【机构秘籍】小学奥数题库《数论》整除-整除的基本概念-2星题（含解析）全国版

数论-整除-整除的基本概念-2星题

课程目标

知识点考试要求具体要求考察频率

整除的基本概念A1、了解整除的定义。少考

2、会判定一个数能不能被另一个数

整除。

知识提要

整除的基本概念

•定义

如果整数a除以整数b(bHO),除得的商是整数且没有余数，我们就说a能被b整除，

也可以说b能整除a，记作％|Q.

注意：如果除得的结果有余数，我们就说Q不能被匕整除，也可以说匕不能整除a.

•整除的性质

性质I：如果Q、6都能被c整除，那么它们的和与差也能被c整除。

性质2：如果b与c的积能整除。,那么b与c都能整除Q。

性质3：如果b、c都能整除Q，且b和c互质，那么力与c的积

能整除ao

性质4：如果c能整除b，b能整除a,那么。能整除ao

精选例题

整除的基本概念

1.若六位数201a六能被11和13整除，则两位数正=.

【答案】48

【分析】由11的整除特征可知：

（7+。+0）—（2+1+匕）=。+4—勃=0或11,

若

a+4-/?=11,

a-b=7,

只有

8—1=9-2=7,

六位数201817、201927都不能被13整除.

若

a4-4—h=0,

则

a+4=b,

只有0+4=4,1+4=5,2+4=6,3+4=7,4+4=8,5+4=9等情况，构成的六

位数201047,201157,201267,201377,201487,201597中只有201487能被13整除，

则ab=48.

2.再过12天就到2016年了，昊昊感慨地说：找到目前只经过2个闰年，并且我出生的年份

是9的倍数，那么2016年昊昊是岁.

【答案】9

【分析】根据题意“我到目前只经过2个闰年”可得我的出生年份在20052008,这之间只有

2007是9的倍数，则昊昊是2007年出生，则2016年昊昊是2016-2007=9岁.

3.在3和5之间插入6、30、20这三个数，得到3、6、30、20、5这样一串数.其中每相邻

两个数的和可以整除它们的积（例如，3+6=9,9可以整除3x6；再如，6+30=36,36

可以整除6x30）.

请你在4与3这两数之间的三个空中各填入一个非零的整数，使得其中每相翎两个数的和可以

整除它们的积.

4、、、、3

【答案】4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3

【分析】设4,a,b,c,3成立，则萨=九,誓=7小（m、九）是非零整数.

4+Q3+C

由倒数的意义可知：

®—=贝IJ±+，-=L,-+-=-=--

4xan4xa4xana4nan4

工>；，则n=3,n=2.

n4

当九=3,泻十沙=12；

当n=2,-=---=-,a=4.

a244

②F=_L,则六+9=二，14-1=1,1=1-1

3xcm3xc3xcmc3mcm3

—>贝！Jm=2,当m=2时，-=---=c=6.

m3c236

③设则£1^=；,可得2,+：=：,：=J一;，k可取（2、3、4、5）.

c+bcxbkcbkbk6

当k=2时，=I，b=3：

0263

k=3时，7=---=b=6；

0366

A=4时，-=---=5=12；

b4612

k=5时，；=：-；=《，5=30.

b5630

经检验有下面的三组解:4,4,12,6,3；4,12,12,6,3；4,12,6,6,3.

4.给定一个除数（不为0）与被除数，总可以找到一个商与一个余数，满足

被除数=除数x商+余数

其中，04余数V除数.这就是带余数的除法.当余数为0时，也称除数整除被除数，或者

称除数是被除数的因数（被除数是除数的倍数）。

不超过988000并且能够被49整除的大于1的自然数共有个.

【答案】20163

【分析】

988000+49=20163……13

所以，满足要求的数分别是49的1〜20163倍，共20163个.

5.一个电子钟表上总把日期显示为八位数，如2011年1月1日显示为2011010L如果

2011年最后一个能被101整除的日子是201L4BC。,那么2011/18CD是多少?

【答案】20111221

【分析】试除法得出答案：201112314-101=199121……10,31-10=21,所以

ABCD=1221.

6.在1、2、3、4…2007这2007个数中有多少个自然数Q能使2008+a能被2007-a整除.

【答案】7

【分析】要使得2008+a能被2007-a整除，我们可以将条件等价的转化为只要让给

是一个整数即可.卜面是一个比较难的技巧，我们知道若a可以使得翳誓是一个整数，那

2008+a,d2008+a+2007-a4015

么Q也同样可以使得——--F1=----——-----=———是一个整数，这样只要2007—q是

2007-a2007-a2007-a

4015的约数即可，将4015分解可知其共有8个因数，其中4015是最大的一个，但是显然没

有可以让2007等于4015的a的值，其余的7个均可以有对应的a的值，所以满足条件

的a的取值共有7个.

7.若4b+2c+d=32,试问旃能否被8整除？请说明理由.

【答案】见解析.

【”】由能被8整除的特征知，只要后三位数能被8整除即可.放=100b+10c+d,

有硒一(4h+2c+d)=96b4-8c=8(126+c)能被8整除，而4b+2c+d=32也能被8

整除，所以丽能被8整除.

g.l至9这9个数字,按图所示的次序排成一个圆圈.请你在某两个数字之间剪开,分别按

顺时针和逆时针次序形成两个九位数(例如，在1和7之间剪开，得到两个数是193426857

和758624391).如果要求剪开后所得到的两个九位数的差能被396整除，那么剪开处左右

两个数字的乘积是多少？

【答案】27,8,12,48,35,9

【分析】互为反序的两个九位数的差，一定能被99整除.而396=99x4,所以我们只用

考察它能否能被4整除.于是只用观察原序数、反序数的末两位数字的差能否被4整除，显然

只有当剪开处两个数的奇偶性相同时才有可能.注意图中的具体数字，有(3,4)处、18,

5)处的两个数字奇偶性均不相同，所以一定不满足.而剩下的几个位置奇偶性相同，有可能

满足.进一步验证，有(9,3)处剪开的末两位数字之差为43-19=24,(4,2),(2,

6),(6,8),(5,7),(7,1),(1,9)处剪开的末两位数字之差为62-3=

28.86-42=44,58-26=32,85-17=68,91-57=34,71-39=32.所以从(9,

3),(4,2),(2,6),(6,8),(5,7),(1,9)处剪开，所得的两个互为反序的

九位数的差才是396的倍数.(9,3),(4,2),(2,6),(6,8),(5,7)；(1,

9)处左右两个数的乘积为27,8,12,48,35,9.

9.六位数20团团08能被99整除，团团是多少？

【答案】71

【分析】方法一：200008被99除商2020余28,所以丽丽+28能被99整除，商72时,

99x72=7128,末两位是28,所以团团为71；

方法二：99=9X11,20时08能被99整除,所以各位数字之和为9的倍数，所以方框中数

字的和只能为8或17；又根据数被11整除的性质，方框中两数字的差为6或5,可得团团是

71.

10.请找出符合下列性质的四位数：

（1）它是一个平方数；（2）开始两位的数字要相同：（3）最末两位的数字要相同.

【答案】7744

【分析】设四位数为QQ^b.因Qabb=1000a+100a+108+b=11xaOb,要是完

全平方数，则池能被质数11整除，故Q+》=11,9只能是902,803,704,605,506,

407,308,209.

由于痂被11除的商必须是完全平方数，只有704符合.此时a=7,b=4,故所

求的数为7