4.3.2等比数列的前n项和公式 (2) B提高练（解析版）

4.3.2等比数列的前n项和公式(2)-B提高练一、选择题1．我国明代著名乐律学家､明宗室王子朱载堉在《律学新说》中提出的十二平均律，即是现代在钢琴的键盘上，一个八度音程从一个c键到下一个键的8个白键与5个黑键(如图)的音频恰成一个公比为的等比数列的原理，也即高音的频率正好是中音c的2倍.已知标准音的频率为440Hz，那么频率为的音名是（）A．d B．f C．e D．#d【答案】D【详解】由题意可得从左到右的音频恰成一个公比为的等比数列，设频率为的音名为等比数列的首项，标准音为第项，则，解得，从标准音开始，往左数7个的音名是#d.故答案为：D.2．已知数列满足，，，是等比数列，则数列的前8项和（）A．376 B．382 C．749 D．766【答案】C【详解】由已知得，，，而是等比数列，故，，，化简得，3．在当前防疫取得重要进展的时刻，为防范机场带来的境外输入，某机场海关在对入境人员进行检测时采用了“优选法”提高检测效率：每32人为一组，把每个人抽取的鼻咽拭子分泌物混合检查，如果为阴性则全部放行；若为阳性，则对该32人再次抽检确认感染者.某组32人中恰有一人感染(鼻咽拭子样本检验将会是阳性)，若逐一检测可能需要31次才能确认感染者.现在先把这32人均分为两组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性，则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组.继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查……依此类推，最终从这32人中认定那名感染者需要经过（）次检测.A．3 B．4 C．5 D．6【答案】C【详解】法一：先把这32人均分为2组，选其中一组16人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了1次检测，继续把认定的这组的16人均分两组，选其中一组8人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了2次检测.继续把认定的这组的8人均分两组，选其中一组4人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了3次检测，继续把认定的这组的4人均分两组，选其中一组2人的样本混合检查，若为阴性则认定在另一组；若为阳性，则认定在本组，此时进行了4次检测.选认定的这组的2人中一人进行样本检查，若为阴性则认定是另个人；若为阳性，则认定为此人，此时进行了5次检测，所以，最终从这32人中认定那名感染者需要经过5次检测，故选C.法二：设第次检测后余下的人数为，则且，故，令，则，故需要检测5次，故选：C.4．已知数列中，其前项和为，且满足，数列的前项和为，若对恒成立，则实数的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】D【详解】当时，，得；当时，由，得，两式相减得，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列．因为，所以．又，所以是以1为首项，为公比的等比数列，所以，，由，得，所以，所以，所以．综上，实数的取值范围是．5．（多选题）一个弹性小球从100m高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的再落下.设它第n次着地时，经过的总路程记为，则当时，下面说法正确的是（）A． B．C．的最小值为 D．的最大值为400【答案】AC【详解】由题可知，第一次着地时，；第二次着地时，；第三次着地时，；……第次着地后，则，显然，又是关于的增函数，，故当时，的最小值为；综上所述，AC正确故选：AC6.（多选题）设首项为1的数列的前项和为，已知，则下列结论正确的是（）A．数列为等比数列 B．数列为等比数列C．数列中 D．数列的前项和为【答案】BCD【详解】因为，所以．又，所以数列是首项为2，公比为2的等比数列，故B正确；所以，则．当时，，但，故A错误；由当时，可得，故C正确；因为，所以所以数列的前项和为，故D正确．故选：BCD．二、填空题7．我国古代数学名著《九章算术》中有如下“两鼠穿墙”问题：有两只老鼠同时从墙的两面相对着打洞穿墙.大老鼠第一天打进1尺，以后每天进度是前一天的倍.小老鼠第一天也打进尺，以后每天进度是前一天的一半.如果墙的厚度为尺，则两鼠穿透此墙至少在第________天.【答案】4【详解】设两只老鼠在第天相遇，则大老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比数列，小老鼠第天打洞的厚度成以为公比的等比列，由等比数列的求和公式可得，整理得，可得（舍去）或，所以，两鼠穿透此墙至少在第天.8．数列中，，若，则_______________________．【答案】3【详解】因为，所以，所以，是等比数列，公比为2．所以．因为，所以．9．如图，在平面上作边长为的正方形，以所作正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，然后以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，再以新的正方形的一边为斜边向外作等腰直角三角形，如此这般的作正方形和等腰直角三角形，不断地持续下去，求前n个正方形与前n个等腰直角三角形的面积之和__________.