乘法公式课件2025-2026学年北师大版七年级数学下册

3 

 乘法公式第一章整式的乘除3 ｜ 乘法公式第1课时平方差公式的认识第一章整式的乘除知识点

平方差公式：(a＋b)(a－b)＝a2－b2。即两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。几何验证：(教材P19•改编)(1)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，则阴影部分的面积可以表示为S大正方形－S小正方形，即

；若将图1中的阴影部分沿虚线裁剪下来，重新拼成如图2所示的长方形，则它的长为

，宽为

；面积为长×宽，即

。a2－b2a＋ba－b(a＋b)(a－b)

(2)根据图1与图2中阴影部分的面积相等，可以得到等式

⁠

⁠。(a＋b)(a－b)＝a2－b2

典例1计算：(1)(x＋2)(x－2)；解：(1)原式＝x2－22＝x2－4。(2)(m＋10)(m－10)。(2)原式＝m2－102＝m2－100。解：(1)原式＝x2－22＝x2－4。(2)原式＝m2－102＝m2－100。

(2)原式＝0.12－x2＝0.01－x2。典例2填一填。(a＋b)(a－b)aba2－b2结果(3x＋2)(3x－2)3x2(3x)2－229x2－4(－x＋2y)(－x－2y)－x2y(－x)2－(2y)2x2－4y2(b＋2a)(2a－b)2ab(2a)2－b24a2－b2(－2m－n)(－n＋2m)－n2(－n)2－(2m)2n2－4m2－x2y(－x)2－(2y)2x2－4y22ab(2a)2－b24a2－b2－n2m(－n)2－(2m)2n2－4m2变式2辨一辨，正确的打“√”，错误的打“×”。(1)(x－6)(x＋6)＝x2－6；

(

×

)(2)(2a＋5)(2a－5)＝2a2－25；

(

×

)(3)(－1＋3m)(1＋3m)＝1－9m2；

(

×

)(4)(a＋b)(b－a)＝a2－b2；

(

×

)(5)(4x＋3b)(4x－3b)＝16x2－9。

(

×

)×××××

解：(1)原式＝52－(6x)2＝25－36x2。(2)原式＝x2－(2y)2＝x2－4y2。(3)原式＝(1－2x)(1＋2x)＝12－(2x)2＝1－4x2。

变式3

(教材P18例2•改编)利用平方差公式计算：(1)(ab＋8)(ab－8)；解：(1)原式＝(ab)2－82＝a2b2－64。(2)(3x＋5y)(3x－5y)；(2)原式＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2。(3)(－m＋n)(－m－n)；(3)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2。(4)(－y－5)(y－5)。(4)原式＝(－5－y)(－5＋y)＝(－5)2－y2＝25－y2。解：(1)原式＝(ab)2－82＝a2b2－64。(2)原式＝(3x)2－(5y)2＝9x2－25y2。(3)原式＝(－m)2－n2＝m2－n2。(4)原式＝(－5－y)(－5＋y)＝(－5)2－y2＝25－y2。

1.

下列多项式相乘，能利用平方差公式计算的是(

D

)A.

(x＋y)(－x－y)B.

(m－n)(n－m)C.

(2x＋3y)(2x－3z)D.

(－a－b)(a－b)D2.

计算：(1)(x＋9)(x－9)＝

⁠；(2)(3＋y)(3－y)＝

⁠；(3)(2m－n)(2m＋n)＝

⁠；(4)(2－3x)(－2－3x)＝

⁠。x2－819－y2

4m2－n2

9x2－4

解：(1)原式＝(xy)2－72＝x2y2－49。

(3)原式＝(0.5a－0.2b)(0.5a＋0.2b)＝(0.5a)2－(0.2b)2＝0.25a2－0.04b2。

4.

若x＋y＝9，x－y＝3，则x2－y2＝

⁠。273 ｜ 乘法公式第2课时平方差公式的运用第一章整式的乘除知识点1

平方差公式的“七般变化”(1)位置变化：(y＋x)(－y＋x)＝(x＋y)(x－y)＝x2－y2；(2)符号变化：(－x－y)(x－y)＝(－y－x)(－y＋x)＝(－y)2－

x2＝y2－x2；(3)系数变化：(3x＋2y)(3x－2y)＝(3x)2－(2y)2＝9x2－4y2；(4)指数变化：(x2＋y3)(x2－y3)＝(x2)2－(y3)2＝x4－y6；(5)增项变化：(x＋y＋z)(x＋y－z)＝(x＋y)2－z2＝(x＋y)(x＋

y)－z2＝x2＋2xy＋y2－z2；(6)连用公式：(x＋y)(x－y)(x2＋y2)＝(x2－y2)(x2＋y2)＝(x2)2－

(y2)2＝x4－y4；(7)逆用公式：x2－y2＝(x＋y)(x－y)。

解：(1)原式＝(－a)2－(5b)2＝a2－25b2。

变式1利用平方差公式计算：(a＋2b－3c)(a－2b－3c)。解：原式＝(a－3c＋2b)(a－3c－2b)＝(a－3c)2－(2b)2＝(a－3c)(a－3c)－4b2＝a2－3ac－3ac＋9c2－4b2＝a2－6ac＋9c2－4b2。

