《等比数列的前n项和公式（第二课时）》课件

4.3.2

等比数列的前n项和公式应用1.等比数列前n项和公式：2.等比数列求和要考虑公比是否为1.3.等比数列求和的常用方法：错位相减法.

若等比数列{an}的公比q≠1，前n项和为Sn，则Sn,S2n－Sn,S3n－S2n成等比数列,其中公比为qn.复习引入4.等比数列的片段和性质：消元方法：约分或两式相除思考：你能发现等比数列前n项和公式Sn＝

(q≠1)的函数特征吗？探究新知➱➱当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.结构特点：qn的系数与常数项互为相反数.例1数列{an}的前n项和Sn＝3n－2.求{an}的通项公式,并判断{an}是否是等比数列.解:当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2·3n－1.当n＝1时，a1＝S1＝31－2＝1，不满足上式.由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，所以a1，a2，a3不是等比数列，即{an}不是等比数列.典例分析思考：还有其他方法判断{an}是否是等比数列吗？思考：若{an}是公比为q的等比数列，S偶,S奇分别是数列的偶数项和与奇数项和，则S偶,S奇之间有什么关系？(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋a3＋…

＋a2n-1＋a2n+1＝a1＋(a3＋…a2n-1＋a2n+1)＝a1＋q(a2＋a4＋…＋a2n)＝a1＋qS偶S奇＝a1＋qS偶S偶＝a2＋a4＋…＋a2nS奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1S偶＝a2＋a4＋…＋a2n探究新知➱⇔S偶＝qS奇⇔➱例2已知等比数列{an}共有2n项，其和为－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，求公比q.解：由题意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80∴S奇＝－80，S偶＝－160，典例分析变式：若等比数列{an}共有2n项，其公比为2，其奇数项和比偶数项和少100，则数列{an}的所有项之和为______.300

典例分析

例4去年某地产生的生活垃圾为20万吨，其中14万吨垃圾以填埋方式处理，6万吨垃圾以环保方式处理.预计每年生活垃圾的总量递增5%，同时，通过环保方式处理的垃圾量每年增加1.5万吨.为了确定处理生活垃圾的预算，请你测算一下从今年起5年内通过填埋方式处理的垃圾总量(精确到0.1万吨).典例分析分析：由题意可知，每年生活垃圾的总量构成等比数列，而每年以环保方式处理的垃圾量构成等差数列.因此，可以利用等差数列、等比数列的知识进行计算.

所以，从今年起5年内，通过填埋方式处理的垃圾总量约为63.5万吨.小试牛刀分组求和法(1)求形如cn＝an±bn的前n项和公式，其中{an}与{bn}是等差数列或等比数列；(2)

将等差数列和等比数列分开：Tn＝c1

+c2+…+cn

＝(a1

+a2+…+an

)±(b1

+b2+…+bn

)(3)利用等差数列和等比数列前n项和公式来计算Tn.解：变式：

典例分析

(2)这是待定系数法的应用，可以将它还原为(1)中的递推公式形式，通过比较系数，得到方程组；(3)利用(2)的结论可得出解答.

小试牛刀1.求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0).当x≠1时，Sn＝x＋

2x2＋

3x3＋

4x4

＋

…＋

nxnxSn＝

x2＋

2x3＋

3x4＋

…＋

(n－1)xn＋nxn＋1∴(1－x)Sn＝x＋

x2＋

x3＋

x4

＋

…＋

xn

－nxn＋1课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂练习课堂小结1.等比数列前n项和公式Sn的函数特征：当q＝1时，Sn＝na1，即Sn是n的正比例函数.当q≠1时，即Sn是n的指数型函数.(1)若等比数列{an}的项数有2n项，则(2)若等比数列{an}的项数有2n＋1项，则S奇＝a1＋qS偶⇔S偶＝qS奇⇔2.等比数列的S奇与S偶之间的关系：3.求和的方法分组求和法、错位相减法12345678910111213141516A级必备知识基础练17181.[探究点一]在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前3项和S3=21,则a3+a4+a5等于(

)A.33 B.72

C.84

D.189C解析

设公比为q,则S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.1234567891011121314151617182.[探究点二]已知数列{an}是等比数列,且公比q不为1,Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论一定正确的为(

)D解析

若q=-1,且n为偶数,则有Sn=0,∴S4=S8=S12=0,此时,A,B,C不成立;根据等比数列的性质也可以得到选项D正确.故选D.1234567891011121314151617183.[探究点一]已知{an}是等比数列,{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别是A,B,C,则(

