《电路基础》-54教学材料

5.1引言

本章将介绍叠加定理、置换定理、戴维南定理、诺顿定理、最大功率传输定理和互易定理等常用的Ω个网络定理。这些定理在电路理论的研究和分析计算中起着十分重要的作用。(1)叠加定理是线性电路中一条十分重要的定理，本章所涉及的线性电路是由线性电阻元件，独立电源和线性受控源构成的电路，叠加定理不仅可以用来计算电路，更重要的是建立响应与激励之间的内在关系，它还可以证明后面所说的戴维南定理和诺顿定理。下一页返回5.1引言(2)在一个电路中，能否将某一电路元件用其他形式的电路元件来替换，而整个电路其余各部分的工作状态不改变?若能替换，那么所用的替换元件与被替换元件之间应遵循什么规则?这就是置换定理要阐述的内容。置换定理是一个应用范围颇为广泛的定理，它不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路。它时常用于对电路进行简化，从而使电路易于分析或计算。(3)戴维南定理由法国电讯工程师戴维南于1883年提出，诺顿定理由美国贝尔电话实验室工程师诺顿于1926年提出，戴维南定理和诺顿定理又称为等效电源定理，用来解决含源单口网络的对外等效电路。上一页下一页返回5.1引言(4)在电源给定的情况下，负载不同，电源传输给负载的功率也不同。在什么条件下，负载才能获得最大功率?这就是最大功率传输问题。(5)对于线性单一激励的不含受控源的线性电阻电路(即仅有一个独立源作用的电阻电路)还有一个很重要的性质—互易性，反映互易性的定理称作互易定理，此定理有三种形式。上一页返回5.2知识结构和教学要求1.知识结构电路定理:(1)叠加定理;(2)置换定理;(3)戴维南定理;(4)诺顿定理;(5)最大功率传输定理;(6)互易定理。2.教学要求下一页返回5.2知识结构和教学要求(i)掌握叠加原理的表述及通用公式;掌握叠加原理、齐次定理的应用及注意说明。

(2)掌握替代定理的表述与应用举例计算。(3)掌握戴维南定理和诺顿定理的表述及应用举例;掌握含受控源电路戴维南定理和诺顿定理的应用举例。(4)讨论最大功率传输的意义及应用范围;掌握最大功率传输的条件、最大功率计算举例。(5)掌握互易定理的三种表示形式。上一页返回5.3

教学内容

学习目标:熟悉叠加定理的应用。由线性元件和独立源组成的电路称为线性电路，线性电路具有如下线性质。齐次性:当电路中只有单个激励(电源)作用时，响应(电压或电流)与激励成正比。可加性:当电路中有多个激励同时作用时，总响应等于每个激励单独作用时产生的响应分量的代数和。叠加定理就是可加性的反应，它是线性电路的一个重要定理。下一页返回5.3

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如图5一1(a)所示电路，用电源变换的办法来求电路中的Is

，将Us与R1变换为电流源，再将两并联理想电流源合并，得到图5一1(b)所示电路，由分流关系求得上一页下一页返回5.3

教学内容由此可知I’=US/(R1+R2)，是独立电压源。的一次函数，其实质是将一个独立电流源Is

、置零后在R2电阻支路产生的响应;US/(R1+R2)Is是Us、不作用，只有Is

、单独作用时，在}z电阻支路产生的响应。可见，电阻R2上产生的电流是两个电源分别单独作用，在R2上产生的电流响应的叠加。因此，叠加定理可陈述为:对于线性电路，任一瞬间，任一处的电流或电压响应恒等于各个独立电源单独作用时在该处产生的响应的叠加。在应用叠加定理时应注意以下Ω点:上一页下一页返回5.3

教学内容(1)叠加定理只适用于线性电路。(2)叠加定理只能用于计算线性电路的电压和电流，而不能用于计算功率和能量，因为功率和能量是电压和电流的二次函数。(3)应用叠加定理计算某一个激励单独作用的响应分量时，其他激励置零是指将其他独立电压源短路，独立电流源开路;也就是说，去除电源意味着将该电源的参数置零。(4)叠加时只对独立电源产生的响应叠加，受控源在每个独立电源单独作用时都应在相应的电路中保留。(5)响应叠加是代数相加，应注意每个响应的方向。上一页下一页返回5.3