注意：平方差公式中的a，b可以是单项式，也可以是多项

式。当公式中的a，b不是单个数字或字母时，运用公式计算

时要加括号。知识点2

运用平方差公式进行简便运算典例2

(教材P19例3)利用平方差公式计算：(1)103×97；解：(1)原式＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝9991。解：(1)原式＝(100＋3)(100－3)＝1002－32＝9991。典例2

(教材P19例3)利用平方差公式计算：(2)118×122。解：(2)原式＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14396。解：(2)原式＝(120－2)(120＋2)＝1202－22＝14396。变式2利用平方差公式计算：(1)51×49；解：(1)原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12＝2499。(2)9.8×10.2。解：(2)原式＝(10－0.2)(10＋0.2)＝102－0.22＝99.96。解：(1)原式＝(50＋1)(50－1)＝502－12＝2499。解：(2)原式＝(10－0.2)(10＋0.2)＝102－0.22＝99.96。知识点3

含平方差公式的混合运算典例3计算：(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5)。解：原式＝y2－22－(y2＋5y－y－5)＝y2－4－y2－5y＋y＋5＝－4y＋1。解：原式＝y2－22－(y2＋5y－y－5)＝y2－4－y2－5y＋y＋5＝－4y＋1。变式3计算：(2x－4)(2x＋4)－(x－3)(x＋2)。解：原式＝(2x)2－42－(x2＋2x－3x－6)＝4x2－16－x2－2x＋3x＋6＝3x2＋x－10。解：原式＝(2x)2－42－(x2＋2x－3x－6)＝4x2－16－x2－2x＋3x＋6＝3x2＋x－10。

1.

下列多项式相乘，利用平方差公式计算正确的是(

C

)A.

(a＋3b)(a－3b)＝a2－3b2B.

(－a＋3b)(a－3b)＝－a2－9b2C.

(－a－3b)(a－3b)＝－a2＋9b2D.

(－a－3b)(a＋3b)＝a2－9b2C

25x2－y2

a2b2－916－9x2

b2－9a2

x4－16x4－14.

利用平方差公式计算：(4m＋n－3)(4m＋n＋3)。解：原式＝(4m＋n)2－32＝(4m＋n)(4m＋n)－9＝16m2＋4mn＋4mn＋n2－9＝16m2＋8mn＋n2－9。解：原式＝(4m＋n)2－32＝(4m＋n)(4m＋n)－9＝16m2＋4mn＋4mn＋n2－9＝16m2＋8mn＋n2－9。

5.

利用平方差公式计算：20302－2029×2031。解：原式＝20302－(2030－1)(2030＋1)＝20302－(20302－1)＝20302－20302＋1＝1。解：原式＝20302－(2030－1)(2030＋1)＝20302－(20302－1)＝20302－20302＋1＝1。6.

试说明式子(－a＋3)(a＋3)－a(1－a)＋a的值与a的取值

无关。解：原式＝(3－a)(3＋a)－(a－a2)＋a＝9－a2－a＋a2＋a＝9。因为计算结果中不含字母a，所以式子

(－a＋3)(a＋3)－a(1－a)＋a的值与a的取值无关。解：原式＝(3－a)(3＋a)－(a－a2)＋a＝9－a2－a＋a2＋a＝9。因为计算结果中不含字母a，所以式子

(－a＋3)(a＋3)－a(1－a)＋a的值与a的取值无关。7.

阅读材料后解决问题。小宇遇到下面一个问题：计算(2＋1)(22＋1)(24＋1)。经过观察，小宇发现如果将原式进行适当的变形后可以出现特殊的结构，进而可以应用平方差公式解决问题，具体解法如下：解：原式＝(2－1)(2＋1)(22＋1)(24＋1)＝(22－1)(22＋1)(24＋1)＝(24－1)(24＋1)＝28－1。请你根据小宇解决问题的方法，计算：(3＋1)(32＋1)(34＋1)(38＋1)。

8.

