人教版高二数学选修1-1全称量词与存在量词练习题

一、核心知识回顾在逻辑的世界里，量词扮演着至关重要的角色，它们如同精准的标尺，量化着我们对事物判断的范围。全称量词“所有的”“任意一个”，通常用符号“∀”表示，它断言某一性质对于某集合中的所有元素都成立；而存在量词“存在一个”“至少有一个”，用符号“∃”表示，则断言某一性质在某集合中至少有一个元素满足。理解并掌握这两种量词的含义、符号表示以及如何对含有量词的命题进行否定，是我们进行逻辑推理和数学证明的基础。在面对具体问题时，准确识别量词类型，正确进行命题的否定，往往是解决问题的关键一步。二、练习题（一）选择题1.下列语句中，不是全称命题的是（）A.任何实数的平方都是非负数B.自然数都是整数C.有些三角形是等腰三角形D.每一个向量都有大小2.命题“存在一个无理数，它的平方是有理数”的否定是（）A.任意一个无理数，它的平方都不是有理数B.任意一个无理数，它的平方都是有理数C.存在一个无理数，它的平方不是有理数D.存在一个有理数，它的平方是无理数3.已知命题p：∀x∈R，x²+x+1>0，则¬p是（）A.∃x∈R，x²+x+1≤0B.∀x∈R，x²+x+1≤0C.∃x∈R，x²+x+1<0D.∀x∈R，x²+x+1<0（二）填空题4.命题“所有能被3整除的整数都是奇数”的否定是________________________。5.若命题“∃x∈R，使得x²+(a-1)x+1<0”是假命题，则实数a的取值范围是________________。（三）解答题6.判断下列命题是全称命题还是特称命题，并判断其真假。（1）∀x∈N，2x+1是奇数；（2）∃x∈R，x²-x+1=0；（3）有的集合没有真子集；（4）对任意实数a，|a|≥0。7.写出下列命题的否定，并判断原命题与其否定的真假。（1）所有的矩形都是平行四边形；（2）∃x∈R，x³+1=0。8.已知命题p：“∀x∈[1,2]，x²-a≥0”，命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0”。若命题“p且q”是真命题，求实数a的取值范围。三、参考答案与解析（一）选择题1.C解析：选项C中含有“有些”，是存在量词，因此该命题是特称命题，而非全称命题。A、B、D均含有全称量词“任何”“都”“每一个”。2.A解析：特称命题的否定是全称命题，将“存在一个”改为“任意一个”，并否定结论“它的平方是有理数”为“它的平方都不是有理数”。3.A解析：全称命题p：∀x∈R，P(x)的否定是特称命题¬p：∃x∈R，¬P(x)。原命题中P(x)为x²+x+1>0，故¬P(x)为x²+x+1≤0。（二）填空题4.存在一个能被3整除的整数不是奇数解析：全称命题“所有...都...”的否定是“存在...不...”。原命题断言所有能被3整除的整数具有“是奇数”的性质，其否定就是存在至少一个能被3整除的整数不具有该性质。例如，6能被3整除，但6是偶数。5.[-1,3]解析：命题“∃x∈R，使得x²+(a-1)x+1<0”是假命题，其否定“∀x∈R，x²+(a-1)x+1≥0”为真命题。对于二次函数y=x²+(a-1)x+1，其图像开口向上，要使其对于所有实数x都非负，只需判别式Δ≤0。即(a-1)²-4×1×1≤0，化简得(a-1)²≤4，解得-2≤a-1≤2，即-1≤a≤3。（三）解答题6.解：（1）全称命题。因为对于任意自然数x，2x是偶数，2x+1必是奇数，所以该命题是真命题。（2）特称命题。对于方程x²-x+1=0，其判别式Δ=(-1)²-4×1×1=-3<0，方程无实数根，所以该命题是假命题。（3）特称命题。空集是存在的，且空集没有真子集，所以该命题是真命题。（4）全称命题。绝对值的性质表明，任何实数的绝对值都大于等于零，所以该命题是真命题。7.解：（1）原命题：所有的矩形都是平行四边形（全称命题，真命题）。否定：存在一个矩形不是平行四边形（特称命题，假命题）。解析：矩形的定义就是有一个角是直角的平行四边形，所以所有矩形都满足平行四边形的定义，原命题为真。其否定声称存在反例，但实际上不存在，故否定为假。（2）原命题：∃x∈R，x³+1=0（特称命题，真命题）。否定：∀x∈R，x³+1≠0（全称命题，假命题）。解析：当x=-1时，x³+1=(-1)³+1=-1+1=0，所以原命题为真。其否定声称对所有实数x，x³+1都不等于零，但x=-1是反例，故否定为假。8.解：若命题“p且q”是真命题，则p和q均为真命题。对于命题p：“∀x∈[1,2]，x²-a≥0”为真，即a≤x²在x∈[1,2]上恒成立。当x∈[1,2]时，x²的最小值为1（当x=1时取得），所以a≤1。对于命题q：“∃x∈R，x²+2ax+2-a=0”为真，即方程x²+2ax+2-a=0有实数根。其判别式Δ=(2a)²-4×1×(2-a)=4a²-8+4a=4a²+4a-8≥0。化简得a²+a-2≥0，即(a+2)(a-1)≥0。解得a≤-2或a≥1。因为p和q均为真，所以取两者的交集：a≤1与（a≤-2或a≥1）的交集为a≤-