【《第一次数学危机的简介综述》4500字】

第一次数学危机的简介综述目录TOC\o"1-3"\h\u8070第一次数学危机的简介综述 1257841.1万物皆数与毕达哥拉斯定理 1301611.1.1万物皆数 139451.1.2毕达哥拉斯定理 2202631.2无理数2的出现 3206811.1.1一个不能表示成整数比的数 456331.1.2不可公度的线段 44971.1.3危机产生，封锁消息 6321401.3第一次数学危机的解决 61.1万物皆数与毕达哥拉斯定理1.1.1万物皆数毕哥拉斯学派除了研究数与数之间的关系之外，还对数与自然之间的关系特别感兴趣.他们发现，很多事物和现象都可以从数量的方面进行说明和解释.他们首先得到的启迪来自音乐.毕达哥拉斯在钻研琴弦的音谐组合时，发现整数比居然可以表示所弹琴弦的相对长度.于是，从不同弦长产生和声中，毕达哥拉斯得出结论，音谐完全是某些确定的数之间的比造成的.后来，毕氏学派根据“简单整数比”的原理，创造出一套音乐理论，开创了音乐理论研究的先河.音乐与数这似乎毫无关联的两者间存在的这意外联系给毕达哥拉斯以很大的影响.他从中得到启发并做出大胆推测:所有事物都可以用整数或整数的比来解释.他与他的学派成员开始于由此出发去解释更多的现象.[2]比如，他们坚信宇宙中行星的运转可以归总为数的关系，可以根据数的比表示.在他们看来，宇宙里行星的运动和物体在空间的运动是类似的，运动得快的物体发出声响越大，运动得慢的物体发出声响小，根据这个规律他们相信，行星运动时也会这样.行星离地球远的运动就快，反之离地球远的行星，运动得慢.进而他们相信与地球距离不同的行星发出的不同声音能形成美妙之音.这美妙之音中就蕴藏着数的关系.于是，行星的运动被他们“复原”为数的关系.所有事物都可以用整数或整数的比来解释.[2]在这种概念下，他们又对几何量进行了研究，在对任意a与b的长度进行比较时，如图1所示，如果这d刚好包括了a的正整数m倍.这时可以去找一条小线段t，使a可以分成t的某整数倍(比如m).同时是b可以分成地的另一整数倍(比如n）.那么毕达哥拉斯学派把小线段t作为a与b的共同度量单位，并说线段a与b是可公约或可公度的.t就是两者的共同度量单位.即a=mt，a=nt.图1毕达哥拉斯学派把整个学习过程分成四大部分:数的绝对理论-算术，静止的数-几何，数的应用-音乐，运动的数-天文，四者合起来被叫做“四艺”都被看成是数学学科.[3]这样分类的原因就是因为当时毕达哥拉斯学派他们同样认为天文学和音乐的知识可以归纳为数,他们才把这两门学科都纳入了数学.因而,在这四方面研究得到的大量结果,不但深深地激励了毕达哥拉斯学派,增强了他们用数来解释世界的信心.类似的他们坚信,于某种数值的相互关系,也就是存在着"字宙的和谐".对当时的人们来说,世界一切自然现象都可以通过整数与整数比来说明解释."数"的中心地位随处可见,现在我们就知道"万物皆数"的论断不是凭空而来的了在这四方面研究得到的大量结果，不但深深地激励了毕达哥拉斯学派，而且增强了他们用数来解释世界的信心.类似的他们坚信，于某种数值的相互关系，也就是存在着“字宙的和谐”.对当时的人们来说，世界一切自然现象都可以通过整数与整数比来说明解释.“数”的中心地位随处可见，现在我们就知道“万物皆数”的论断不是凭空而来的了.1.1.2毕达哥拉斯定理提到勾股定理，学过平面几何的我们一定不会陌生.勾股定理的必然出现，可以说为数学届增添了色彩.世界各大文明古国对他有着不同程度的认识和了解.中国是较早发现勾股定理的文明古国之一，而我国对此的最早认识也是记录在《周髀算经》一书中，在我们的国家被叫作“商高定理”或“勾股定理”.而在本文中我们要介绍的是，在古希腊，据说发现了勾股定理的证明后，他们整个学派都十分高兴，杀了一百只牛来贺喜这一发现，足以看出他们对这一发现的重视，所以这个定理也有“百牛定理的叫法.[4]总之不管是何种叫法，这一发现在当时他们所处的时代，可以说是又巩固了他们的信仰，那就是宇宙万物皆可以用数来表示，同时也巩固了他们的地位.毕达哥拉斯他本人的证法并没有流传下来，对于记录他的证法的文献也是我们后人作出的一种推测.大多数看法是说毕达哥拉斯从铺地砖中获得了启示，如图2，铺地的时候用等腰三直角三角形地砖来铺是很常见的事.图2ΔABC斜边上的正方形恰恰是ΔABC两个直角边上的两个正方形拼起来的.不禁让人想推测，这个关系对于不是等腰的ΔABC是否成立.于是获得如下的一种证明，对于任意RTΔABC的三边分别为a，b，c，其中以两个直角边的和做出一个正方形的边长为a+b，这个图形是我们学习勾股定理再熟悉不过的了.其中四个全等的直角三角形被重新摆放以后，如图图31.2无理数2的出现无论什么样的直角三角形，其三条边的长度之间都有这种简明、统一的数量关系，当人们还沉浸在这一发现的喜悦中时，一场悄无声息的风浪正在“蓄谋已久”，随便就会席卷而来.毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯在回想学派的成果时，想到这样一种情况，正方形的对角线与边长这两条线段是不是可通约的呢？然而经过认真思考，无意间发现了这两条线段居然不存在共同的度量单位，不管这个单位取得多么小，都不能成为它们共同度量的单位.然而真理是必然存在的，在社会上渐渐传开了这位成员发现的重大真理不可公度问题，史称“希帕索斯悖论”或“毕达哥拉斯悖论”.[5]1.1.1一个不能表示成整数比的数毕达哥拉斯学派的成员希帕索斯的发现，用现在的语言就是:2不能表示成整数比.如图4，AE=1，BE=c的正方形，由a2+b2=c2，推出用反证法，假设2为有理数，则可设2=pq(即p与q互素:(p，q)=1).等号两边同时平方，有2=p2q2，即p2=2q2，简单分析一下这个式子，因为等号右边是数字2，即偶数，所以p就是偶数，那么不妨设P=2m，于是2m2=2q2，整理又有q2=2m21.1.2不可公度的线段“万物皆数”理论的另一个重要方面，是任何两条线段都是“可公度的”，但毕达拉斯学派的成员自己发现这个命题也是错误的.证明如下.如图5，有AD=a，BD=d的正方形.由上面介绍的a2+b2=c2定理，有d2=2a2，根据任意两条线段都是可度量，知a=mt，d=nt，这里m和n是整数.有d2=2a2，把a，d图4图5实际，他们早期研究的许多几何定理都是创建在任何量都可以公度的基础之上的.如他们研究的关于相似形的几何定义，证明了这样一个定理：等高的三角形的面积之比等于它们的底边之比.[6]△ABC和△ADE，它们的底BC，DE都在直线MN上，△ABC和△ADE的高相等，如图6.设m和n分别是BC和DE包含着一个公度单位的m倍和n倍.在BC和DE上画出这些分点，且与A点连接，△ABC和△ADE分别被划分成m和n个小三角形，它们是等底等高，因此根据已知结果，它们面积相等.由此得△ABC：△ADE=m:n=BC:DE然而，因为不可通约量的发现，现在这一证明就无效了.毕达哥拉斯学派以前看似成立的许多几何学的定理不得不随之解体了.图61.1.3危机产生，封锁消息毕达哥拉斯学派认为宇宙万物皆依赖于整数的信条由于小小的2而收到动摇.数学史上称之为“第一次数学危机”.一开始，只有毕达哥拉斯学派的成员知道这些问题，他们非常慌张，毕达哥拉斯学派是宗教式的组织，他们极力包藏事实，希望在内部化解危机.后来消息还是传出去了，传说发现不可共度量的秘密依然被希帕索斯泄露出去了，竟被他们自己内部学员抛进大海了.[2]关于这位泄了秘密的成员，他的结局有很多种传说，但是我们都知道他的结局并不好.但纸是包不住火的，危机很快被大家所了解，人们致力于解决危机，不过这危机不是局部的，而是全局的;不是表面的，而是本质的，并不那么容易解决.1.3第一次数学危机的解决“两个量的比相等”的新定义部分地消除了危机.第一次数学危机冲击“万物皆数”理论的另一个要点，是可公度的"而当时“两个量的比”及“两个量的比相等”都是依赖“任意两条线段都是可公度的”来定义的.一整套的“相似形”的基础上建立起来的.这危机，从根本上动摇了所有这些理论，事态非常严重，迫切需要解决.解决这一问题的是公元前370年希腊数学家欧多克索斯，他的理论成果被保存在《几何原本》中.定义3两个同类量之间的一种数量关系叫做比.同类量就是线段与线段面积与面积，体积与体积.在当时研究几何量的时代，我们是无法拿线段与面积这种不同量进行比较的.定义4如果一个量增大几倍后，可以大于另一个料，则说这两个量有一个比.比如说有两个可表为数5与1001的量.由于5增加到201倍后可以超过1001，于是，就称这两个量有一个比.定义5称有四个量，第一个量比第二个量之与与第三个量与第四个量有相同，如果对第一个和第三个量取任何相同的倍数，第二个和第四量的取任何其他的相同倍数后，从第三个量的倍数大于、等于或小于第四个量的倍数，便有第一个量的倍数对第二个量的倍数的相应关系.[7]对这个繁琐的文字叙述，我们换成现在所用的代数符号表示理解为a:b=c:d是指:对任一个分数nm，商ab和这个关于两个量的比相等的定义，巧妙的回避了可公度的概念，即使以现在的观点看，该定义也是正确的.远在公元前4世纪，他们就有如此的想象力，实在难能可贵，也体现了数学危机对数学发展的推动作用.进而，古希腊人可以在这些命题基础之上，利用比例理论进一步讨论相似形问题.这正是欧几里得在《几何原本》第六卷中开展的工作.在这一卷中，他对早期毕达哥拉斯学派的研究成果进行了再整理，重新证明了许多由于不可通约量的发现而无效的命题.以前面提到的相似形命题为例，也在欧多克索斯新比例论下被解决了.如图7，在CB延长线上从B点起取（m−1）个与CB一样长的线段，分别将分点B，B2，B3，…，Bm与A点连接.于是BmC的长度为图2同样在DE延长