4.2.1 等差数列的概念（2）A基础练（解析版）

4.2.1等差数列的概念（2）-A基础练一、选择题1．已知等差数列中，，则（）A．7 B．11 C．9 D．18【答案】C【详解】设等差数列的性质可知：，所以.故选：C.2．等差数列中，，，则公差d=（）A． B． C． D．2【答案】B【详解】等差数列中，，则，，所以，则，故选：B3．单分数（分子为1，分母为正整数的分数）的广泛使用成为埃及数学重要而有趣的特色，埃及人将所有的真分数都表示为一些单分数的和．例如，，……，现已知可以表示成4个单分数的和，记，其中，，是以101为首项的等差数列，则的值为（）A．505 B．404 C．303 D．202【答案】A【详解】依题意，拆分后的分数，分子都是1，分母依次变大，又中含，故可分解如下：，又，，是以101为首项的等差数列，故.故.故选：A.4．若，，，成等差数列，，，，，也成等差数列，其中，则（）A． B． C． D．3【答案】B【详解】因为在等差数列中，，所以，，即.故选：B．5．（多选题）在等差数列中每相邻两项之间都插入个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列.若是数列的项，则k的值可能为（）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】ABD【详解】由题意得：插入个数，则，，，所以等差数列中的项在新的等差数列中间隔排列，且角标是以1为首项，k+1为公差的等差数列，所以，因为是数列的项，所以令，当时，解得，当时，解得，当时，解得，故k的值可能为1,3,7，故选：ABD6．（多选题）已知单调递增的等差数列满足，则下列各式一定成立的有（）A． B．C． D．【答案】BD【详解】设等差数列的公差为，易知，∵等差数列满足，且，，，故B，D正确，A错误.又，，,，故C错误.故选：BD.二、填空题7．若数列是等差数列，且，则______.【答案】【详解】是等差数列，，，.8．在等差数列中，，那么等于______.【答案】14【详解】因为数列为等差数列，且，根据等差数列的性质，可得，解答，又由.9．等差数列中，，若从第项开始为负数，则公差的取值范围是____________．【答案】【详解】∵等差数列从第项开始为负数，即，∴，解得．10．中国古代数学著作《九章算术》中有如下问题：“今有金箠，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤.问次一尺各重几何?”意思是:“现有一根金锤，长五尺，一头粗一头细.在粗的一端截下一尺，重四斤;在细的一端截下一尺，重二斤.问依次每一尺各重几斤?”根据已知条件，若金箠由粗到细是均匀变化的，中间三尺的重量为______斤.【答案】9【详解】由题意可知金锤每尺的重量成等差数列，设细的一端的重量为，粗的一端的重量为，可知，，根据等差数列的性质可知，中间三尺为.三、解答题11．已知数列{an}为等差数列，且公差为d.（1）若a15＝8，a60＝20，求a105的值；（2）若a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，求公差d.【详解】（1）等差数列{an}中，∵a15＝8，a60＝20，∴，解得，∴a105＝.（2）∵数列{an}为等差数列，且公差为d，且a2+a3+a4+a5＝34，a2a5＝52，∴a2+a5＝17，a2a5＝52，∴解得a2＝4，a5＝13.或a2＝13，a5＝4.∵a5＝a2+3d，∴13＝4+3d，或4＝13+3d，解得d＝3，或﹣3.12．在等差数列中，若，．（1）求数列的通项公式；（2）求的值．【详解】（1）根据题意，设等差数列的公差为，若，则，则，又由，则有，解可得：，当时，，当时，.（2）由（1）的结论，当时，，此时，当时，，则，则或．A级必备知识基础练1.[探究点一·2023江苏扬州检测]在等差数列{an}中,a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=()A.180 B.45 C.75 D.3002.[探究点一]已知等差数列{an}的公差为d(d≠0),且a3+a6+a10+a13=32,若am=8,则m为()A.12 B.8 C.6 D.43.[探究点二]已知数列ann是等差数列,且a3=2,a15=30,则a9等于(A.12 B.24 C.16 D.324.[探究点二]已知等差数列{an}满足am-1+am+1-am2-1=0,且m>1,则a1+a2m-1=(A.10 B.9 C.3 D.25.[探究点二](多选题)已知等差数列{an}中,a1=3,公差为d(d∈N*),若2021是该数列的一项,则公差d不可能是()A.2 B.3 C.4 D.56.[探究点一]已知数列{an}是等差数列.若a4+a7+a10=17,a4+a5+a6+…+a12+a13+a14=77,且ak=13,则k=.

7.[探究点一]在等差数列{an}中,已知am=n,an=m,m,n∈N*,则am+n的值为.

