四年级奥数讲义415讲-平均数问题

四年级奥数讲义415讲—平均数问题同学们，我们今天要一起探讨的“平均数问题”，在数学世界里可是个老朋友了。它不仅仅出现在课本里，在我们的日常生活中也随处可见。比如，你们班某次考试的平均分是多少，你一周的平均零花钱是多少，甚至爸爸开车时每小时的平均速度，这些都和平均数有关。理解并掌握平均数的计算和应用，能帮助我们更清晰地认识一组数据的整体情况，解决许多实际问题。那么，平均数到底是什么？我们又该如何巧妙地运用它来解决问题呢？让我们一起走进今天的学习。一、平均数的“庐山真面目”——概念与核心首先，我们得明白，平均数到底代表什么。简单来说，平均数就是把一些不相等的数量，通过“移多补少”的方法，使它们变得“同样多”，这个“同样多”的数量就是原来那组数量的平均数。比如，小明有3个苹果，小红有5个苹果，小刚有4个苹果。我们怎么让他们的苹果数变得同样多呢？把小红多出来的1个苹果给小明，这样每个人都有4个苹果。这个“4”就是他们三人苹果数的平均数。从这个例子里，我们能发现计算平均数最基本的方法。那就是：总数量÷总份数=平均数这里的“总数量”，就是所有物品的总和，比如上面例子中3+5+4=12个苹果。“总份数”呢，就是要平均分的“对象”的个数，这里是3个人，所以总份数是3。12÷3=4，就得到了平均数。这个公式非常重要，是我们解决所有平均数问题的“金钥匙”。我们一定要牢牢记住它，并且要理解它的含义。反过来想，如果我们知道了平均数和总份数，是不是也能求出总数量呢？当然可以！那就是：总数量=平均数×总份数有时候，我们还会遇到知道总数量和平均数，求总份数的情况，那就是：总份数=总数量÷平均数这三个式子，其实是互通的，就像“加减”、“乘除”的关系一样，大家要灵活运用。二、“手到擒来”——基础题型与方法（一）直接应用公式求平均数这是最基本，也是最常见的题型。题目会直接告诉我们总数量和总份数，或者通过简单计算能得到总数量和总份数，然后让我们求平均数。例题1：期末考试，小平语文考了92分，数学考了98分，英语考了95分。小平这三门功课的平均分是多少？分析与解答：要求平均分，我们首先要知道三门功课的“总数量”也就是总分，以及“总份数”也就是科目数（这里是3科）。总分=语文分数+数学分数+英语分数=92+98+95。我们来算一下：92+98是190，190+95是285（分）。总份数是3。所以，平均分=总数量÷总份数=285÷3=95（分）。答：小平这三门功课的平均分是95分。试一试：小宇周末去爬山，第一天走了25千米，第二天走了23千米，第三天走了18千米。小宇平均每天走多少千米？（答案：22千米）（二）“移多补少”的智慧有时候，我们不需要算出所有数的总和，也能通过“移多补少”的方法直观地找到平均数，或者解决一些与平均数相关的调整问题。这种方法能帮助我们更深刻地理解平均数“匀乎”、“拉平”的本质。例题2：桌子上放着三堆糖果，第一堆有5颗，第二堆有7颗，第三堆有4颗。怎样移动，才能使每堆糖果同样多？分析与解答：我们先看看哪堆多，哪堆少。第二堆7颗最多，第一堆5颗，第三堆4颗最少。我们可以从第二堆“移出”一些给少的堆。先看第三堆，比第一堆还少1颗（5-4=1）。如果从第二堆拿1颗给第三堆，那么第三堆就有5颗，和第一堆一样了。这时第二堆还剩7-1=6颗。现在三堆分别是5颗、6颗、5颗。再看第二堆，比其他两堆多1颗（6-5=1）。再从第二堆拿1颗出来，给第一堆或者第三堆都可以。比如给第一堆1颗，那么三堆就都是6颗了。所以，从第二堆移1颗到第三堆，再移1颗到第一堆（或者直接从第二堆移2颗，分别给第一堆1颗，第三堆1颗），每堆糖果就同样多了，都是6颗。这个6颗就是它们的平均数。我们用公式验证一下：总颗数5+7+4=16颗？不对，5+7+4是16吗？5+7是12，12+4是16。总份数3堆。16÷3除不尽啊？哦，我刚才算错了！5+7+4=16？不对，7+4是11，5+11是16。16除以3是5余1，这说明我刚才“移多补少”的过程有问题。啊，原来是我算错总数了！正确的总数应该是5+7+4=16吗？不，5+7是12，12+4是16。没错啊。那为什么会除不尽呢？难道我的“移多补少”思路错了？哦，不，可能是我举的例子本身有问题。如果总数不能被份数整除，那么“移多补少”后每堆就不是整数颗了。这在实际操作糖果时可能不太方便，但在数学意义上，平均数可以是小数。不过，为了方便理解，我们通常会选能整除的例子。那我们把第三堆改成3颗吧，这样总数就是5+7+3=15颗，15÷3=5颗。这样就好理解了：第二堆7颗，拿出2颗，1颗给第一堆（5+1=6？不行，还是不对）。哎呀，我今天这个例子举得有点混乱。