8.6.2直线与平面垂直（第2课时）（教案）

第八章立体几何初步8.6.2直线与平面垂直（第2课时）一、教学目标1.掌握直线与平面垂直性质定理并能运用其解决相关问题；2.理解直线到平面的距离以及两平行平面的距离定义;3.通过对直线与平面垂直性质定理的学习，培养学生数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学素养.二、教学重难点1.直线与平面平行的性质定理，直线到平面的距离以及两平行平面的距离；2.能运用直线与平面垂直性质定理解决相关问题三、教学过程：（1）创设情景如图，长方体ABCD—A1B1C1D1中，棱AA1，BB1，CC1，DD1所在直线与底面ABCD的位置关系如何？它们彼此之间具有什么位置关系？新知探究问题1:垂直于同一个平面的两条直线平行吗?学生回答（平行），教师点拨,(提出本节课所学内容:直线与平面平行的性质定理)问题2:如果一条直线平行于平面,那么这条直线上所有点到平面的距离相等吗?学生回答（相等），教师点拨,新知建构直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号语言:已知：；求证：．图形语言:证明：假设b不平行于a,是经过点O与直线a平行的直线。因为。即经过同一个点O的两条直线b,c都垂直于平面，这是不可能的。因此，a//b.作用：证明两直线平行。直线到平面的距离:如果一条直线和一个平面平行，这条直线上任意一点到这个平面的距离叫做这条直线的和这个平面的距离两平行平面间的距离:如果两个平面平行，那么其中一个平面内的任意一点到另一个平面的距离都相等，我们把它叫做这两个平行平面间的距离。（4）数学运用例1.已知：直线l∥平面，求证：直线l上各点到平面的距离相等．变式训练1:在长方体中，M，N分别为，AB的中点，，则MN与平面的距离为（）A．4 B． C．2 D．【答案】C【解析】如图，BC1,又平面，平面.∴MN与平面的距离为N到面的距离.又N到平面的距离为.∴MN与平面的距离为2.故选：C变式训练2:在长方体中，E，F，G，H分别为，，，的中点，，则平面ABCD与平面EFGH的距离为________.【答案】2【解析】如图平面ABCD//平面EFGH又平面.平面ABCD与平面EFGH的距离为.故答案为：2变式训练3:已知AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，如图所示，且AF＝DE，AD＝6，则EF＝.【答案】6【解析】因为AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，所以AF∥DE，又AF＝DE，所以AFED是平行四边形，所以EF＝AD＝6.例2:如图，在三棱锥中，，，为的中点．（1）证明：平面；（2）若点在棱上，且，求点到平面的距离．【答案】（1）详见解析（2）．【解析】（1）因为AP=CP=AC=4，O为AC的中点，所以OP⊥AC，且OP=．连结OB．因为AB=BC=，所以△ABC为等腰直角三角形，且OB⊥AC，OB==2．由知，OP⊥OB．由OP⊥OB，OP⊥AC知PO⊥平面ABC．（2）作CH⊥OM，垂足为H．又由（1）可得OP⊥CH，所以CH⊥平面POM．故CH的长为点C到平面POM的距离．由题设可知OC==2，CM==，∠ACB=45°．所以OM=，CH==．所以点C到平面POM的距离为．变式训练:如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧面BB1C1C为菱形,B1C的中点为O,且AO⊥平面BB1C1C.(1)证明:B1C⊥AB;(2)若AC⊥AB1,∠CBB1=60°,BC=1,求三棱柱ABC-A1B1C1的高.【答案】(1)证明见解析;(2)【解析】(1)证明:连接BC1,则O为B1C与BC1的交点,∵侧面BB1C1C为菱形,∴B1C⊥BO.∵AO⊥平面BB1C1C,∴B1C⊥AO,∵AO∩BO=O,∴B1C⊥平面BAO,又AB⊂平面ABO,∴B1C⊥AB.(2)作OD⊥BC,垂足为D,连接AD,作OH⊥AD,垂足为H.∵AO⊥平面BB1C1C,∴BC⊥AO,又BC⊥OD,AO∩OD=O,∴BC⊥平面AOD,∴OH⊥BC,又OH⊥AD,AD∩BC=D,∴OH⊥平面ABC.∵∠CBB1=60°,BB1=BC,∴△CBB1为等边三角形,易得OD=,∵AC⊥AB1,∴OA=B1C=.由OH·AD=OD·OA,且AD==,得OH=.又O为B1C的中点,∴点B1到平面ABC的距离为.∵平面ABC∥平面A1B1C1,∴三棱柱的高即为平面ABC与平面A1B1C1的距离,也就是点B1到平面ABC的距离,∴三棱柱ABC-A1B1C1的高为.四、小结：直线和平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．符号语言:已知：；求证：．图形语言:作用：证明两直线平行。直线到平面的距离:两平行平面间的距离:A级必备知识基础练1.[探究点二]若空间四边形ABCD的四边相等,则它的两对角线AC,BD的关系是()A.垂直且相交 B.相交但不一定垂直C.垂直但不相交 D.不垂直也不相交2.[探究点一、二·2023江苏淮安清江浦期中]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别为AC,A1B的中点,下列说法中不正确的是()A.MN∥平面ADD1A1B.MN⊥ABC.MN与CC1所成角为45°D.MN⊥平面ACD13.[探究点三]在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是边长为1的正方形,PA⊥平面ABCD,且PA=6,则PC与平面ABCD所成角的大小为()A.30° B.45° C.60° D.90°4.[探究点一]如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E,F分别是棱AB,BC的中点,O是底面ABCD的中心,则EF与平面BB1O的位置关系是.(填“平行”或“垂直”)

