北师版八年级数学上册 第一章 勾股定理 知识归纳与题型突破（十一类题型清单）

第一章勾股定理知识归纳与题型突破（十一类题型清单）

01思维导图

02知识速记.

一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边小〃的平方和等于斜边c的平方:（即：a:+b2=c2）

二、勾股定理的逆定理

1

1.勾股定理的逆定理

如果三角形的三边长久b、C,满足那么这个三角形是直角三角形.

要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C；

（2）验证：与C?是否具有相等关系：

若/+〃=c2,则aABC是以NC为90。的直角三角形：

若/+/>/时，AABC是锐角三角形；

若。2+〃2<。2时・，z^ABC是钝角三角形.

2.勾股数

满足不定方程f+y2=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为总数或毕达哥拉斯数），显然，以不、外z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

要点：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（4、b、C）是勾股数，当t为正整数时，以“、初、C7为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为。、b、c,且那么存在/=〃+c成立.（例如④中存在7?=24+25、92=

40+41等）

三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

四、勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之」其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）解决与勾股定理有关的面积计算；

（4）勾股定理在实际生活中的应用.

03题型归纳

题型一用勾股定理解三角形

例题

1.若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8,则斜边长是（）

A.6B.7C.8D.10

巩固训练

2

2.在直角中，NB=90°,4?=3,AC=4,则8C的长为（）

A.5B.V7C.5或近D.5或6

3.如图，在RlZXABC中，ZA=90°,BC=2,则AC2+A8?+8C2的值为()

C.4D.2V2

4.如图所示，已知ABC中，A8=6,AC=9,A。工8c于。，M为A。上任一点，则MC?一加必等于

题型二勾股定理逆定理勾股数

例题

5.下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是（）

A.5,12,14B.6,8,9C.7,24,25D.8,13,15

巩固训练

6.由下列条件不能判定为直角三角形的是()

A.ZA+Z.C=Z.BB.〃=-,b=—,c=—

345

C.（b+a）（b-a）=c2D.ZA:ZB:ZC=5:3:2

7.在下列四组数中，属于勾股数的是（)

A.0.3,0.4,0.5B.3,4,5

C.2,8,10D.1,V2»>/3

8.下列各组数中，是勾股数的是（）.

A.1,2,3B.瓜2,5C.技近屈D.9,12,15

题型三勾股定理及其逆定理解三角形解答题

例题

9.(1)如图，在448c中，ADLBC,求证：AB2-AC2=BD--CD2;

(2)在4AAe中，A/6=X,AC'=5,AC边上的高AO=4,求边8c的值.

3

A

巩固训练

10.如图，已知等腰“8C的底边4c=25cm,。是腰A3上一点，连接CO,且C£)=24cm,BD=7cm.

⑴求证：二血是直角三角形；

(2)求A3的长.

11.如图，已知在/8C中，C£>_LA8于点。，4c=20,8c=15,04=9,

(1)求。C、4?的长；

(2)求证：八6C是直角三角形.

12.已知在Rl_A8C中，NAC8=90。，AC=9,AB=[5,80=5,过点D作_LAB于点方.

⑴求CO的长；

⑵求的长.

题型四勾股定理逆定理拓展性质

例题

13.下列由三条线段〃、〃、c构成的三角形：①4=2〃〃?，b=nr-n2»c=/n2+A?2(/Z/>/?>0),®a=2n+\,

b=2n2+2n+\,c=2〃?+2〃(〃>0),③a=3k,b=4k,c=5&(攵>0),④&：扬：G=1：有：2,其中能

构成直角三角形的有()

4

A.I个B.2个C.3个D.4个

巩固训练

14.以下四组代数式作为的三边:①3〃,4〃,5〃（〃为正整数）；②作〃+1,屋+2（〃为正整数）；③

21

+1〃为正整数）；©nr-n,2mn,nr+n（"?>〃，mf〃为正整数）.其中能使AABC

为直角三角形的有（）

A.0组B.1组C.2组D.3组

15.下列命题①如果以仪c为一组勾股数，那么4久4/人4。仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3,4,

那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、7,那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角

三角形的三边/b、c,（a>b=C），那么/：/"2=2:1:1,其中正确的是（）

A.①②B.（D@C.①④D.②④

题型五勾股定理与数轴上的实数

例题

16.如图，在数轴上点A表示的实数是（）

巩固训练

17.如图,OA=OB,

（1）写出数轴上点A表示的数；

（2）比较点A表示的数与-1.5的大小;

（3）在数轴上作出右所对应的点.