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例5一1如图5一2所示电路，已知Us=-10V,Is=4A,R1=6Ω，R2=4Ω用叠加定理求R,两端电压U。解:(1)U电压源单独作用，I电流源开路U‘=4(v）(2)Is电流源单独作用，Us电压源短路u"=一4x2.4=一9.6(V)共同作用u=u"+u“’=4+(一9.6)=一5.6(V)例5-2电路如图5一3(a)所示，其中CCVS的电压受流过6Ω电阻的电流控制。求电压U3。解:按叠加定理，作出10V电压源和4A电流源分别作用的分电路，见图(b)和(c)。受控源均保留在分电路中。上一页下一页返回5.3

教学内容在图(c)中有上一页下一页返回5.3

教学内容所以5.3.2置换定理学习目标:了解置换定理以及它的性质。置换定理也称替代定理，是一个应用范围颇为广泛的定理，它不仅适用于线性电路，也适用于非线性电路。用于对电路进行简化，使电路易于分析和计算。

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教学内容置换定理可陈述为:在任一电路中，第k条支路的电压和电流为已知的Uk和Ik

，则不管该支路原为什么元件，总可以用以下三个元件中任一个元件置换，置换前后电路各处电流、电压不变1)电压值为Uk、且方向与原支路电压方向一致的理想电压源;2)电流值为Ik

、且方向与原支路电流方向一致的理想电流源;(3)电阻值为Uk/Ik

的电阻元件。即如图5一4所示)上一页下一页返回5.3

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图5-5所示为替代定理应用的实例。图(a)中，可求得U3=8V,I3=1A.现将支路3分别以Us=U3=-8V的电压源或is=i3=1A的电流源替代，如图5-5(b)或(c)所示，不难求得，在图5-5(a},(b},)中，其他部分的电压和电流均保持不变，即it=-2A,i2=1A.

在应用置换定理时应注意以下Ω点:1)置换定理适用于任意集总参数网络，无论网络是线性的还是非线性的，时变的还是非时变的。上一页下一页返回5.3

教学内容(2)“置换”与“等效变换”是两个不同的概念，“置换”是用独立电压源或电流源置换已知电压或电流的支路，而“等效变换”是两个具有相同端口伏安特性的电路间的相互转换。(3)不仅可以用独立电压源或电流源置换已知电压或电流的支路，而且可以置换已知端口电压或端口电流的二端网络。5.3.3戴维南定理学习目标:熟练掌握戴维南定理以及它的应用。1.单口网络上一页下一页返回5.3

教学内容

所谓单口网络是指一个网络对外引出两个端钮构成一个端口，此网络及其对外引出的一个端口共同成为单口网络。对于一个不含独立电源、仅含电阻和受控源的单口网络，其端口输入电压和输入电流的比值为一个常量，这个比值就定义为该单口网络的输入电阻或等效电阻。所以这类单口网络可以用一个电阻支路等效置换。对于一个既含独立电源又含电阻和受控源的单口网络，它的等效电路是什么?戴维南定理和诺顿定理将回答这个问题。2.戴维南定理上一页下一页返回5.3

教学内容戴维南定理可陈述为:一个含独立电源、线性电阻和受控源的单口网络，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效置换，此电压源的电压等于单口网络的开路电压，电阻等于单口网络的全部独立电源置零后的输入电阻。戴维南定理可以证明如下:图5-6(a)中N为含独立电源的单口网络，设外电路为电阻Ro，根据替代定理，用Is=i的电流源替代电阻R0，替代后的电路如图5-6(b)所示。应用叠加定理，所得分电路如图(c)和(d)所示。在图(c)中，当网络内部电源作用，外部电流源去掉(开路)时的端电压，即u’=uac在图(d)中，外部电流源独立作用，网络内部独立电源置零(电压源短路，电流源开路)，此时N成为No受控源仍保留在N0中)。上一页下一页返回5.3