5.[探究点三]如图,在三棱柱ABC-A'B'C'中,底面ABC是正三角形,AA'⊥底面ABC,且AB=1,AA'=2,则直线BC'与平面ABB'A'所成角的正弦值为.

6.[探究点二]在三棱锥V-ABC中,当三条侧棱VA,VB,VC之间满足条件时,有VC⊥AB.(注:填上你认为正确的一种条件即可)

7.[探究点三、四·2023江西九江德安期末]如图,在四棱锥P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD为菱形,AP=AD=2,∠ABC=60°.点E,F分别在棱PA,PB上,且EF∥AB.(1)求证:EF∥CD;(2)若直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,求点P到平面CEF的距离8.[探究点二]如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,AP=AB=2,BC=22,E,F分别是AD,PC的中点.证明:PC⊥BE.9.[探究点一、三]如图,在棱长均为1的直三棱柱ABC-A1B1C1中,D是BC的中点.(1)求证:AD⊥平面BCC1B1;(2)求直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值.B级关键能力提升练10.(多选题)如图,ABCD-A1B1C1D1为正方体,下面结论正确的是 ()A.BD∥平面CB1D1B.AC1⊥BDC.AC1⊥平面CB1D1D.异面直线AD与CB1所成的角为60°11.(多选题)在正三棱锥A-BCD中,侧棱长为3,底面边长为2,E,F分别为棱AB,CD的中点,则下列结论中正确的是()A.EF与AD所成角的正切值为3B.EF与AD所成角的正切值为2C.AB与面ACD所成角的余弦值为7D.AB与面ACD所成角的余弦值为712.如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=8,∠BAC=60°,PC⊥平面ABC,PC=4,M是AB边上的一动点,则PM的最小值为()A.27 B.7C.19 D.513.(多选题)如图,等边三角形ABC的边长为1,BC边上的高为AD,沿AD把三角形ABC折起来,则()A.在折起的过程中始终有AD⊥平面BDC'B.三棱锥A-DC'C的体积的最大值为3C.当∠C'DC=60°时,点A到C'C的距离为15D.当∠C'DC=90°时,点C到平面ADC'的距离为114.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,有下列结论:①AC∥平面CB1D1;②AC1⊥平面CB1D1;③AC1与底面ABCD所成角的正切值是22;④AD1与BD为异面直线其中正确结论的序号是.

15.在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AC=BC=2,AB=AA1=2,E是棱CC1的中点.(1)求证:AE⊥BC;(2)求点A1到平面ABE的距离.16.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.求证:(1)MN∥平面PAD;(2)AB⊥MN.C级学科素养创新练17.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,动点E在线段A1C1上,F,M分别是AD,CD的中点,则下列结论中正确的是.