18.如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与

正半轴的交点为&且点8表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论.

-4-3-2-10

(1)点4表示的数为得出的结论是:与数轴上的点是一一对应的.

5

⑵若将图中数轴上标的4G。各点与所给的三个实数不，3和一乃对应起来，则点A表示的实数为

点C表示的实数为，点。表示的实数为

题型六网格问题

例题

19.如图，/8C的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，5。_1.4。于点。，则80的长为（）

巩固训练

20.如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）

21.如图所示，在4x4的正方形网格中，的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）

A.ZCft4=60°B.AB=5C.ZACB=90°D.BC=y/5

题型七以直角三角形三边为边长的面积问题

例题

22.如图，图中的三角形为直角三角形，已知正方形A和正方形3的面积分别为25和9,则正方形。的面

积为•

咨

C

6

巩固训练

23.如图，S\、S,、S3分别是以RtAABC的三边为直径所画半圆的面积,其中y=1（）兀，S?=6乃，则S「

24.如图，五个正方形放在直线MN上，正方形A、C、E的面积依次为3、5、4,则正方形以。的面积之

和为（）

A.IIB.14C.17D.20

25.如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形.若正方形A、

26.如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角

形，然后再以其直角边为边，分别向外正方形②和D，，…，依次类推，若正方形①的面积为64,则正方形

⑤的面积为（）

①

7

A.2B.4C.8D.16

题型八求线段的平方和或差

例题

27.已知a,b,。是“8c中NA,NB,NC的对边，下列说法正确的有（）个

2

①若NC=90°,则=°2；②若?B90?,则/+c=/；③若N4=90°,则〃+/=《/；④总有/+〃？=/.

A.1B.2C.3D.4

巩固训练

28.在RtZ^ABC中，斜边8c=2,则A82+AC2+BC2的值为（）

A.4B.6C.8D.无法计算

29.如图，一ABC中，ZBAC=90°，点A向上平移后到4,得到二H8C.下面说法错误的是（）

A'

A

BC

A./AC的内角和仍为180。B.ZBNC<ZBAC

B.C.AB-+AC~=BC2D.AE+A'C'VBC?

3().如图，在./BC中，AB>AC,4c于斤，M为4”上异于A的一点，比较A8-AC与ME-MC的

大小，则4?一4c（）MB-MC.

aHc

A.大于B.等于C.小于D.大小关系不确定

题型九勾股定理的证明方法

例题

31.我国是最早了解勾股定理的国家之一，下面四幅图中,不能证明勾股定理的是（）

图，£

/r

8

巩固训练

32.我国是最早了解勾股定理的国家之一，它被记载于我国古代的数学著作《周髀算经》中.汉代数学家

赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称之为“赵爽弦图”.现在勾股定理的证明已经有400多种

方法，下面的两个图形就是验证勾股定理的两种方法，在验证著名的勾股定理过程，这种根据图形直观推

论或验证数学规律和公式的方法，简称为“无字证明在验证过程中它体现的数学思想是（）

A.函数思想B.数形结合思想

C.分类思想D.方程思想

33.勾股定理又称毕达哥拉斯定理、商高定理、新娘座椅定理、百牛定理等，是人类早期发现并证明的重

要数学定理之一，大约有五百多种证明方法，我国古代数学家赵爽和刘徽也分别利用《赵爽弦图》和《青

朱出入图》证明了勾股定理，以下四个图形，哪一个是赵爽弦图（）

34.如图，在四边形A8OE中，AB//DE,AB工BD,点C是边BD上一点,BC=DE=a,CD=AB=b,

9

AC=Cf=c.下列结论：①△ABC0△C。。②力。±CE；③四边形A8OE的面积是耳/+而+//；④

L^^-L2x-b；(g)a2+b2=c2.