【答案】【详解】设依次所作的第个正方形的边长为，第个正方形与第个等腰直角三角形的面积和为，则第个等腰直角三角形的腰长为，且.第个正方形的边长为，，，，且，所以数列是以为首项，为公比的等比数列..10．已知数列的前项和为，首项且，若对恒成立，则实数的取值范围是__________．【答案】【解析】因为，所以，∴数列是以为首项，公比为2的等比数列，∴，.因此.所以对恒成立，可化为对恒成立.当为奇数时，，所以，即；当为偶数时，，解得.综上，实数的取值范围是.三、解答题11．某商店采用分期付款的方式促销一款价格每台为6000元的电脑.商店规定，购买时先支付货款的，剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款，且结算欠款的利息.已知欠款的月利率为.（1）到第一个月底，货主在第一次还款之前，他欠商店多少元？（2）假设货主每月还商店元，写出在第个月末还款后，货主对商店欠款数表达式.（3）每月的还款额为多少元（精确到0.01元）？【详解】（1）因为购买电脑时，货主欠商店的货款，即，又按月利率，到第一个月底的欠款数应为元，即到第一个月底，欠款余额为元；（2）设第个月底还款后的欠款数为，则有，，，……整理得：；（3）由题意可得：，所以，因此12．某企业为一个高科技项目注入了启动资金1000万元，已知每年可获利，但由于竞争激烈，每年年底需从利润中抽取200万元资金进行科研、技术改造与广告投入，方能保持原有的利润增长率．设经过年之后，该项目的资金为万元．（1）设，证明数列为等比数列，并求出至少要经过多少年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番（即为原来的4倍）的目标（取）；（2）若，求数列的前项和．【详解】解：（1）由题意可得，，∵，∵，∴，，∴，数列是以250为首项，以为公比的等比数列，∴，，令可得，∴，从而可得，，故，至少要经过12年，该项目的资金才可以达到或超过翻两番的目标；（2），，，两式相减可得，，，∴．A级必备知识基础练1.[探究点一]在各项都为正数的等比数列{an}中,a1=3,前3项和S3=21,则a3+a4+a5等于()A.33 B.72 C.84 D.1892.[探究点二]已知数列{an}是等比数列,且公比q不为1,Sn为数列{an}的前n项和,则下列结论一定正确的为()A.S8B.2S8≠S4+S12C.S8D.(S2n-Sn)2=Sn(S3n-S2n)(n∈N*)3.[探究点一]已知{an}是等比数列,{an}的前n项和,前2n项和,前3n项和分别是A,B,C,则()A.A+B=C B.3B-3A=CC.B2=AC D.B(B-A)=A(C-A)4.[探究点一]已知一个项数为偶数的等比数列{an},所有项之和为所有偶数项之和的4倍,前3项之积为64,则a1=()A.11 B.12 C.13 D.145.[探究点一]已知等比数列的首项为-1,前n项和为Sn,若S10S5=31A.2 B.-2 C.12 D.-6.[探究点一](多选题)记数列{an}的前n项和为Sn,n∈N*,下列四个命题中不正确的有()A.对于∀n∈N*,an+12=anan+2,则数列{aB.若Sn=Aqn+B(非零常数q,A,B满足q≠1,A+B=0),则数列{an}为等比数列 C.若数列{an}为等比数列,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…仍为等比数列 D.设数列{an}是等比数列,若a1<a2<a3,则{an}为递增数列7.[探究点一]已知数列{an}满足a1=1,an+1·an=2n(n∈N*),则S2020=.8.[探究点一]已知等比数列{an}的各项均为正实数,Sn为数列{an}的前n项和,若S5=5,S15=35,则S10=.

9.[探究点一]在等比数列{an}中,若q=12,S100=150,求a2+a4+a6+…+a100的值B级关键能力提升练10.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,若S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)(n∈N*),a1a2a3=-27,则a5=()A.81 B.24 C.-81 D.-2411.若数列{xn}满足lgxn+1=1+lgxn(n∈N*),且x1+x2+…+x100=100,则lg(x101+x102+…+x200)的值等于()A.200 B.120 C.110 D.10212.等比数列{an}的首项为2,项数为奇数,其奇数项之和为8532,偶数项之和为2116,这个等比数列前n项的积为Tn(n≥1),则Tn的最大值为(A.14 B.12 C.1 D13.(多选题)在公比q为整数的等比数列{an}中,Sn是数列{an}的前n项和,若a1a4=32,a2+a3=12,则下列说法正确的是()A.q=2B.数列{Sn+2}是等比数列C.S8=510D.数列{log2an}是公差为2的等差数列14.已知等比数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=bn+1-2(b>0,b≠1),则a4=.

15.如图,作边长为3的正三角形ABC的内切圆,在这个圆内作内接正三角形,然后作新三角形的内切圆……如此下去,前n个内切圆的面积和为.

