宁夏回族自治区2026年初中学业水平考试数学模拟卷(二)（含答案）

宁夏回族自治区2026年初中学业水平考试数学模拟卷(二)(考试时间：120分钟，满分：120分)一、选择题(本题共8小题，每小题3分，共24分)1．我国是最早使用正负数表示具有相反意义的量的国家．如果大风车顺时针旋转66°，记作＋66°，那么大风车逆时针旋转88°，记作(A)A．－88°B．＋88°C．－22°D．＋22°2．下列运算中结果正确的是(B)A．4x－2x＝2B．x2÷x2＝1C．(x－3)2＝x2－9D．(2x2)3＝6x63．如图，若将钟面上的12时作为正北方向，3时作为正东方向，则8时可以描述为(D)A．北偏西60°方向B．北偏西30°方向C．南偏西30°方向D．南偏西60°方向4．如图所示的是某几何体的主视图和俯视图，则该几何体为(C)A.B.C.D.5．《九章算术》中有这样一道数学问题，原文如下：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观．请问客家，大小几船．若设有x只大船，则可列方程为(D)A．4x＋6(x－8)＝38B．4x＋6(8－x)＝38C．4x＋6x＝38D．6x＋4(8－x)＝386．下列叙述中错误的是(D)A．平面直角坐标系的两条坐标轴是互相垂直的B．高矮不同的两个人在同一盏路灯下同一时刻的影子有可能一样长C．方程x2＝x的根是x1＝0，x2＝1D．对角线相等且互相平分的四边形是菱形7．如图，Rt△ABO中，∠AOB＝90°，点A在第一象限，点B在第二象限，且AO∶BO＝1∶2，若经过点A的反比例函数解析式为y＝eq\f(1,x)，则经过点B的反比例函数解析式为(C)A．y＝eq\f(2,x)B．y＝－eq\f(2,x)C．y＝－eq\f(4,x)D．y＝－eq\f(8,x)8．如图，学生甲在凉亭A处测得湖心岛C在其南偏西15°的方向上，又从A处向正东方向行驶300m到达凉亭B处，测得湖心岛C在其南偏西60°的方向上，则凉亭B与湖心岛C之间的距离为(B)A．150mB．(150＋150eq\r(3))mC．(150＋100eq\r(2))mD．(400－100eq\r(2))m二、填空题(本题共8小题，每小题3分，共24分)9．计算：5＋eq\r(（－5）2)＝10.10．如图，已知抛物线y2＝eq\f(2,3)x2－eq\f(4,3)x与直线y1＝eq\f(2,3)x交于点O，A(3，2)，与x轴交于点B(2，0)．若y1>y2>0，则x的取值范围是2<x<3.11．因式分解：a2＋3a＝a(a＋3)．12．一只不透明的袋子中装有若干个红球和8个白球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀后每次随机从袋中摸出一个球，记下颜色后放回袋中，通过大量重复摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在0.4，则袋子中有红球12个．13．如图，AB是⊙O的直径．C是eq\o(AB,\s\up8(︵))的三等分点，D是eq\o(AB,\s\up8(︵))的中点，且位于直径AB的两侧，连接OC，BC，AD，CD，则∠OCD的度数为15°.14．在一场趣味数学游戏中，玩家输入两个数字m，n，游戏系统根据加密规则生成两个密文：m＋2n－p，2m＋n－p.若玩家收到的密文为16和13，已知m＋n＝10，则p的值是eq\f(1,2).15．正五边形ABCDE和正三角形PCM按如图方式叠放在一起，B，P，C三点在同一直线上，PM经过点A，则∠EAM的度数为24°.16.如图①，正方体的棱长为10cm，正方体的顶点A处有一只小虫，它沿着正方体的表面爬行到点B处，如图②是正方体的部分侧面展开图，求小虫爬行的最短路线A1B1的长是10eq\r(5)cm.三、解答题(本题共10小题，其中17～22题每小题6分，23、24题每小题8分，25、26题每小题10分，共72分)17．解方程组：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(4x－y＝9，①,2x＋3y＝1.②))解：②×2，得4x＋6y＝2，③③－①，得7y＝－7，解得y＝－1，把y＝－1代入①，解得x＝2，∴方程组的解是eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝－1.))18．先化简，再求值：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)－1))÷eq\f(x,1－x)，其中x＝eq\r(2).解：原式＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x,x－1)－\f(x－1,x－1)))·eq\f(1－x,x)＝－eq\f(1,x－1)·eq\f(x－1,x)＝－eq\f(1,x).