浙江省宁波市2025-2026学年高一数学上学期期末考试试题含解析

宁波市2025学年上学期期末考试

高一数学试题卷

本试卷共4页，19小题，满分150分.考试用时120分钟.

注意事项：

1.答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名､学校､准考证号填涂在答题卡上.将条形码横贴

在答题卡的“贴条形码区”.

2.作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案标号涂黑；如需改动，用

橡皮擦干净后，再选涂其他答案.所有答案必须写在答题卡上，写在试卷上无效.

3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需

改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案：不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效.

4.考生必须保持答题卡的整洁，不要折叠､不要弄破.

选择题部分（共58分）

一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求

的.

ð

1.已知集合U{x∣x是小于6的正整数},UA1,2,3，则A中元素的个数为（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】

【分析】由补集定义求出集合A即可得解.

ð

【详解】由题可得U1,2,3,4,5，又UA1,2,3，

所以A4,5.所以A中元素的个数为2.

故选：B

2.命题“x0,x22”的否定为（）

A.x0,x22B.x0,x22

C.x0,x22D.x0,x22

【答案】C

【解析】

【分析】由命题的否定的定义直接得解.

【详解】命题“x0,x22”的否定为“x0,x22”.

故选：C

3.已知角的终边经过点P3,4，则sinπ（）

4433

A.B.C.D.-

5555

【答案】A

【解析】

【分析】根据诱导公式和正弦定义即可得到答案.

44

【详解】sinπsin.

32425

故选：A.

4.已知lg2a,lg3b，则10ab（）

4332

AB.C.D.

.3423

【答案】D

【解析】

【分析】由指数和对数互化公式和运算性质直接计算即可得解.

10a2

【详解】由题可得210a,310b，所以10ab.

10b3

故选：D

5.已知函数fx的定义域为R，则下列函数一定为奇函数的是（）

A.fxfxB.fxfx

C.fx2fx2D.fx2fx2

【答案】B

【解析】

【分析】要判断函数的奇偶性，先依据奇函数定义，对于定义域为R的函数gx，若满足gxgx，

则gx为奇函数，再逐一分析各选项即可.

【详解】选项A：因为gxfxfx，

所以gxfxfxgx，满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.A错误.

选项B：因为gxfxfx，

所以gxfxfxfxfxgx，

满足奇函数定义，是奇函数.B正确.

选项C：因为gxfx2fx2，

所以gxf(x)2f(x)2fx2fx2gx，

满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.C错误.

选项D：因为gxfx2fx2，

所以gxf(x)2f(x)2fx2fx2gx，

满足偶函数定义，是偶函数，不是奇函数.D错误.

故选：B.

6.如图1所示，九边形一角硬币是中国第四套人民币中的辅币，其边缘呈正九边形的独特设计在视觉和触

觉上提供了极强的识别性，方便公众使用并辅助防伪，同时也兼顾了耐用性､生产工艺和文化寓意.已知正

九边形的外接圆半径为r，则图2中阴影部分（正九边形与圆之间的部分）的面积为（）

9π2π2

A.πsinrB.π9sinr

299

92π22π2

C.πsinrD.π9sinr

299

【答案】C

【解析】

【分析】应用三角形面积公式计算求解.

2π12π

【详解】正九边形每条边长所对的圆心角为，正九边形面积为9rrsin，

929

92π2

阴影部分的面积为πsinr.

29

故选：C.

2010

7.设x0是关于x的方程x20252028x的实数根，则x0所在的区间为（）

x

A.2025,2026B.2026,2027C.2027,2028D.2028,2029

【答案】B

【解析】

2010

【分析】将题设等价转化为函数fxx2025x2028在2025,上的零点，利用函数

x

单调性和f2027f20260、结合零点存在定理即可得解.

20102010

【详解】方程x20252028x的实数根，即为方程x2025x20280的实

xx

数根，

2010

即为函数fxx2025x2028在2025,上的零点，

x

2010

因为函数yx2025和yx在2025,上均为增函数，

x

2010

所以fxx2025x2028在2025,上均为增函数，

x

20102010

又f2027220272028210，

20272027

20102010

f202612026202810

20262026

2010

所以f2027f20260，则函数fxx2025x2028在2025,上有唯一零点，

x

且零点所在的区间为2026,2027，即x0所在的区间为2026,2027.

