《电路基础》-34教学材料

3.1引言电阻电路指的是由线性电阻、独立电源和受控电源构成的电路。当电源是直流电源时，电路中各处的电流和电压是常数，该电路为直流电路，先对电阻电路进行分析，一方面是较为简单，且许多实际电路可看做是电阻电路;另一方面它是学习交流电路和动态电路的基础。本章集中讨论分析电阻电路的等效变换法，即是用等效变换的方法尽可能的简化原电路，从而达到分析电路或求解电路响应的目的。涉及的方法包括串、并联等效变换、Y一△等效变换、电源的等效变换。下一页返回3.1引言

如果构成电路的无源元件均为线性电阻，则称为线性电阻性电路(或简称电阻电路)。本书第3、第4、第5章介绍电阻电路的分析。电路中电压源的电压或电流源的电流，可以是直流，也可以随时间按某种规律变化;当电路中的独立电源都是直流电源时，这类电路简称为直流电路。等效变换法是电路分析中十分重要的方法，它不仅可以较方便的求解电路响应，还有助于分析各元件参数变化时对电路的影响，本章涉及若干电路分析的基本概念，这些概念贯穿全书。上一页返回3.2知识结构和教学要求1.知识结构电路分析的等效变换法:(1)串、并联等效;(2)Y一△等效变换;(3)电源的等效变换;(4)输入电阻。2.教学要求下一页返回3.2知识结构和教学要求(1)理解元件串联、并联的概念并掌握其判别方法;(2)掌握串联电路的等效电阻的计算和分压关系;(3)掌握并联电路等效电导的计算和分流关系;(4)掌握串、并联电路的简化方法;(5)理解电阻的星形联结与三角形联结之间对外等效的条件;(6)掌握实际电压源与实际电流源之间的等效变换的方法;(7)理解受控源的定义并了解其等效变换方法。上一页返回3.3

教学内容3.3.1电阻的串联、并联及其等效变换学习目标:掌握电阻串并联的定义以及等效变换的计算方法、公式一、电阻的串联图3一1(a)所示电路为n个电阻R1

、R2

、…、Rk…、Rn,的串联组合，电阻串联时，每个电阻中的电流为同一电流。应用KVL，有u=U1+U2+

U3+…+

U4+…Un下一页返回3.3

教学内容由于每个电阻的电流均为。U1=R1i，代入上式，得有U2=R2i,U3=R3I,Ui=RiI,Un=Rni代入上式，得电阻Rm是这些串联电阻的等效电阻。显然，等效电阻必大于任一个串联电阻。电阻串联时，各电阻上的电压为上一页下一页返回3.3

教学内容可见，串联的每个电阻，其电压与电阻值成正比。或者说，总电压根据各个串联电阻的值进行分配。式(3一2)称为电压分配公式，或称分压公式。二、电阻的并联图3-2(a)示出了n个电阻的并联组合，电阻并联时，各电阻的电压为同一电压。由于电压相等，总电流I可根据KCL写作上一页下一页返回3.3

教学内容式中，G1,G2…..Gn为电阻R1，

R2，

…Rn，的电导，而Gm是n个电阻并联后的等效电导。并联后的等效电阻Rm见图3一2(b)〕为上一页下一页返回3.3

教学内容不难看出，等效电阻小于任一个并联的电阻。电阻并联时，各电阻中的电流为可见，各个并联电阻中的电流与它们各自的电导值成正比。上式称为电流分配公式，或称分流公式。当n=2时，即两个电阻的并联，如图3一3所示，等效电阻为上一页下一页返回3.3

教学内容两并联电阻的电流分别为上一页下一页返回3.3

教学内容例3一1图3一4所示电路中，Is=16.5mA,RS=2kΩ,R1=40kΩ,R2=10kΩ,R3=25kΩ，求I1

、I2和I3.解:R不影响R1,

R2,

R3中电流的分配。现在按电流分配公式，有上一页下一页返回3.3

教学内容三、电阻的混联当电阻的连接中既有串联又有并联时，称为电阻的串、并联，或简称混联。图3一5(a),

(b)所求电路均为混联电路。在图3-5(a)中，R3与R4串联后与R2并联，再与R1

串联。故有对于图3-5(b)中电路，读者可自行求得Rm=12Ω上一页下一页返回3.3

教学内容3.3.2电阻的Y形连接和△形连接的等效变换学习目标:熟悉电阻Y一△之间的等效变换及计算方法

图3一6所示是一种具有桥形结构的电路，它是测量中常用的一种电桥电路，其中的电阻既非串联又非并联。R1,R3和R5构成一个Y形连接(或星形连接);电阻R1,R2和R5构成一个△形连接(或三角形连接)。在Y形连接中，各个电阻都有一端接在一个公共节点上，另一端则分别接到3个端子上;在△形连接中，各个电阻分别接在3个端子的每两个之间。上一页下一页返回3.3