①FM与BC1所成角为45°;②BM⊥平面CC1F;③存在点E,使得平面BEF∥平面CC1D1D;④三棱锥B-CFE的体积为定值.18.如图所示,在四棱锥P-ABCD中,PD⊥平面ABCD,底面ABCD是矩形,AD=PD,E,F分别为CD,PB的中点.(1)求证:EF∥平面PAD;(2)求证:EF⊥平面PAB;(3)设AB=2BC=2,求三棱锥P-AEF的体积.参考答案1.C取BD的中点O,连接AO,CO,则BD⊥AO,BD⊥CO,故BD⊥平面AOC,BD⊥AC.又BD,AC异面,故选C.2.D对于A,如图,连接BD,AD1,A1D.在正方形ABCD中,∵M为AC的中点,∴AC∩BD=M,即M也为BD的中点.在△A1BD中,∵M,N分别为BD,A1B的中点,∴MN∥A1D.又∵MN⊄平面ADD1A1,A1D⊂平面ADD1A1,∴MN∥平面ADD1A1,故A正确;对于B,∵AB⊥平面ADD1A1,∴AB⊥A1D,又MN∥A1D,∴AB⊥MN,故B正确;对于C,∵MN∥A1D,CC1∥D1D,∴MN与CC1所成角为∠A1DD1=45°,故C正确;对于D,连接B1C,B1D1,D1C,AD1,CD1.∵B1C=CD1=B1D1,∴∠B1CD1=60°.∵B1C∥A1D,∴A1D与CD1不垂直,即MN与CD1不垂直,则MN不垂直于平面ACD1,故D错误.故选D.3.C如图,连接AC.∵PA⊥平面ABCD,∴∠PCA就是PC与平面ABCD所成的角.∵AC=2,PA=6,∴tan∠PCA=PAAC=62=4.垂直∵底面ABCD为正方形,∴AC⊥BO.∵BB1⊥平面ABCD,AC⊂平面ABCD,∴AC⊥BB1.又BO∩BB1=B,∴AC⊥平面BB1O.∵EF是△ABC的中位线,∴EF∥AC,∴EF⊥平面BB1O.5.1510如图所示,取A'B'的中点D,连接C'D,BD.∵底面△A'B'C'是正三角形,∴C'D⊥A'B'.∵AA'⊥底面ABC,∴A'A⊥C'D.又AA'∩A'B'=A',∴C'D⊥侧面ABB'A',故∠C'BD是直线BC'与平面ABB'A'所成角.等边三角形A'B'C'的边长为1,C'D=32在Rt△BB'C'中,BC'=B'B2+B'C'6.VC⊥VA,VC⊥VB(答案不唯一,只要能保证VC⊥AB即可)只要VC⊥平面VAB,即有VC⊥AB;故只要VC⊥VA,VC⊥VB即可.7.(1)证明因为底面ABCD为菱形,所以CD∥AB,又因为EF∥AB,所以EF∥CD.(2)解因为EF∥CD,所以C,D,E,F四点共面.设点P到平面CEF的距离为h.因为PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,所以PA⊥AB.因为PA=AD=2,所以PD=PA2+A因为直线PD与平面CEF所成的角的正弦值为68,所以h=PD·68.证明如图,连接PE,EC,在Rt△PAE和Rt△CDE中,PA=AB=CD,AE=DE,所以PE=CE,即△PEC是等腰三角形.又因为F是PC的中点,所以EF⊥PC.又因为BP=AP2+ABF是PC的中点,所以BF⊥PC.又因为BF∩EF=F,所以PC⊥平面BEF.因为BE⊂平面BEF,所以PC⊥BE.9.(1)证明在直三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1⊥平面ABC,∴BB1⊥AD,∵AB=AC,D是BC的中点,∴AD⊥BC.又BC∩BB1=B,∴AD⊥平面BCC1B1.(2)解连接C1D.由(1)知AD⊥平面BCC1B1,则∠AC1D即为直线AC1与平面BCC1B1所成角.在Rt△AC1D中,AD=32,AC1=2,sin∠AC1D=AD即直线AC1与平面BCC1B1所成角的正弦值为6410.ABC由于BD∥B1D1,BD⊄平面CB1D1,B1D1⊂平面CB1D1,则BD∥平面CB1D1,所以A正确;因为BD⊥AC,BD⊥CC1,AC∩CC1=C,所以BD⊥平面ACC1,所以AC1⊥BD,所以B正确;可以证明AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,所以AC1⊥平面CB1D1,所以C正确;由于AD∥BC,则∠BCB1=45°是异面直线AD与CB1所成的角,所以D错误.11.BC设AC中点为G,BC的中点为H,连接EG,FG,AH,DH.因为AE=BE,AG=GC,CF=DF,所以EG∥BC,FG∥AD.所以∠EFG就是直线EF与AD所成的角.在三角形EFG中,EG=1,FG=32由于三棱锥A-BCD是正三棱锥,BC⊥DH,BC⊥AH,又因为AH,HD⊂平面ADH,AH∩DH=H,所以BC⊥平面ADH.因为AD⊂平面ADH,所以BC⊥AD,所以EG⊥FG,所以tan∠EFG=EGFG=132=2过点B作BO垂直AF,垂足为O.因为CD⊥BF,CD⊥AF,BF∩AF=F,BF,AF⊂平面ABF,所以CD⊥平面ABF.因为BO⊂平面ABF,所以CD⊥BO.因为BO⊥AF,AF∩CD=F,AF,CD⊂平面ACD,所以BO⊥平面ACD.所以∠BAO就是AB与平面ACD所成角.由题得BF=3,AF=22,AB=3,所以cos∠BAO=9+8-32×3×22=141212.A如图所示,连接CM.因为PC⊥平面ABC,所以PC⊥CM,则△PCM是直角三角形,故PM2=PC2+CM2,所以当CM⊥AB时,CM最小,此时PM也最小.由条件知BC=43,故CM的最小值为23,又PC=4,则PM的最小值为42+(213.ABCD因为AD⊥BD,AD⊥DC',且BD∩DC'=D,BD,DC'⊂平面BDC',所以AD⊥平面BDC',故A正确;当DC'⊥DC时,△DC'C的面积最大,此时三棱锥A-DC'C的体积也最大,最大值为13×32×当∠C'DC=60°时,△DC'C是等边三角形.设C'C的中点为E,连接AE,DE,因为AC=AC',所以AE⊥C'C,即AE的长度为点A到C'C的距离,AE=(32)

