10.1.3古典概型（教案）

第十章概率10.1.3古典概型一、教学目标1、掌握随机事件概率的含义及表示；2、正确理解古典概型的两大特点：有限性、等可能性；3、掌握古典概型的概率计算公式，并能计算有关随机事件的概率。4.通过对古典概型的学习，培养学生数学抽象、数学运算、逻辑推理、数学建模等数学素养。二、教学重难点1.了解随机事件概率的含义及表示.2.如何判断一个实验是否是古典概型，如何将实际问题转化为古典概型。三、教学过程：（1）创设情景①在前面的学习中，我们曾做抛掷硬币的模拟实验，用统计的方法求硬币出现正面向上的概率。用试验统计的方法来求某一随机事件的概率有什么不足？②有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，那么抽到的牌为红心的概率有多大？③猜想两个实验的结果:实验1：有红心1，2，3和黑桃4，5这5张扑克牌，将其牌点向下置于桌上，现从中任意抽取一张，该实验的所有可能结果是什么?实验2：抛掷一枚质地均匀的骰子的所有可能结果是什么?新知探究问题1:你会用什么方法解决问题?会不会有更好的方法呢?学生回答，教师点拨问题2:抛掷一枚质地均匀的骰子的所有可能结果是什么?哪种结果的可能性较大?学生回答，教师点拨并提出本节课所学内容问题3:你能从上面两个实验中发现这两个试验有什么共同的特点?学生回答，教师点拨①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（有限性）②每个基本事件出现的可能性相等。（等可能性）新知建构概率对随机事件发生可能性大小的度量(数值)称为事件的概率(probability)，事件A的概率用P(A)表示．古典概型：具有如下共同特征：①有限性：样本空间的样本点只有______个；②等可能性：每个样本点发生的可能性相等．我们将具有以上两个特征的试验称为古典概型试验，其数学模型称为古典概率模型(classicalmodelsofprobability)，简称古典概型．概率公式：一般地，设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率P(A)＝eq\f(k,n)＝eq\f(nA,nΩ).其中，n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．（4）数学运用例1.某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游.(1)若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；(2)若从亚洲国家和欧洲国家中各选1个，求这两个国家包括A1，但不包括B1的概率．【答案】（1）；（2）【解析】（Ⅰ）由题意知，从6个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的样本点有：，共个.所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的样本点有：,共个，则所求事件的概率为：.（Ⅱ）从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的样本点有：，共个，包含但不包括的事件所包含的样本点有：，共个，所以所求事件的概率为：.变式训练1:某儿童乐园在“六一”儿童节推出了一项趣味活动.参加活动的儿童需转动如图所示的转盘两次，每次转动后，待转盘停止转动时，记录指针所指区域中的数.设两次记录的数分别为x，y.奖励规则如下：①若，则奖励玩具一个；②若，则奖励水杯一个；③其余情况奖励饮料一瓶.假设转盘质地均匀，四个区域划分均匀.小亮准备参加此项活动.（Ⅰ）求小亮获得玩具的概率；（Ⅱ）请比较小亮获得水杯与获得饮料的概率的大小，并说明理由.【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率.【解析】（Ⅰ）两次记录的所有结果为（1,1），（1,,2），（1,3），（1,4），（2,1），（2,2），（2,3），（2,4），（3,1），（3,2），（3,3），（3,4），（4,1），（4,2），（4,3），（4,4），共16个．满足xy≤3的有（1,1），（1,,2），（1,3），（2,1），（3,1），共5个，所以小亮获得玩具的概率为．（Ⅱ）满足xy≥8的有（2,4），（3,,3），（3,4），（4,2），（4,3），（4,4），共6个，所以小亮获得水杯的概率为；小亮获得饮料的概率为，所以小亮获得水杯的概率大于获得饮料的概率．