高中数学必修第二册常用29个结论

必修第二册常用29个结论1．三点共线的等价转化A，P，B三点共线⇔eq\o(AP,\s\up6(→))＝λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ≠0)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝(1－t)·eq\o(OA,\s\up6(→))＋teq\o(OB,\s\up6(→))(O为平面内异于A，P，B的任一点，t∈R)⇔eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→)).(O为平面内异于A，P，B的任一点，x∈R，y∈R，x＋y＝1)2．向量的中线公式若P为线段AB的中点，O为平面内一点，则eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\f(1,2)(eq\o(OA,\s\up6(→))＋eq\o(OB,\s\up6(→)))．3．向量共线的充要条件的两种形式(1)a∥b⇔b＝λa(a≠0，λ∈R)；(2)a∥b⇔x1y2－x2y1＝0(其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2))．4．已知P为线段AB的中点，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P点坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2,2)，\f(y1＋y2,2))).5．已知△ABC的顶点A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，则△ABC的重心G的坐标为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x1＋x2＋x3,3)，\f(y1＋y2＋y3,3))).6．求平面向量的模的公式(1)a2＝a·a＝|a|2或|a|＝eq\r(a·a)＝eq\r(a2)；(2)|a±b|＝eq\r(（a±b）2)＝eq\r(a2±2a·b＋b2)；(3)若a＝(x，y)，则|a|＝eq\r(x2＋y2).7．有关向量夹角的两个结论(1)两个向量a与b的夹角为锐角，则有a·b>0，反之不成立(因为夹角为0时不成立)；(2)两个向量a与b的夹角为钝角，则有a·b<0，反之不成立(因为夹角为π时不成立)．8．(1±i)2＝±2i；eq\f(1＋i,1－i)＝i；eq\f(1－i,1＋i)＝－i.9．i4n＝1，i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i.10．i4n＋i4n＋1＋i4n＋2＋i4n＋3＝0，n∈N*.11．|z|2＝|eq\x\to(z)|2＝z·eq\x\to(z).12．特殊的四棱柱eq\x(四棱柱)eq\o(→,\s\up7(底面为平),\s\do5(行四边形))eq\x(平行六面体)eq\o(→,\s\up7(侧棱垂直),\s\do5(于底面))eq\x(直平行六面体)eq\o(→,\s\up7(底面为),\s\do5(矩形))eq\x(长方体)eq\o(→,\s\up7(底面边),\s\do5(长相等))eq\x(正四棱柱)eq\o(→,\s\up7(侧棱与底面),\s\do5(边长相等))eq\x(正方体)上述四棱柱有以下集合关系：{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．13．斜二测画法中的“三变”与“三不变”“三变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(坐标轴的夹角改变，,与y轴平行的线段的长度变为原来的一半，,图形改变.))“三不变”eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(平行性不改变，,与x轴，z轴平行的线段的长度不改变，,相对位置不改变.))14．正方体与球的切、接常用结论正方体的棱长为a，球的半径为R，(1)若球为正方体的外接球，则2R＝eq\r(3)a；(2)若球为正方体的内切球，则2R＝a；(3)若球与正方体的各棱相切，则2R＝eq\r(2)a.15．公理2的三个推论推论1：经过一条直线和这条直线外一点有且只有一个平面；推论2：经过两条相交直线有且只有一个平面；推论3：经过两条平行直线有且只有一个平面．16．异面直线判定的一个定理过平面外一点和平面内一点的直线，与平面内不过该点的直线是异面直线．17．三种平行关系的转化：线线平行eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))线面平行eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))面面性质定理平行线线平行、线面平行、面面平行的相互转化是解决与平行有关的证明题的指导思想．18．平行关系中的三个重要结论(1)垂直于同一条直线的两个平面平行，即若a⊥α，a⊥β，则α∥β.(2)垂直于同一个平面的两条直线平行，即若a⊥α，b⊥α，则a∥b.(3)平行于同一个平面的两个平面平行，即若α∥β，β∥γ，则α∥γ.19．直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线．(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这一条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．20．三种垂直关系的转化：线线垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))线面垂直eq\o(,\s\up7(判定定理),\s\do5(性质定理))面面垂直21．证明空间任意三点共线的方法对空间三点P，A，B可通过证明下列结论成立来证明三点共线：(1)eq\o(PA,\s\up6(→))＝λeq\o(PB,\s\up6(→))(λ∈R)；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OA,\s\up6(→))＋λeq\o(AB,\s\up6(→))(λ∈R)；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OA,\s\up6(→))＋yeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＝1)．22．证明空间任意四点共面的方法对空间四点P，M，A，B可通过证明下列结论成立来证明四点共面(1)eq\o(MP,\s\up6(→))＝xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(2)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝eq\o(OM,\s\up6(→))＋xeq\o(MA,\s\up6(→))＋yeq\o(MB,\s\up6(→))；(3)对空间任一点O，eq\o(OP,\s\up6(→))＝xeq\o(OM,\s\up6(→))＋yeq\o(OA,\s\up6(→))＋zeq\o(OB,\s\up6(→))(x＋y＋z＝1)；(4)eq\o(PM,\s\up6(→))∥eq\o(AB,\s\up6(→))(或eq\o(PA,\s\up6(→))∥eq\o(MB,\s\up6(→))或eq\o(PB,\s\up6(→))∥eq\o(AM,\s\up6(→)))．