故选：B

xx

8.已知实数x,y满足1tan1tantany，则下列情形不成立的是（）

22

ππππ

A.x,yB.x,y

31248

πππ

C.x,yD.xy

5106

【答案】C

【解析】

【分析】可先将已知等式化简得到y与x的关系，再逐一验证选项是否满足该关系.

xx

【详解】已知1tan1tantany，

22

xπx

1tantantan

πx

变形可得：tany242tan

xπx

1tan1tantan42

242

πx

因此ykπ（kZ）.

42

ππππ

对于选项A：x，k0时，则y，成立.

34612

ππππ

对于选项B：x，k0时，则y，成立.

4488

πππxππππ

对于选项C：x,y时，则ykπ，故该情形不成立.

510421041020

ππππ

对于选项D：x，k0时，则y，成立.

64126

故选：C

二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选

对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.

9.已知正实数a,b满足ab1，且ab，则下列不等式中正确的是（）

1b1b

A.aB.

2a1a

11

C.abD.ab

42

【答案】ABC

【解析】

【分析】等量代换后结合题意可得A；作差可得B；由基本不等式可得C；举反例可判断D.

1

【详解】对于A，因为正实数a,b满足ab1，且ab，所以a1aa，故A正确；

2

b1bab1ba1ab

对于B，0，故B正确；

a1aaa1aa1

11

对于C，1ab2abab，当且仅当ab时取等号，但ab等号不能取得，故C正确；

42

311

对于D，令a,b，则ab，故D错误.

442

故选：ABC

10.已知函数fx2sinxsin2x，则下列说法正确的是（）

A.2π是fx的一个周期

π

B.fx的图象关于直线x对称

4

C.fx的最大值为3

D.fx在π,π上有3个零点

【答案】AD

【解析】

π

【分析】根据fx2πfx可判断A；根据f0f可判断B；根据正弦函数性质计算可判断C；

2

函数fx可化为fx2sinx1cosx，令f(x)=0，计算可判断D.

【详解】对于A，因为

fx2π2sinx2πsin2x2π2sinx2πsin2x4π2sinxsin2xfx，

所以2π是fx的一个周期，故A正确；

ππ

对于B，f02sin0sin00，f2sinsinπ2，

22

ππ

因为f0f，所以fx的图象不关于直线x对称，故B错误；

24

π

对于C，当x2kπ,kZ时，函数y2sinx有最大值为2，

2

π

当xkπ,kZ时，函数ysin2x有最大值为1，

4

因为函数y2sinx与函数ysin2x在一个周期内不可能同时取到最大值，

所以fx的最大值不可能为3，故C错误；

对于D，fx2sinxsin2x2sinx2sinxcosx2sinx1cosx，

令f(x)=0，则2sinx1cosx0，即sinx0或cosx1，

当xπ,π时，sinx0解得xπ或x0或xπ，

cosx1解得xπ或xπ，

所以fx在π,π上有3个零点，故D正确.

故选：AD

11.设函数fx与gx的定义域都是非空数集I，若对任意的x1I，总存在x2I，使得

fx1gx2kk0成立，则称fx是gx在定义域I上的“k级友谊函数”.则（）

A.若fx是gx在定义域I上的“k级友谊函数”，则对任意的xI,fx0

1

B.fx是gxx在区间1,4上的“2级友谊函数”

x

22

C.若fxx是gxx在区间m,nnm上的“3级友谊函数”，则mn3

x

D.若fx是gx2xa在区间1,4上的“1级友谊函数”，则20a2

x24

【答案】ACD

【解析】

【分析】对于A，结合题意可得对任意的x1I，总存在x2I，使得fx1gx2kk0成立，进而

3

判断即可；对于B，求出两函数的值域，根据两值域关系和新定义即可判断；对于C，转化为fx2

fx1

成立，再分nm0，mn0以及m0n讨论即可判断；对于D，转化问题为存在x21,4，使

1

得gx24,5成立，进而分a0、2a0、16a2、a16讨论求解即可判断.

fx1

【详解】对于A，由题意，fx是gx在定义域I上的“k级友谊函数”，

则对任意的x1I，总存在x2I，使得fx1gx2kk0成立，

显然，对任意的xI,fx0，故A正确；

11

对于B，当，当时，，

x11,4,fx1,1x2[1,4]gx2x2[1,2]