变式训练2:将一颗质地均匀的骰子（一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具）先后抛掷2次，则出现向上的点数之和大于9的概率是_______．【答案】【解析】抛掷一个骰子两次，基本事件有种，其中符合题意的有：共六种，故概率为.例2.某工厂的,,三个不同车间生产同一产品的数量(单位:件)如下表所示.质检人员用分层抽样的方法从这些产品中共抽取6件样品进行检测:车间数量50150100(1)求这6件样品中来自,,各车间产品的数量;(2)若在这6件样品中随机抽取2件进行进一步检测,求这2件产品来自相同车间的概率.【答案】(1)1,2,3;(2).【解析】(1)因为样本容量与总体中的个体数的比是,所以车间产品被选取的件数为,车间产品被选取的件数为,车间产品被选取的件数为.(2)设6件自､､三个车间的样品分别为:;,,;,.则从6件样品中抽取的这2件产品构成的所有样本点为:,,,,,,,,,,,,,,,共15个.每个样品被抽到的机会均等,因此这些样本点的出现是等可能的.记事件:“抽取的这2件产品来自相同车间”,则事件包含的样本点有:,,,,共4个所以.所以这2件商品来自相同车间的概率为.变式训练:现有7名数理化成绩优秀者，分别用，，，，，，表示，其中，，的数学成绩优秀，，的物理成绩优秀，，的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，组成一个小组代表学校参加竞赛，则和不全被选中的概率为____________.【答案】【解析】从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名，所有可能的结果组成的12个样本点为，，，，，，，，，，，.“和全被选中”有2个样本点，，“和不全被选中”为事件共有10个样本点，概率为.故答案为:.例3:某研究性学习小组对春季昼夜温差大小与某花卉种子发芽多少之间的关系进行研究，他们分别记录了3月1日至3月5日的每天昼夜温差与实验室每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期3月1日3月2日3月3日3月4日3月5日温差101113128发芽数（颗2325302616（1）求这5天的平均发芽率；（2）从3月1日至3月5日中任选2天，记发芽的种子数分别为，，用的形式列出所有的基本事件，并求满足“，，”的事件的概率．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）这5天的平均发芽率为：．（2）从3月1日至3月5日任中选2天，记发芽的种子数分别为，，用的形式列出所有的基本事件有10个，分别为：，，，，，，，，，．满足“，，”的事件包含的基本事件有：，，，共3个．满足“，，”的事件的概率（A）．变式训练:张明拿着一个罐子来找陈华玩，罐子里有四个一样大小的玻璃球，两个黑色，两个白色．张明说：使劲摇晃罐子，使罐中的小球位置打乱，等小球落定后，如果是黑白相间地排列（如图所示）就算甲方赢，否则就算乙方赢，试问陈华要当甲方还是乙方，请你给陈华出个主意．【答案】答案见解析【解析】建议陈华当乙方．理由：四个球的排列有如下几种情况：黑、黑、白、白；白、白、黑、黑；黑、白、黑、白；白、黑、白、黑；黑、白、白、黑；白、黑、黑、白．其中只有两种情况黑白相间地排列，故甲方赢的概率为，乙方赢的概率为，所以建议陈华当乙方．四、小结：概率古典概型：具有如下共同特征：①有限性：②等可能性：概率公式：A级必备知识基础练1.[探究点一]下列试验是古典概型的是()A.种下一粒大豆观察它是否发芽B.从规格直径为(250±0.6)mm的一批产品中任意抽一根,测量其直径C.抛一枚硬币,观察其正面或反面出现的情况D.某人射击中靶或不中靶2.[探究点二]在一个袋子中装有分别标注数字1,2,3,4,5的五个小球,这些小球除标注的数字外完全相同,现从中随机取出2个小球,则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是()A.310 B.15 C.1103.[探究点二]从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是()A.12 B.13 C.144.[探究点二·2023云南曲靖平罗模拟]算盘起源于中国,是中国传统的计算工具.现有一种算盘(如图1),共两档,自右向左分别表示个位和十位,档中横一梁,梁上一珠拨下,记作数字5,梁下五珠,上拨一珠记作数字1(如图2中算盘表示整数51).如果拨动图1算盘中的两枚算珠,则表示的数字大于50的概率为()图1图2A.14 B.C.12 D.5.[探究点二]将一枚质地均匀的一元硬币抛3次,恰好出现一次正面朝上的概率是.