+bc=2a其中正确的结论个数是（）

222

A.2B.3C.4D.5

题型十勾股定理的应用

例题

35.如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，断落的木杆与地面形成45。角，则木

杆原来的长度是（）

A.8米B.（8+8及）米C.16米D.24米

巩固训练

36.如图，AC1BC,一架云梯AB长为25米，顶端A靠在墙AC上，此时云梯底端8与墙角C距离为7

米，云梯滑动后停在的位置上，测得A£长为4米，则云梯底端B在水平方向滑动的距离8。为（）

A.4米B.6米C.8米D.10米

37.如图所示是一个圆柱形饮料罐底面半径是5,高是12,上底面中心有一个小圆孔，则•条到达底部的

直吸管在罐内部分。的长度x（皤壁厚度和小圆孔大小忽略不计）范围是（）

10

A.12—W13B.12<x<15C.5<x<12D.5<x<13

38.如图所示，A8CO是长方形地面，长A8=20,宽AO=10,中间整有一堵砖墙高MN=2,一只蚂蚁从

A点爬到。点，它必须翻过中间那堵墙，则它至少要走（）

A.20B.24C.25D.26

39.某会展中心在会展期间准备将高5m、长13m、宽2m的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米30元，请你

帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要元.

40.在甲村至乙村的公路旁有一块山地正在开发，现有一处需要爆破，已知点C与公路上的停靠站A的距

离为300米，与公路上另一停靠站"的距离为400米，且C4_LCB,如图，为了安全起见，爆破点C周围

250米范围内不得进入，问在进行爆破时，公路43段是否有危险？是否需要暂时封锁？请通过计算进行说

明.

II

41.某条道路限速80km/h,如图，一辆小汽车在这条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速

检测仪4处的正前方30m的。处，过/2s,小汽车到达B处,此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为50m.

小汽车小汽车

BQ：-------QC

、、•

、、•

、、«

、、•

、、•

-------------

检测仪

⑴求8C的长；

(2)这辆小汽车超速了吗？

题型十一折叠问题

例题

42.如图，有一块宜角三角形纸片，两直角边AC=9cm,BC=12cm,现将直角边AC沿直线人。折叠，使

它恰好落在斜边AB上，且与4E重合.

A

⑴求团的长;

⑵求c。的长.

巩固训练

43.如图，在长方形ABCD中，将长方形沿E尸折转，使点。的对应点与点4重合，点。的对应点为点G.

(2)若A5=4,3c=8,求“V7K的面积.

12

44.如图，在中，ZAC5=90°,AC=6,BC=8.

⑴如图（I）,把“8C沿直线。石折叠，使点A与点8重合，求把的长：

（2）如图（2），把工8C沿直线A/折叠，使点C落在AB边上G点处，请直接写出所的长.

45.如图，在矩形A8CD中，A8=8,8c=10,点P在矩形的边C。上由点。向点C运动.沿直线AP翻折

（1）如图4,当点/）运动到与点。重合时，求重叠部分的面积）'；

（2）如图2,当点/，运动到何处时，翻折A的后，点。恰好落在BC边上？这时重叠部分的面积》等于多

少？

46.如图，在.ABC中，/BAC=90c,AB=AC,点D为线段BC延长线上一点，以AD为腰作等腰直角皿尸，

⑵若8C=8,4CD=BC,求线段AD的长：

⑶如图2,在（2）的条件下，将/沿线段。尸翻折，使点A与点E重合，连接CE,求线段CE的长.

13

14

第一章勾股定理知识归纳与题型突破（十一类题型清单）

01思维导图

02知识速记

一、勾股定理

1.勾股定理：

直角三角形两直角边。、人的平方和等于斜边c的平方.（即：a^b2=c2）

二、勾股定理的逆定理

1.勾股定理的逆定理

15

如果三角形的三边长久b、C,满足。2+尸=/,那么这个三角形是直角三角形.

要点：应用勾股定理的逆定理判定一个三角形是不是直角三角形的基本步骤：

（1）首先确定最大边，不妨设最大边长为C;

（2）验证：/+〃与/是否具有相等关系：

若"+b2=c2,则4ABC是以NC为90。的直角三角形；

若/+〃2>。2时，AABC是锐角三角形；

若a2+〃2Vc、2时，ZiABC是钝角三角形.

