4.1数列的概念（1）A基础练（解析版）

4.1数列的概念（1）-A基础练一、选择题1．数列3，5，7，9，…的一个通项公式是（）A． B． C． D．【答案】A【详解】因为所以.故选：A2．下列四个数中，哪个是数列中的一项（）A．55 B．56C．57 D．58【答案】B【详解】由，有或（舍去）．所以正确；，，均无正整数解，则、、都不正确．故选：．3．已知数列则是这个数列的（）A．第项 B．第项 C．第项 D．第项【答案】D【详解】由数列的通项公式，可得，所以，所以是第项.故选：D.4．在1，2，3，…，2020这2020个自然数中，将能被2除余1，且被3除余1的数按从小到大的次序排成一列，构成数列，则（）A．289 B．295 C．301 D．307【答案】B【详解】由题意可知即是2的倍数，又是3的倍数，即是6的倍数，则，所以，所以.故选：B.5．（多选题）已知数列，则前六项适合的通项公式为（）A． B．C． D．【答案】AC【详解】对于选项A，取前六项得：，满足条件；对于选项B，取前六项得：，不满足条件；对于选项C，取前六项得：，满足条件；对于选项D，取前六项得：，不满足条件；故选：AC6．（多选题）下列四个命题中，正确的有（）A．数列的第项为B．已知数列的通项公式为，则-8是该数列的第7项C．数列3，5，9，17，33…的一个通项公式为D．数列的通项公式为，则数列是递增数列【答案】ABD【详解】A，数列的第出项为，A正确；B，令，得或（舍去），B正确；C，将3，5，9，17，33，…的各项减去1，得2，4，8，16，32，…，设该数列为，则其通项公式为，因此数列3，5，9，17，33，…的一个通项公式为C错误；D，，则，因此数列是递增数列，D正确，故选：ABD．二、填空题7．若数列的前4项分别是，，，，则此数列一个通项公式为________．【答案】【详解】观察数列得分母是2开始，故分母为，奇数项为负，故有，∴通项为8．如图关于星星的图案构成一个数列，该数列的第20个图案有______.【答案】【详解】观察数列中的星星构成的规律：当时，有个，当时，有个，当时，有个，所以当时，有个。9．设数列的通项公式为，若数列是单调递增数列，则实数的取值范围为________．【答案】【详解】由数列是单调递增数列，所以，即，即（）恒成立，又数列是单调递减数列，所以当时，取得最大值，所以.10.天干地支纪看法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干：甲、乙、丙、丁、戊、已、庚、辛、壬、癸.十二地支：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支纪年法是按顺序以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年为“甲子”，第二年为“乙丑”，第三年为“丙寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新开始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新开始，即“丙子”，…，以此类推，已知2020年为庚子年，那么到建国100年时，即2049年以天干地支纪年法为__________.【答案】已巳【详解】由题意可知数列天干是10个为一个循环的循环数列，地支是以12个一个循环的循环数列，从2020年到2049年一共有30年，且2020年为庚子年，则，2049年的天干为已，余6，2049年的地支为巳，故2049年为已巳年。三、解答题11.写出下列各数列的一个通项公式：（1）4，6，8，10，…；（2）…；（3）…；（4）5，55，555，5555，…．【详解】（1）易知该数列是首项从4开始的偶数，所以该数列的一个通项公式为．（2）易知该数列中每一项分子比分母少1，且分母可写成，…，故所求数列的通项公式可写为．（3）通过观察可知，该数列中的奇数项为负，偶数项为正，故选择．又第1项可改写成分数，所以每一项的分母依次为3，5，7，9…，可写成的形式，分子为3=1×3，8=2×4，15=3×5，24=4×6……．可写成的形式．所以该数列的一个通项公式为．（4）这个数列的前4项可以变为即即所以它的一个通项公式为．12．已知数列的通项公式为.（1）问0.25是不是这个数列的项？如果是，为第几项；如果不是，请说明理由（2）计算，并判断其符号；（3）求此数列的最小项，该数列是否存在最大项？【详解】（1）是,令,即,解得,0.25是数列的项,是第17项（2）由题,,,,即（3）由（2）可得数列是递增数列,则最小项为首项,即,无最大项A级必备知识基础练1.[探究点三]数列{an}中,若an=n16-2n,则a4A.12 B.2 C.22 D.2.[探究点三]已知数列-1,14,-19,…,(-1)n1nA.15 B.-15 C.125 D3.[探究点三]已知数列的通项公式an=3n+1,n为奇数,2n-A.70 B.28 C.20 D.84.[探究点三]数列2,-5,8,-11,…,(-1)n-1(3n-1),…的第2n项为()A.6n-1 B.-6n+1 C.6n+2 D.-6n-25.[探究点二·2023陕西西安检测]数列-2,4,-6,8,…的通项公式可能为()A.an=(-1)n+12n B.an=(-1)n2nC.an=(-1)n+12n D.an=(-1)n2n6.[探究点二、三](多选题)已知数列2,2,6,22,…,则下列说法正确的是()A.此数列的通项公式是2B.8是它的第32项C.此数列的通项公式是nD.8是它的第4项7.[探究点一](多选题)下面四个数列中,既是无穷数列又是递增数列的是()A.1,12,1B.sinπ7,sin2π7,sin3C.-1,-12,-14,-18,…,D.1,2,3,…,8.[探究点四(角度2)]已知数列{an}的通项公式为an=2021-3n,则使an>0成立的正整数n的最大值为.

