建筑力学第十三章

第二节杆件的变形和位移第三节应用图乘法计算结构的位移

第一节概述第13章静定结构的位移计算及刚度校核§13-1结构位移计算概述一、结构的位移A位移转角位移线位移A点线位移A点水平位移A点竖向位移A截面转角PAP引起结构位移的原因荷载制造误差等温度改变支座移动还有什么原因会使结构产生位移?为什么要计算位移?铁路工程技术规范规定:

二、计算位移的目的(1)刚度要求在工程上，吊车梁允许的挠度<1/600跨度；桥梁在竖向活载下，钢板桥梁和钢桁梁最大挠度<1/700和1/900跨度高层建筑的最大位移<1/1000高度。最大层间位移<1/800层高。(2）超静定、动力和稳定计算(3）施工要求（3）理想联结(IdealConstraint)。三、本章位移计算的假定叠加原理适用（principleofsuperposition)（1）线弹性(LinearElastic),（2）小变形(SmallDeformation),四、计算方法单位荷载法

(Dummy-UnitLoadMethod)§13-2杆件的变形和位移1、轴向拉（压）杆的变形和位移

当杆内应力不超过材料的某一极限值（“比例极限”）时引进比例常数E

FFdll1d1E

—弹性模量，量纲与应力相同，为，拉（压）杆的胡克定律EA

—杆的拉伸（压缩）刚度。单位为Pa；FFdll1d1称为单轴应力状态下的胡克定律

即FFdll1d1横向变形的计算

单轴应力状态下，当应力不超过材料的比例极限时，一点处的纵向线应变e

与横向线应变e

的绝对值之比为一常数：或n-----横向变形因素或泊松比。FFdll1d1低碳钢（Q235）：例13-1

一阶梯状钢杆受力如图，已知AB段的横截面面积A1=400mm2，BC段的横截面面积A2=250mm2,材料的弹性模量E=210GPa。试求：AB、BC段的伸长量和杆的总伸长量；C截面相对B截面的位移和C截面的绝对位移。F=40kN

CBA

B'C'解：由静力平衡知，AB、BC两段的轴力均为l1=300l2=200故F=40kNCBA

B'C'l1=300l2=200AC杆的总伸长C截面相对B截面的位移C截面的绝对位移F=40kNCBA

B'C'思考：1.上题中哪些量是变形，哪些量是位移？二者是否相等？2.若上题中B截面处也有一个轴向力作用如图，还有什么方法可以计算各截面处的位移？l1=300l2=200F=40kNCBA

B'C'F=40kN2、圆截面杆的扭转的变形扭转时的变形——两横截面的相对扭转角j扭转角沿杆长的变化率相距dx的微段两端截面间相对扭转角为gMe

Me

jdjgD'TTO1O2ababdxDA等直圆杆仅两端截面受外力偶矩Me

作用时称为等直圆杆的扭转刚度相距l的两横截面间相对扭转角为gMe

Me

j(单位：rad)例13-2

图示钢制实心圆截面轴，已知：M1=1592N•m,M2=955N•m，M3=637N•m，d=70mm，lAB=300mm，lAC=500mm，钢的切变模量G=80GPa。求横截面C相对于B的扭转角jCB。解：1、先用截面法求各段轴的扭矩：BA段AC段M1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC2、各段两端相对扭转角：jCAjABM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC3、横截面C相对于B的扭转角：jABjCAM1ⅡⅠM3

BACM2

dlABlAC例13-3

图示空心圆杆

AB，A端固定，底板B为刚性板，在其中心处焊一直径为d2的实心圆杆CB。空心杆的内、外径分别为D1和

d1，外力偶矩Me、两杆的长度l1、l2及材料的切变模量G

均为已知。试求：1、两杆横截面上的切应力分布图；2、实心杆C端的绝对扭转角jC。ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I刚性板解：1、分析两轴的受力如图，求出其扭矩分别为ID1d1d2l1l2ABCIMeI-I刚性板MeMeABMeBCMe2、求横截面上的切应力空心圆轴实心圆轴空心圆轴实心圆轴t2,maxt1,maxt1,minT1T23、计算绝对扭转角jCABCMeMeMeBCABMeMeACjCjBAjCB3、梁的位移及刚度条件BAC1xyq(转角)wq(挠度)