2当∠C'DC=90°时,CD⊥DC',CD⊥AD,故CD⊥平面ADC',则CD的长度就是点C到平面ADC'的距离,则CD=12,故D正确14.②③④①因为AC∩平面CB1D1=C,所以AC与平面CB1D1不平行,故①错误;②连接BC1,A1C1,图略.易证AC1⊥B1D1,AC1⊥B1C,因为B1D1∩B1C=B1,所以AC1⊥平面CB1D1,故②正确;③因为CC1⊥底面ABCD,所以∠C1AC是AC1与底面ABCD所成的角,所以tan∠C1AC=C1CAC=2④AD1与BD既无交点也不平行,所以AD1与BD为异面直线,故④正确.15.(1)证明因为AC=BC=2,AB=2,所以AC2+BC2=AB2,即AC⊥BC.因为直棱柱ABC-A1B1C1,所以AA1⊥底面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,又AA1∩AC=A,AA1⊂平面ACC1A1,AC⊂平面ACC1A1,所以BC⊥平面ACC1A1.又因为AE⊂平面ACC1A1,所以AE⊥BC.(2)解设点A1到平面ABE的距离为h,取AB中点O,连接EO,在△ABE中,AE=BE=3,AB=2,则EO⊥AB,所以EO=AE所以△ABE的面积为12×2×2因为VA所以13×S△ABE×h=13×所以13×2×h=13×12所以点A1到平面ABE的距离为2.16.证明(1)取PD的中点Q,连接AQ,NQ.∵N是PC的中点,∴NQ=12CD,NQ∥∵M是AB的中点,∴AM=12AB=1又AM∥CD,∴AM∥NQ,AM=NQ.∴四边形AQNM是平行四边形,∴MN∥AQ.∵MN⊄平面PAD,AQ⊂平面PAD,∴MN∥平面PAD.(2)∵PA⊥平面ABCD,AB⊂平面ABCD,∴PA⊥AB.又∵底面ABCD为矩形,∴AB⊥AD.又PA∩AD=A,PA,AD⊂平面PAD,∴AB⊥平面PAD,又AQ⊂平面PAD,∴AB⊥AQ.又∵AQ∥MN,∴AB⊥MN.17.②④连接A1B,BC1,图略.对于①,∵F,M分别为AD,CD的中点,∴FM∥AC,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AA1∥CC1且AA1=CC1,则四边形AA1C1C为平行四边形,∴AC∥A1C1,∴异面直线FM与BC1所成的角为∠A1C