8.[探究点三·北师大版教材习题]有一个阶梯教室,共有座位25排,第一排离教室地面高度为17cm,前16排前后两排高度差8cm,从第17排起,前后两排高度差是10cm(含16,17排之间高度差).求最后一排离教室地面的高度.B级关键能力提升练9.在公差不为0的等差数列{an}中,a3+a8=ax+ay,则xy的值不可能是()A.10 B.18 C.22 D.2810.在等差数列{an}中,若a4+a6+a8+a10+a12=120,则a9-13a11的值为(A.14 B.15 C.16 D.1711.设等差数列{an}的公差为d.若数列{2a1aA.d>0 B.d<0 C.a1d>0 D.a1d<012.等差数列{an},{bn}满足对任意n∈N*都有anbn=2n13.已知数列{an}是递增的等差数列,且a1=1,a3a5=91,则{an}的通项公式为,满足am+am+1+am+2+…+am+5=123的正整数m=.

14.已知中位数为1010的一组数构成等差数列,其末项为2017,则该数列的首项为.

15.[2023甘肃金昌月考]某商店出售一种儿童玩具,若每天售出件数成递增的等差数列,其中第1天售出10000件,第21天售出15000件;每天的价格成递减的等差数列,第1天每件100元,第21天每件60元.试求该店第几天收入达到最高?C级学科素养创新练16.已知{an}是等差数列,且a1+a2+a3=12,a8=16.(1)求数列{an}的通项公式;(2)若从数列{an}中,依次取出第2项、第4项、第6项……第2n项,按原来的顺序组成一个新数列{bn},试求出{bn}的通项公式.1.A∵{an}是等差数列,∴a3+a4+a5+a6+a7=5a5=450,∴a5=90,∴a2+a8=2a5=2×90=180.故选A.2.B由等差数列性质得,a3+a6+a10+a13=(a3+a13)+(a6+a10)=2a8+2a8=4a8=32,∴a8=8,又d≠0,∴m=8.3.A令bn=ann,由题意可知b3=a33=23,b15=a1515=2,则等差数列{bn}的公差d=b15-b315-3=19,则b9=b34.D由等差数列的性质知,am-1+am+1=2am,则2am-am2-1=0,即(am-1)2=0,解得am=1.所以a1+a2m-1=2am=2,故选5.BCD由2021是该数列的一项,即2021=3+(n-1)d,所以n=2018d+1.因为d∈N*,所以d是2018的约数,故d不可能是3,46.18设数列{an}的公差为d,∵a4+a7+a10=3a7=17,∴a7=173.∵a4+…+a14=11a9=77,∴a9=7,d=a9-a79-7=23.∴ak-a9=(k-9)d,即13-77.0设等差数列的公差为d,则d=am-anm-n=n-mm-n=-1,从而am+n8.解前16排离地高度成等差数列,记为{an},则a1=17cm,公差d=8cm,n=16,由an=a1+(n-1)d得a16=137cm;后10排(包括第16排)也成等差数列,记为{bn},则b1=a16=137cm,d'=10cm,得b10=137+9×10=227(cm).所以最后一排离教室地面的高度为227cm.9.C∵公差不为0的等差数列{an}中,a3+a8=ax+ay,∴x+y=3+8=11.∵x,y∈N*,∴x=1,y=10或x=2,y=9或x=3,y=8或x=4,y=7或x=5,y=6或x=6,y=5或x=7,y=4或x=8,y=3或x=9,y=2或x=10,y=1,∴xy=10或18或24或28或30.故选C.10.C设公差为d,∵a4+a6+a8+a10+a12=120,∴5a8=120,a8=24,∴a9-13a11=(a8+d)-13(a8+3d)=23a811.D设bn=2a1an,则bn+1=2a1an+1,由于{2a1an}是递减数列,因此bn>bn+1,即2a1an>2a1an+1.∵y=2x是增函数,∴a1an>a1an+1,∴a1an-a1(an+d)>0,∴a12.1由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6,a7+a5=2a6,所以a7b313.an=3n-25设{an}的公差为d(d>0).由条件可得a3a5=(1+2d)(1+4d)=91,解得d=3或d=-154(舍去因此an=1+(n-1)×3=3n-2.am+am+1+am+2+…+am+5=3(am+am+5)=3×[3m-2+3×(m+5)-2]=18m+33=123,解得m=5.14.3设等差数列为{an},若这组数有(2m+1)个,则am+1=1010,a2m+1=2017.又a1+a2m+1=2am+1,即a1+2017=2×1010,所以a1=3;若这组数有2m个,则am+am+1=1010×2=2020,a2m=2017.又a1+a2m=am+am+1,即a1+2017=2020,所以a1=3.综上,该数列的首项为3.15.解记每天售出件数构成递增的等差数列{an},其公差为d1.记每一件的价格每天构成递减的等差数列{bn},其公差为d2.则a1=10000,a21=15000,b1=100,b21=60,故d1=a21-a121-1=15故an=10000+250×(n-1)=250×(n+39),bn=100-2(n-1)=2×(51-n).故an×bn=250×(n+39)×2×(51-n)=500×(n+39)×(51-n)≤500×(n+39+51-n2