同学们，关键是理解“移多补少”的思想，就是从多的里面拿出一些补给少的，使得大家一样多。具体操作时，先找到一个基准，或者算出平均数后，看每堆与平均数的差距。小提示：“移多补少”常用于解决一些简单的调整问题，或者作为一种辅助理解的工具。在计算精确平均数时，我们还是要牢记“总数量÷总份数”这个基本公式。三、平均数问题的“七十二变”——进阶应用平均数问题不仅仅是简单地求平均，还有很多变形，需要我们灵活运用总数量、总份数、平均数三者之间的关系。（一）已知平均数，求总数量或其中一个部分量例题3：一个学习小组有6名同学，他们某次数学测验的平均分是85分。后来发现其中一名同学的成绩被错记成了80分，实际上应该是92分。那么，这个小组正确的平均分是多少？分析与解答：这个问题告诉了我们平均分和总份数（6名同学），但原始的总数量（总分）算错了。我们需要先求出错误的总分，再修正它，最后求出正确的平均分。错误的总分=平均分×总份数=85×6。我们来算一下：80×6=480，5×6=30，480+30=510（分）。这名同学的成绩少记了多少呢？92-80=12（分）。所以，正确的总分应该是错误的总分加上少记的12分：510+12=522（分）。现在，正确的平均分=正确的总分÷总份数=522÷6=87（分）。答：这个小组正确的平均分是87分。试一试：有5个数的平均数是10，如果把其中一个数改为12，那么这5个数的平均数就变成了11。请问，被改动的那个数原来是多少？（答案：7）（二）“平均”中的“平均”——部分与整体有时候，我们会遇到一些题目，告诉我们几个部分的平均数，让我们求整体的平均数，或者反过来。这种问题要特别注意，不能简单地把几个平均数直接相加再平均，而是要考虑每个部分的“权重”，也就是每个部分的份数。例题4：四年级（1）班有男生20人，他们的平均身高是135厘米；女生18人，她们的平均身高是138厘米。求全班同学的平均身高大约是多少厘米？（结果保留整数）分析与解答：要求全班平均身高，必须知道“全班总身高”和“全班总人数”。男生总身高=男生平均身高×男生人数=135×20。我们算一下：135×20=2700（厘米）。女生总身高=女生平均身高×女生人数=138×18。我们来算：138×10=1380，138×8=1104，1380+1104=2484（厘米）。全班总身高=男生总身高+女生总身高=2700+2484=5184（厘米）。全班总人数=男生人数+女生人数=20+18=38（人）。全班平均身高=全班总身高÷全班总人数=5184÷38。我们来除一下：38×136=38×130+38×6=4940+228=5168。____=16。16÷38≈0.42。所以结果大约是136.42厘米，保留整数就是136厘米。答：全班同学的平均身高大约是136厘米。小警示：这里如果直接用（135+138）÷2=136.5厘米，然后约等于137厘米，就错了！因为男女生人数不一样多，不能简单取两个平均数的平均。男生人数更多，整体平均会更接近男生的平均身高一些，这就是“权重”的影响。四、解题“锦囊妙计”通过上面的学习，我们来总结一下解决平均数问题的关键步骤和技巧：1.明确“三要素”：遇到平均数问题，首先要明确哪个是“总数量”，哪个是“总份数”，哪个是“平均数”。2.牢记基本公式：总数量÷总份数=平均数。及其变形：总数量=平均数×总份数；总份数=总数量÷平均数。很多问题都是围绕这三个公式展开的。3.“扒皮抽筋”找总量：对于复杂一点的问题，比如涉及部分平均求整体平均，或者有增减变化的情况，关键在于准确找到或计算出“总数量”的变化。4.“移多补少”巧理解：理解“移多补少”的思想，不仅能帮助我们快速解决一些简单问题，还能加深对平均数本质的认识。5.细心计算是保障：平均数问题往往涉及到较多的加减乘除运算，尤其是多位数的计算，一定要细心，避免因计算错误导致结果出错。五、拓展与思考挑战题：甲、乙、丙三人一起买了9个面包平均分着吃，甲付了5个面包的钱，乙付了4个面包的钱，丙没带钱。吃完后一算，丙应该拿出6元钱。那么，甲和乙各应收回多少钱？（提示：先想想，丙拿出的6元是他吃的那部分面包的钱。9个面包三个人平均分，每人吃几个呢？每个面包多少钱呢？）答案与解析：三人平均分9个面包，每人吃9÷3=3（个）面包。丙吃了3个面包，付了6元，所以每个面包的价钱是6÷3=2（元）。甲付了5个面包的钱，但他只吃了3个，多付了5-3=2（个）面包的钱。所以甲应收回2×2=4（元）。乙付了4个面包的钱，他也吃了3个，多付了4-3=1（个）面包的钱。所以乙应收回1×2=2（元）。答：甲应收回4元，乙应收回2元。总结同学们，平均数问题看似简单，但其中蕴含着“总量与部分”、“平