《等比数列的前n项和公式（第一课时）》课件

4.3.2等比数列的前n项和公式国际象棋起源于古代印度.相传国王要奖赏国际象棋的发明者，问他想要什么.发明者说：“请在棋盘的第1个格子里放上1颗麦粒，第2个格子里放上2颗麦粒，第3个格子里放上4颗麦粒，依次类推，每个格子里放的麦粒都是前一个格子里放的麦粒数的2倍，直到第64个格子.请给我足够的麦粒以实现上述要求.”国王觉得这个要求不高，就欣然同意了.创设情境你想得到什么样的赏赐？陛下赏小人几粒麦子就搞定.OK第一格放1粒麦子，以后每个格子里放的麦粒数都是前一个格子里放的的2倍，直到第64个格子西萨国王问题1：每一格的麦粒数{an}构成什么数列？问题2：国王答应奖赏给发明者西萨的总麦粒数用式子怎么表示？{an}为以1为首项，2为公比的等比数列.探究新知问题3：总麦粒数S64怎么求？探究S64的求法:探究新知大家猜想S64应该等于多少？可将两式相减，消去这些相同项，得探究新知问题4：S64进行怎样的变形能出现264？问题5：根据两式我们如何求出S64的值呢？等式两边乘上的2是此数列的什么？问题解决：假定千粒麦粒的质量为40克，据查，2016—2017年度世界年度小麦产量约为7.5亿吨，根据以上数据，判断国王是否能实现他的诺言.探究新知7300多亿吨➱国王的诺言不能实现！➱人们估计，全世界一千年也难以生产这么多麦子!(1)(2)错位相减法1-q是否为零？讨论公比q是否为1探究：类比上面求和的方法能否得到等比数列前n项和公式呢？探究新知首项末项公比前n项和项数等比数列前n项和公式：探究新知注意(1)等比数列求和时，应考虑q=1与q≠1两种情况.(2)推导等比数列前n项和公式的方法：错位相减法.(3)步骤:乘公比，错位写，对位减.典例分析典例分析典例分析不要忘记考虑q=1与q≠1两种情况.解法1：典例分析例3(1)(2)(3)解法2：两式相除：实现整体消元的目的证明：典例分析例4巩固练习巩固练习巩固练习5.如果一个等比数列前5项和等于10,前10项的和等于50,求这个数列的公比.巩固练习解法1：解法2：1.掌握等比数列前n项和公式推导方法（错位相减法）.2.掌握等比数列前n项和公式（注意分类讨论）.课堂小结12345678910111213141516A级必备知识基础练1718191.[探究点一]已知数列{an}的通项公式是an=2n,Sn是数列{an}的前n项和,则S10等于(

)A.10 B.210

C.a10-2 D.211-220D123456789101112131415161718192.[探究点一·2023江苏南京鼓楼月考]已知Sn为等比数列{an}的前n项和,若

20C123456789101112131415161718193.[探究点二]已知等比数列{an}中,an=2n-1,则由此数列的奇数项所组成的新数列的前n项和为(

)20B解析

∵an=2n-1,∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.∴由数列{an}的奇数项构成的新数列是以1为首项,4为公比的等比数列,∴新数列的前n123456789101112131415161718194.[探究点一]在各项均为正数的等比数列{an}中,a2=4,a6=64,前n项和Sn=510,则n=(

)A.6 B.7 C.8 D.920C1234567891011121314151617181920±2123456789101112131415161718196.[探究点三]数列{bn}的通项公式为bn=(2n-1)()n,则数列{bn}的前n项和为Sn=

.

20123456789101112131415161718197.[探究点一]已知等比数列{an}是递减数列,Sn是{an}的前n项和,若a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两个根,则公比q=

,S5=

.

20解析

∵a1,a2是方程2x2-3x+1=0的两根,且等比数列{an}是递减数列,123456789101112131415161718198.[探究点一·2023湖北武汉月考]在等比数列{an}中,(1)已知a1=1,公比q=-2,求前8项和S8;20解

(1)∵a1=1,公比q=-2,1234567891011121314151617181920123456789101112131415161718199.[探究点二]已知数列{an}满足a1=1,且an+1-an=2.(1)求数列{an}的通项公式;20解

(1)数列{an}满足a1=1,且an+1-an=2,所以数列{an}是等差数列,且首项为1,公差为2,因此an=1+2(n-1)=2n-1.12345678910111213141516171819201234567891011121314151617181910.等比数列{an}的公比为q(q≠1),则数列a3,a6,a9,…,a3n,…的前n项和为(

)B级关键能力提升练20C1234567891011121314151617181920解析

依题意得等比数列{an}的通项an=a1qn-1,所以a3n=a1q3n-1,1234567891011121314151617181920C1234567891011121314151617181920所以an=2n-1(n∈N*).令2an-n=bn,所以bn=2n-n,因此有Sn=(2-1)+(22-2)+(23-3)+…+(2n-n)1234567891011121314151617181912.设f(n)=2+23+25+27+…+22n+7(n∈N*),则f(n)等于(

)20D解析

∵f(n)=2+23+25+27+…+22(n+4)-1,∴f(n)是以2为首项,4为公比的等比数列的前n+4项的和,12345678910111213141516171819A.±9 B.9

C.±3 D.320C解析

设等比数列的公比为q,则由已知可得

1234567891011121314151617181914.已知等比数列{an}中,an>0,其前n项和为Sn,前n项积为Tn,且S2=48,S4=60,则使得Tn<1成立的正整数n的最小值为(

)A.9 B.10

C.11

D.1220D解析

∵等比数列{an}中,an>0,S2=48,S4=60,则q≠1,1234567891011121314151617181915.(多选题)已知数列{an}的前n项和为Sn,Sn=2an-2,若存在两项am,an,使得aman=64,则(

)A.数列{an}为等差数列B.数列{an}为等比数列D.m+n为定值

20BD1234567891011121314151617181920aman=2m2n=2m+n=64=26,所以m+n=6为定值,故选项D正确.故选BD.1234567891011121314151617181916.[2023黑龙江齐齐哈尔月考]已知等比数列{an}的前n项和Sn=λ·3n-1-1(λ∈209解析

当n≥2时,an=Sn-Sn-1=λ·3n-1-1-(λ·3n-2-1)=2λ·3n-2,故a2=2λ,等比数列的公比为3.∵a1=S1=λ·31-1-1=λ-1,∴3(λ-1)=2λ,解得λ=3,a1=λ-1=2,∴数列{an}是首项为2,公比为3的等比数列,1234567891011121314151617181917.若等比数列{an}的前n项和为Sn,且S3+S6=2S9,则公比q等于

.

20解析

若q=1,S3+S6=3a1+6a1=9a1≠2S9.∴q≠1,1234567891011121314151617181918.条件①:设数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n+k(n∈N*,k∈R),a1=1.条件②:对∀n∈N*,有

=q>1(q为常数),a3=4,并且a2-1,a3,a4-1成等差数列.在以上两个条件中任选一个,补充到下面的问题中,并作答.在数列{an}中,

.

(1)求数列{an}的通项公式;(2)记Tn=a1+2a2+3a3+…+nan,求T10的值.201234567891011121314151617181920解

(1)选条件①,由S1=2+k=a1=1,得k=-1,∴Sn=2n-1.当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,a1=1符合上式,∴数列{an}的通项公式为an=2n-1.1234567891011121314151617181920(2)T10=1+2×2+3×22+4×23+…+10×29,∴2T10=2+2×22+3×23+4×24+…+9×29+10×210,两式相减,∴T10=9×210+1.C级学科素养创新练1234567891011121314151617181919.已知等比数列{a