x14

111

取，则，对于任意的，，

x14fx1x21,4fx1gx2,

442

此时不存在x21,4，满足fx1gx22，

1

所以f(x)和g(x)x不是区间1,4上的“2级友谊函数“，故B错误；

x

对于C，由题知f(x)x2是g(x)x2在区间[m,n](nm)上的“3级友谊函数“，

则任意x1[m,n]，总存在x2[m,n]，使fx1gx23，

23

因为f(x)g(x)x0，则只需使fx2成立即可，

fx1

222

①当nm0时，f(x)x在[m,n]上单调递增，其值域为m,n，

333

所以22，则fx,

fx1m,n222

fx1nm

3

因为任意x1[m,n]，总存在x2[m,n]，使fx2成立，

fx1

3

m2

3323m2n2

所以22，则n，即，即2，此时．

2,2m,n22(mn)3mn3

nm323mn

n

m2

222

②当mn0时，f(x)x在[m,n]上单调递减，其值域为n,m，

333

所以22，则fx,，

fx1n,m222

fx1mn

3

因为任意x1[m,n]，总存在x2[m,n]，使fx2成立，

fx1

3

m2

3323m2n2

所以22，则n，即，即2，此时．

2,2n,m22(mn)3mn3

mn32mn3

n

m2

③当m0n时，当x10时，有f(0)0，不存在x2，使得f(0)gx23，

此时不存在这样的m，n，不符合题意．

综上所述，mn3，故C正确；

x

对于D，由题知fx是gx2xa在区间1,4上的“1级友谊函数”，

x24

则对任意的x11,4，总存在x21,4，使得fx1gx21成立，

x1

fx1

当时，12，

x11,4x144

x1

x1

4

因为函数yx在1,2上单调递减，在2,4上单调递增，

x

4

且x1时，y5，x2时，y4，x4时，y5，则x14,5，

x1

111

所以，则存在，使得gx4,5成立，

fx1,x21,42

54fx1

x2x2

当x21,4时，2a2a,16a，gx22a，

x2

当a0时，gx22a2a,16a，

2a4

则4,52a,16a，即16a5，解得0a2；

a0

x2

当a0时，令gx22a0，得x2log2a，

x2

若log2a1，即2a0时，gx22a2a,16a，

2a4

则4,52a,16a，即16a5，解得2a0；

2a0

若，即时，，

1log2a416a2gx2min0

而g12a2a,g416a，

2a516a5

则或，解得16a2；

16a216a2

x2

若log2a4，即a16时，gx22a16a,2a，

16a4

则4,516a,2a，即2a5，解得20a16.

a16

综上所述，20a2，故D正确.

故选：ACD

非选择题部分（共92分）

三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

1,x0,

12.已知函数fx则ff1__________.

0,x0,

【答案】1

【解析】

【分析】由里往外直接计算即可求解.

【详解】由题得ff1f01.

故答案为：1

π

13.已知函数fxsinx0在区间0,上不单调，则的取值范围为______.

2

【答案】1,

【解析】

【分析】在指定区间内求出相位的范围，再利用正弦函数单调性列式求解.

ππππ

【详解】当x0,时，0x，依题意，,0，解得1，

2222

所以的取值范围为1,.

故答案为：1,

14.已知a,b为正实数，且ab1,a2cac,b22b1bc，则实数c的取值范围为__________.

【答案】4,

【解析】

111

【分析】整理可得ca12，cb2，进而可得a1，0b1，构造函数

a1bb

1

fbb2，结合函数单调性求值域即可.

b

【详解】因为a,b为正实数，ab1，则a1b0，

a21

且a2cac，则ca12，

a1a1

1

又因为b22b1bc，则cb2，

b

11

可得a12b2，整理可得a1bba110，

a1b

且a1b0，则a1b0，

1

可得ba110，即a1，

b

1

由a1b0，可得b0，解得0b1，

b

1

构造函数fbb2，可知fb在0,1内单调递减，

b

当b趋近于1时，fb趋近于4，可得fb4，即c4，

所以实数c的取值范围为4,.

故答案为：4,.

四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤.

x3

15.记不等式0的解集为A，不等式10x30的解集为B.

x1

（1）求集合A；

（2）若集合CxZxAB，写出C的所有子集.

【答案】（1）A3,1

（2）,2,1,2,1

【解析】

【分析】（1）将分式不等式转化为一元二次不等式求解；

（2）求出集合B，利用交集的概念求出C，即可写出子集.

【小问1详解】

x3

不等式0，即x3x10，解得3x1，

x1

所以集合A3,1.

【小问2详解】

1

1

由3，解得，即3.

10x0103x0Bx10x0

又因为(3)32710,(2)3810，所以CxZxAB2,1，

因此，集合C的子集有,2,1,2,1.

16.已知函数fx3sin2xcos2x.