教学内容Y形连接和△形连接都是通过3个端子与外部相连。图3一7(a)、(b)分别示出接于端子1,2,3的Y形连接和△形连接的3个电阻。端子1,2,3与电路的其他部分相连，图中没有画出电路的其他部分。当两种连接的电阻之间满足一定关系时，它们在端子1,2,3以外的特性可以相同，就是说它们可以互相等效变换。如果在它们的对应端子之间具有相同的电压“U12"U23和U31，而流入对应端子的电流分别相等，即I1=I1’,I2=I2’,I3=I3’在这种条件下，它们彼此等效。这就是Y一△等效变换的条件。’对于△连接电路，各电阻中电流为上一页下一页返回3.3

教学内容根据KCL，端子电流分别为对于Y连接电路，应根据KCL和KVL求出各端子电压与电流之间的关系，方程为上一页下一页返回3.3

教学内容可以解出各电流由于不论。U12，

U23，

U31，为何值，两个等效电路的对应的端子电流均相等，故式(3-5)与式(3一6)中电压。U12，

U23和

U31前面的系数应该对应地相等。于是得到上一页下一页返回3.3

教学内容式(3-7)就是根据Y连接的电阻确定△连接的电阻的公式。将式(3一7)中三式相加，并在右方通分可得上一页下一页返回3.3

教学内容代入R1R2+

R2R3+

R3R1=R12R3=R31R2就可得到R，的表达式。同理可求得}2和y，于是得到式(3一8)就是根据△连接的电阻确定Y连接的电阻的公式。为了便于记忆，以上互换公式可归纳为:上一页下一页返回3.3

教学内容注意这些公式的量纲和端子1、2,3的互换性有助于记忆。若Y连接中3个电阻相等，即R1=R2=R3=RY

，则等效△连接中3个电阻也相等，它们等于上一页下一页返回3.3

教学内容式(3-7)、式(3一8)也可用电导表示，例如式(3-7)可写成上一页下一页返回3.3

教学内容3.3.3电压源、电流源的串联、并联及其等效变换学习目标:掌握电压源与电流源的串并联的连接方式及其相互之间的转换计算一、理想电源的串并联及其等效变换图3一8(a)为n个电压源的串联，可以用一个电压源等效替代，如图3-8(b)所示，这个等效电压源的电压为上一页下一页返回3.3

教学内容

如果Usk的参考方向与图(b)中u,的参考方向一致时，式中伙、的前面取“+”号，不一致时取“”号。图3一9(a)为n个电流源的并联，可以用一个电流源等效替代。等效电流源的电流为如果Isk、的参考方向与图(b)中Is的参考方向一致时，式中L、的前面取“+”号;不一致时取“一”号。上一页下一页返回3.3

教学内容

只有电压相等极性一致的电压源才允许并联，否则违背KVL。其等效电路为其中任一电压源，但是这个并联组合向外部提供的电流在各个电压源之间如何分配则无法确定。只有电流相等且方向一致的电流源才允许串联，否则违背KCL。其等效电路为其中任一电流源，但是这个串联组合的总电压如何在各个电流源之间分配则无法确定。二、实际电源的两种模型及其等效变换上一页下一页返回3.3

教学内容图3一10(a)所示为一个实际直流电源，例如一个电池;图(b)是它的输出电压;‘与输出电流L的伏安特性。可见电压;‘随电流L增大而减少，而且不成线性关系。电流L不可超过一定的限值，否则会导致电源损坏。不过在一段范围内电压和电流的关系近似为直线。如果把这一条直线加以延长，如图3一10(c)所示，可以看出，它在u轴和i轴上各有一个交点，前者相当于i=0时的电压，即开路电压Uac;后者相当于u=0时的电流，即短路电流Isc。根据此伏安特性，可以用电压源和电阻的串联组合或电流源和电导的并联组合作为实际电源的电路模型。上一页下一页返回3.3

教学内容

图3一11(a)所示为电压源。和电阻R的串联组合，在端子1一1’处的电压与(输出)电流i(外电路在图中没有画出)的关系为图3一11(c)所示为电流源i与电导‘的并联组合，在端子1一1’处的电压与(输出)电流i的关系为如果令上一页下一页返回3.3

教学内容式(3-9)和式(3一10)所示的两个方程将完全相同，也就是在端子1一1’处的u和i的关系将完全相同。式(3一11)就是这两种组合彼此对外等效必须满足的条件(注意U1和Is的参考方向，Is的参考方向由u的负极指向正极)。当1=0时，端子1一1‘处的电压为开路电压Uab，而Uab=Us当u=0时，i为把端子1一1‘短路后的短路电流Iab，而Iab=Is。同时有Uab=RIac或Iac=GUaC。图3一11(b)和(d)分别示出当u和i，为直流电压源II和直流电流源1时在i一平面上的伏安特性，它们都是一条直线。当式(3-11)的条件满足时，它们将是同一条直线。这种等效变换仅保证端子1一1‘外部电路的电压、电流和功率相同(即只是对外部等效)，对内部并无等效可言。上一页下一页返回3.3

