160

cm。在Rt△PCH中，tan∠CPH=CH∴CH=PH·tan15∘=150×tan15∘≈40.5(cm)。同理GH=40.5

cm。∴GQ=QH−GH=119.5

cm，CQ=QH+CH=200.5

cm。小军头部以下的高度为139−18=121(cm)>119.5

cm，且小军身高139

cm<200.5

cm，∴小军能被摄像头识别。20.（本小题满分8分）如图，已知AB是⊙O的直径，直线DC是⊙O的切线，切点为C，AE⊥DC，垂足为E，连接AC。（1）求证：AC平分∠BAE；（2）若AC=10，tan∠ACE=34(1)证明：连接OC。∵直线DC是⊙O切线，切点为C，∴OC⊥DC，又∵AE⊥DC，∴OC∥AE，∴∠EAC=∠ACO，∵OC=OA，∴∠ACO=∠OAC，∴∠EAC=∠OAC，∴AC平分∠BAE。(2)解：连接BC。∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB=90∘，∴∠CAB+∠ABC=90∘。又∵AE⊥DC，∴∠EAC+∠ACE=90∘。由(1)得∠EAC=∠OAC，∴∠ABC=∠ACE，在Rt△ABC中，tan∠ABC=tan∠ACE=34∴ACBC=10BC=∴BC=403在Rt△ABC中，AB=AC2+∴OA=25321.（本小题满分9分）人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来。为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析：【收集数据】（1）随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本。下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：______。（请填写序号）①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩；②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩；③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩；④分别从该校各年级的每个班中随机抽取10%学生的竞赛成绩。【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成A,B,C,D四组进行整理如表：组别ABCD成绩（a/分）60≤a<7070≤a<8080≤a<9090≤a≤100【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如下两幅不完整的统计图。【分析数据】根据以上信息，解答下列问题：（2）①抽取学生竞赛成绩的样本容量为______；请补全频数直方图；②抽取的样本数据中中位数所在组别是______组；（3）扇形统计图中，C组对应的圆心角的度数是______度；（4）若竞赛成绩80分以上（含80分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的1500名学生中成绩为优秀的人数。(1)④(2)①150②C(3)108°(4)1500×45+答：730人。22.（本小题满分10分）【问题背景】2026央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱。为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A,B两种机器人玩具。素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元。素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍。【问题解决】（1）求购进A,B两种机器人玩具的单价；（2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A,B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？解：（1）设A单价x元，B单价（x+10）元：2500x=2×2500(x+10)=3000x2500x+25000=3000x500x=25000∴x=50经检验x=50是原方程的解x+10=60元∴A=50元,

B=60元设购进A种a个，B种（40−a）个：a≤3(40−a)解得a≤30总花费W=50a+60(40−a)=−10a+2400∵−10<0,

W随a增大而减小∴a=30时，W最小=2400−10×30=2100元此时B=40−30=10个。答案：（1）A单价50元，B单价60元；（2）购进A

30个、B

10个，最少花费2100元。23.（本小题满分10分）如图1，一次函数y1=kx+b与反比例函数y2=nx（1）求一次函数与反比例函数的表达式；（2）求△AOC的面积；（3）如果一个矩形的长、宽之比为2：1，我们把该矩形称为“倍边矩形”。在平面内是否存在点P,Q（点P在直线AB上方），使得四边形APBQ为倍边矩形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由。(1)将点A(3,4)代入y2=nx，可得4=n所以反比例函数的表达式为y2=12x将x=6代入y2=12x即点B的坐标为(6,2)。将A(3,4)和B(6,2)代入一次函数y1=kx+b，可得方程组3k+b=4解得k=−所以一次函数的表达式为y1=−2(2)对于一次函数y1=−2令y=0，则0=−2解得x=9，所以点E的坐标为(9,0)。因为点C为线段AB中点，所以点C的横坐标为3+62=92，纵坐标为即点C的坐标为(92S△AOE=12×OE×yA=1S△COE=12×OE×yC=12×9×3=则S△AOC=18−272=（3）P（195，275）或P（29524.（本小题满分12分）如图，二次函数y=ax2+2x+c(a≠0)的图象经过点B