教学内容此时的端口电压为u“=一Rml，其中Rm为从端口看人的N。的等效电阻。按叠加定理，端口1一1’间的电压u应为根据上式画出电路如图5-6(e)(戴维南等效电路)所示，正好是一个电压源串联电阻支路，电压源的电压等于含独立源单口网络的开路电压。.二串联电阻等于将N网络内部所有独立电源置零后的得到的N。网络从端口看进去得到的电阻R，戴维南定理得证。上一页下一页返回5.3

教学内容由以上证明过程可知，戴维南定理的应用主要是求含独立电源的单口网络的两个参数:UabR0，下面介绍这两个参数的求法。

Uab求法:(1)去除外电路，求N网络的开路电压Uab(2)采用测量的方法求的UabR0，的求法:(1)求ab端口短路电流，Iac,R0=Uab/Iac,

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教学内容(2)去除N网络(不含受控源时)内部的独立电源，用丫一△变换等办法计算从ab端口看进去的等效电阻R0.(3}去除N网络内部的独立电源，在ab端口处加电压源u(电流源i)，求端口处电流I(电压明，则R0=u/i

例5一3图5一7所示电路中，已知Us1=40V，Us2=40V，R1=4，R2=2Ω，R3=5Ω，R4=10Ω，R5=8Ω,R6=2Ω，求通过R:的电流i:。解:(1)首先应用戴维南定理把左方(Us1，R1)支路和(Us2,R2)支路组成的单口网络[如图5-8(a)〕用戴维南等效电路置换，如图5-8(b)所示。其中上一页下一页返回5.3

教学内容(2)其次，求电阻R4:R5和R6。组成的右方单口网络的等效电阻Rcd.上一页下一页返回5.3

教学内容例5一4求如图5一9所示电路的戴维南等效电路。解:将受控电流源作电源变换如图5-9(b)所示，由此求开路电压求输入电阻R0，利用去掉内部独立电源，端口加电压u求端口电流的方法，如图5一9(c)所示，求得上一页下一页返回5.3

教学内容最后求得戴维南等效电路如图5一9(d)所示。5.3.4诺顿定理学习目标:熟悉诺顿定理以及诺顿等效电路诺顿定理可陈述为:一个含独立电源、线性电阻和受控源的单口网络，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合等效变换，电流源的电流等于该单口网络的短路电流，电导等于把该单口网络全部独立电源置零后的输入电导。此电流源和并联电导组合的电路称为诺顿等效电路。可见，对于线性单口网络，戴维南等效电路与诺顿等效电路之间，满足电源变换的要求。如图5一10所示。诺顿等效电路的短路电流和内电导的求取办法类似于戴维南电路。上一页下一页返回5.3

教学内容例5-5求图5一11(a)所示一端口电路的诺顿等效电路。解:由图5一11(a)可知，求Iac和Rm比较容易。当a一b短路时，有把一端口内部独立电源置零后，可以求得Rea

，它等于3个电阻的并联，即有诺顿等效电路如图5一11(b)。上一页下一页返回5.3

教学内容5.3.5最大功率传输定理学习目标:掌握最大功率传输定理以及二端网络的等效电路和应用。路中，在电源给定的情况下，负载不同，电源传输给负载的功率也不同。在什么条件下，负载才能获得最大功率?这就是最大功率传输问题。1.负载获得最大功率的条件研究负载的电压、电流、功率等问题，可以通过戴维南定理来分析。负载连接的线性含源二端网络可用戴维南等效电路等效，如图5一12(

a)、(b)所示。上一页下一页返回5.3

教学内容

图(b)为图(a)的等效电路。Uac是含源二端网络的开路电压，Ri是含源二端网络的等效电阻。Uac

。Ri均是常数，Rl可调节。负载获得的功率为负载功率pl的大小仅取决于负载电阻Rl

。根据数学极值问题，负载功率pl为最大时，有解之得上一页下一页返回5.3

教学内容当RL=RI时，负载获得的功率PL最大。电路的最大功率传输定理:当含源二端网络的开路电压Uac和等效电阻Ri为常数时，若负载电阻y与等效电阻R相等，负载能从电源获得最大功RL=Ri是负载获得最大功率的条件，也称为功率匹配。在功率匹配时，负载获得的最大功率为上一页下一页返回5.3