23．简单随机抽样和分层抽样在抽样过程中每个个体被抽取的机会相等，分层抽样中各层抽样时采用简单随机抽样．24．利用分层抽样要注意按比例抽取，若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整各层容量，即先剔除各层中“多余”的个体．25．平均数的性质①若给定一组数据x1，x2，…，xn的平均数为eq\x\to(x)，则ax1，ax2，…，axn的平均数为aeq\x\to(x)；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的平均数为aeq\x\to(x)＋b.②若M个数的平均数是X，N个数的平均数是Y，则这(M＋N)个数的平均数是eq\f(MX＋NY,M＋N).③若两组数据x1，x2，…，xn和y1，y2，…，yn的平均数分别是eq\x\to(x)和eq\x\to(y)，则x1＋y1，x2＋y2，…，xn＋yn的平均数是eq\x\to(x)＋eq\x\to(y).26．方差的性质若给定一组数据x1，x2，…，xn，其方差为s2，则ax1，ax2，…，axn的方差为a2s2；ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.特别地，当a＝1时，有x1＋b，x2＋b，…，xn＋b的方差为s2，这说明将一组数据中的第一个数据都加上一个相同的常数，方差是不变的，即不影响数据的波动性．27．频率分布直方图与众数、中位数和平均数的关系(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数．(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的．(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．28．巧用四个有关的结论(1)若x1，x2，…，xn的平均数为eq\o(x,\s\up6(－))，那么mx1＋a，mx2＋a，…，mxn＋a的平均数为meq\o(x,\s\up6(－))＋a；(2)数据x1，x2，…，xn与数据x′1＝x1＋a，x′2＝x2＋a，…，x′n＝xn＋a的方差相等，即数据经过平移后方差不变；(3)若x1，x2，…，xn的方差为s2，那么ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2；(4)s2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))(xi－eq\o(x,\s\up6(－)))2＝eq\f(1,n)eq\o(∑,\s\up6(n),\s\do4(i＝1))xeq\o\al(2,i)－eq\o(x,\s\up6(－))2，即各数平方的平均数减去平均数的平方．29．概率的几个基本性质(1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1.(2)必然事件的概率：P(A)＝1.(3)不可能事件的概率：P(A)＝0.(4)概率的加法公式如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(5)对立事件的概率若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件．P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)．综合测评一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.1.已知a=(1,-2),b=(-2,m),若a⊥(a+2b),则实数m的值为()A.14 B.12 C.12.若|z-1|=|z+1|,则复数z在复平面内对应的点在()A.实轴上 B.虚轴上C.第一象限 D.第二象限3.如图,在三棱锥D-ABC中,AC=BD,且AC⊥BD,E,F分别是棱DC,AB的中点,则EF和AC所成的角等于()A.30° B.45°C.60° D.90°4.已知平面向量PA,PB满足|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12.若|BC|=1,则|A.2-1 B.3-1C.2+1 D.3+15.某射箭运动员进行射箭训练,射箭60次,统计结果如表:环数012345678910击中的次数00124461012138则估计他击中的环数不小于8的概率为()A.0.46 B.0.55C.0.57 D.0.636.甲、乙两人玩“石头、剪刀、布”游戏(石头赢剪刀,剪刀赢布,布赢石头),现两人同时随机出拳,则游戏只进行一回合就分出胜负的概率是()A.13 B.12 C.237.国际上通用的茶叶分类法,是按发酵程度把茶叶分为不发酵茶(如:龙井、碧螺春)和发酵茶(如:茉莉花茶、铁观音、乌龙茶、普洱茶)两大类,现有6个完全相同的纸盒,里面分别装有龙井、碧螺春、茉莉花茶、铁观音、乌龙茶和普洱茶,从中任取一盒,判断下列两个事件既是互斥事件又是对立事件的是()A.“取出碧螺春”和“取出茉莉花茶”B.“取出不发酵茶”和“取出龙井”C.“取出乌龙茶”和“取出铁观音”D.“取出不发酵茶”和“取出发酵茶”8.埃及胡夫金字塔是古代世界建筑奇迹之一,它的形状可视为一个正四棱锥,以该四棱锥的高为边长的正方形面积等于该四棱锥一个侧面三角形的面积,则其侧面三角形底边上的高与底面正方形的边长的比值为()A.5-14C.5+14 二、选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.9.设P是△ABC所在平面内的一点,AB+AC=3AP,则(A.PA+PB=0 B.PBC.PA+AB=PB 10.下列说法中,正确的是()A.概率是频率的稳定值,频率是概率的近似值B.做n次随机试验,事件发生m次,则事件发生的频率mnC.频率是不能脱离n次试验的试验值,而概率是具有确定性的不依赖于试验次数的理论值D.任意事件A发生的概率P(A)总满足0<P(A)<111.下列说法正确的是()A.1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数是6B.已知一组数据2,3,5,x,8的平均数为5,则这组数据的方差是5.2C.用分层随机抽样时,个体数最多的层里的个体被抽到的概率最大D.若x1,x2,…,x10的标准差为2,则3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的标准差是612.如图,正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,E是DD1的中点,则()A.直线B1C∥平面A1BDB.B1C⊥BD1C.三棱锥C1-B1CE的体积为1D.异面直线B1C与BD所成的角为90°三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.13.复数z=1-i(其中i为虚数单位),则|z+3i|=.