2.勾股数

满足不定方程V+V=z2的三个正整数，称为勾股数（又称为高数或毕达哥拉斯数），显然，以X、y、z

为三边长的三角形一定是直角三角形.

要点：常见的勾股数：①3、4、5；②5、12、13；③8、15、17；④7、24、25；⑤9、40、41.

如果（a、b、。）是勾股数，当t为正整数时，以々、bt、a为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形.

观察上面的①、②、④、⑤四组勾股数，它们具有以下特征：

1.较小的直角边为连续奇数；

2.较长的直角边与对应斜边相差1.

3.假设三个数分别为a、b、c,ha<b<c,那么存在"=人斗。成立.（例如@中存在72=24+25、92=

404-41等）

三、勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系

区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；

联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，两者互为逆定理，都与直角三角形有关.

四、勾股定理的应用

勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用是：

（1）已知直角三角形的两边，求第三边；

（2）利用勾股定理可以证明有关线段平方关系的问题；

（3）解决与勾股定理有关的面积计算；

（4）勾股定理在实际生活中的应用.

03题型归纳

题型一用勾股定理解三角形

例题

1.若一个直角三角形的两条直角边长分别是6和8,则斜边长是（）

A.6B.7C.8D.10

【答案】D

16

【分析】根据勾股定理计算即可得出答案.

【解析】•・•一个直角三角形的两直角边长分别是6和8

，斜边长是5/62+82=10

故选:D.

【点睛】本题主要考查勾股定理，掌握勾股定理的内容是解题的关键.

巩固训练

2.在直角中，?B90?,AB=3,AC=4,则4。的长为()

A.5B.V7C.5或近D.5或石

【答案】B

【分析】根据勾股定理计算即可.

【解析】解：因为？490?,AB=3,AC=4,

所以BC=JAC2_BA2='42—32=不,

故选：B.

【点睛】本题考查了勾股定理，解题关键是熟记勾股定理，准确进行计算.

3.如图，在RlZ\A8C中，ZA=90°,BC=2,则AC?+人发+8。2的值为()

【答案】A

【分析】利用勾股定理进行求解艮］可.

【解析】解：・・・NA=90。，BC=2,

,AC2+AB2+BC2=BC~+BC?=8;

故选A.

【点睛】本题考查勾股定理.熟练掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的平方，是解题的关键.

4.如图所示，已知一A8C中，A8=6,AC=9,ADJ.BC于D,M为A。上任一点，则MC?-MB?等于

17

A

【答案】45

(分析】在RtAABD和Rt./1/X?中，分别表示出HD2和CD?，在RtBDM和RtACDM中，表示出MB2和MC2，

代人求解即可；

【解析】解：・・・AD，5c于

AZADB=ZADC=90°,

在RtAAB。和Rl.ADC中，

BD2=AB2-ADZ^CD2=AC2-AD2,

在Rt8DM和RtZXCDM中，

MB2=BD2+MD2=AB2-AD2+MD2

MC2=CD2+MD2=AC2-AD2+M。?，

/.MC2-MB2=(/\C2-AD2+MD?)一(人—AD2+MD?),

=AC2-AB1,

=45.

故答案为：45.

【点睛】本题主要考查了勾股定理的应用，准确分析计算是解题的关键.

题型二勾股定理逆定理勾股数

例题

5.下列给出的四组数中，能构成直角三角形三边的一组是()

A.5,12,14B.6,8,9C.7,24,25D.8,13,15

【答案】C

【分析】根据勾股定理的逆定理逐项验证即可得到答案.

【解析】A、52+122^142,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

B、62+82^92,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

C、72+242=252,能构成直角三角形，故此选项符合题意；

18

D、82+132^152,不能构成直角三角形，故此选项不符合题意；

故选：C.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理计算三角形两边的平方和是否等于第三边的

平方是解决问题的关键.

巩固训练

6.由下列条件不能判定为直角三角形的是()

A.ZA+ZC=ZZ?B.aJ,b=—,c=7

345

C.(b+a)(b-a)=c2D.ZA:N8:NC=5:3:2

【答案】B

【分析】根据三角形内角和180°及4+NC=N8即可判断A,根据勾股定理逆定理即可判断B,根据平方

差公式及勾股定理逆定理即可判断C,根据三角形内角和180。及N4:N5:NC=5:3:2即可得到答案.