)A.A+B=C B.3B-3A=CC.B2=AC D.B(B-A)=A(C-A)D解析

若公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,A,B-A,C-B成等比数列,故(B-A)2=A(C-B),整理得B2-AB=AC-A2,即B(B-A)=A(C-A),若公比q=-1,且n为偶数时,A=B=C=0,满足此式.故选D.1234567891011121314151617184.[探究点一]已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=(

)A.11 B.12

C.13

D.14B解析

由题意可得所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和的4倍,可知S奇+S偶=4S偶.设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可得S偶=qS奇,123456789101112131415161718D1234567891011121314151617186.[探究点一](多选题)记数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,下列四个命题中不正确的有(

)B.若Sn=Aqn+B(非零常数q,A,B满足q≠1,A+B=0),则数列{an}为等比数列C.若数列{an}为等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列

D.设数列{an}是等比数列,若a1<a2<a3,则{an}为递增数列AC123456789101112131415161718解析

若an=0,满足对于∀n∈N*,=anan+2,但数列{an}不是等比数列,故A错误;对于B,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Aqn+B-(Aqn-1+B)=Aqn-1·(q-1)且q≠1,当n=1时,因为A+B=0,则a1=S1=Aq+B=A(q-1)符合上式,故数列{an}是首项为A(q-1),公比为q的等比数列,故B正确;若数列{an}为等比数列,当公比q=-1,且n为偶数时,此时Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均为0,不是等比数列,故C错误;设数列{an}是等比数列,且公比为q,若a1<a2<a3,即a1<a1q<a1q2,若a1>0,可得1<q<q2,即q>1,则{an}为递增数列;若a1<0,可得1>q>q2,即0<q<1,则{an}为递增数列,故D正确.1234567891011121314151617187.[探究点一]已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2020=

.3·21

010-3解析

∵an+1·an=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.1234567891011121314151617188.[探究点一]已知等比数列{an}的各项均为正实数,Sn为数列{an}的前n项和,若S5=5,S15=35,则S10=

.

15解析

∵等比数列{an}的各项均为正实数,Sn为数列{an}的前n项和,∴由等比数列前n项和的性质,可得S5,S10-S5,S15-S10也成等比数列,∴(S10-5)2=5×(35-S10),∴S10=15或S10=-10(舍去).1234567891011121314151617189.[探究点一]在等比数列{an}中,若q=,S100=150,求a2+a4+a6+…+a100的值.解

根据题意,若q=,S100=150,则S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=2(a2+a4+…+a100)+a2+a4+…+a100=3(a2+a4+…+a100)=150,则a2+a4+…+a100=50.B级关键能力提升练12345678910111213141516171810.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),a1a2a3=-27,则a5=(

)A.81 B.24

C.-81 D.-24D解析

由等比数列的性质可得a1a2a3==-27,解得a2=-3.设等比数列{an}的公比为q,则S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)=(q+1)(a1+a3+…+a2n-1),所以q=2,所以a5=a2×q3=-3×23=-24.12345678910111213141516171811.若数列{xn}满足lgxn+1=1+lgxn(n∈N*),且x1+x2+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值等于(

)A.200 B.120

C.110

D.102D解析

因为lg

xn+1=1+lg

xn,所以lg

(x101+x102+…+x200)=lg[(x1+x2+…+x100)·10100]=lg(100×10100)=102.123456789101112131415161718D12345678910111213141516171813.(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是(

)A.q=2B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8=510D.数列{log2an}是公差为2的等差数列ABC123456789101112131415161718解析

因为数列{an}为等比数列,又a1a4=32,所以a2a3=32.{Sn+2}是等比数列,即选项B正确;S8=29-2=510,即选项C正确;log2an+1-log2an=(n+1)-n=1,即数列{log2an}是公差为1的等差数列,即选项D错误.故选ABC.12345678910111213141516171814.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=bn+1-2(b>0,b≠1),则a4=

.

16解析

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(b-1)·bn.因为a1=S1=b2-2,所以(b-1)b=b2-2,解得b=2,因此Sn=2n+1-2,于是a4=S4-S3=16.12345678910111213141516171815.如图,作边长为3的正三角形ABC的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前n个内切圆的面积和为

.

12345678910111213141516171812345678910111213141516171816.已知正项等差数列{an}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{bn}的前三项,a2=3.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;解

(1)设公差为d,根据题意知d≠0,a2=a1+d,a5=a1+4d,a14=a1+13d.∵(a1+4d)2=(a1+d)(a1+13d),a1+d=3,∴3d2-6d=0,∴d=2(d=0舍去).又a2=3,d=2,∴a1=1,an=2n-1.∵b1=a2=3,