浙江省A9协作体2025-2026学年高二下学期期中联考数学试卷（含答案）

浙江省A9协作体2025-2026学年第二学期期中联考高二数学试题一、单选题1．集合，则（

）A． B． C． D．2．命题“”的否定是（

）A． B． C． D．3．已知，则下列不等式一定正确的是（

）A． B． C． D．4．“”是“关于的不等式的解集是空集”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件5．已知，则函数的极大值为（

）A． B． C．1 D．46．从0，2，4中任取2个数字，从3，5中任取1个数字，一共可以组成没有重复数字的三位偶数的个数为（

）A．12 B．20 C．24 D．187．已知盒子中有3个黑球和个红球，现从盒子中随机取出1个球，设取到红球的个数为，则随着的增大，下列说法正确的是（

）A．增大，增大 B．增大，减小C．减小，增大 D．减小，减小8．已知定义在上的函数满足，正数满足，则下列选项不成立的是（

）A． B．C． D．二、多选题9．下列求导运算正确的是（

）A． B．C． D．10．西汉刘向编著的《战国策》中记录了一个“三人成虎”的故事：庞葱与太子质于邯郸，谓魏王曰：“今一人言市有虎，王信之乎？”王曰：“否.”“二人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人疑之矣.”“三人言市有虎，王信之乎？”王曰：“寡人信之矣.”在没有实际调研的情况下，为什么魏王会相信集市上有老虎呢？假设集市上真有老虎的概率为0.05，每个人选择说出实情的概率为0.9，选择说谎的概率为0.1，每个人是否选择说出实情相互独立．用表示事件“第人说看见一只老虎在集市上”，，用表示事件“真有老虎在集市上”．则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．11．已知函数，，则下列说法正确的是（