π

（1）求f的值；

24

π

（2）将yfx的图象向左平移个单位得到ygx的图象，解关于x的不等式gx3.

12

【答案】（1）2

π

（2）xkπxkπ,kZ

6

【解析】

【分析】（1）由辅助角公式化简函数解析式即可直接计算求解；

（2）由平移变换求出ygx的解析式，再由正弦函数性质解不等式即可.

【小问1详解】

π

因为fx3sin2xcos2x2sin2x，

6

ππ

所以f2sin2.

244

【小问2详解】

πππ3

由题知gxfx2sin2x，所以gx3即sin2x，

12332

ππ2ππ

所以2kπ2x2kπ,kZ，解得kπxkπ,kZ，

3336

π

所以原不等式的解集为xkπxkπ,kZ.

6

1x

17.已知flnx.

1x

（1）求函数fx的解析式；

（2）判断函数fx的奇偶性并说明理由；

（3）若关于t的不等式ftft2a0有解，求实数a的取值范围.

1ex

【答案】（1）fx,xR

1ex

（2）奇函数，理由见解析

1

（3）a

4

【解析】

【分析】（1）应用换元法结合指对数转化得出解析式；

（2）应用奇函数定义证明；

（3）先证明函数是R上单调递减函数，再根据单调性列式，再应用一元二次不等式有解计算判别式计算求

参.

【小问1详解】

1et

令tlnxR，则xet，从而ft，

1et

1ex

所以fx的解析式为fx,xR.

1ex

【小问2详解】

fx是奇函数，

证明：函数fx的定义域为R.

1exex1

因为xR，都有xR，且fxfx，

1exex1

所以fx为奇函数.

【小问3详解】

先证函数fx的单调性：

任取x1,x2R，不妨设x1x2.

xx

22222e2e1

则.

fx1fx21x1xxx

1e11e21e11e21ex11ex2

xxxx

x1x21221

因为x1x2，所以0ee，所以1e1e0,ee0.

所以fx1fx20，即fx1fx2.

所以函数fx在R上单调递减.

因为ftft2a0有解，即ft2aftft有解.

即t2at有解，亦即t2ta0有解，

1

所以Δ14a0，得a.

4

π

18.已知函数fxtanx.

3

（1）求fx的定义域；

3

（2）若f，求f的值；

2

π

（3）若sin22sin0，求f的最大值.

3

π

【答案】（1）xxkπ,kZ

6

（2）33

（3）3

3

【解析】

【分析】（1）由正切函数的定义域可解；

（2）由差角的正切公式计算可得；

πππππ

（3）法一：拆角后得到sin22sin0，令x2,y，则

33333

sinxy2siny0，展开两边同除以cosy，结合二倍角的正余弦和同角的三角函数关系化简可得；

πππ

法二：拆角后由诱导公式变形得到sin22sin.

333

ππ

令x,y，则sin2xy2siny，用和差角的正弦公式展开并整理，两边同除以

33

cosxycosx再计算可得；

sinx

法三：前面同法一，得f，再由辅助角公式化简后计算可得.

2cosx

【小问1详解】

πππ

令xkπ,kZ，得xkπ,kZ.

326

ππ

所以函数fxtanx的定义域为xxkπ,kZ.

36

【小问2详解】

π3

因为ftan，

32

2ππ3

tantan3

π2ππ332

所以ftantan33.

3332ππ3

1tantan13

332

【小问3详解】

ππππ

法一：因为sin22sin0，所以sin22sin0.

3333

ππ

令x2,y，则sinxy2siny0，

33

展开得sinxcosycosxsiny2siny0，

sinx

两边同除以cosy，得sinxcosxtany2tany0，所以tany.

2cosx

xxx

2sincos2tan

sinx

从而ftany222，

2x2x2x

2cosxsin3costan3

222

x

2tan

xx33

因为tan2323tan，所以2，

x

223tan233

2

x

当且仅当tan3时f取到最大值3.

23

π

法二：由sin22sin0，

3

πππ

得sin2π2sin0，

333

πππ

即sin22sin0，

333

πππ

所以sin22sin.

333

ππ

令x,y，则sin2xy2siny，

33

所以sinxyx2sinxyx，

用和差角的正弦公式展开并整理，得sinxycosx3cosxysinx，

两边同除以cosxycosx，得tanxy3tanx.

tanxtany2tanx

展开得3tanx，即tany.

1tanxtany3tan2x1

π2tanx3

所以ftantany，

33tan2x13

33

当且仅当tanx时f取到最大值.