中国科学院大学数值分析(电子与通信类)2025年期末试题附答案

中国科学院大学数值分析(电子与通信类)2025年期末试题附答案一、单项选择题（每小题3分，共15分）1.已知某通信系统中采样信号满足f(0)=1,f(1)=3,f(2)=7，若用二次拉格朗日插值多项式P₂(x)近似f(x)，则P₂(0.5)的值为（）A.2.25B.2.5C.2.75D.3.02.对积分∫₀^πsin(x²)dx进行数值计算时，若采用n=4的复合辛普森公式，其截断误差的主项为（）A.-π⁵/(2880)f⁽⁴⁾(ξ)B.-π⁵/(180×4⁴)f⁽⁴⁾(ξ)C.-π⁵/(2880×4⁴)f⁽⁴⁾(ξ)D.-π⁵/(180)f⁽⁴⁾(ξ)3.用改进欧拉法求解初值问题y’=2y+1,y(0)=0，取步长h=0.1时，y(0.2)的近似值为（）A.0.221B.0.242C.0.264D.0.2864.设A为3阶对称正定矩阵，其Cholesky分解为A=LLᵀ，其中L为下三角矩阵。若A的对角线元素分别为a₁₁=4,a₂₂=5,a₃₃=6，且l₂₁=1，则l₂₂的值为（）A.√3B.2C.√5D.√(5-1²)=25.已知某数字滤波器的系统函数H(z)=1/(1-az⁻¹)（|a|<1），其单位脉冲响应h(n)的Z变换满足H(z)=∑ₙ₌₀^∞h(n)z⁻ⁿ。若用数值方法计算h(100)的近似值，最适合采用的数值方法是（）A.牛顿迭代法B.幂法C.欧拉预报-校正法D.递推计算二、填空题（每空3分，共15分）6.设f(x)=e^x，在节点x₀=0,x₁=1处构造一次牛顿插值多项式N₁(x)，则其差商f[x₀,x₁]=______。7.用三点高斯-勒让德公式计算积分∫₋₁¹(1+x²)dx，其精确值为______，高斯公式计算结果为______。8.对于线性方程组Ax=b，当A为严格对角占优矩阵时，雅可比迭代法和高斯-赛德尔迭代法的收敛性分别为______、______。9.设非线性方程f(x)=x³-2x-5=0，用牛顿迭代法取初始值x₀=2，计算得x₁=______。三、计算题（共70分）10.（12分）某无线通信系统中，接收信号的包络函数f(t)在采样点t=0,1,2,3处的测量值分别为f(0)=0,f(1)=2,f(2)=5,f(3)=9。要求：（1）构造三次牛顿插值多项式N₃(t)，并写出其表达式；（2）用该多项式估计t=1.5处的信号包络值（保留4位小数）。11.（12分）在OFDM系统中，子载波的时域波形可表示为g(t)=cos(2πf₀t)e^(-t²/2σ²)，其中f₀=10MHz，σ=1μs。需要计算单个符号周期内的能量E=∫₀^T|g(t)|²dt（T=10μs）。由于解析积分困难，采用复合梯形公式计算：（1）推导|g(t)|²的表达式；（2）若取步长h=2μs（即n=5个节点），计算E的近似值（保留3位小数）；（3）分析复合梯形公式的截断误差主项形式（用f(t)的二阶导数表示）。12.（12分）某RC电路的电压响应满足微分方程：RC(dv/dt)+v=V₀u(t)，其中R=1kΩ，C=1μF，V₀=5V，初始条件v(0)=0。要求：（1）将方程化为标准初值问题形式；（2）用四阶龙格-库塔法（经典RK4）计算t=0.5ms,1.0ms处的电压近似值（取步长h=0.5ms）；（3）比较数值解与解析解v(t)=V₀(1-e^(-t/RC))的误差，分析误差来源。13.（12分）在MIMO系统信道矩阵估计中，得到观测方程Hb=y+ε，其中H为2×2复矩阵，b为2×1未知系数向量，y为观测向量，ε为噪声。已知H=[[3,1],[1,2]]，y=[[7],[5]]（假设噪声可忽略），要求：（1）用列主元高斯消元法求解线性方程组Hb=y；（2）计算矩阵H的条件数cond₂(H)（保留2位小数），并分析其对数值解稳定性的影响。14.（12分）数字锁相环中相位误差θ满足非线性方程：sinθ+0.5θ0.3=0，要求：（1）证明该方程在区间[0,π/2]内有唯一实根；（2）用弦截法（取初始值x₀=0,x₁=1）计算前3次迭代值（保留4位小数）；（3）若改用牛顿迭代法，取x₀=0，是否会出现收敛问题？说明理由。15.（10分）在信号特征提取中，需要计算矩阵A=[[2,1,0],[1,3,1],[0,1,2]]的最大特征值及其对应的特征向量。要求：（1）用幂法迭代（取初始向量v₀=[1,1,1]ᵀ，迭代3次），计算近似特征值λ₁^(3)和特征向量v₃（保留3位小数）；（2）说明幂法收敛的条件，并分析该矩阵是否满足条件。