简单的轴对称图形课件2025-2026学年北师大版七年级数学下册

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 简单的轴对称图形

第五章图形的轴对称2 ｜ 简单的轴对称图形第1课时等腰三角形的性质第五章图形的轴对称知识点1

等腰三角形边、角的性质典例1如图，已知DE∥BC，AB＝AC，∠1＝115°，则∠C

的度数是(

)A.55°B.65°C.75°D.85°B变式1如图，直线a∥b，直线l与直线a，b分别相交于点

A，B，点C在直线b上，且CA＝CB。若∠1＝32°，则∠2的

度数为(

C

)A.32°B.58°C.74°D.75°C典例2

(教材P127例1•改编)已知一个等腰三角形的底角比顶角

的2倍多15°，求它的各个内角的度数。解：设这个等腰三角形顶角的度数为x，则底角的度数为

⁠

⁠。根据“三角形三个内角的和等于180°”，得

⁠

⁠。解得

⁠。所以底角的度数为

⁠。所以，这个三角形的三个内角分别为

⁠。2x＋15°

x＋(2x＋15°)＋(2x＋15°)＝180°

x＝30°

2x＋15°＝2×30°＋15°＝75°

30°，75°，75°

变式2等腰三角形ABC中，若∠A＝40°，求∠B的度数。解：①若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝70°；②若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×40°＝

100°；③若∠A为底角，∠B也为底角，则∠B＝40°。综上所述，∠B的度数为70°或100°或40°。

遇到等腰三角形求角度的问题时，要注意分类讨论。解：①若∠A为顶角，则∠B＝(180°－∠A)÷2＝70°；②若∠A为底角，∠B为顶角，则∠B＝180°－2×40°＝

100°；③若∠A为底角，∠B也为底角，则∠B＝40°。综上所述，∠B的度数为70°或100°或40°。知识点2

等腰三角形的“三线合一”(顶角的平分线、底边上

的中线、底边上的高)典例3如图，AD是等腰三角形ABC的顶角平分线。下列叙

述中，不正确的是(

B

)BA.

AD把△ABC分成了两个直角三角形B.

AD一定大于BCC.

AD垂直平分线段BCD.

AD平分△ABC的面积变式3如图，在△ABC中，AB＝AC，BD＝CD，∠BAC＝

106°，则∠BAD的度数为(

C

)A.37°B.45°C.53°D.60°C(2)等边三角形的三个角相等，且都是60°(三角形的内角和为

180°)。知识点3

等边三角形的性质(1)等边三角形有三条对称轴。典例4如图，△ABC是等边三角形，当∠1＝25°时，∠2＝

°。95

变式4如图，若△ABC是等边三角形，AB＝6，BD是

∠ABC的平分线，延长BC到E，使CE＝CD，则BE＝

(

C

)A.7B.8C.9D.10C

1.

如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于点D。若AB

＝6，CD＝4，则△ABC的周长是(

D

)A.

10B.

14C.

16D.

20D2.

如图，在△ABC中，AB＝AC。(1)若∠A＝40°，则∠C

＝

°；(2)若∠B＝72°，则∠A

＝

°。70363.

(教材P128练习T1)下面是由大小不同的等边三角形组成的图

案，请找出它的对称轴。解：如图所示即为所求。

答图解：如图所示即为所求。答图

4.

如图，已知△ABC为等边三角形，若沿图中虚线剪去

∠A，则∠1＋∠2＝

°。2405.

如图，△ABC是等边三角形，BD⊥AC，则AD与BC的数

量关系为

⁠。6.

一个等腰三角形的顶角是底角的2倍，则它的各个内角的度

数是

⁠。

45°，45°，90°

7.

【思想方法•设元】如图，在△ABC中，∠B＝∠C，点D

在BC边上，点E在AC边上，∠ADE＝∠AED。若∠BAD＝

40°，则∠CDE的度数为(

C

)A.

10°B.

15°C.

20°D.

25°C2 ｜ 简单的轴对称图形第2课时线段的垂直平分线第五章图形的轴对称知识点1

线段的对称性典例1下列图形中，一定是轴对称图形的有

个。①线段；②三角形；③平行线；④两条相交直线；⑤长方形；

⑥圆。5变式1下列说法中，不正确的是(

C

)A.

线段是轴对称图形B.

将线段AB对折，使A，B两点重合，则折痕所在直线是线

段AB的一条对称轴C.

线段有无数条对称轴D.