教学内容例如，端子1-1‘开路时，两电路对外均不发出功率，但此时电压源发出的功率为零，电流源发出功率I2

S/G反之，短路日寸，电压源发出白勺功率为U2

S/G，电流源发出白勺功率为零。例3-2求图3一12(a)所示电路中电流i.解：图3一12(a)电路可简化为图(d)所示单回路电路。简化过程如图(b)、(c)、(d)所示。由化简后的电路可求得电流为上一页下一页返回3.3

教学内容

受控电压源、电阻的串联组合和受控电流源、电导的并联组合也可以用上述方法进行变换。此时应把受控电源当做独立电源处理，但应注意在变换过程中保存控制量所在支路，而不要把它消掉。例3-3图3一13(a)所示电路中，已知Us=12V,R=2ΩVCCS的电流Ic受电阻R上的电压UR。控制，且iIc=gUg，g=2S.求Ug。解:利用等效变换，把电压控制电流源和电导的并联组合变换为电压控制电压源和电阻的串联组合，如图3一13(b)所示，其中Uc=RIc=2×2×Ug,而UR=Ri。按KVL，有上一页下一页返回3.3

教学内容3.3.4输入电阻学习目标:掌握输入电阻的定义，并学会其计算方法电路或网络的一个端口是它向外引出的一对端子，这对端子可以与外部电源或其他电路相连接。对一个端口来说，从它的一个端子流入的电流一定等于从另一个端子流出的电流。这种具有向外引出一对端子的电路或网络称为一端口(网络)或二端网络。图3一14(a)所示是一个一端口的图形表示。上一页下一页返回3.3

教学内容如果一个一端口内部仅含电阻，则应用电阻的串、并联和Y一△变换等方法，可以求得它的等效电阻。如果一端口内部除电阻以外还含有受控源，但不含任何独立电源，可以证明，不论内部如何复杂，端口电压与端口电流成正比〔图3一14(a)，因此，定义此一端口的输入电阻Rm为端口的输入电阻也就是端口的等效电阻，但两者的含义有区别。求端口等效电阻的一般方法称为电压、电流法，即在端口加以电压源。，然后求出端口电流七或在端口加以电流源i，然后求出端口电压。。根据式(3-12),Rm=u/i测量一个申阻器的申阻就可以采用这种方法。上一页下一页返回3.3

教学内容

图3一14(b)中一端口的输入电阻可通过电阻串、并联化简求得，图(y电路具有桥形结构，应用Y一△变换才能简化，也可以用电压、电流法求此两图的输入电阻，如图3一14(b),(c)所示。例3-4求图3一15(a)所示一端口的输入电阻。解:在端口1一1’处加电压。，求出i，再由式(3一12)求输入电阻R将CCCS和电阻R,的并联组合等效变换为CCVS和电阻的串联组合，如图(b)所示。根据KVL，有上一页下一页返回3.3

教学内容再由KCL，I1=I–I2=I--U1/

R1代入上式整理后，有上式分子中有负号出现，因此，在一定的参数条件下，有可能是零可能是负值。例如，当R1=

R2=1Ω，R3=2Ω,a=5时Rm=5Ω。本例中一端口向外发出功率是由于受控源发出功率。上一页返回本章小结1.对电路进行等效变换的目的是简化电路分析，掌握电路本质的手段。

2.各种等效变换，“等效”是对外部电路等效。3.利用串、并联简化和Y一△等效变换，可求得仅由电阻构成的单口网络的等效电阻。4.实际电压源模型与实际电流源模型之间可以进行等效互换。互换前后，对外部电路是等效的，内部并不等效。5.电源的等效变换是简化电路的一个十分有用的方法。返回习题3一1电路如图3一16所示，已知U1=100V,R12=8kΩ。若:(1)R3=

8kΩ;(2)R3=∞;(3)R3=0(R3处开路处短路)。试求以上3种情况下电压U2和电流I2、I33-2电路如图3一17所示，其中电阻、电压源和电流源均为已知，且为正值。求:(1)电压U2和电流I2;(2)若电阻R，增大，对哪些元件的电压、电流有影响?影响如何?3一3电路如图3一18所示。(1)求Uo/

Us(2)当时Uo/

Us

可近似为此时引起的相对误差为下一页返回习题当R1为(R1//R2)的100倍时，分别计算此相对误差。

3-4在图3一19(a)中，Us1=45VUs2=20V,Us4=20V,Us5=50V;R1=R3-15SL,R2=20S2,R4=50S2,R5=8S2;在图(b)中Us1=20V,Us5=30V，Is4=