14.有下列数据:1.53.25.25.65.67.18.79.210.011.213.213.713.814.515.215.716.518.819.223.9272728.928.933.133.834.840.641.650.1这组数据的第70百分位数是.

15.在水流速度为4km/h的河流中,有一艘船沿与水流垂直的方向以8km/h的速度(船在静水中的速度)航行,则船实际航行的速度的大小为km/h.

16.如图是某个闭合电路的一部分,每个元件的可靠性是23,则从A到B这部分电路畅通的概率为四、解答题:本题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.(10分)已知复数z满足z+4为纯虚数,且z2-i为实数.若复数(z+mi)2在复平面上对应的点位于第四象限,求实数18.(12分)已知平面上点A(4,1),B(3,6),D(2,0),且BC=(1)求|AC|;(2)若点M的坐标为(-1,4),用基底{AB,AD}表示19.(12分)为了了解学生参加体育活动的情况,学校对学生进行随机抽样调查,其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少?”,共有4个选项:A.1.5小时以上,B.1~1.5小时,C.0.5~1小时,D.0.5小时以下.图①②是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图,请你根据统计图提供的信息,解答以下问题:(1)本次一共调查了多少名学生?(2)在图①中将B对应的部分补充完整.(3)若该校有3000名学生,估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下.20.(12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同,进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有关.如果最高气温不低于25℃,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25)内,需求量为300瓶;如果最高气温低于20℃,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:最高气温[10,15)[15,20)[20,25)[25,30)[30,35)[35,40)天数216362574以最高气温位于各区间的频率估计最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不超过300瓶的概率;(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y(单位:元),当六月份这种酸奶一天的进货量为450瓶时,写出Y的所有可能值,并估计Y大于零的概率.21.(12分)在三棱锥P-ABC中,PA=PB=PC=AC=22,BA=BC=2,O是线段AC的中点,M是线段BC的中点.(1)求证:PO⊥平面ABC;(2)求直线PM与平面PBO所成角的正弦值.22.(12分)如图,四边形ABCD是矩形,BC⊥平面ABE,且AE=23,EB=BC=2,F为CE上一点,且BF⊥平面ACE.(1)求三棱锥A-DBE的体积;(2)求二面角D-BE-A的大小.

