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文档简介

无穷级数

本章用到有关数列极限的一些知识1。单调有界数列必收敛；2。如果一数列收敛于S，那么，其任一子数列均收敛于S。3。一、无穷级数的概念1.级数的定义:一般项其中级数的前n项的和称为级数的部分和：

如果级数中的每一项都是常数，称该级数为常数项级数

无穷级数简称级数,它总是无穷项的和。有限项之和不能称为级数称为部分和数列，记作2.级数的收敛与发散:

对于给定的常数项级数，判定它是收敛还是发散？称为级数收敛性的判定。判定级数的收敛性是研究级数的首要问题。观察如下级数：（1）（2）（3）（4）级数（1），（2）有确定的值，分别为2和0，级数（3），（4）无确定的值。因此，称级数（1），（2）是收敛的，级数（3），（4）是发散的。从而，常数项级数收敛（或发散）注意到：因此，存在或不存在。=解

收敛

发散

发散

发散

综上等比级数是一个常用的级数解

在用级数收敛的定义来判定级数的敛散性时，“拆项”是常用的方法之一。三、基本性质结论:级数的每一项同乘一个不为零的常数,敛散性不变.结论:收敛级数可以逐项相加与逐项相减.注意：1。由性质2。可知，两收敛级数的和或差是收敛级数2。两发散级数的和或差可能收敛也可能发散，如3。一收敛级数和一发散级数的和或差必发散用反证法：证明:设

这说明在级数前面减去有限项不影响级数的敛散性，类似地可以证明在级数前面加上有限项也不影响级数的敛散性.证明注意收敛级数去括弧后所成的级数不一定收敛.

收敛

发散四、收敛的必要条件证明级数收敛的必要条件:级数收敛的必要条件只能用于判定级数是否发散？不能用于判定级数是否收敛？注意1.如果级数的一般项不趋于零,则级数发散;

发散2.必要条件不充分.讨论调和级数

也是一个常用的级数，它是发散的。一、正项级数及其审敛法1.定义:这种级数称为正项级数.2.正项级数收敛的充要条件:由极限存在准则：单调有界数列的极限必存在。即因此，正项级数收敛有如下的定理证明即部分和数列有界3.比较审敛法不是有界数列定理证毕.

比较审敛法的不便之处是必须有一个敛散性已知的级数作为参考级数.解由图可知重要参考级数:几何级数（等比级数）,P-级数,调和级数（实际上就是P=1的P-级数）.证明4.比较审敛法的极限形式:设å¥=1nnu与å¥=1nnv都是正项级数,如果则(1)当时,二级数有相同的敛散性;

(2)当时，若收敛,则收敛;

(3)当时,若å¥=1nnv发散,则å¥=1nnu发散;其中是敛散性已知的用作比较的参考级数证明由比较审敛法的推论,得证.推论：解原级数发散.故原级数收敛.已用到罗必得法则P.2521.用比较审敛法判别下列级数的收敛性：（4）比较审敛法和极限形式的比较审敛法，有

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