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北京大学自主招生数学试题

布+1

1求证：边长为1的正五边形对角线长为

~~2~

略解：

三角形ABEs三角形DAE

x1一工

7~

则…二避二1

2

对角线AC=l+x=^/

2

2已知六边形AGMiCS中ACI=ABI,BCI=BAI,CA1=CBI,ZA+ZB+ZC=ZA1+ZBI+ZCI

求证面积是六边形AGBACS的二分之一

略解：如图得证

3已知

4+%+/=4+油+83

aa

a}a2+。2。3+3\=b®+b力台+次乙

min（O],%吗）4min（4也也）

求证：max（q,出吗）《max（4,b2也）

4排球单循坏赛南方球队比北方球队多9支南方球队总得分是北方球队的9倍求证冠

军是一支南方球队（胜得1分败得。分）

解：设北方球队共有x支，则南方球队有x+9支

所有球队总得分为C：9=（2「卜9；21+8）=（2.+9）（.+4）

南方球队总得分为2（2X+9）（2»8）=9（X+9）（X+4）

10210

(2x+9)(x+4)

北方球队总得分为

1()

南方球队内部比赛总得分C；9

北方球队内部比赛总得分c；

（2x+9）（x+4）Nx-1）之0

102

解得：一鼻""回<3=9

333

由于（2工+9）（，+4）为整数

10

x=6或x=8

当x=6时

所有球队总得分为CM=⑵+9,+8）=（2X+9）*+4）=210

南方球队总得分为2（2/+9）（2"+8）=9（X+9）（X+4）=189

10210

北方球队总得分为（2，+9）（X+4）=21

10

南方球队内部比赛总得分C；9=105

北方球队内部比赛总得分C；=15

北方胜南方得分=21-15=6

北方球队最高得分=5+6=11

由于11X15=165<189

因此南方球队中至少有一支得分超过11分.

冠军在南方球队中

当x=8时

所有球队总得分为C，9=Q"+9：2"+8)=(2x+9)0+4)=300

南方球队总得分为2QX+9)(2X+8)=9(“+9)(“+4)=270

1()210

北方球队总得分为Q*+9)("4)=30

10

南方球队内部比赛总得分C；+9=136

北方球队内部比赛总得分C；=28

北方胜南方得分=30-28=2

北方球队最高得分=7+2=9

由于9X17=153v270

因此南方球队中至少有一支得分超过9分.

冠军在南方球队中

综上所述，冠军是一支南方球队

5(理科)O-XFZ坐标系内平面系内00>42-寸绕)，轴旋转

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