湖南省师大附中2026届高三月考试卷（九）数学+答案

高三模拟卷(二)

数学参考答案

题号2345

答案CBACABDBDABC

一、选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.D【解析易得M=((x,y)l2+(y1)2=0}=8(0,1)}是点集,而N=40,1}是数集,所以两个集合没有公共

元素.

2·C解析当;不等式“2b2不能成立故AB错误;因为函数3

在R上单调递增,又a>b,所以a3>b3恒成立,故C正确;当C=0时,不等式ac2>bc2不能成立.

3.B解析因为gm2

4.A【解析】AB=3a+3b,BC=a+3b,CD=a+3b,".AC=AB+BC=(3a+3b)+(a+3b)=2(a+3b)=

2CD,AC与CD共线,又AC与CD有公共点C,".A,C,D三点共线.

11

5.C解析设圆柱的高为h,底面半径为r,可知h×4=2,r×

222

25所以剩下几何体的表面积为×222××2+×2x2/5(8+45·

6.D【解析】由已知得线段AC是动圆E的直径,故ABCB,于是AB·CB=0,即(X,5)·(ZSY)=0,可得

2

=5Y,又点B,C不重合,所以原点除外.

r.C的图象·当"=1时作出y—log5的图象9

因为log55的图象有1个交点;

注意到y=CosT的周期为6,logsn1(6n1)=1,"每增加1个单位,6mn1增加6个单位(一个周期),则交

3

点增加2个,故数列(a,}是首项为1,公差为2的等差数列,所以a20264051.

8.A【解析】由题意可得f(x1)e"i=m,则Inm=ln+z1,由g(2)=e2(1+ln2=m,则Inm=1+

n2+n(1+In2),令1+n2t,则Inm=t+nt,令h(x)=z+lnx,可知函数h(x)在(0,+)上单调递

1

增,所以当lnm=ln+1t+lnt时,有t=z1,即1+ln2=z1,可得2e,

所以2nme(+"令ue(u>o则"u+"所以

o当时

(<<e(<

所以函数在

·2

二、选择题:本题共3小题,每小题6分,共18分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求.全部选对的得6

分,部分选对的得部分分,有选错的得0分.

9.ABD【解析】随机变量X服从正态分布N(6,4),则μ=6,o=2,P(7<X<9)=P(3<X<5),A正确;E(X)=

2

6,则E(2X+1)=2E(X)+1=13,B正确;D(X)=4,则D(2X+1)=4D(X)=16,C错误;由P(2<X

数学参考答案(T9)-1

<10)=m,P(4<X<8)=n,得P(6<X<10)=",P(4<X≤6)=",因此P(4<X<10)=P(4<X6)+

22

正确·

10.BD【解析】对于A,当a=b=C=0时,b2=ac,此时a,b,C不成等比数列,故A错误;对于B,若数列a,}为等

3

差数列设其公差为d则此时有3+3do,所以数列13为等比数列故B正确;对于C若s

3

1

=3"+1,则a=s1=3十1=4,a,=S,S,i=3"+1(3n+1)=3"3n=2·3n1(n≥2),a=4不满足

22

an—2·3"',所以数列(a,}不是等比数列,故C错误;对于D,因为2an2an+a1,由等差中项的定义可知,

数列an2}是首项a21=1,公差d=a22a241=3的等差数列,所以an2a2+(n1)d=1+3(n1)=3n2,

由此可知a293x92=25,又因为a,>0,所以a95.D正确.

11.ABC解析对于选项A因为体对角线之间不可能面9所以分两类

第二类:体对角线与棱共有4X6=24,所以共48对,A正确;

对于选项B9在cci连接BE并延长交BC延长线于F·在RtBCE和RtBBC中

E3

LBB,ci=LB,CE=90"且B,ci-C,所以RtB,CECORtBBC

BB1B1C15

则BBC+BC1B=LEBC1+B1CB=90",所以BEBC,

由长方体性质易得CD1BE,而CDBC=C,且C1D1,BC一平面BCD,

所以BE平面BC1D1,BD1一平面BCD1,故BEBD1,根据题设,易知ABLAB1,A1D1上AB1,同理可

证AB上BD1,由B,EAB1=B1且B,E,AB1一平面AB,E,所以BD1平面AB,E,

即BD1上平面AB1F,又平面ABF平面ABCD=AF,所以BD1上AF,又BD1上BP,点P在平面

ABCD上,

故只需点P在直线AF上,即点P在平面ABCD上的轨迹是一条直线,故B正确;

对于选项C,由DD上平面ABCD,所以DPD1是直线D1P和平面ABCD所成角的平面角,

要使该值最大只需DP最小显然当PDAF时DP最小

AFAB2+BF2BFBC+CFCF所以则则

3BFDP-

534

-5·故tan-·故C正确;

对于选项D,由DD平面ABCD,PC平面ABCD,则DDPC,若存在点P,使得PDPC,

又DDPD1=D1,且DD1,PD平面PDD1,此时PC平面PDD1,PD一平面PDD1,

所以PCLPD,显然,在平面ABCD上以CD为直径的圆与AF的交点作为P点,满足PCLPD,

故存在点P,使得PD1PC,故D错误.

三、填空题:本题共3小题,每小题5分,共15分.

