《两条直线平行和垂直的判定》课件

2.1.2两条直线平行和垂直的判定第二章内容索引0102课前篇自主预习课堂篇探究学习课标阐释思维脉络1.理解两条直线平行与垂直的条件.(数学抽象)2.能根据斜率判定两条直线平行或垂直.(逻辑推理)3.能利用两直线平行或垂直的条件解决问题.(数学运算)课前篇自主预习[激趣诱思]过山车给人以飞翔的感觉,让你前一秒升至高空,下一秒却落至地面.从高空看下去——如果你有机会停下来看一眼的话必定很难忘.但它不会给你时间去欣赏美景,相反会立即从高空开始急速降落,带来一次又一次的动人心魄之旅.过山车的铁轨是两条平行的、起伏的轨道,它们靠着一根根巨大且垂直于地面的钢柱支撑着,你能感受到过山车中的平行与垂直吗?[知识点拨]一、两条直线平行与斜率之间的关系设两条不重合的直线l1,l2,倾斜角分别为α1,α2,斜率存在时斜率分别为k1,k2.则对应关系如下:前提条件α1=α2≠90°α1=α2=90°对应关系l1∥l2⇔k1=k2l1∥l2⇔两直线斜率都不存在图

示要点笔记若没有指明l1,l2不重合,那么k1=k2⇒用斜率证明三点共线时,常用到这一结论.微思考对于两条不重合的直线l1,l2,“l1∥l2”是“两条直线斜率相等”的什么条件?提示

必要不充分条件,如果两不重合直线斜率相等,则两直线一定平行;反过来,两直线平行,有可能两直线斜率均不存在.微练习已知直线l1经过两点(-1,-2),(-1,4),直线l2经过两点(2,1),(x,6),且l1∥l2,则x=

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解析

由题意知l1⊥x轴.又l1∥l2,所以l2⊥x轴,故x=2.答案

2二、两条直线垂直与斜率之间的关系

对应关系l1与l2的斜率都存在,分别为k1,k2,则l1⊥l2⇔k1k2=-1l1与l2中的一条斜率不存在,另一条斜率为零,则l1与l2的位置关系是l1⊥l2.图示要点笔记“两条直线的斜率之积等于-1”是“这两条直线垂直”的充分不必要条件.因为两条直线垂直时,除了斜率之积等于-1,还有可能一条直线的斜率为0,另一条直线的斜率不存在.微练习若直线l1,l2的斜率是方程x2-3x-1=0的两根,则l1与l2的位置关系是

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解析

由根与系数的关系,知k1k2=-1,所以l1⊥l2.答案

l1⊥l2课堂篇探究学习探究一两直线平行例1判断下列各小题中的直线l1与l2是否平行:(1)l1经过点A(-1,-2),B(2,1),l2经过点M(3,4),N(-1,-1);(2)l1的斜率为1,l2经过点A(1,1),B(2,2);(3)l1经过点A(0,1),B(1,0),l2经过点M(-1,3),N(2,0);(4)l1经过点A(-3,2),B(-3,10),l2经过点M(5,-2),N(5,5).思路分析斜率存在的直线求出斜率,利用l1与l2重合或l1∥l2⇔k1=k2进行判断,若两直线斜率都不存在,可通过观察并结合图形得出结论.反思感悟

两直线平行的判定及应用(1)关于直线平行关系的判定①当斜率存在时,分别计算斜率,判断斜率关系.当两直线斜率都不存在时,两直线平行.②条件中出现“两条直线l1,l2”,如果没有特别说明时,是指两条不重合的直线.(2)直线平行关系的应用已知平行关系可得出斜率相等,表示斜率时要考查斜率不存在的情况是否符合题意,如果符合应单独讨论.延伸探究

已知A(-2,m),B(m,4),M(m+2,3),N(1,1),若AB∥MN,则m的值为

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解析

当m=-2时,直线AB的斜率不存在,而直线MN的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;当m=-1时,直线MN的斜率不存在,而直线AB的斜率存在,MN与AB不平行,不合题意;因为AB∥MN,所以kAB=kMN,当m=0或1时,易知两直线不重合.综上,m的值为0或1.答案

0或1探究二两直线垂直例2(1)直线l1经过点A(3,2),B(3,-1),直线l2经过点M(1,1),N(2,1),判断l1与l2是否垂直.(2)已知直线l1经过点A(3,a),B(a-2,3),直线l2经过点C(2,3),D(-1,a-2),若l1⊥l2,求a的值.思路分析(1)若一条直线的斜率不存在,再看另一条直线的斜率是否为0,若为0,则垂直.(2)当两直线的斜率都存在时,由斜率之积等于-1求解;若一条直线的斜率不存在,由另一条直线的斜率为0求解.解