教学内容负载获得最大功率时，功率的传输效率为例5一6电路如图5一13所示，R1=R2=10Ω,US=20V，已知负载电阻RL可调，试问RL为何值时获得最大功率?负载获得的最大功率是多少?解:(1)求开路电压Uac。断开负载后，R2两端电压即为开路电压Uac(2)求等效电阻Ri。由图可得上一页下一页返回5.3

教学内容(3)求最大功率。根据Uac和Ri作出等效电路，如图(b)所示。当RL=R1=5Ω时，负载获得最大功率，其值为上一页下一页返回5.3

教学内容5.3.6互易定理学习目标:了解互易定理以及互易定理的应用。互易定理可简单的陈述为:在线性无任何电源(独立源和受控源)的传输网络中，当网络的响应和激励的位置互换时，网络对相同激励的响应不变。互易定理说明了线性无源网络传输信号的双向性或可逆性，即从甲方向乙方传输的效果与从乙方向甲方传输的效果相同。互易定理的形式有三种。上一页下一页返回5.3

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形式一:在图5一14所示电路中示出了互易定理的第一种形式(N为仅由电阻组成的线性电阻电路)，图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电压源)与响应(电流)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。当激励Us1=Us2时，则I1=I2。形式二:在图5一15所示电路中示出了互易原理的第二种形式，图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电流源)与响应(电压)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。当激励Is1=Is2时，则U2=U1.上一页下一页返回5.3

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形式三:在图5一16所示电路中示出了互易原理的第三种形式，图示说明对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励与响应的位置，且把原电压激励改换为电流激励，把原电压响应改换为电流响应，则互易位置前后响应与激励的比值仍然保持不变。如果在数值上Us1=Us2时，则U2=I1.例5-7电路如图5一17(a)所示，试求电流I.

解:原电路为一不平衡桥式电路，但为仅有一个独立源单独作用的线性电阻电路，可使用互易定理进行分析。互易后的电路如图s一m(})所示。此时应注意互易前后对应支路上的电压电流的参考方向必须同时关联或非关联。在图(b)中可以求得上一页下一页返回5.3

教学内容根据分流公式由KCL可得上一页下一页返回5.3

教学内容所以原电路中所求电流互易性是线性无源网络的一个重要性质，在分析网络的传输特性以及接收天线的方向性等方面要经常用到，在电路的计算方面也有用处，该定理的使用范围较窄，只能用于不含受控源的单个独立源激励的线性网络，对其他的网络一般不使用。上一页返回本章小结1.叠加定理可陈述为:对于线性电路，任一瞬间，任一处的电流或电压响应恒等于各个独立电源单独作用时在该处产生的响应的叠加。在应用叠加定理时应注意以下几点:(1)叠加定理只适用于线性电路。(2)叠加定理只能用于计算线性电路的电压和电流，而不能用于计算功率和能量，因为功率和能量是电压和电流的二次函数。(3)应用叠加定理计算某一个激励单独作用的响应分量时，其他激励置零是指将其他独立电压源短路，独立电流源开路;也就是说去除电源意味着将该电源的参数置零。下一页返回本章小结(4)叠加时只对独立电源产生的响应叠加，受控源在每个独立电源单独作用时都应在相应的电路中保留。(5)响应叠加是代数相加，应注意每个响应的方向。2.置换定理可陈述为:在任一电路中，第k条支路的电压和电流为已知的IJ、和I,,，则不管该支路原为什么元件，总可以用以下三个元件中任一个元件置换，置换前后电路各处电流、电压不变。(1)电压值为Uk、且方向与原支路电压方向一致的理想电压源;(2)电流值为Ik、且方向与原支路电流方向一致的理想电流源;(3)电阻值为U1/Ik的电阻元件。上一页下一页返回本章小结3.戴维南定理可陈述为:一个含独立电源、线性电阻和受控源的单口网络，对外电路来说，可以用一个电压源和电阻的串联组合等效置换，此电压源的电压等于单口网络的开路电压，电阻等于单口网络的全部独立电源置零后的输入电阻。戴维南定理的应用主要是求含独立电源的单口网络的两个参数:Uac和R0Uac泊勺求法:(1)去除外电路，求N网络的开路电压Uac.(2)采用测量的方法求的Uac.R0的求法:上一页下一页返回本章小结(1)求a1端口短路电流Iac，得R1=Uac/Iac(2)去除N网络(不含受控源时)内部的独立电源，用丫一△变换等办法计算从a1端口看进去的等效电阻R0;(3)去除N网络内部的独立电源在ab端口处加电压源u(电流源I)，求端口处电流I(电压U)，则R0=U/I。