31111

因为AP所以AP

12·gL解析OPOA92OA+gOBtOC可化简为OPOA2OA+gOB+

数学参考答案(T9)2

3·45b4C3设椭圆的右焦点为F·连接PF记线段PF的中

点为Q,连接OQ,因为IOFl=C=3,所以IOQ=3,因为0,Q分别为FF1和PF的中点,所以OQFP,所以

IPFI=2IOQl=6,又PF+PF12a=10,所以IPFl=10lpF=4.

222

14·解析把10次取球看成10个位置9从中任取2个位置放红球9共有c种9且等可能·当X=k9第k个位

3

置为红球另个红球在前k5,s,.8,.o所以期望

CC2C3C4C5C61C71C81C9122

E(X)=2+3+4+5+‘+7X+8+9+o

C2C2C2C2C2C2C2C2C23·

四、解答题:本题共5小题,共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.【解析】(1)因为f(1)=xrlnzax2x,

所以f"(x)=ln+12ax1=lnx2axr.…2分

因为曲线y=f(u)在z=1处的切线斜率为1,所以f'(1)=2a,……4分

分

所以2a=19即a=2·…5

(2)函数f(x)的定义域为(0,+co),………6分

2

由f(u)lnza在zE(0,+)上恒成立,

"

则a在xE(0,+)上恒成立,…7分

设hln分

令h'(x)>0,得0<<e2,令h'(x)<0,得1>e2,

所以函数h(x)在(0,e2)上单调递增,在(e2,+)上单调递减,……11分

I2分

13分

2、33a2bbinC+

解析1(9:"b=3sin(c+3in(c+33bcosc

由正弦定理得,/3sinA=sinBsinC+,/3sinBcosC,……2分

因为sinA=sin(B+c),所以、3sin(B+c)=3sinBcosC+inBsinC,

即、3sinBcosC+3CosBsinC=、3sinBcosC+inBsinC,……4分

整理得,/3CosBsinC=sinBsinC,.ce(0,x),则sinC>0,"sinB=/3CosB,

则tanB=、3,所以B=T.……6分

3

分

".4cosa=3sina,…………………lo分

又因为in2α+co2αI2分

数学参考答案(T9)3

所以inACBin+inαc+cin4+33分

333103

即ABC的面积为2:/3+.…15分

2

17.K解析】(1)如图,连接AB',取BB'的中点Q,连接AQ,CQ,

由侧面ABB'A'为菱形,所以A'BAB'.

又由A'BB'C,且AB'nB'C=B',AB',B'C平面B'AC,

所以A'B上平面B'AC,又AC平面B'AC,故而AB上AC,……2分

又由ABB'=T,所以ABB'为等边三角形,所以AQBB'

3

由B'C=BC,所以CQBB',且AQncQ=Q,AQ,CQ平面ACQ

所以BB'__平面ACQ,又ACc平面ACQ,所以AC上BB',……4分

又BB'nA'B=B,BB',A'Bc平面ABB'A',所以AC上平面ABB'A',AC平面ABC,

故而平面ABB'A'上平面ABC.…6分

(2)如图,取A'B'的中点F,连接AF,

由(1)知ABAC,ACLAF,由F为A'B'的中点,则AFA'B',

即AFAB,所以AB,AC,AF两两垂直,

建立如图所示的空间直角坐标系,……………8分

由AB=AC=2,所以A(0,0,0),B(2,0,0),A'(1,0,3),E(0,1,0),

所以EB-(2·o·AB3o,、3入

设P(U,,yO,X),由2EA'=5EP,

得2i1.·35(·

2323

所以AP-(555),……10分

(n·EB=0,r21ya=0,

设平面A'BE的法向量为"=(z1ryx1),则即

in·AB=,0,131、3x1=0,

令x1=1,则y=2,x1=、3,所以"=(1,2,3),……12分

令为AP与平面ABE所成的角4分

所以直线AP与平面A…I5分

8·…1分

若第次抽到A类部件第22分

若第次抽到B类部件9第3分

4分

(2)记事件M,为"第"次操作抽调到A类部件",则P(M,)=p,,其对立事件M,(第"次抽到B类部件)的概

率为P(M-1n根据全概率公式第+1次抽到A类部件的概率为:

n+P(M+1)=P(M,)P(M+1M,)+P(M,)P(M+1M,),

即+1=p,P(M+M,)十(1p,)P(M,-1lM,),…6分

数学参考答案(T9)4

第"次操作后,系统内总部件数为3十",…7分

2

则MM(+

若第次抽到A类A(+2P+3+;…8分

分

即

(或(n+3)+1=(n+1)p,十1或(n+3)p+1(n+1)p,=1,或(n+3)n+1(n+1)p,1=0).…11分

(3)由(2)得("十3)(n+2)p+1=(n+2)(n+1)p,+(n+2),

令b,=(n+2)(n+1)p,得b+1=b+(n+2),即b,b,1=n+1,…13分

累加得:

4分

又b=(1+2)X(1+1)xpi=3X2X=2

3

I5分

又b+16分

…17分

19.【解析】(1)因为双曲线E的"交换双曲线"为自己本身,所以a=b,

设双曲线E的方程为z2y2=a2,代入点(1,0),得a2=1,

所以双曲线E的方程为z2y2=1.……3分

(2)△ABC的垂心在双曲线E上.理由如下:…………………4分

2

因为B,C两点在双曲线y2=1上,

又A

所以AB边上

分

同理AC边上分

设ABC的垂心为H(U,,y),H在直线l,l2上,