4.2.1 等差数列的概念（1）B提高练（解析版）

4.2.1等差数列的概念（1）-B提高练一、选择题1．在等差数列中，，则（）A．0 B．1 C． D．3【答案】A【详解】设等差数列公差为,由得：，即,故选：2．已知数列中，，，若为等差数列，则（）A．0 B． C． D．2【答案】A【详解】因为，，，故所以，故.故选：A.3．已知数列是等差数列，且.若，则数列是（）.A．以3为首项，3为公差的等差数列B．以6为首项，3为公差的等差数列C．以3为首项，6为公差的等差数列D．以6为首项，6为公差的等差数列【答案】D【详解】因为数列是等差数列，，设公差为，所以有，解得，所以，因此，而，所以数列是以6为首项，6为公差的等差数，故本题选D.4．我国古代用日晷测量日影的长度，晷长即为所测量影子的长度.《周脾算经》中记载：一年有二十四个节气，每个节气晷长损益相同.二十四个节气及晷长变化如图所示.相邻两个节气晷长的变化量相同，周而复始.从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，若测得冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，大寒、惊蛰、谷雨日影长之和为25.5尺，则冬至日影的长为（）A．11.5 B．12.5 C．13.5 D．14.5【答案】C【详解】由题意，从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，设冬至的日影长为，公差为，则，，两式相减得，解得，所以，解得，故选：C5．（多选题）给出下列命题,正确命题的是（）A.数列6，4，2，0是公差为2的等差数列；B.数列是公差为的等差数列；C.等差数列的通项公式一定能写成的形式(k，b为常数)；D.数列是等差数列.【答案】BCD【详解】根据等差数列的定义可知，数列6，4，2，0的公差为，A错误；对于②，由等差数列的定义可知，数列是公差为的等差数列，所以B正确；对于③，由等差数列的通项公式，得，令，则，所以C正确；对于D，因为，所以数列是等差数列.6.（多选题）设d为正项等差数列的公差，若，，则（）A． B． C． D．【答案】ABC【详解】由题知，只需，，A正确；，B正确；，C正确；，所以，D错误.二、填空题7．三数成等差数列，首末两数之积比中间项的平方小，则公差为__________.【答案】【详解】由等差数列可设三数依次为，其中为公差.由题意得，可得，则.8．在到之间，末位数字是的自然数的个数有______.【答案】30【详解】在到之间，末位数字是的自然数有，构成以为首项，为末项，为公差的等差数列，由，可得项数.9．在数列中，若，，，则该数列的通项为__________.【答案】【详解】∵，∴数列是等差数列，又，∴，∴．10．已知等差数列，首项.从第10项起开始大于1，那么公差d的取值范围是__________.【答案】【详解】在等差数列中，因为从第10项起开始大于1，所以有.三、解答题11．首项为，公差为的等差数列满足下列两个条件：①；②满足的的最小值是15.试求公差和首项的值.【详解】，，由，即，∵满足的的最小值是15，，，又.12．设数列{an}满足当n＞1时，an＝，且a1＝.(1)求证：数列为等差数列；(2)a1a2是否是数列{an}中的项？如果是，求出是第几项；如果不是，请说明理由．【详解】(1)证明：根据题意a1＝及递推关系an≠0.因为an＝.取倒数得＋4，即＝4(n＞1)，所以数列是首项为5，公差为4的等差数列．(2)解：由(1)，得＝5＋4(n－1)＝4n＋1，.又，解得n＝11.所以a1a2是数列{an}中的项，是第11项．A级必备知识基础练1.[探究点三](多选题)下列数列中,是等差数列的有()A.4,5,6,7,8,… B.3,0,-3,0,-6,…C.0,0,0,0,… D.1102.[探究点一]在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,则a10=()A.25 B.28 C.31 D.343.[探究点一]在等差数列{an}中,已知a1=13,a4+a5=163,ak=33,则k=(A.50 B.49 C.48 D.474.[探究点二]在等差数列{an}中,a1=8,a5=2,若在相邻两项之间各插入一个数,使之成等差数列,则新等差数列的公差为()A.34 B.-34 C.-67 D5.[探究点一]在数列{an}中,a1=1,an+1=2anan+2(n∈N*),则A.100 B.101 C.102 D.1036.[探究点一]已知{an}为等差数列,若a2=2a3+1,a4=2a3+7,则a3=.