16.已知正项等差数列{an}的公差不为0,a2,a5,a14恰好是等比数列{bn}的前三项,a2=3.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)记数列{bn}的前n项和为Tn,若对任意的n∈N*,kTn+32≥3n-17.被称为“世界屋脊”的喜马拉雅山的主峰——珠穆朗玛峰,海拔8848.86m,是世界第一高峰.但一张报纸却不服气,它说:“别看我薄,只有0.01cm厚,但假如把我连续对折30次后,我的厚度就会远远超过珠穆朗玛峰的高度.”你认为这张报纸是不是在吹牛?你不妨算算看.C级学科素养创新练18.(多选题)如果有穷数列a1,a2,a3,…,am(m为正整数)满足a1=am,a2=am-1,…,即ai=am-i+1(i=1,2,…,m),我们称其为“对称数列”.例如,数列1,2,5,2,1与数列8,4,2,2,4,8都是“对称数列”.设{bn}是项数为2m(m>1,m∈N*)的“对称数列”,且1,2,22,23,…,2m-1依次为该数列中连续的前m项,则数列{A.2100-1 B.251-2C.226-4 D.2m+1-22m-100-11.C设公比为q,则S3=a1(1+q+q2)=21,且a1=3,得q+q2-6=0.因为q>0,所以q=2.故a3+a4+a5=q2(a1+a2+a3)=22·S3=84.2.D若q=-1,且n为偶数,则有Sn=0,∴S4=S8=S12=0,此时,A,B,C不成立;根据等比数列的性质也可以得到选项D正确.故选D.3.D若公比q≠-1或虽q=-1但n为奇数时,A,B-A,C-B成等比数列,故(B-A)2=A(C-B),整理得B2-AB=AC-A2,即B(B-A)=A(C-A),若公比q=-1,且n为偶数时,A=B=C=0,满足此式.故选D.4.B由题意可得所有项之和S奇+S偶是所有偶数项之和的4倍,可知S奇+S偶=4S偶.设等比数列{an}的公比为q,由等比数列的性质可得S偶=qS奇,∵S偶≠0,∴q=13.又前3项之积a1a2a3=a23=64,解得a∴a1=a2q=12.故选5.D当公比q=1时,S10S5=2,不满足题意,当q≠1时,S10=q10-11-q,S5=q5-11-6.AC若an=0,满足对于∀n∈N*,an+12=anan+2,但数列{an}不是等比数列,故对于B,当n≥2时,an=Sn-Sn-1=Aqn+B-(Aqn-1+B)=Aqn-1·(q-1)且q≠1,当n=1时,因为A+B=0,则a1=S1=Aq+B=A(q-1)符合上式,故数列{an}是首项为A(q-1),公比为q的等比数列,故B正确;若数列{an}为等比数列,当公比q=-1,且n为偶数时,此时Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…均为0,不是等比数列,故C错误;设数列{an}是等比数列,且公比为q,若a1<a2<a3,即a1<a1q<a1q2,若a1>0,可得1<q<q2,即q>1,则{an}为递增数列;若a1<0,可得1>q>q2,即0<q<1,则{an}为递增数列,故D正确.7.3·21010-3∵an+1·an=2n(n∈N*),a1=1,∴a2=2,a3=2.又an+2·an+1=2n+1,∴an+2∴数列{an}的奇数项与偶数项分别成等比数列,公比为2,首项分别为1,2.∴S2020=(a1+a3+…+a2019)+(a2+a4+…+a2020)=21010-12-1+28.15∵等比数列{an}的各项均为正实数,Sn为数列{an}的前n项和,∴由等比数列前n项和的性质,可得S5,S10-S5,S15-S10也成等比数列,∴(S10-5)2=5×(35-S10),∴S10=15或S10=-10(舍去).9.解根据题意,若q=12,S100=150,则S100=a1+a2+a3+a4+…+a99+a100=2(a2+a4+…+a100)+a2+a4+…+a100=3(a2+a4+…+a100)=150,则a2+a4+…+a100=5010.D由等比数列的性质可得a1a2a3=a23=-27,解得a2=-3.设等比数列{an}的公比为q,则S2n=3(a1+a3+…+a2n-1)=(q+1)(a1+a3+…+a2n-1),所以q=2,所以a5=a2×q3=-3×23=-11.D因为lgxn+1=1+lgxn,所以lgxn+1-lgxn=lgxn+1xn=1,所以xn+1xn=10,所以数列{xn}是等比数列,公比为10,所以lg(x101+x102+…+x200)=lg[(x1+x2+…+x100)·10100]=12.D设数列{an}共有(2m+1)项,由题意得S奇=a1+a3+…+a2m+1=8532,S偶=a2+a4+…+a2m=2116,因为项数为奇数时,S奇=a1+S偶·q,即2+2116q=8532,所以q=12.所以Tn=a1·a2·…·an=a1nq1+2故当n=1或2时,Tn取最大值2.13.ABC因为数列{an}为等比数列,又a1a4=32,所以a2a3=32.又a2+a3=12,所以a2=4,a3=8,q=2或a2=8,a3=4,q=12,又公比q为整数,则a2=4,a3=8,q=2,选项A正确;由上可知an=2n,SS8=29-2=510,即选项C正确;log2an+1-log2an=(n+1)-n=1,即数列{log2an}是公差为1的等差数列,即选项D错误.故选ABC.14.16当n≥2时,an=Sn-Sn-1