答案一、单项选择题1.C2.B3.B4.D5.D二、填空题6.e-17.8/3；8/3（注：高斯-勒让德公式对3次多项式精确，(1+x²)为2次，故精确）8.收敛；收敛9.2.1三、计算题10.（1）构造差商表：t₀=0,f(t₀)=0t₁=1,f(t₁)=2→一阶差商f[t₀,t₁]=(2-0)/(1-0)=2t₂=2,f(t₂)=5→一阶差商f[t₁,t₂]=(5-2)/(2-1)=3→二阶差商f[t₀,t₁,t₂]=(3-2)/(2-0)=0.5t₃=3,f(t₃)=9→一阶差商f[t₂,t₃]=(9-5)/(3-2)=4→二阶差商f[t₁,t₂,t₃]=(4-3)/(3-1)=0.5→三阶差商f[t₀,t₁,t₂,t₃]=(0.5-0.5)/(3-0)=0牛顿插值多项式：N₃(t)=0+2(t-0)+0.5(t-0)(t-1)+0(t-0)(t-1)(t-2)=2t+0.5t(t-1)=0.5t²+1.5t（2）t=1.5时，N₃(1.5)=0.5×(2.25)+1.5×1.5=1.125+2.25=3.375011.（1）|g(t)|²=cos²(2πf₀t)e^(-t²/σ²)（因e^(-t²/2σ²)为实数，模平方即平方）（2）T=10μs，h=2μs，节点t₀=0,t₁=2,t₂=4,t₃=6,t₄=8,t₅=10（μs）计算各点函数值（单位转换：t→μs，f₀=10MHz=10⁷Hz，2πf₀t=2π×10⁷×t×10⁻⁶=20πt）f(t)=cos²(20πt)e^(-t²/(2×1²))（σ=1μs，σ²=1μs²，指数部分应为-t²/(2σ²)，原表达式可能笔误，按正确形式计算）修正后|g(t)|²=cos²(20πt)e^(-t²/(2×(1μs)²))，但数值计算时t以μs为单位，σ=1μs，故指数为-t²/(2×1²)=-t²/2计算各点：t=0:cos²(0)e^0=1×1=1t=2:cos²(40π)=cos²(0)=1（因40π为20×2π），e^(-4/2)=e^-2≈0.1353t=4:cos²(80π)=1，e^(-16/2)=e^-8≈0.000335t=6:cos²(120π)=1，e^(-36/2)=e^-18≈1.5×10^-8（近似为0）t=8:cos²(160π)=1，e^(-64/2)=e^-32≈0（近似为0）t=10:cos²(200π)=1，e^(-100/2)=e^-50≈0（近似为0）复合梯形公式：E≈(h/2)[f(t₀)+2(f(t₁)+f(t₂)+f(t₃)+f(t₄))+f(t₅)]代入h=2μs=2×10^-6s，计算数值部分：≈(2×10^-6/2)[1+2×(0.1353+0.000335+0+0)+0]≈1×10^-6×[1+2×0.135635]≈1×10^-6×1.27127≈1.271×10^-6（焦耳）（3）复合梯形公式截断误差主项为-(b-a)h²/12f''(ξ)，其中a=0,b=T=10μs，故主项为-(10×10^-6)(2×10^-6)²/12f''(ξ)=(10×4×10^-18)/12f''(ξ)=(10/3)×10^-18f''(ξ)12.（1）标准形式：dv/dt=(V₀v)/(RC)，v(0)=0，其中RC=1kΩ×1μF=1×10³×1×10^-6=0.001s=1ms（2）四阶龙格-库塔法公式：k₁=h×f(tₙ,vₙ)=0.5×[(5vₙ)/1]（h=0.5ms=0.0005s，RC=0.001s，故(5v)/(0.001)×0.0005=0.5(5v)）k₂=h×f(tₙ+h/2,vₙ+k₁/2)=0.5×[5(vₙ+k₁/2)]k₃=h×f(tₙ+h/2,vₙ+k₂/2)=0.5×[5(vₙ+k₂/2)]k₄=h×f(tₙ+h,vₙ+k₃)=0.5×[5(vₙ+k₃)]vₙ₊₁=vₙ+(k₁+2k₂+2k₃+k₄)/6t=0时，v₀=0：k₁=0.5×(5-0)=2.5k₂=0.5×(502.5/2)=0.5×(51.25)=1.875k₃=0.5×(501.875/2)=0.5×(50.9375)=2.03125k₄=0.5×(502.03125)=0.5×2.96875=1.484375v₁=0+(2.5+2×1.875+2×2.03125+1.484375)/6=(2.5+3.75+4.0625+1.484375)/6=11.796875/6≈1.9661V（t=0.5ms）t=0.5ms时，v₁≈1.