【解析】解：VZA4-ZB+ZC=180O,ZA+ZC=ZB,

工？B90?,

・•・为直角三角形，故A不符合题意；

••中+(户(/

••・不能判定三角形为直角三角形，故B符合题意；

V(b+a)(b-a)=b2-a2=c2,

・•・为直角三角形，故C符合题意；

VZA+Z5+ZC=180°,ZA:Zfi:ZC=5:3:2,

:.ZA=90°,

・•・/8C为直角三角形，故D符合题意，

故选B.

【点睛】本题考查三角形内角和定理及勾股定理逆定理，解题的关键是熟练掌握直角三角形边角关系.

7.在下列四组数中，属于勾股数的是()

A.0.3,0.4,0.5B.3,4,5

C.2,8,10D.1,母,瓜

【答案】B

【分析】利用勾股数的定义进行分析即可.

【解析】解：A.().3,0.4,0.5不是整数，不是勾股数，不符合题意；

19

B.32+42=52,

.•.3、4、5是勾股数，符合题意;

C.22+82*102»

.­.2,8,10不是勾股数，不符合题意；

222

D.1+（＞/2）=（＞/3）,日G均不是整数，

「.1，夜，有不是勾股数，不符合题意；

故选:B.

【点睛】此题主：要:考查了勾股数，关键是掌握满足后+/二不的三个正整数，称为勾股数.

8.下列各组数中，是勾股数的是（）.

A.1,2,3B.6,2,、伍C.亚、币,HD.9,12,15

【答案】D

【分析】欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边

的平方.

【解析】解：A、P+2年32,不能沟成直角三角形，故不符合题意；

B、22+（右）4（加）2,不能构成直角三角形，故不符合题意；

C、（石）2+（不）2=（配）2,能构成直角三角形，但不是整数、故不符合题意；

D、92+122=152,能构成直角三角形且是整数，是勾股数，故符合题意.

故选：D.

【点睛】本题主要考查了勾股数的定义及勾股定理的逆定理，已知AABC的三边满足加十从二则△ABC是

直角三角形.

题型三勾股定理及其逆定理解三角形解答题

例题

9.（1）如图，在,.ABC中，AD1BC,求证：AR2-AC2=RD1-CD2：

（2）在「ABC中，A8=8,AC=5,BC边上的高4/）=4,求边8C的值.

【答案】（1）见解析；（2）473+3

20

【分析】本题主要考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

（I）利用勾股定理证明即可；

（2）利用勾股定理求解即可.

【解析】解：（1）在RtRt/CD中，根据勾股定理得：

AB2-BD2=AD2,AC2-CD2=AD2，

AAB2-BD2=AC2-CD\

・•・AB1-AC2=BD2-CD2：

（2）在RJA8O,Rl一AC。中，根据勾股定理得：

I3D=ylAB2-AD1=>/82-42=4x/3»

DC=ylAB2-AD2=752-42=3»

・•・BC=BO+DC=4G+3.

巩固训练

10.如图，已知等腰ABC的底边8c=25cm,。是腰/W上一点，连接CD,且CD=24cm,BD=7cm.

（1）求证：8£心是直角三角形;

（2）求A4的长.

【答案】（1）见解析

【分析】（1）根据勾股定理的逆定理进行判断即可得到答案；

（2）设A8=Acm,根据等腰三角形的性质可得AB=AC=nm,在直角三角形△A0C中，由勾股定理可

得，=（工-7）2+242,解方程即可得到答案.

【解析】（1）证明：BC=25cm,CD=24cm,BD=7cm.

6c2=252=625，BD2+CD2=72+242=49+576=625，

21

即BC2=BD2+CD2

BDC为直角三角形:

(2)解：设AB=.xcm,

•「ABC是等腰三角形，

/.AB=AC=xcm.

•・•BDC为直角三角形,

.•uADC为直角三角形，

AD2+CD2=AC2,

g|Jx2=(x-7)2+242,

解得：x=竽，

14

故A3的长为：竽cm.

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质、勾股定理以及勾股定理的逆定理的应用，解题的关键是熟练

掌握勾股定理的逆定理.