9.[探究点三]已知数列{an}的通项公式,写出这个数列的前5项,并作出它的图象:(1)an=2;(2)bn=n10.[探究点二]写出以下各数列的一个通项公式.(1)1,-12,14,(2)10,9,8,7,6,….(3)2,5,10,17,26,….(4)12,(5)3,33,333,3333,….11.[探究点三]已知数列{an},an=n2-pn+q,且a1=0,a2=-4.(1)求a5.(2)150是不是该数列中的项?若是,是第几项?B级关键能力提升练12.设an=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…A.14 B.C.12+1313.若数列{an}的通项公式为an=-2n2+25n,则数列{an}的各项中最大项是()A.第4项 B.第5项 C.第6项 D.第7项14.(多选题)已知数列{an}的前4项依次为2,0,2,0,则数列{an}的通项公式可以是()A.an=2,n为奇数,0,n为偶数 B.an=C.an=2sinnπ2 D.a15.[2023湖南长沙月考]数列{an}的通项公式an=(7-t)n+4,nA.[4,7) B.325,7 C.[325,7) 16.已知数列{an}的通项公式为an=3n+k2n,若数列{an}为递减数列,则实数17.函数f(x)=x2-2x+n(n∈N*)的最小值记为an,设bn=f(an),则数列{an},{bn}的通项公式分别是an=,bn=.

18.已知数列{an}的通项公式为an=n2-21n2(n(1)0和1是不是数列{an}中的项?如果是,那么是第几项?(2)数列{an}中是否存在连续且相等的两项?若存在,分别是第几项?C级学科素养创新练19.1766年,德国有一位名叫提丢斯的数学老师,把数列0,3,6,12,24,48,96,…,经过一定的规律变化,得到新数列:0.4,0.7,1,1.6,2.8,5.2,10,…,科学家发现,新数列的各项恰好为太阳系行星与太阳的平均距离,并据此发现了“天王星”“谷神星”等天体,这个新数列就是著名的“提丢斯—波得定则”.根据规律,新数列的第8项为()A.14.8 B.19.2 C.19.6 D.20.420.若数列{an}的通项公式为an=nn2+2020(n∈A.第43项 B.第44项C.第45项 D.第46项21.在数列{an}中,an=n2(1)求数列的第7项.(2)求证:此数列的各项都在区间(0,1)内.(3)区间131.B由an=n16-2n可知16-2n>0,即n<8,所以a2.D第5项为(-1)5×152=-3.C由an=3n+1,n为奇数,2n-2,n为偶数,4.B由数列可知奇数项为正数,偶数项为负数,即可表示为(-1)n-1,又首项为2,故数列的通项公式为an=(-1)n-1(3n-1),所以第2n项为a2n=(-1)2n-1(6n-1)=-(6n-1)=-6n+1.5.B数列-2,4,-6,8,…的奇数项为负,偶数项为正,且均为2的倍数,故an=(-1)n2n.故选B.6.AB数列2,2,6,22,…,即2,4,6,8,…,则此数列的通项公式为2n,故A正确,C错误;令2n=8,解得n=32,故8是它的第32项,故7.CD选项C,D既是无穷数列又是递增数列.8.673由an=2021-3n>0,得n<20213=又因为n∈N*,所以正整数n的最大值为673.9.解列表法给出这两个数列的前5项:n12345an22222bn1-43-165它们的图象分别为10.解(1)an=(-1)n+112(2)an=11-n;(3)an=n2+1;(4)an=1n(5)an=13(10n-1)11.解(1)由已知,得1-p+q=0,4-2p+q=-4,解得p=7,q=6,所以an(2)令an=n2-7n+6=150,解得n=16(n=-9舍去),所以150是该数列中的项,并且是第16项.12.C∵an=1n+1n+1+1n+2+1n+3+…+13.C因为an=-2n2+25n=-2·(n-254)2+6258,且n∈N*,所以当n=6时,an的值最大,即最大项是第614.ABC∵an=2∴a1=2,a2=0,a3=2,a4=0,故A正确;∵an=1+(-1)n+1,∴a1=1+(-1)2=2,a2=1+(-1)3=0,a3=1+(-1)4=2,a4=1+(-1)5=0,故B正确;∵an=2innπ2s,∴a1=2sinπ2=2,a2=2sin2π2=0,a3=2sin3∵an=21-(-1)n2,∴a1=21-(-1)12=2,a2=21-(-1)2215.A因为数列{an}的通项公式an=(7-t)n+4,n≤4,tn-2,故选A.16.(0,+∞)由数列{an}为递减数列可知an+1<an对n∈N*恒成立,即3(因此3(n+1)+k2n+1−3n+k2n=3(n+1)+k-6n-2k2n+1=3-k17.n-1n2-3n+3当x=1时,f(x)min=f(1)=1-2+n=n-1,即an=n-1;将x=n-1代入f(x)得,bn=f(n-1)=(n-1)2-2(n-1)+n=n2-3n+3.18.解(1)令an=0,得n2-21n=0,∴n=21或n=0(舍去),∴0是数列{an}中的第21项.令an=1,得n2-21n2=1,而该方程无正整数解,∴1不是数列{(2)假设存在连续且相等的两项是an,an+1,则有an=an+1,即n2解得n=10,∴存在连续且相等的两项,它们分别是第10项和第11项.19.C0,3,6,12,24,48,96的规律是从第三项起,每一项是前一项的两倍,故该数列的