线段的垂直平分线是它的一条对称轴C知识点2

线段垂直平分线的性质线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等。几何语言：因为MN是线段AB的垂直平分线，点P在MN上，所以PA＝PB。典例2如图，MN是AB的垂直平分线，点P是MN上一点。

若PA＝10，则PB＝

⁠。10

变式2如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线。若∠B

＝40°，∠C＝30°，则∠BAE＝

°。80

典例3如图，直线DE是△ABC的边AB的垂直平分线，D为

垂足，DE交AC于点E，且AC＝8，BC＝5，则△BEC的周

长是(

B

)BA.12B.13C.14D.15变式3如图，在△ABC中，AC＝7cm，线段AB的垂直平分线交AC于点N，△BCN的周长是13cm，则BC的长为

⁠。6cm

答图解：如图所示，CD即为所求。答图变式4－1线段垂直平分线的尺规作图，其依据是构造两个全

等三角形。如图，由作图可知，判定所构造的两个三角形全等

的依据是(

A

)AA.SSSB.ASAC.SASD.AAS变式4－2如图，已知直线l和l上一点P，用尺规作l的垂

线，使它经过点P。(保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示即为所求。

答图解：如图所示即为所求。答图

1.

关于线段的垂直平分线有以下说法：①一条线段与该线段的垂直平分线的交点，也是这条线段的

中点；②线段的垂直平分线是一条直线；③线段垂直平分线上的点到线段上任意一点的距离相等。其中，正确的说法有(

B

)A.

1个B.

2个C.

3个D.

0个B2.

如图，AB是线段CD的垂直平分线，垂足为G。E，F是

AB上的两点，下列结论不一定正确的是(

A

)A.

EC＝CDB.

EC＝EDC.

CF＝DFD.

CG＝DGA3.

如图，在△ABC中，EF是线段AC的垂直平分线，交BC于

点E，交AC于点D。若AD＝2.5，△ABE的周长为13，则

△ABC的周长为

⁠。18

4.

(教材P130练习T2•改编)如图，在△ABC中，∠C＝90°，

请用尺规作斜边AB的中线CE。(保留作图痕迹，不写作法)解：如图所示，CE即为所求。

答图解：如图所示，CE即为所求。答图5.

如图，在△ABC中，请用尺规作BC边上的高。(保留作图

痕迹，不写作法)解：如图所示，AD即为所求。

答图解：如图所示，AD即为所求。答图

6.

如图，在△ABC中，∠BAC＝105°，MP垂直平分AB，

分别交AB，BC于点M，P；NQ垂直平分AC，分别交AC，

BC于点N，Q。连接AP，AQ，则∠PAQ的度数

为

⁠。30°

2 ｜ 简单的轴对称图形第3课时角平分线的性质第五章图形的轴对称知识点1

角的对称性典例1下列说法不正确的是(

)A.

角是轴对称图形B.

角平分线是角的对称轴C.

将∠AOB对折，OA和OB重合，折痕所在的直线是

∠AOB的对称轴D.

角只有1条对称轴B变式1下列图形中，只有一条对称轴的是(

C

)C知识点2

角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边

的距离相等典例2如图，在Rt△ABC中，BE

平分∠ABC，DE⊥AB，

垂足为D。若EC＝3，则DE的长为(

B

)BA.2B.3C.4D.5变式2如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AD是Rt△ACB的

角平分线。如果CD＝5，那么点D到AB的距离是

⁠。

一平分，一垂直，则作另一边的垂线。5

典例3如图，BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，垂足为E，△ABC的面积为17.5，AB＝8，BC＝6，求DE的长。解：如图，过点D作DF⊥BC于点F。答图因为BD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，所以DF＝DE。因为△ABC的面积为17.5，

因为AB＝8，BC＝6，

解得DE＝2.5。变式3如图，已知△ABC的面积是120，BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OD⊥BC于点D，且OD＝6，求△ABC的周长。解：如图，连接OA，过点O作OE⊥AB于点E，作OF⊥AC

于点F。答图因为BO，CO分别平分∠ABC和∠ACB，OE⊥AB，

OF⊥AC，OD⊥BC，所以OE＝OD＝6，OF＝OD＝6。

S△ABC＝S△AOB＋S△AOC＋S△BOC＝120，

即AB＋AC＋BC＝40。所以△ABC的周长为40。

利用角平分线的性质作辅助线构造三角形的高，再利用

三角形的面积公式求出线段长度。知识点3

角平分线的尺规作图典例4

(教材P132例3•改编)如图，已知∠AOB，请依据下面的作法，用尺规作∠AOB的平分线。

答图答图解：如图所示，OC即为所求。

变式4如图，用直尺和圆规作已知角的平分线，要证明

∠CAD＝∠DAB，就要证明△AFD≌△AED，在证明这两个

三角形全等时用到的判定依据是

⁠。边边边(或SSS)

1.

如图，OP平分∠AOB，则下列图形能应用“角平分线上的

点到这个角的两边的距离相等”的是(

B

)B2.

如图，P是∠AOC的平分线上一点，PD⊥OA，垂足为

D，且PD＝2。M是射线OC上一动点，