）A．若，则的值域为B．若，且恒成立，则实数的取值范围为C．若，且对任意实数，总存在满足成立，则实数的取值范围为D．若，且在定义域内存在零点，则实数的取值范围为三、填空题12．随机变量，且，则__________．13．已知展开式的各二项式系数和为32，且，则__________．14．我们把含有限个元素的集合叫做有限集，用来表示有限集合中元素的个数．已知集合，集合为集合的子集，且，，则符合要求的有序集合对的个数为__________．四、解答题15．已知的展开式中只有第四项的二项式系数最大．(1)求的值；(2)求该展开式中的常数项．16．已知函数．(1)当时，求函数的单调区间；(2)若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围．17．袋子中有4个白球，3个黑球，这些球除颜色外全部相同．现将袋子中的球随机不放回地逐个取出，并将第次取出的球放入编号为的抽屉里．(1)求编号为2的抽屉里放的是黑球的概率；(2)记编号为奇数的抽屉里所放白球的总个数为，求的分布列及数学期望．18．已知函数．(1)当时，求曲线在处的切线方程；(2)若有两个相异零点，（i）求实数的取值范围；（ii）求证：．19．某校数学兴趣小组的成员们通过查阅资料得知，抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率约为0.4．他们决定通过做大量重复的抛图钉试验来验证这一数据，假设这批图钉的质地一致，且每次抛图钉的结果相互独立．他们实施试验的步骤如下：第一步：所有10名成员分工合作，每人重复抛一枚图钉10次，记录钉尖朝上的次数；第二步：所有10名成员的记录相加得到一个总次数．重复以上两个步骤共计10轮，用表示在第轮中10名成员的记录相加所得的总次数，．(1)若查阅资料所得的概率数据可靠，请问成员甲在第1轮的10次试验中共出现几次钉尖朝上的概率最大？(2)整个试验所得的10个总次数记录如下：1234567891036364836414443423735用表示事件“上表记录的10轮试验结果”，设抛掷一枚图钉钉尖朝上的概率为，则的取值应使事件发生的概率尽可能大．（i）请写出事件发生的概率的表达式；（ii）当取最大值时，求的值，并据此判断查阅资料所得的概率数据是否可靠？（如果，则认为查阅资料所得的概率数据可靠，否则不认为可靠）参考答案1．A【详解】在全集中，满足的元素是，因此，补集是指在全集中，不属于集合的所有元素构成的集合，所以．2．C【详解】因为命题为全称量词命题，其否定为．3．D【详解】选项A：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故A错误；选项B：因为，所以；因为，所以，正数一定大于负数，即，故B错误；选项C：仅知道，无法确定与的大小关系，例如：若，则；若，则，故C不一定正确；选项D：用作差法验证：，因为，所以，若且（成立，因为），则分母，因此，差，即，可得，故D一定正确．4．A【详解】由不等式的解集是空集等价于判别式：，解得：．若成立，则一定满足，故充分性成立；若成立（比如），不一定满足，故必要性不成立．因此，“”是“不等式的解集是空集”的充分不必要条件．5．D【详解】由，，则，又，故，即，，则，，则当时，，当时，，故在、上单调递增，在上单调递减，故函数的极大值为.6．B【详解】情况1：从中取出的偶数不含：取数：选2个非0偶数，只能是，共种；再从中选1个奇数，有种．排列：3个数字组成三位偶数，末位必须是2或4，有2种选择，剩下2个数字全排列：种．总数：个．情况2：从中取出的偶数含：取数：选和另一个偶数（2或4），共种；再从中选1个奇数，有种．排列：3个数字组成三位偶数，分两类：末位为：剩下2个数字全排列，有种；末位为非0偶数：末位固定，首位不能为，有1种选择，中间位排剩下的数，有1种选择，共1种．故每组数字有种排列，总数：个．两种情况相加：．7．B【详解】随机变量服从两点分布，其分布列为：，，当增大时，减小，因此增大，两点分布的方差公式为，其中，故：，由对勾函数性质，当时，随增大而递增，因此分母增大，减小．综上，增大，减小．8．D【详解】设，求导得，当时，，且，则.故在上单调递增．设，由可得．又由可得，．下证：．要证，只需证，即需证，令，则，令，则则时，单调递增，，即，则函数在上单调递增，故，即.取，可得，故有.由于在上单调递增，则由可得，即.故D项中不可能成立.若取，则由解得，由解得，易得，由单调性可得，即得，A项成立；若取，则由解得，由解得，显然，由单调性可得，即得，B项成立；若取，则由解得，由解得，显然，由单调性可得，即得，C项成立；综上分析，只有D项一定不成立．9．BC【详解】对于A，，所以A错；对于B，，所以B正确；对于C，，所以C正确；对于D，，所以D错.10．ABC【详解】设事件表示“真有老虎在集市上”，则，，设事件表示“第人说看见一只老虎在集市上”，，，．选项A：，A正确；选项B：由全概率公式：，B正确；选项C：，C正确；选项D：，，，，D错误．11．BCD【详解】选项A：若，则，，则，令，得，则当时，，即在上单调递减；当时，，此时在上单调递增，又，，，所以的值域为，故A错误；选项B：若，有对恒成立，即，当时，恒成立；当时，，令，，则，令，，则，当时，，即在上单调递减，则当时，，即当时，，故，又，所以在单调递减，则当时，，所以，故B正确；选项C：若，则，，要使对任意，总存在使，即求的最大值的最小值（即函数的极差的一半），令，，则，又在上单调递增，且，即当时，，即在上单调递减，所以当时，，，所以，则的最大值的最小值为，故，即，故C正确；选项D：若在定义域内存在零点，即在上有解，即在上有解，将代入，得，，整理得，则，，显然，则时，，即当时，取得最大值，即，将看成是关于的一次函数，由，则，则随着的增大而增大，令，，则，令，解得，或（舍去），所以当时，，即在上单调递增；当时，，即在上单调递减，则，所以，所以的范围为，故D正确．12．0.3/【详解】因为随机变量，且，所以，所以，故答案为：0.313．243【详解】二项式系数和为，由题意，解得，由，得，故，．14．150【详解】令全集，集合，已知条件如下：，且；；；．对于，其归属情况有三种互斥状态：状态1：；状态2：；状态3：．设分别为中处于上述三种状态的元素个数，则．由条件转化为对的约束：；；．问题转化为求满足且的整数解对应的分配方案数，这是一个将5个不同元素放入3个不同盒子且无空盒的问题．总分配方案数（无约束）：；排除不满足的情况（即）：元素只能选状态2或3，方案数；排除不满足的情况（即）：元素只能选状态1或3，方案数；排除不满足的情况（即）：元素只能选状态1或2，方案数；加回同时不满足两个条件的情况：全选状态3，方案数；全选状态2，方案数；全选状态1，方案数；减去同时不满足三个条件的情况：不可能（）；由容斥原理：．15．(1)6(2)【详解】（1）因为，所以只有最大，所以．（2）因为，令，解得，所以常数项为．16．(1)单增区间为，单减区间为；(2)【详解】（1）因为，所以，定义域为．因为，当时，，故在上单调递增，当时，令，即，时，，单调递减，时，，单调递增，所以函数的单增区间为和，单减区间为．（2）因为函数在区间上单调递减，所以对恒成立．因为，所以对恒成立，，设，在上单调递增，故，因此，要使恒成立，需，所以实数的取值范围是．17．(1)；(2)1234【详解】（1）法一：将7个除颜色外完全相同的球逐个取出依次放入编号为1～7的抽屉里，等价于将这7个球（4白3黑）全排列，总的方法数为．若编号为2的抽屉里放的是黑球，等价于将剩下6个球（4白2黑）全排列，方法数为．由古典概率模型，编号为2的抽屉里放的是黑球的概率为．法二：若第一次取出的是白球，概率为，则在此条件下第2次取出的是黑球的概率为；若第一次取出的是黑球，概率为，则在此条件下第2次取出的是黑球的概率为；由全概率公式，编号为2的抽屉里放的是黑球的概率为．（2），，，，，所以的分布列为：1234所以．18．(1)；(2)（i）；（ii）证明见解析．【详解】（1）因为，所以，所以．因为，所以，所以曲线在处的切线方程为．（2）（i）因为有两个相异零点，所以方程有两个不相等的实根．设，因为，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增．因此函数在处的极小值，也是最小值，即，当时，，当时，，所以实数的取值范围为．（ii）不妨设，由（i）知，．设，因为，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，当时，，所以，即．因为，令，所以．设，因为，令，解得，所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以，即．因为，令，所以．所以，得证．19．(1)4；(2)（i）；（ii），可靠．【详解】（1）法一：设成员甲在第1轮的10次试验中出现钉尖朝上的次数为，则，所以．令即化简得解得．所以，即成员甲在第1轮的10次试验中共出现4次钉尖朝上的概率最大．法二：设成员甲在第1轮的10次