11.如图，已知在中，CO1A3于点D,AC=20,BC=15,DB=9,

(1)求。C、A8的长；

(2)求证：48c是直角三角形.

【答案】(1)45=25,00=12

(2)见解析

【分析】(1)在RLBCO中，利用勾股定理求得CD的长，然后住Rl.ADC中，再利用勾股定理求得AO的

长，根据AB=A£>+O8即可求解：

(2)利用勾股定理的逆定理即可判断.

【解析】(1)解：•・•在Rt88中，8c=15,80=9,

/.CD=VBC2-CD2=V152-92=I2»

在Rt_4DC中，AC=20,8=12,

22

/.AD=y/AC2-CD2=V202-122=16.

/.AB=AD+DB=\6+9=25.

(2)证明：AB=25,AC=20,8c=15,

AB2=252=625，AC2+BC2=2O2+152=625,

/.A82=AC2+BC2,

lASC是直角三角形.

【点睛】本题考查了勾股定理和勾股定理的逆定理，正确理解定理的内容是关键.

12.已知在中，ZACT=90°,AC=9,A8=15,BD=5,过点。作O”_LA8于点".

(1)求CD的长；

⑵求。，的长.

【答案】(1)7

(2)3

【分析】本题考查了勾股定理；

(I)RtJAC中，由勾股定理得8C=12,进而根据CQ=C3-3O,即可求解;

(2)根据等面积法，即可求解.

【解析】(1)解：ZACB=90°,AC=9,AB=[5,

.•.RtsABC中，由勾股定理得：BC=\lAB2-AC2=V152-92=12»

:,CD=CB-BD=\2-5=7.

(2)DHIAB^

--^ADB=^ABDH=^DAC,

：.-xl5D/7=-x5x9,

22

:.DH=3.

题型四勾股定理逆定理拓展性质

例题

13.下列由三条线段〃、氏c构成的三角形：©«=2iwi,b=m2-n2，c=m2+/22(//?>/7>O),②a=2〃+l,

23

b=2n2+2n+\»c=2w2+2w（zz>0）,③a=3k,b=4k,c=5A（攵>0），④&：*：6=1：6：2,其中能

构成直角三角形的有（）

A.I个B.2个C.3个D.4个

【答案】C

【分析】判断一组数能否成为直角三角形的三边，就是看是否满足两较小边的平方和等于最大边的平方，

将题目中的各题••做出判断即可.

［解析］解：①,.,（，/-n2丫+=tn+n4-2m2rr+4m2n2=tn+/»4+2nrn:=（>+M,

・••能成为直角三角形的三边长；

②；（2〃y+（2〃2+2〃丫=（2〃2+2〃+1.，

・••能成为直角三角形的三边长；

③（3炉+（44=（5炉，

工能成为直角三角形的三边长；

④•「（6）=1+3=4=（五）,BPa+b=c,

b,c不构成三角形

・••能构成直角三角形的有3组，

故选:C.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理的应用，在应用时注意是两较短边的平方和等于最氏边的平方.

巩固训练

14.以下四组代数式作为以BC的三边：①3〃,4〃,5〃（〃为正整数）；②〃，〃+1,〃+2（〃为正整数）；③

〃2一1,2〃，/5+1（〃22,〃为正整数）；@m2-n2,2mn,nr+n1（m>rl»m,〃为正整数）.其中能使ABC

为直角三角形的有（）

A.0组B.1组C.2组D.3组

【答案】D

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行计算判断即可.

【解析】解:①中（3/+（4〃）2=25〃2=（5〃）2,能构成直角三角形，故符合要求；

②中，+（〃+1）2=2/+2〃+1+4〃+4=（〃+2>,不能构成直角三角形,故不符合要求;

③中（〃2_］）2+⑵?）2=〃4+2〃2+1=（/+1）2,能构成直角三角形.故符合要求；

④中（>一+⑵加2=W+2//+〃4=（加2+〃2）2,能构成直角三角形，故符合要求.

24

・••能使ABC为直角三角形的有3组，

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理的逆定理，完全平方公式.解题的关键在于正确的运算.

