《数学归纳法》课件

4.4*数学归纳法我是一毛我是二毛我是三毛我是谁？我不是四毛！我是小明！猜：四毛！情景引入不完全归纳：从一类对象中的部分对象都具有某种性质推出这类对象全体都具有这种性质的归纳推理方法问题1:口袋中有4个吃的东西，如何证明它们都是糖？把研究对象一一都考察到，而推出结论的归纳法.完全归纳法（1）求出数列前4项,你能得到什么猜想？（2）你的猜想一定是正确的吗？探究新知猜想不完全归纳法逐一验证，不可能！！！思考：能否通过有限个步骤的推理，证明n取所有正整数都成立？我们先从多米诺骨牌游戏说起.码放骨牌时,要保证任意相邻的两块骨牌,若前一块骨牌倒下,则一定导致后块骨牌倒下.这样,只要推倒第1块骨牌,就可导致第2块骨牌倒下；而第2块骨牌倒下,就可导致第3块骨牌倒下；…….总之,不论有多少块骨牌,都能全部倒下.情景引入思考1：在这个游戏中，能使所有多米诺骨牌全部倒下的条件是什么？使所有多米诺骨牌全部倒下的条件有两个：(1)第一块骨牌倒下；(2)任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下.思考2：你认为条件(2)的作用是什么？如何用数学语言描述它？条件(2)实际上是给出了一个递推关系.数学语言：第k块骨牌倒下

结论：无论有多少块骨牌，只要保证条件(1)(2)出来，那么所有的骨牌都能倒下.探究新知

=1.

探究新知只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立．数学归纳法的定义一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行：(1)归纳奠基：证明当n＝n0(n0∈N*)时命题成立；(2)归纳递推：以“当n＝k(k∈N*，k≥n0)时命题成立”为条件，推出“当__________时命题也成立”．n＝k＋1这种证明方法称为数学归纳法．思考：数学归纳法的第一步n0的初始值是否一定为1?不一定．如证明n边形的内角和为(n－2)·180°，第一个值n0＝3.探究新知数学归纳法的框图表示：探究新知

×√×2．用数学归纳法证明1＋a＋a2＋…＋an＋1＝(a≠1，n∈N*)，在验证n＝1成立时，左边计算所得的项是(

)A．1

B．1＋aC．1＋a＋a2 D．1＋a＋a2＋a3C小试牛刀

典例分析

归纳假设

目标用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤：使用前提基础性结论传递性(1)证明当取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.据(1)和(2)可知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.探究新知

典例分析目标

同理可得

归纳上述结果，猜想

典例分析

典例分析目标“归纳—猜想—证明”的一般环节

典例分析解法1:由已知可得

典例分析

典例分析(2)瞄准当n＝k＋1时的递推目标，有目的地放缩、分析直到凑出结论.2.数学归纳法证明的第二步中要注意以下两点：(1)先凑假设，作等价变换；(3)证明n＝k＋1时结论也成立，要设法将待证式与归纳假设建立联系，并朝n＝k＋1证明目标的表达式变形.1.用数学归纳法证明命题时，应关注以下三点：(1)弄清n取第一个值n0时等式两端项的情况；(2)弄清从n＝k到n＝k＋1等式两端增加了哪些项，减少了哪些项；总结提升：用数学归纳法证明一个与正整数有关命题的步骤：使用前提基础性结论传递性(1)证明当取第一个值n0(例如n0=1或2)时结论正确；(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥n0)时结论正确，证明当n=k+1时结论也正确.据(1)和(2)可知命题对于从n0开始的所有正整数n都正确.口诀：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉.课堂小结12345678910111213141516A级必备知识基础练D12345678910111213141516123456789101112131415162.[探究点一]用数学归纳法证明:(n+1)(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*).从n=k(k∈N*)到n=k+1,若设f(k)=(k+1)(k+2)…(k+k),则f(k+1)=(

)A.f(k)+[2(2k+1)]B.f(k)·[2(2k+1)]B解析

由数学归纳法证明(n+1)·(n+2)…(n+n)=2n×1×3×…×(2n-1)(n∈N*)时,从“k”到“k+1”的证明,左边需增添的一个因式是

=2(2k+1),则f(k+1)=f(k)·[2(2k+1)].123456789101112131415163.[探究点一](多选题)已知一个命题p(k),k=2n(n∈N*).若当n=1,2,…,1000时,p(k)成立,且当n=1001时也成立,则下列判断中正确的是(

)A.p(k)对k=528成立B.p(k)对每一个自然数k都成立C.p(k)对每一个正偶数k都成立D.p(k)对某些偶数可能不成立AD解析

由题意知p(k)对k=2,4,6,…,2

002成立,当k取其他值时不能确定p(k)是否成立,故选AD.1234567891011121314151612345678910111213141516关于上述证明过程的说法正确的是(

)A.证明过程全都正确B.当n=1时的验证正确C.归纳假设正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确BCD解析

n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故选BCD.123456789101112131415165.[探究点五·2023江西新余月考]用数学归纳法证明34n+2+52n+1(n∈N)能被14整除时,当n=k+1时,对于34(k+1)+2+52(k+1)+1应变形为

.