【思想方法•整体思想】如图，把一块面积为100的大长方形

木板分割成2个大小一样的大正方形①、1个小正方形②和2个

大小一样的小长方形③。已知每个小长方形③的面积为16，则

小正方形②的面积是

⁠。123 ｜ 乘法公式第3课时完全平方公式的认识第一章整式的乘除知识点

完全平方公式：(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2或(a－b)2＝a2－2ab＋b2。即两数和(或差)的平方，等于它们的平方和加(或减)它们积的2倍。几何验证：一块边长为a的正方形试验田，因需要将其边长增加b，形成四块小试验田，以种植不同的新品种(如图)。(1)四块小试验田A，B，C，D的面积分别为

⁠。(2)用两种方法表示大试验田的面积：①从整体上看，大试验田是边长为

⁠的大正方形，故它的面积为

⁠；②从部分上看，大试验田的面积是四块小试验田面积的和，故它的面积为

⁠。a2，ab，ab，b2

(a＋b)

(a＋b)2

a2＋2ab＋b2

(3)总结：通过以上探索可以发现

＝

⁠

⁠。(a＋b)2

a2＋2ab＋b2

口诀：①首平方，尾平方，积的2倍放中央；②和平方，积为正；差平方，积为负。注：这里的积为正(或负)是指积的2倍的符号为正(或负)。典例1计算：(1)(a＋1)2；解：(1)原式＝a2＋2•a•1＋12＝a2＋2a＋1。(2)(y－7)2。(2)原式＝y2－2•y•7＋72＝y2－14y＋49。解：(1)原式＝a2＋2•a•1＋12＝a2＋2a＋1。(2)原式＝y2－2•y•7＋72＝y2－14y＋49。变式1计算：(1)(r＋h)2；解：(1)原式＝r2＋2•r•h＋h2＝r2＋2rh＋h2。

注意：运用完全平方公式的关键是确定积的2倍的符号。解：(1)原式＝r2＋2•r•h＋h2＝r2＋2rh＋h2。

典例2填一填。(a＋b)2或(a－b)2ab积的2倍

的符号a2＋2ab＋b2或a2－2ab＋b2结果(2a＋3b)22a3b正(2a)2＋2•2a•3b＋(3b)24a2＋

12ab＋

9b22x

y负x2－2•x•

y＋

2x2－xy

＋

y2(2x－1.5)22

x1.5负(2x)2－2•2x•1.5

＋1.524x2－6x

＋2.25x

负

x2－xy＋

2x

1.5负(2x)2－2•2x•1.5＋

1.524x2－6x＋

2.25典例3

(教材P21例5)利用完全平方公式计算：(1)(2x－3)2；解：(1)原式＝(2x)2－2•2x•3＋32＝4x2－12x＋9。(2)(4x＋5y)2；解：(2)原式＝(4x)2＋2•4x•5y＋(5y)2＝16x2＋40xy＋25y2。(3)(mn－a)2。(3)原式＝(mn)2－2•mn•a＋a2＝m2n2－2amn＋a2。

解：(1)原式＝(2x)2－2•2x•3＋32＝4x2－12x＋9。解：(2)原式＝(4x)2＋2•4x•5y＋(5y)2＝16x2＋40xy＋25y2。(3)原式＝(mn)2－2•mn•a＋a2＝m2n2－2amn＋a2。

变式3利用完全平方公式计算：(2)(－x－3y)2；解：(2)原式＝［－(x＋3y)］2＝(x＋3y)2＝x2＋2•x•3y＋(3y)2＝x2＋6xy＋9y2。变式3利用完全平方公式计算：(3)(－2s＋t)2。(3)原式＝(t－2s)2＝t2－2•t•2s＋(2s)2＝t2－4ts＋4s2。

(a＋b)2＝(－a－b)2，(a－b)2＝(b－a)2。(3)原式＝(t－2s)2＝t2－2•t•2s＋(2s)2＝t2－4ts＋4s2。

1.

下列各式中，能用完全平方公式计算的是(

D

)A.

(x－y)(x＋y)B.

(2x－y)(x＋y)C.

(x－y)(2x－y)D.

(x－y)(－x＋y)D

解：(1)原式＝4x2＋20xy＋25y2。

(3)原式＝4t2＋4t＋1。

3.

若(x－4)2＝x2＋kx＋16，则k＝(

D

)A.

8B.

4C.

－4D.

－8D4.

观察下面图形，你能利用图中的面积的相等关系写出一个

你熟悉的公式吗？答：

⁠。(a－b)2＝a2－2ab＋b2

5.