15.下列命题①如果a、b、。为一组勾股数，那么%、4/入4。仍是勾股数；②如果直角三角形的两边是3,4,

那么斜边必是5；③如果一个三角形的三边是12、25、7,那么此三角形必是直角三角形；④一个等腰直角

三角形的三边久b、c,（a>b=C），那么苏：从：/=2:1:1,其中正确的是（）

A.①②B.①@C.①④D.②④

【答案】C

【分析】根据勾股数的定义和直角三角形的性质，依次分析①②③④，选出正确的命题的序号，即可得到

答案.

【解析】解：①如果小b、。为一组勾股数，则设/+/=。2,

则（4.）2+（祐）2-16a2+16/?2-16（«2+Z?2）-l6C2-（4c）2,

••・4a、4汰4c仍是勾股数，故①正确，符合题意；

②如果直角三角形的两边是3,4,则另一边的长可能为乒丞=5，且符合三角形的两边之和大于第三

边，故②错误，不符合题意；

122+72=144+49=193=252,

••・③错误，不符合题意；

④一个等腰直角三角形的三边久b、c,（4>/?=C），

*'-a2=b2+c2=b2+b2=Hr>

即a2:b2ic2=2:1:\,

故④正确，符合题意；

故选：C.

【点睛】本题主要考查了勾股数和直角三角形的性质，正确掌握勾股数的定义和直角三角形的性质是解题

的关键.

题型五勾股定理与数轴上的实数

例题

16.如图，在数轴上点A表示的实数是（）

25

A.不B.氓C.V9D.VlO

【答案】D

【分析】根据勾股定理求得。8=进而即可求解.

【解析】解：如图所示，

-1012C3；4

•・•OC=3,BC=1

-OA=OB=^32+I2=Vio«

故选：D.

【点睛】本题考查了勾股定理与无理数，实数与数轴，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

巩固训练

17.如图，OA=OB,

B

./X」一

-2-10123x

(1)写出数轴上点A表示的数；

(2)比较点A表示的数与-1.5的大小；

(3)在数轴上作出石所对应的点.

【答案】(1)一&.

⑵-拉＞-1.5

(3)见解析

【分析】(1)03是直角边长为1的等腰直角三角形的斜边长，因。4=。8,根据勾股定理即可求得的

长度，再考虑点A位于原点的左侧，为负数，即可得解.

(2)先比较两数的绝对值的平方值大小，然后再比较两数的大小，考虑到绝对值越大的负数，实际值越小，

即可得出结果.

(3)构造直角边长为1、2的直角三角形，其斜边长即为逐，则问题得解.

26

【解析】（1）由勾股定理得：

OA=OB=>J\2+\2=72•

因点A位于原点的左侧，

・••点A表示的数是一夜.

（2）,•,（可=2,15=2.25

・•・（x/2）2<1.52

工五<1.5

A-V2>-1.5

（3）如下图在0〜2区间的上方作一个直角边长分别为1、2的直角△OC”,

由勾股定理得：OC=Jo,2+C〃2=@+12=&,

以。为圆心，0C长为半径画瓠，交x轴的正半轴于点D.

，0D=0C=百.

故点。就是数轴上作出的石所对应的点.

【点睛】本题为考查勾股定理、数轴和尺规作图综合题，体现「数形结合''的思想，解题的关键构造恰当的

直角三角形.

18.如图，在数轴上以1个单位长度画一个正方形，以原点为圆心，以正方形的对角线长为半径画弧，与

正半轴的交点为8,且点8表示的是一个无理数，因此我们得出一个结论.

A/\BCD

1.1__1_____1______I/'।\]•,_____।»

-4-3-2-101^234

（1）点4表示的数为；得出的结论是：与数轴上的点是一一对应的.

⑵若将图中数轴上标的A,C,O各点与所给的三个实数不，3和一乃对应起来，则点A表示的实数为

点C表示的实数为，点。表示的实数为.

【答案】（1）&，实数

（2）-不，石，3

27

【分析】（1）根据勾股定理求得对角线的长度，即可求解；

（2）判断出三个数的大小关系，结合A,C,。的位置即可求解.

【解析】（1）解：应用勾股定理得，正方形的对角线的长度为：血，

。月为圆的半径，则08二夜，所以数轴上的点3表示的数为：&,它是无理数.