34(34k+2+52k+1)-56·52k+1解析

34(k+1)+2+52(k+1)+1=34(34k+2+52k+1)-56·52k+1.12345678910111213141516(1)求出a2,a3并猜想{an}的通项公式;(2)用数学归纳法证明你的猜想.12345678910111213141516123456789101112131415167.[探究点三·人教B版教材例题]求证:当n是大于或等于5的正整数时,2n>n2.证明①当n=5时,25=32,52=25,显然25>52,所以此时命题成立.②假设n=k(其中k≥5)时命题成立,即2k>k2.因为k≥5,所以k2≥5k>2k+1,因此2k+1=2×2k>2×k2≥k2+5k>k2+2k+1=(k+1)2.可知不等式当n=k+1时也成立.综上可知,不等式对任何大于或等于5的正整数n都成立.123456789101112131415168.[探究点二·北师大版教材习题]平面内有n(n≥2,n∈N*)条直线,其中任何两条都不平行,任何三条都不经过同一点,用数学归纳法证明:交点的个数证明①当n=2时,两条直线只有一个交点.而f(2)=1,命题成立.第(k+1)条直线与前k条直线均有一个交点,即新增k个交点.即

由①②知,对于n≥2原命题成立.B级关键能力提升练12345678910111213141516D123456789101112131415161234567891011121314151610.利用数学归纳法证明等式:1·n+2·(n-1)+3·(n-2)+…+n·1=

n(n+1)(n+2)(n∈N*),当n=k时,左边的和1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,记作Sk,则当n=k+1时左边的和,记作Sk+1,则Sk+1-Sk=(

)A.1+2+3+…+kB.1+2+3+…+(k-1)C.1+2+3+…+(k+1)D.1+2+3+…+(k-2)C12345678910111213141516解析

依题意,Sk=1·k+2·(k-1)+3·(k-2)+…+k·1,则Sk+1=1·(k+1)+2·k+3·(k-1)+4·(k-2)+…+k·2+(k+1)·1,∴Sk+1-Sk=1·[(k+1)-k]+2·[k-(k-1)]+3·[(k-1)-(k-2)]+4·[(k-2)-(k-3)]+…+k·(2-1)+(k+1)·1=1+2+3+…+k+(k+1).1234567891011121314151611.(多选题)设f(x)是定义在正整数集上的函数,且f(x)满足:当f(k)≥k+1成立时,总有f(k+1)≥k+2成立.则下列命题总成立的是(

)A.若f(6)<7成立,则f(5)<6成立B.若f(3)≥4成立,则当k≥1时,均有f(k)≥k+1成立C.若f(2)<3成立,则f(1)≥2成立D.若f(4)≥5成立,则当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立AD12345678910111213141516解析

选项A中,若f(5)<6不成立,则f(5)≥6,由题意知f(6)≥7,与f(6)<7成立矛盾,所以f(5)<6成立,故A正确;选项D中,若f(4)≥5成立,则f(n0+1)≥n0+2(n0≥4,n0∈N*),即f(k)≥k+1(k≥5),结合f(4)≥5,所以当k≥4时,均有f(k)≥k+1成立,故D正确;选项C中,同选项A,应有f(1)<2成立,故C错误;B不一定成立.所以选AD.1234567891011121314151612.用数学归纳法证明“当n∈N*时,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除”时,第二步“假设当n=k(k∈N*)时,f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,证明当n=k+1时f(k+1)也能被8整除”的过程中,得到f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=f(k)+A,则A的表达式为

.

A=4(5k+3k-1)解析

因为f(k)=5k+2×3k-1+1,f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+2×3k+1=5k+2×3k-1+1+4×5k+4×3k-1=f(k)+4(5k+3k-1).故A=4(5k+3k-1).12345678910111213141516∈N*都成立?若不存在,说明理由;若存在,用数学归纳法证明你的结论.12345678910111213141516①当n=1时,左边=1,右边=1,∴等式成立;1234567891011121314151614.[北师大版教材例题]用数学归纳法证明:(1+α)n≥1+nα(其中α>-1,n∈N*).证明①当n=1时,左边=1+α,右边=1+α,命题成立.②假设当n=k(k≥1)时,命题成立,即(1+α)k≥1+kα.那么,当n=k+1时,因为α>-1,所以1+α>0.根据假设知,(1+α)k≥1+kα,所以(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=1+(k+1)α+kα2.因为kα2≥0,所以1+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α.从而(1+α)k+1≥1+(k+1)α.这表明,当n=k+1时命题也成