当x＝eq\r(2)时，原式＝－eq\f(1,\r(2))＝－eq\f(\r(2),2).19．如图，在等边三角形ABC中，AD⊥BC于点D，E为AB中点．以点D为圆心，适当长为半径画弧，交DE于点M，交DB于点N，分别以点M，N为圆心，大于eq\f(1,2)MN的长为半径画弧，两弧交于点P，过点E作EF∥BC交射线DP于点F，连接BF，AF.(1)判断EF与ED的数量关系为EF＝DE；(2)求证：四边形BDEF是菱形．(2)证明：由(1)知，EF＝ED＝BD，EF∥BD，∴四边形BDEF是平行四边形，∵DE＝BD，∴四边形BDEF是菱形．20.如果一个四位自然数abcd的各数位上的数字互不相等且均不为0，满足ab－bc＝cd，那么称这个四位数为“递减数”．例如：四位数4129，∵41－12＝29，∴4129是“递减数”．(1)判断四位数5324是不是“递减数”；(2)若一个“递减数”为a312，求这个“递减数”；(3)若一个“递减数”的前三个数字组成的三位数abc与后三个数字组成的三位数bcd的和能被9整除，直接写出满足条件的递减数的最大值．解：(1)∵53－32＝21≠24，∴5324不是“递减数”．(2)由题意得10a＋3－31＝12，解得a＝4.答：这个“递减数”是4312.(3)由题意得10a＋b－(10b＋c)＝10c＋d.∴10a－9b－11c＝d，∴100a＋10b＋c＋100b＋10c＋d＝100a＋10b＋c＋100b＋10c＋10a－9b－11c＝110a＋101b＝99(a＋b)＋11a＋2b，∴eq\f(11a＋2b,9)是整数，当a＝9时，此时b只能取0，不符合题意，舍去；当a＝8时，b＝1，此时71－11c＝d，c取9或8或7时，均不符合题意，只有c＝6时，d＝5.故符合条件的递减数的最大值是8165.21.某校组织学生开展课外研学活动，现有甲、乙两种大客车可租，甲种客车每辆载客量45人，乙种客车每辆载客量30人，已知1辆甲种客车的租金是400元，1辆乙种客车的租金是280元．(1)小王租用两种客车需付租金1240元，则甲、乙两种客车各租了多少辆？(2)学校本次共需租车8辆，原计划租用甲、乙两种客车各4辆，实际报名参加活动的师生有329人，按交通规则所有车辆不能超载，请通过计算说明原方案是否可行？请直接算出使本次活动不超载且最节省的租车费用．解：(1)设甲客车租了x辆，乙客车租了y辆，由题意得400x＋280y＝1240，由x，y均为正整数，解得x＝1，y＝3.答：甲客车租了1辆，乙客车租了3辆．(2)根据题意可得4×30＋4×45＝300(人)＜329人，∴原方案不可行．设租用甲客车a辆，则租用乙客车(8－a)辆，设租车费用为W元．根据题意，得W＝400a＋280(8－a)＝120a＋2240，W随a的增大而增大．由45a＋30(8－a)≥329，解得a≥eq\f(89,15)，∵a是正整数，∴a＝6时，W最小＝120×6＋2240＝2960(元)，此时8－a＝2.答：原方案不可行，当租用甲客车6辆，乙客车2辆时，本次活动不超载且最节省的租车费用是2960元．22．如图，⊙P经过A，B，C三个格点，请仅用无刻度的直尺作图，(1)画出圆心P；(2)画弦BD，使BD平分∠ABC.解：(1)如图所示，点P即为所求．(2)如图所示，BD即为所求．23．随着AI技术的发展，越来越多的人借助AI软件协助办公，极大地提高了工作效率．某公司为了解员工学习和使用AI软件情况，对部分员工每天学习和使用的累计时间t(单位：min，t为整数，且30≤t＜150)进行了统计调查．【数据收集与整理】将调查得到的数据进行整理，分成A，B，C，D四组：A组：30≤t＜60，B组：60≤t＜90，C组：90≤t＜120，D组：120≤t＜150.【数据描述与分析】根据抽查统计的数据，绘制成如下两幅不完整的统计图．根据提供的信息，解答下列问题：(1)这次抽样调查的人数是60人，并补全频数分布直方图；(2)在扇形统计图中，A组所在扇形的圆心角度数是48°；(3)该公司共有300人，请估计该公司平均每天学习和使用不少于90min的人数；(4)根据调查结果，请对“借助AI软件协助办公”的学习和使用情况进行评价或给出一条建议．抽查的员工每天学习和使用时间频数分布直方图抽查的员工每天学习和使用时间扇形统计图解：(1)这次抽样调查的人数为15÷25%＝60(人)，B组人数为60×20%＝12(人)，补全频数分布直方图如图所示．(3)eq\f(25＋15,60)×300＝200(人)，∴估计该公司平均每天学习和使用不少于90min的人数是200.(4)建议员工每天学习和使用“借助AI软件协助办公”的时间为90～120min，这样更能提高工作效率．(答案不唯一)24．