得出的结论是实数与数轴上的点是一一对应的；

故答案为：近,实数；

（2）解：根据数轴可得人表示负数，C和。表示正数，且。表示的数大于。表示的数,

・•那表示-万，C表示的数是石，。表示的数是3.

故答案为：一冗、小,3.

【点睛】此题考查了勾股定理，实数与数轴，解题的关键是熟练掌握勾股定理以及数轴与实数的有关知识.

题型六网格问题

例题

19.如图，丛8c的顶点A、B、。在边长为1的正方形网格的格点上，3。_14?于点。，则8。的长为（）

A2石口36「4石口4

A.B.----C.D.—

5555

【答案】C

【分析】根据图形和三角形的面积公式求;ILA8C的面积，根据勾股定理求出AC,根据三角形的面枳公式

计算即可.

28

由勾股定理得，4。=巧丁=6,

则k后x8O=2,

2

解得BD=t5,

5

故选：C.

【点睛】本题考查的是勾股定理的应用，掌握在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等

于斜边长的平方是解题的关键.

巩固训练

20.如图，在以下四个正方形网格中，各有一个三角形，不是直角三角形的是（）

【分析】根据勾股定理的逆定理对各选项进行逐一判断即可.

【解析】解：A、三边长分别为石,,・・（。）2+（行『刘：如）2,

・•・./8C不是直角三角形，故本选项符合题意；

B、三边长分别为石,2氐5,（囱+（2⑹2=52,

:.X8C是直角三角形，故本选项不符合题意；

C、三边长分别为2股,2立,4,V（2>/2）2+（2^）2=42,

・•・是直角三角形，故本选项不符合题意；

D、三边长分别为挑后,26，:（J布『+（J布『=（26丫，

・•・58C是直角三角形，故本选项不符合题意.

故选A.

【点睛】本题考查勾股定理的逆定理.，熟知如果三角形的三边长〃，b,c满足〃2+〃=。2,那么这个三角形

就是直角三角形是解题关键.

21.如图所示，在4x4的正方形网格中，/8C的顶点都在格点上，下列结论错误的是（）

29

A.ZCBA=60°B.AB=5C.ZACB=90°D.BC=y[5

【答案】A

【分析】利用勾股定理求出三边长，再依据勾股定理逆定理判断出448=90。即可得出答案.

【解析】解：由勾股定理可得：A/?=X5?747=5>

AC=@+42=2石,

BC=\lf+22=5

'：AC2+8c2=(26『+(行/=25,AB-=52=25，

，AC2+BC2=AB\

・・・ZAC8=90。，故B、C、D都正确，不符合题意，

VAB=5,BC=5

AB丰2BC,

：.28ACH30。，

・•.ZABCW60。，故A错误，符合题意.

故选：A.

【点睛】本题主要考查了勾股定理和其逆定理，运用勾股定理求出三边长，是解题的关键.

题型七以直角三角形三边为边长的面积问题

例题

22.如图，图中的三角形为直角三角形，一知止方形A和止方形4的面积分别为25和9,则止方形C的面

积为.

衿

C

【答案】34

30

【分析】根据题意，得出NEDF=90。，再根据勾股定理，得出。后2+。尸=石尸，再结合正方形的面积,

得出EF2=DE2+DF2=34,进而即可得出正方形C的面积.

由题意得NEDF=90°,

ADE2+DF2=EF2，

•・•四边形都是正方形，

*,*$正边形A=DE?,s正边形B=DF?,s正边形c=EF?,

•・•正方形A、4的面积分别为25和9,

・"6=25，DF2=9,

EF2=DE2+DF2=34,

・•・正方形C的面积为:34.

故答案为：34.

【点睛】本题考查了勾股定理的几何应用，熟知勾股定理是解题的关键.

巩固训练

23.如图，5、邑、S］分别是以Rt^ABC的三边为直径所画半圆的面积,其中1=104，S?=64，则S?=

【答案】

【分析】先分别算出，、邑、S3的面积，然后根据勾股定理即可解答.

222

【解析】解：V5,=-7f——1=—7tAC,S7=7r{^~=—TTAB,S,=/rf-^-1=—TVBC

31

・•・52+S3=