6.[探究点二]在1,2,3,4四个数中,可重复地选取两个数,其中一个数是另一个数的2倍的概率是.

7.[探究点二]甲、乙两校各有3名教师报名支教,其中甲校2男1女,乙校1男2女.(1)若从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师性别相同的概率.(2)若从报名的6名教师中任选2名,写出所有可能的结果,并求选出的2名教师来自同一所学校的概率.B级关键能力提升练8.某中学举行党史学习教育知识竞赛,甲队有A,B,C,D,E,F共6名选手,其中4名男生2名女生,按照比赛规则,比赛时现场从中随机抽出2名选手答题,则至少有1名女同学被选中的概率是()A.13 B.25 C.129.我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果,哥德巴赫猜想的内容是:每个大于2的偶数都可以表示为两个质数(质数是指在大于1的自然数中,除了1和它本身以外不再有其他因数的自然数)的和,例如:8=3+5,在不超过14的质数中随机选取两个不同的数,其和等于14的概率为()A.16 B.112 C.11410.某考试方案将采用“3+1+2”模式,“3”为语文、数学、英语所有学生必考;“1”为必须在物理、历史中选一科;“2”为再选科目,考生须在化学、生物、政治、地理4个科目中任选两科.若不考虑主观因素的影响,选择各科是等可能的,则某同学选择含有地理学科组合的概率为()A.14 B.12 C.71511.《史记》中有这样一道题:齐王与田忌赛马,田忌的上等马劣于齐王的上等马,优于齐王的中等马,田忌的中等马劣于齐王的中等马,优于齐王的下等马,田忌的下等马劣于齐王的下等马,现两人进行赛马比赛,比赛规则为:每匹马只能用一次,每场比赛双方各出一匹马,共比赛三场.每场比赛中胜者得1分,否则得0分.若每场比赛之前彼此都不知道对方所用之马,则比赛结束时,田忌得2分的概率为()A.13 B.2C.16 D.12.(多选题)下列试验是古典概型的是()A.在适宜的条件下种一粒种子,种子发芽的概率B.口袋里有2个白球和2个黑球,这4个球除颜色外完全相同,从中任取一球为白球的概率C.向一个圆面内部随机地投一个点,该点落在圆心的概率D.老师从甲、乙、丙三名学生中任选两人做典型发言,甲被选中的概率13.(多选题)一个袋子中装有3件正品和1件次品,按以下要求抽取2件产品,其中结论正确的是()A.任取2件,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是1B.每次抽取1件,不放回抽取两次,样本点总数为16C.每次抽取1件,不放回抽取两次,则取出的2件中恰有1件是次品的概率是1D.每次抽取1件,有放回抽取两次,样本点总数为1614.从2,3,8,9中任取两个不同的数字,分别记为a,b,则logab为整数的概率是.

15.一个三位自然数百位、十位、个位上的数字依次为a,b,c,当且仅当a>b,b<c时称为“凹数”(如213),若a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同,则这个三位数为“凹数”的概率为.

16.现有7名数理化成绩优秀者,分别用A1,A2,A3,B1,B2,C1,C2表示,其中A1,A2,A3的数学成绩优秀,B1,B2的物理成绩优秀,C1,C2的化学成绩优秀.从中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,组成一个小组代表学校参加竞赛,则A1和B1不全被选中的概率为.

17.从1,2,3,4,5这5个数字中不放回地任取两个数,则两个数都是奇数的概率是.若有放回地任取两个数,则两个数都是偶数的概率是.