7.[探究点二]已知a>0,b>0,2a=3b=m,且a,ab,b成等差数列,则m=.

B级关键能力提升练8.已知等差数列{an}满足4a3=3a2,则{an}中一定为零的项是()A.a6 B.a8 C.a10 D.a129.首项为-24的等差数列{an},从第10项开始为正数,则公差d的取值范围是()A.(83,3) B.[83,3] C.(83,3] D.10.在数列{an}中,a4=49,an+1=an+2,则aA.121 B.144 C.169 D.19611.(多选题)数列{an}满足an+1=an2an+1,aA.数列{1anB.数列{an}有最小项C.数列{an}的通项公式为an=2n-1 D.数列{an}为递减数列12.[2023贵州毕节月考]已知数列an-2nn是公差为1的等差数列,且a2=10,则a13.一个直角三角形的三条边的长度成等差数列,则该直角三角形的内角中最小角的余弦值是.

14.已知数列{an}满足a1=2,(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2).(1)求a2,a3;(2)证明数列{ann+1}是等差数列,并求数列{aC级学科素养创新练15.数列{an}满足a1=1,an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),λ是常数.(1)当a2=-1时,求λ及a3的值.(2)是否存在实数λ使数列{an}为等差数列?若存在,求出λ及数列{an}的通项公式;若不存在,请说明理由.1.ACD选项A是以4为首项,1为公差的等差数列;选项B中后一项减前一项的差不是同一个常数,所以不是等差数列;选项C是常数列,所以是等差数列;选项D是以110为首项,1102.B设公差为d,因为在等差数列{an}中,a3+a9=32,a2=4,所以2a1+10d=32,a1+d=4,解得a1=1,d=3,所以a10=a1+9d=28.3.A设等差数列{an}的公差为d,∵a1=13,a4+a5=163,∴2a1+7d=163,解得d=23,则an=13+(n-1)×23=2n-134.B设原等差数列的公差为d,则8+4d=2,解得d=-32,因此新等差数列的公差为-35.A易知an≠0,由an+1=2anan+2(n∈N*),两边取倒数可得1an+1=1an+12,即1an+1−∴an=2n+1.令2101=2n+1,解得n=100故选A.6.-4设等差数列{an}的公差为d,由题意a1+d=2(a1+2d)+1,a1+3d=2(a1+2d)+7,解得a1=-10,d=3,∴a3=a1+2d=-10+6=-4.7.6∵a>0,b>0,2a=3b=m≠1,∴a=lgmlg2,b=lgmlg3.∵a,ab,b成等差数列,∴2ab=a+b,∴∴lgm=12(lg2+lg3)=12lg6=lg6.则m=8.A设等差数列{an}的公差为d.∵4a3=3a2,∴4(a1+2d)=3(a1+d),可得a1+5d=0,∴a6=0,则{an}中一定为零的项是a6.9.C由题意可知an=-24+(n-1)d,n∈N*,由a9=-24+8d≤010.C由an+1=an+2得an+1−an=2,因此数列{因为a4=49,所以a4=a1+6=7,解得a1=1,所以an=(2n-1)2,a11.AD因为an+1=an2an+1所以1an+1=2an+1an=2+1an,即1an1an=1+2(n-1)=2n-1,则an=12n-1,所以an+1-an=12n+1−12n-1=-24n212.n(n+1)+2n因为数列an-2nn是公差为1的等差数列,且a2=10,所以a2-222=3,所以an-2nn=3+(n-2)13.45设直角三角形的三边长为a,b,c,不妨设a<b<c,根据题意可得2b=a+c,且a2+b2=c2,∴a2+(a+c)24=c2,即5a2+2ac-3c2又b=a+c∴cosA=b214.(1)解因为数列{an}满足(n+2)an=(n+1)an+1-2(n2+3n+2),所以将n=1代入得3a1=2a2-12.又a1=2,所以a2=9.将n=2代入得4a2=3a3-24,所以a3=20.(2)证明将(n+2)an=(n+1)·an+1-2(n2+3n+2)两边同时除以(n+1)(n+2),可得(n化简得an+1n+2−ann+1=2.又a11+1=1,所以数列ann+1是以1为首项,2为公差的等差数列.所以ann+1=1+2(n-1)=2n-15.解(1)因为an+1=(n2+n-λ)an(n=1,2,…),且a1=1,所以当a2=-1时,得-1=2-λ,故λ=3.从而a3=(22+2-3)×(-