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，⊙O经过A，B两点，与斜边BC交于点E，连接AO并延长交⊙O于点D，交BC于点G，过点E作EF∥AD交AC于点F.(1)求证：EF是⊙O的切线；(2)若AO＝2eq\r(10)，tan∠DAB＝eq\f(1,3)，求CG的长．(1)证明：连接OE，∵∠BAC＝90°，AB＝AC，∴∠C＝∠B＝45°，∴∠AOE＝2∠B＝90°，∵EF∥AD，∴∠OEF＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线．(2)解：连接BD，∵AD是⊙O的直径，∴∠ABD＝90°，∵tan∠DAB＝eq\f(BD,AB)＝eq\f(1,3)，∴设BD＝x，则AB＝3x，∴AD＝eq\r(AB2＋BD2)＝eq\r(10)x＝4eq\r(10)，∴x＝4.∴BD＝4，AB＝12，∴AC＝AB＝12，∴BC＝eq\r(2)AB＝12eq\r(2)，∵∠CAB＋∠ABD＝180°，∴AC∥BD，∴△ACG∽△DBG，∴eq\f(AC,DB)＝eq\f(CG,BG)，∴eq\f(12,4)＝eq\f(CG,12\r(2)－CG)，∴CG＝9eq\r(2).25.如图①，抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴交于A，B(3，0)两点，与y轴交于点C(0，－3)．(1)求抛物线的解析式；(2)M是第四象限抛物线上一点，当四边形ABMC的面积最大时，求点M的坐标和四边形ABMC的最大面积；(3)如图②，在抛物线的对称轴上是否存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把B，C两点坐标代入抛物线的解析式得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(9＋3b＋c＝0，,c＝－3，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－2，,c＝－3，))∴抛物线的解析式为y＝x2－2x－3.(2)连接BC，过点M作x轴的垂线交BC于点N，令y＝x2－2x－3＝0，解得x＝－1或x＝3，∴A(－1，0)，∴AB＝3－(－1)＝4，∵OC＝3，∴S△ABC＝eq\f(1,2)AB·OC＝eq\f(1,2)×4×3＝6，∵B(3，0)，C(0，－3)，∴直线BC的解析式为y＝x－3，设M(x，x2－2x－3),则N(x，x－3)，∵M在第四象限，∴MN＝x－3－(x2－2x－3)＝－x2＋3x，S△MBC＝eq\f(1,2)MN·OB＝－eq\f(3,2)x2＋eq\f(9,2)x＝－eq\f(3,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\f(27,8)，当x＝eq\f(3,2)时，S△MBC的最大值为eq\f(27,8)，∴当M为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(15,4)))时，四边形ABMC的面积有最大值为eq\f(75,8).(3)存在，在抛物线的对称轴上存在点P，使△PBC是以BC为斜边的直角三角形．取BC中点D，过点D作抛物线对称轴的垂线，垂足为Q，在Rt△OBC中，由勾股定理得BC＝3eq\r(2)，由题意，当∠BPC＝90°时，PD＝eq\f(1,2)BC＝eq\f(3\r(2),2)，易求Deq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，－\f(3,2)))，抛物线的对称轴为直线x＝1，设点P坐标为(1，n)，DQ＝eq\f(3,2)－1＝eq\f(1,2)，PQ＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,2)))，由PQ2＋DQ2＝PD2，得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(n＋\f(3,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(3\r(2),2)2，解得n1＝eq\f(－3＋\r(17),2)，n2＝eq\f(－3－\r(17),2).∴点P的坐标为1，eq\f(－3＋\r(17),2)或1，eq\f(－3－\r(17),2).26.在▱ABCD中，∠C＝45°，AD＝BD，P为边CD上的动点(点P不与点C、点D重合)，连接AP，过点P作PE⊥AP交直线BD于点E.(1)观察发现：如图①，当P是边CD的中点时，PA＝PE，∠DAP＝∠E(选填“＞”“＝”或“＜”)，试说明理由；(2)探究迁移：如图②，当P是边CD上任意点时，