用如下的三角形解释(a＋b)n的展开式的各项系数，此三角

形称为“杨辉三角”。(a＋b)0＝1各项系数为

1(a＋b)1＝a＋b各项系数为

1

1(a＋b)2＝a2

＋2ab＋b2各项系数为

1

2

1(a＋b)3＝a3

＋3a2b＋3ab2＋b3各项系数为1

3

3

1根据上面的规律，可知(a＋b)5的展开式中各项系数的和

为

⁠。323 ｜ 乘法公式第4课时完全平方公式的运用第一章整式的乘除知识点1

运用完全平方公式进行简便运算典例1利用完全平方公式计算：1022。解：原式＝(100＋2)2＝1002＋2×100×2＋22＝10000＋400＋4＝10404。变式1利用完全平方公式计算：992。解：原式＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801。解：原式＝(100－1)2＝1002－2×100×1＋12＝10000－200＋1＝9801。知识点1

含完全平方公式的混合运算典例2

(教材P23例6)计算：(1)(x＋3)2－x2；解：(1)原式＝x2＋6x＋9－x2＝6x＋9。(2)(a＋b＋3)(a＋b－3)；(2)原式＝［(a＋b)＋3］［(a＋b)－3］＝(a＋b)2－32＝a2＋2ab＋b2－9。解：(1)原式＝x2＋6x＋9－x2＝6x＋9。(2)原式＝［(a＋b)＋3］［(a＋b)－3］＝(a＋b)2－32＝a2＋2ab＋b2－9。典例2

(教材P23例6)计算：(3)(x＋5)2－(x－2)(x－3)；(3)原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6)＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6＝15x＋19。(4)［(a＋b)(a－b)］2。(4)原式＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4。(3)原式＝x2＋10x＋25－(x2－5x＋6)＝x2＋10x＋25－x2＋5x－6＝15x＋19。(4)原式＝(a2－b2)2＝a4－2a2b2＋b4。变式2计算：(1)(a－b)2－2b2；解：(1)原式＝a2－2ab＋b2－2b2＝a2－2ab－b2。(2)(x－2)2＋(x－3)(x＋1)；解：(1)原式＝a2－2ab＋b2－2b2＝a2－2ab－b2。(2)原式＝x2－4x＋4＋x2＋x－3x－3＝2x2－6x＋1。变式2计算：(3)(x－y－1)(x＋y－1)；(3)原式＝(x－1－y)(x－1＋y)＝［(x－1)－y］［(x－1)＋y］＝(x－1)2－y2＝x2－2x＋1－y2＝x2－2x－y2＋1。

典例3已知a－b＝7，ab＝18，求下列各式的值。(1)a2＋b2；解：(1)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝72＋2×18＝49＋36＝85。(2)(a＋b)2。解：(2)(a＋b)2＝

a2＋b2＋2ab＝85＋2×18＝121或(a＋b)2＝(a

－b)2＋4ab＝72＋4×18＝121。解：(1)a2＋b2＝(a－b)2＋2ab＝72＋2×18＝49＋36＝85。解：(2)(a＋b)2＝

a2＋b2＋2ab＝85＋2×18＝121或(a＋b)2＝

(a－b)2＋4ab＝72＋4×18＝121。变式3已知(a＋b)2＝16，ab＝4，求下列各式的值。(1)a2＋b2；解：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2×4＝8。(2)(a－b)2。解：(2)(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝8－2×4＝0或(a－b)2＝(a＋

b)2－4ab＝16－4×4＝0。解：(1)a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝16－2×4＝8。解：(2)(a－b)2＝a2＋b2－2ab＝8－2×4＝0或(a－b)2＝

(a＋b)2－4ab＝16－4×4＝0。典例4已知(a＋b)2＝10，(a－b)2＝2，求a2＋b2，ab的值。解：因为(a＋b)2＝10，(a－b)2＝2，所以a2＋2ab＋b2＝10，a2－2ab＋b2＝2。所以(a2＋2ab＋b2)＋(a2－2ab＋b2)＝2a2＋2b2＝10＋2＝12，

即a2＋b2＝6。所以(a2＋2ab＋b2)－(a2－2ab＋b2)＝4ab＝10－2＝8，即ab

＝2。解：因为(a＋b)2＝10，(a－b)2＝2，所以a2＋2ab＋b2＝10，a2－2ab＋b2＝2。所以(a2＋2ab＋b2)＋(a2－2ab＋b2)＝2a2＋2b2＝10＋2＝12，

即a2＋b2＝6。所以(a2＋2ab＋b2)－(a2－2ab＋b2)＝4ab＝10－2＝8，

即ab＝2。变式4已知(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，求a2＋b2－3ab的值。解：因为(a＋b)2＝7，(a－b)2＝3，所以a2＋2ab＋b2＝7，a2－2ab＋b2＝3。所以(a2＋2ab＋b2)＋