4.诺顿定理可陈述为:一个含独立电源、线性电阻和受控源的单口网络，对外电路来说，可以用一个电流源和电导的并联组合等效变换，电流源的电流等于该单口网络的短路电流，电导等于把该单口网络全部独立电源置零后的输入电导。此电流源和并联电导组合的电路称为诺顿等效电路。上一页下一页返回本章小结

可见，对于线性单口网络，戴维南等效电路与诺顿等效电路之间，满足电源变换的要求。诺顿等效电路的短路电流和内电导的求取办法类似于戴维南电路。5.电路的最大功率传输定理:当含源二端网络的开路电压Uac,和等效电阻R为常数时，若负载电阻RL与等效电阻Ri相等，负载能从电源获得最大功率。RL=Ri是负载获得最大功率的条件，也称为功率匹配。在功率匹配时，负载获得的最大功率为上一页下一页返回本章小结6.互易定理可简单的陈述为:在线性无任何电源(独立源和受控源)的传输网络中，当网络的响应和激励的位置互换时，网络对相同激励的响应不变。互易定理的形式有三种。形式一:对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电压源)与响应(电流)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。形式二:对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励(电流源)与响应(电压)的位置，其响应与激励的比值仍然保持不变。形式三:对于不含受控源的单一激励的线性电阻电路，互易激励与响应的位置，且把原电压激励改换为电流激励，把原电压响应改换为电流响应，则互易位置前后响应与激励的比值仍然保持不变。上一页返回习题5一1电路如图5一18所示，欲使I=0，试用叠加定理确定电流源IS之值。5-2试用叠加定理如图5一19所示电路中的电压U和电流I.5-3试用齐性定理如图5-20所示电路中电流I.5-4电路如图5-21所示。其中戈，为无源网络。已知当US=10V,Is=0时，测得U=10V;US=0,Is=1A时，测得U=20V.试求当,US=20V,Is=3A时，U为多少?5-5求如图5-22所示电路的戴维南等效电路。5一6如图5-23所示电路中，U=5V.试问电阻R为多少?5-7测得一个有源二端网络的开路电压为10V,短路电流为0.5A。如图5-24所示，现将R=30Ω的电阻接到该网络上，试求R的电压、电流。5一8试用戴维南定理求图5-25所示电路中的电流to下一页返回习题5-9试用戴维南定理求图5-26所示电路中的电流to5一10电路如图5-27所示。试用:(1)戴维南定理;(2)诺顿定理，计算电流I.5一11试用戴维南定理求图5-28所示电路中的电压从5一12如图5一29所示电路中，问:(1)电阻R为何值时获得最大功率;(2)原电路中功率传输效率n(n=R)获得的功率/电源产生的功率);(3)戴维南等效电路中功率传输效率。

5一13电路如图5一30所示，负载RL为何值时能获得最大功率?最大功率是多少?上一页下一页返回习题5一14如图5一31所示N、仅由线性电阻组成，已知当US=6V、R2=Ω时，Is=2A,U2=2V;当。