挠度：横截面的形心（即轴线上的点）在y方向的线位移w。在图示坐标系中，w向下为正。

转角：横截面对其原来位置的角位移

。也等于平面曲线AC1B在C1点的切线和x轴的夹角。在图示坐标系中，顺时针转向的

为正。BAC1xyq(转角)wq(挠度)

挠曲线方程：横截面的挠度w与横截面位置x有关，即w=f(x)为挠曲线方程。

转角方程：转角

很小，有：

表明挠曲线在任一点的切线斜率足够精确地代表该截面的转角

。纯弯曲时：横力弯曲时（不计剪力FS的影响）：

所以：⇒几何上：因为在小变形情况下：即：对于本书采用的坐标系，由下图可见：MM>0,w″<0xyMM<0,w″>0xy此即为挠曲线的近似微分方程，其积分为：对等直梁：C1、D1为常数，由梁的边界条件（包括位移约束和连续条件）确定。

常数C1、D1确定后，代入上两式即可分别得到梁转角方程和挠曲线方程，从而可确定任一截面的转角和挠度。例13-4

求等截面直梁的弹性曲线、最大挠度及最大转角。建立坐标系并写出弯矩方程写出微分方程的积分并积分解：PLxy应用位移边界条件求积分常数写出弹性曲线方程并画出曲线最大挠度及最大转角xPL积分法求解梁位移的思路：①建立合适的坐标系；②求弯矩方程M(x)；③建立近似微分方程：⑤用约束条件或连续条件，确定积分常数；⑥一般求极值可用数学方法，也可由挠曲线直接判别。根据本书的规定坐标系，取负号进行分析。④积分求和例13－5

图示一抗弯刚度为EI的简支梁,在全梁上受集度为q的均布荷载作用。试求此梁的挠曲线方程和转角方程,并确定其最大挠度fmax和最大转角qmax

。将式(1)中的M(x)代入公式,再通过两次积分,可得:解:首先,由对称关系可知梁的两个支反力(见图)为:FA=FB=ql/2然后,写出此梁的弯矩方程

在简支梁中,边界条件是左、右两铰支座处的挠度都等于零,即:根据这两个边界条件,由式(3)可得:从而解出:于是,得梁的转角方程和挠曲线方程分别为:在x=0处，w=0;在x=l处，w=0

。

由于梁上外力及边界条件对于梁跨中点都是对称的,因此,梁的挠曲线也应是对称的。由图可见,两支座处的转角绝对值相等,而且都是最大值。分别以x=0及x=l代入式(4)可得最大转角值为:

挠曲线为一对称的光滑曲线,最大挠度必在梁跨中点x=l/2处。所以其最大挠度值为:从以上两例题知:转角及挠度方程中的积分常数C,D的几何意义为:q0和y0分别代表坐标原点处截面的转角和挠度。梁的刚度条件其中[]称为许用转角；[w]称为许用挠度。1、变形体虚功原理（1）功、实功和虚功功：力对物体作用的累计效果的度量功=力×力作用点沿力方向上的位移实功：力在自身所产生的位移上所作的功虚功：力在非自身所产生的位移上所作的功§13-3应用图乘法计算结构位移力状态位移状态（虚力状态）（虚位移状态）注意：（1）属同一体系；（2）均为可能状态。即位移应满足变形协调条件；力状态应满足平衡条件。（3）位移状态与力状态完全无关；（2）广义力、广义位移一个力系作的总虚功W=P×

P---广义力;

---广义位移1)作虚功的力系为一个集中力2)作虚功的力系为一个集中力偶3)作虚功的力系为两个等值反向的集中力偶4)作虚功的力系为两个等值反向的集中力质点系的虚位移原理具有理想约束的质点系，在某一位置处于平衡的必要和充分条件是：（3）变形体的虚功原理Σfiδri=0→→.对于任何可能的虚位移，作用于质点系的主动力所做虚功之和为零。即刚体系的虚位移原理