9661：k₁=0.5×(51.9661)=0.5×3.0339≈1.51695k₂=0.5×(51.96611.51695/2)=0.5×(51.96610.758475)=0.5×2.275425≈1.13771k₃=0.5×(51.96611.13771/2)=0.5×(51.96610.568855)=0.5×2.465045≈1.23252k₄=0.5×(51.96611.23252)=0.5×1.80138≈0.90069v₂=1.9661+(1.51695+2×1.13771+2×1.23252+0.90069)/6≈1.9661+(1.51695+2.27542+2.46504+0.90069)/6≈1.9661+7.1581/6≈1.9661+1.1930≈3.1591V（t=1.0ms）（3）解析解v(t)=5(1e^(-t/0.001))=5(1e^(-1000t))t=0.5ms=0.0005s时，v=5(1e^-0.5)≈5×(10.6065)=5×0.3935≈1.9675V，数值解误差≈1.9675-1.9661=0.0014Vt=1.0ms时，v=5(1e^-1)≈5×0.6321≈3.1605V，数值解误差≈3.1605-3.1591=0.0014V误差主要来自四阶龙格-库塔法的截断误差（O(h⁴)）和计算中的舍入误差。13.（1）列主元高斯消元法：方程组：3b₁+b₂=7b₁+2b₂=5第一步选主元，第一列最大元为3（在第一行），无需换行。消去第二行b₁：第二行=第二行(1/3)第一行→b₂(1/3)b₂=57/3→(5/3)b₂=8/3→b₂=8/5=1.6回代：3b₁+1.6=7→b₁=(7-1.6)/3=5.4/3=1.8解为b=[1.8,1.6]ᵀ（2）矩阵H=[[3,1],[1,2]]，计算其特征值：det(H-λI)=λ²-5λ+5=0→λ=(5±√5)/2≈(5±2.236)/2→λ₁≈3.618,λ₂≈1.382cond₂(H)=λ₁/λ₂≈3.618/1.382≈2.62条件数较小（远小于10³），说明方程组对扰动不敏感，数值解稳定性较好。14.（1）令f(θ)=sinθ+0.5θ0.3f(0)=0+00.3=-0.3<0f(π/2)=1+0.5×(π/2)0.3≈1+0.7850.3=1.485>0f’(θ)=cosθ+0.5>0（因cosθ≥-1，故f’(θ)≥-1+0.5=-0.5，但θ∈[0,π/2]时cosθ≥0，故f’(θ)≥0.5>0），函数严格递增，故在[0,π/2]内有唯一实根。（2）弦截法公式：xₙ₊₁=xₙf(xₙ)(xₙxₙ₋₁)/(f(xₙ)-f(xₙ₋₁))x₀=0,f(x₀)=-0.3x₁=1,f(x₁)=sin1+0.5×10.3≈0.8415+0.5-0.3=1.0415x₂=11.0415×(1-0)/(1.0415(-0.3))≈11.0415/1.3415≈10.7764≈0.2236f(x₂)=sin(0.2236)+0.5×0.22360.3≈0.2218+0.1118-0.3≈0.0336x₃=0.22360.0336×(0.2236-1)/(0.03361.0415)≈0.22360.0336×(-0.7764)/(-1.0079)≈0.22360.0260≈0.1976f(x₃)=sin(0.1976)+0.5×0.19760.3≈0.1963+0.0988-0.3≈-0.0049x₄=0.1976(-0.0049)×(0.1976-0.2236)/(-0.00490.0336)≈0.1976(-0.0049)×(-0.026)/(-0.0385)≈0.1976(0.0001274)/(-0.0385)≈0.1976+0.0033≈0.2009（前3次迭代为x₀=0,x₁=1,x₂≈0.2236,x₃≈0.1976）（3）牛顿迭代法公式：xₙ₊₁=xₙf(xₙ)/f’(xₙ)f’(θ)=cosθ+0.5，x₀=0时：x₁=0(-0.3)/(cos0+0.5)=0.3/(1+0.5)=0.2f(0.2)=sin0.2+0.10.3≈0.1987+0.1-0.3=-0.0013x₂=0.2(-0.0013)/(cos0.2+0.5)≈0.2+0.0013/(0.9801+0.5)=0.2+0.0013/1.4801≈0.2009收敛，因f’(θ)在根附近不为零且函数凸性一致，牛顿法局部收敛。15.（1）幂法迭代：v₀=[1,1,1]ᵀ，μ₀=max(v₀)=1