C级学科素养创新练18.(多选题)设集合M={2,3,4},N={1,2,3,4},分别从集合M和N中随机取一个元素m与n.记“点P(m,n)落在直线x+y=k上”为事件Ak(3≤k≤8,k∈N*),若事件Ak的概率最大,则k的取值可能是 ()A.4 B.5 C.6 D.719.某药厂测试一种新药的疗效,随机选择1200名志愿者服用此药,结果如下:治疗效果病情好转疗效不时显病情恶化人数800200200现拟采用分层随机抽样的方法从服用此药的1200名志愿者中抽取6人组成样本,并从这抽出的6人中任意选取3人参加药品发布会,求抽取的3人病情都未恶化的概率.参考答案1.C只有C具有古典概型两个特征.2.A从这5个小球中任取两个,设x1,x2分别表示先、后取得的小球的标号,则(x1,x2)表示一个样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)},共10个样本点.设A=“取出的小球标注数字之和为3或6”,则A={(1,2),(1,5),(2,4)},共3种,所以所求概率P(A)=n(A)n3.B从1,2,3,4中任取2个不同的数,设x1,x2分别表示先后取出的2个数,则可用(x1,x2)表示样本点,试验的样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)},设A=“满足取出的2个数之差的绝对值为2”,则A={(1,3),(2,4)},故所求概率是264.B拨动图1算盘中的两枚算珠,有两类办法,第一类,只在一个档拨动两枚算珠,共有4种方法,表示的数字分别为2,6,20,60;第二类,在每一个档各拨动一枚算珠共有4种方法,表示的数字分别为11,15,51,55.所以表示不同整数的个数为8,其中表示的数字大于50的有51,55,60,共3个,所以表示的数字大于50的概率为38.故选B5.38试验共有8个基本结果:(正,正,正),(反,正,正),(正,反,正),(正,正,反),(反,反,正),(反,正,反),(正,反,反),(反,反,反),其中恰好出现一次正面朝上的结果有3个,故所求的概率是36.14用列举法知,可重复地选取两个数共有16种基本结果,其中一个数是另一个数的2倍的有(1,2),(2,1),(2,4),(4,2),共4种,故所求的概率为47.解(1)甲校2名男教师分别用A,B表示,1名女教师用C表示;乙校1名男教师用D表示,2名女教师分别用E,F表示.设从甲校选出的教师为x1,从乙校选出的教师为x2,则(x1,x2)可表示样本点.从甲校和乙校报名的教师中各任选1名,试验的样本空间Ω={(A,D),(A,E),(A,F),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F)},共9种结果.设M=“从中选出2名教师性别相同”,则M={(A,D),(B,D),(C,E),(C,F)},共4种结果,所以选出的2名教师性别相同的概率为P=49(2)设N=“从甲校和乙校报名的6名教师中任选2名”,则N={(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)},共15种结果.设O=“从中选出2名教师来自同一所学校”,则O={(A,B),(A,C),(B,C),(D,E),(D,F),(E,F)},共6种结果,所以选出的2名教师来自同一所学校的概率为P=6158.D现场选2名选手,共有(A,B),(A,C),(A,D),(A,E),(A,F),(B,C),(B,D),(B,E),(B,F),(C,D),(C,E),(C,F),(D,E),(D,F),(E,F)15种情况,不妨设A,B,C,D四位同学为男同学,则没有女同学被选中的情况共6个,则至少有一名女同学被选中的概率为915故选D.9.D不超过14的质数有2,3,5,7,11,13,共6个数,在这6个数中随机选取两个不同的数,可用列举法得出共15种选法,两个数的和等于14的共有(3,11),共有1种选法,所以其和等于14的概率为11510.B按照“3+1+2”模式选科具体组合如下:(物理,化学,生物),(物理,化学,地理),(物理,化学,政治),(物理,生物,政治),(物理,生物,地理),(物理,政治,地理),(历史,化学,生物),(历史,化学,地理),(历史,化学,政治),(历史,生物,政治),(历史,生物,地理),(历史,政治,地理),共12种组合,其中含地理学科的组合有6种,所以某同学选择含地理学科组合的概率P=612故选B.11.C设齐王的上、中、下三个等次的马分别为a,b,c,田忌的上、中、下三个等次的马分别为A,B,C,双方各出上、中、下等马各1匹分组分别进行1场比赛,所有的可能为Aa,Bb,Cc,田忌得0分;Aa,Bc,Cb,田忌得1分;Ba,Ab,Cc,田忌得1分;Ba,Ac,Cb,田忌得1分;Ca,Ab,Bc,田忌得2分;Ca,Ac,Bb,田忌得1分.田忌得2分的概率为P=16故选C.12.BD13.ACD记4件产品分别为1,2,3,a,其中1,2,3表示正品,a表示次品.在A中,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,3),(2,a),(3,a)},共6个样本点,且每个样本点出现的可能性相等,“恰有一件次品”的样本点为(1,a),(2,a),(3,a),因此其概率P=36=12,A正确;在B中,每次抽取1件,不放回抽取两次,样本空间Ω={(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3)},因此n(Ω)=12,B错误;在C中,“取出的两件中恰有一件次品”的样本点数为6,其概率为12,C正确;在D中,每次抽取1件,有放回抽取两次,样本空间Ω={(1,1),(1,2),(1,3),(1,a),(2,1),(2,2),(2,3),(2,a),(3,1),(3,2),(3,3),(3,a),(a,1),(a,2),(a,3),(a,a)},因此n(Ω14.16从2,3,8,9中任取两个数记为a,b,作为对数的底数与真数,共有3×4=12(个)样本点,其中为整数的只有log28,log39两个,所以其概率P=215.13a,b,c∈{1,2,3},且a,b,c互不相同所组成的三位数的所有可能情况为123,132,213,231,312,321,共6个数,其中是“凹数”的有213,312,共2个数,故所求概率为P=216.56从这7人中选出数学、物理、化学成绩优秀者各1名,所以该随机试验的样本空间中有12个样本点,样本空间Ω={(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),(A1,B2,C1),(A1,B2,C2),(A2,B1,C1),(A2,B1,C2),(A2,B2,C1),(A2,B2,C2),(A3,B1,C1),(A3,B1,C2),(A3,B2,C1),(A3,B2,C2)}“A1和B1全被选中”有2个样本点(A1,B1,C1),(A1,B1,C2),所以“A1和B1不全被选中”共有10个样本点,则A1和B1不全被选中的概率为101217.310425从5个数字中不放回地任取两个数,样本点有(1,2),(1,3),(1,4),(1,5),(2,3),(2,4),(2,5),(3,4),(3,5),(4,5),因为两个数都为奇数的样本点有(1,3),(1,5),(3,5),共3个,所以所求概率为310从这5个数字中有放回地任取两个数,样本点共有25个,两个数都为偶数的样本点有(2,4