去掉约束而代以相应的反力，该反力便可看成外力。则有：刚体系处于平衡的必要和充分条件是：

对于任何可能的虚位移，作用于刚体系的所有外力所做虚功之和为零。PΔ2Δ3Δ/2原理的表述为任何一个处于平衡状态的变形体，当发生任意一个虚位移时，变形体所受外力在虚位移上所作的总虚功δWe，恒等于变形体各微段外力在微段变形位移上作的虚功之和δWi。也即恒有如下虚功方程成立δWe=δWi变形体的虚功原理δWi

的计算:δWi=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds微段外力:

微段变形可看成由如下几部分组成:变形体虚功方程的展开式微段剪切微段拉伸微段弯曲对于直杆体系，由于变形互不耦连，有:δWe

=Σ∫[Nδε+Qδγ+Mδθ]ds（4）虚功原理的两种应用虚功原理用于虚设的协调位移状态与实际的平衡力状态之间。例13-6

求

A

端的支座反力。解：去掉A端约束并代以反力X，构造相应的虚位移状态.ABaC(a)bPX(b)P(c)直线待分析平衡的力状态虚设协调的位移状态由外力虚功总和为零，即：将代入得:通常取单位位移法例13-7

求A端支座发生竖向位移c时引起C点的竖向位移。虚功原理用于虚设的平衡力状态与实际的协调位移状态之间。解：首先构造出相应的虚设力状态。即，在拟求位移之点（C点）沿拟求位移方向（竖向）设置单位荷载。ABaCbc1ABC由

求得：解得：单位荷载法虚功方程为：单位位移法的虚功方程平衡方程单位荷载法的虚功方程几何方程

第一种应用一些文献称为“虚位移原理”而将第二种应用称为“虚力原理”。更确切的说法为，两种应用的依据是上述两原理的必要性命题。上述两原理都是充分、必要性命题，它们和虚功原理是有区别的。

虚位移原理:一个力系平衡的充分必要条件是:对任意协调位移,虚功方程成立.

虚力原理:一个位移是协调的充分必要条件是:对任意平衡力系,虚功方程成立”。2、单位荷载法求k点竖向位移.由变形体虚功方程:变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)δWe=δWi

δWe=PΔiPδWi=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

ΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

适用于各种杆件体系(线性,非线性).求k点竖向位移.变形协调的位移状态(P)平衡的力状态(i)ΔiP=Σ∫[NiδεP+QiδγP+MiδθP]ds

----适用于各种杆件体系(线性,非线性).对于由线弹性直杆组成的结构，有：适用于线弹性直杆体系。例13-8

已知图示粱的E、G,求A点的竖向位移。解：构造虚设单位力状态.l对于细长杆,剪切变形对位移的贡献与弯曲变形相比可略去不计。梁与刚架位移计算公式桁架组合结构拱这些公式的适用条件是什么?

在杆件数量多的情况下,不方便。下面介绍计算位移的图乘法.3、图乘法及其应用刚架与梁的位移计算公式为：图乘法(等截面杆)(对于直杆)此时，图乘法求位移公式为:图乘法：梁或刚架结构的位移积分公式等于一个弯矩图的面积A与其所对应的另一个直线弯矩图上的竖标yc相乘再除以EI。A与yc在基线同侧，取正号；A与yc在基线异侧，取负号；yc只能取自直线图形的弯矩图，如果弯矩图为折线，则应分段计算几种常见图形的面积和形心位置的确定方法例13-9

试求图示梁B端转角.解:MPMi例13-10

试求图示结构B点竖向位移.解:MPMi图（

）图BAq例13-11

求图示梁(EI=常数,跨长为l)B截面转角解:图形分解求MPMi求MPMi

当两个图形均为直线图形时,取那个图形的面积均可。MP求Mi

取

yc的图形必须是直线,不能是曲线或折线.求MPMi求MPMi求C截面竖向位移MPMi小结1.图乘法的应用条件：（1）等截面直杆，EI为常数；（2）两个M图中应有一个是直线；（3）应取自直线图中。2.若与在杆件的同侧，取正值；反之，取负值。3.如图形较复杂，可分解为简单图形。

例13-12

已知EI为常数，求A、B两点相对水平位移应用举例lqhqMP解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图例13-13已知EI为常数，求铰C两侧截面相对角。解：作荷载弯矩图和单位荷载弯矩图lqllqMP例13-14图示梁EI为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP例13-15图示梁EI为常数，求C点竖向位移。l/2ql/2MP例13-16图示梁

E