(1)直线l1的斜率不存在,直线l2的斜率为0,所以l1⊥l2.(2)由题意,知直线l2的斜率k2一定存在,直线l1的斜率可能不存在.当直线l1的斜率不存在时,3=a-2,即a=5,此时k2=0,则l1⊥l2,满足题意.当直线l1的斜率k1存在时,a≠5,由斜率公式,综上所述,a的值为0或5.反思感悟

使用斜率公式判定两直线垂直的步骤(1)一看:看所给两点的横坐标是否相等,若相等,则直线的斜率不存在,若不相等,则进行第二步.(2)二代:将点的坐标代入斜率公式.(3)求值:计算斜率的值,进行判断,尤其是点的坐标中含有参数时,应对参数进行讨论.提醒:若已知点的坐标含有参数,利用两直线的垂直关系求参数值时,要注意讨论斜率不存在的情况.变式训练已知定点A(-1,3),B(4,2),以AB为直径作圆,与x轴有交点P,则交点P的坐标是

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解析

设以AB为直径的圆与x轴的交点为P(x,0).∵kPB≠0,kPA≠0,∴(x+1)(x-4)=-6,即x2-3x+2=0,解得x=1或x=2.故点P的坐标为(1,0)或(2,0).答案

(1,0)或(2,0)探究三两直线平行与垂直的综合应用例3如图所示,在平面直角坐标系中,四边形OPQR的顶点坐标按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),R(-2t,2),其中t>0.试判断四边形OPQR的形状.思路分析利用直线方程的系数关系,或两直线间的斜率关系,判断两直线的位置关系.延伸探究

1将本例中的四个点,改为“A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0),顺次连接A,B,C,D四点,试判断四边形ABCD的形状.”解

由题意A,B,C,D四点在平面直角坐标系内的位置如图,延伸探究

2将本例改为“已知矩形OPQR中四个顶点按逆时针顺序依次为O(0,0),P(1,t),Q(1-2t,2+t),试求顶点R的坐标.”反思感悟

1.利用两条直线平行或垂直判定几何图形的形状的步骤

2.判定几何图形形状的注意点(1)在顶点确定的前提下,判定几何图形的形状时,要先画图,猜测其形状,以明确证明的目标.(2)证明两直线平行时,仅有k1=k2是不够的,还要注意排除两直线重合的情况.(3)判断四边形形状,要依据四边形的特点,并且明确不会产生其他的情况.

素养形成分类讨论思想在平行与垂直中的应用典例已知点A(0,3),B(-1,0),C(3,0),且四边形ABCD为直角梯形,求点D的坐标.思路分析分析题意可知,AB,BC都不可作为直角梯形的直角边,所以要考虑CD是直角梯形的直角边和AD是直角梯形的直角边这两种情况;设所求点D的坐标为(x,y),若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,根据已知可得kBC=0,CD的斜率不存在,从而有x=3;接下来再根据kAD=kBC即可得到关于x,y的方程,结合x的值即可求出y,那么点D的坐标便不难确定了,同理再分析AD是直角梯形的直角边的情况.【规范答题】解

设所求点D的坐标为(x,y),如图所示,由于kAB=3,kBC=0,则kAB·kBC=0≠-1,即AB与BC不垂直,故AB,BC都不可作为直角梯形的直角边.①若CD是直角梯形的直角边,则BC⊥CD,AD⊥CD,∵kBC=0,∴CD的斜率不存在,从而有x=3.又kAD=kBC,∴

=0,即y=3.此时AB与CD不平行.故所求点D的坐标为(3,3).方法总结

先由图形判断四边形各边的关系,再由斜率之间的关系完成求解.特别地,注意讨论所求问题的不同情况.1.若直线l1的斜率为a,l1⊥l2,则直线l2的斜率为(

)解析

若a≠0,则l2的斜率为-;若a=0,则l2的斜率不存在.答案

D

当堂检测2.已知过A(1,1),B(1,-3)两点的直线与过C(-3,m),D(n,2)两点的直线互相垂直,则m=

,n有

个.

解析

因为由条件知过A(1,1),B(1,-3)两点的直线的斜率不存在,而AB⊥CD,得m=2,n≠-3,所以n有无数个.答案

2

无数3.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2),B(0,1),C(4,3),点D(m,1)在边BC的高所在的直线上,则实数m=

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解析

设直线AD,BC的斜率分别为kAD,kBC,由题意,得AD⊥BC,则有kAD·kBC=-1,4.顺次连接A(-4,3),B(2,5),C(6,3),D(-3,0)四点,判断四边形ABCD形状.解

,kAD=-3,因为kAB=kCD,且AB,CD不是同一条直线,所以AB∥CD.因为kAB·kAD=-1,所以直线AD垂