参考答案综合测评1.A∵a=(1,-2),b=(-2,m),∴a·b=-2-2m.又a⊥(a+2b),∴a·(a+2b)=a2+2a·b=5-4-4m=0,解得m=14.故选A2.B由于|z-1|=|z+1|,故复数z在复平面内对应的点到(-1,0)的距离等于它到(1,0)的距离,故复数z对应的点在虚轴上.故选B.3.B如图所示,取BC的中点G,连接FG,EG.∵E,F分别为CD,AB的中点,∴FG∥AC,EG∥BD,且FG=12AC,EG=1∵AC=BD,∴FG=EG,∴∠EFG(或其补角)为EF与AC所成的角.∵AC⊥BD,∴FG⊥EG,∴∠FGE=90°,∴△EFG为等腰直角三角形.∴∠EFG=45°,即EF与AC所成的角为45°.4.D∵|PA|=|PB|=1,PA·PB=-12,∴cos∠APB=PA·PB|PA||由余弦定理,得AB2=PA2+PB2-2PA·PBcos∠APB=1+1+1=3.∴AB=3,则|AB|=3.∴当AB与BC同向共线时,|AC|有最大值3+故选D.5.B根据题意,该运动员击中的环数不小于8的频率为12+13+860=0.55,因此估计相应概率为0.556.C甲、乙两人同时随机出拳一次的可能结果共有9种,其中游戏只进行一回合就分出胜负的可能结果共有6种,故所求概率为P=697.D对于A,事件“取出碧螺春”和事件“取出茉莉花茶”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故A错误;对于B,事件“取出不发酵茶”和事件“取出龙井”不是互斥事件,因为“取出龙井”时,事件“取出不发酵茶”也发生了,故B错误;对于C,事件“取出乌龙茶”和事件“取出铁观音”不可能同时发生,也有可能都不发生,所以是互斥事件而不是对立事件,故C错误;对于D,事件“取出不发酵茶”和事件“取出发酵茶”不可能同时发生,但必有一个发生,所以既是互斥事件又是对立事件,故D正确.8.C设正四棱锥的高为h,底面边长为a,侧面三角形底边上的高为h',则依题意有ℎ2=12aℎ',ℎ2=ℎ'2-(a2)

2,因此有h'2-a22=12ah'⇒4ℎ'a29.CD因为AB+AC=3AP,所以PB−PA+PC−PA-3AP=0,即PA+PB+PC=0,故10.AC根据题意,依次分析选项:对于A,由概率与频率的关系,A正确;对于B,概率是频率的稳定值,B错误;对于C,由概率与频率的关系,C正确;对于D,任意事件A发生的概率P(A)总满足0≤P(A)≤1,D错误.11.BD∵10×60%=6,∴1,2,3,4,5,6,7,8,9,10的第60百分位数为第六位和第七位的平均数,即6+72=6.5,故A选项错误∵数据2,3,5,x,8的平均数为5,∴2+3+5+x+8=5×5,即x=7,∴数据2,3,5,7,8的方差是(2-5)2+(3用分层随机抽样时,每层的个体被抽到的概率相同,故C选项错误;∵x1,x2,…,x10的标准差为2,方差为4,∴3x1+1,3x2+1,…,3x10+1的方差为32×4=36,即标准差为6,故D选项正确.12.AB选项A,如图,连接A1D,A1B,BD,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,易得A1B1与CD平行且相等,所以四边形A1B1CD为平行四边形,有B1C∥A1D,又B1C⊄平面A1BD,A1D⊂平面A1BD,所以直线B1C∥平面A1BD,故选项A正确;选项B,如图,连接BC1,AD1,因为四边形BB1C1C为正方形,所以B1C⊥BC1,因为正方体ABCD-A1B1C1D1,所以AB⊥平面BB1C1C,又B1C⊂平面BB1C1C,所以AB⊥B1C,又AB∩BC1=B,所以B1C⊥平面ABC1D1,又BD1⊂平面ABC1D1,所以B1C⊥BD1,故选项B正确;选项C,因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1,所以B1C1⊥平面CC1D1D,且B1C1=1,又S△CC1E=12×1×1=12,所以三棱锥B1-CC1E的体积即三棱锥C1-B1CE的体积为16,故选项C错误选项D,如图,连接A1D,A1B,BD,由选项A的解析可知,A1D∥B1C,所以异面直线B1C与BD所成的角为∠A1DB或其补角,因为正方体ABCD-A1B1C1D1,易得△A1DB为等边三角形,所以∠A1DB=60°,故选项D错误.故选AB.13.5∵z=1-i,∴z+3i=1-i+3i=1+2i,则|z+3i|=|1+2i|=1214.27因为70%×30=21,所以这组数据的第70百分位数是27+272=2715.45由题意,如图,OA表示水流速度,OB表示船在静水中的速度,则OC表示船的实际速度.则|OA|=4,|OB|=8,∠AOB=90°,∴|OC|=42+82∴实际速度的大小为45km/h.16.7081因为每个元件的可靠性是23,所以从A到B这部分电路不畅通的概率为13×13×1-13×13+217.解设z=x+yi(x,y∈R),则z+4=(x+4)+yi.∵z+4为纯虚数,∴x+4=0且y≠0,即x=-4,y≠0.又z2-i=∴2y-4=0,即y=2.∴z=-4+2i.∵m为实数,且(z+mi)2=[-4+(m+2)i]2=(12-4m-m2)-8(m+2)i,由题意知12-4m-m2∴实数m的取值范围为(-2,2).18.解(1)设点C的坐标为(x,y),已知点A(4,1),B(3,6),D(2,0),所以BC=(x-3,y-6),AD=(-2,-1).又BC=AD,解得x所以点C的坐标为(1,5),AC=(-3,4),所以|AC|=(-3)2(2)已知点M(-1,4),所以AM=(-5,3),AB=(-1,5),AD=(-2,-1).设AM=λAB+μAD,即-解得λ故AM=AB+219.解(1)从题图中知,选A的共60人,占总人数的百分比为30%,所以总人数为60÷30%=200,即本次一共调查了200名学生.(2)被调查的学生中,选B的人数为200-60-30-10=100,补充完整的条形统计图如图所