11.2 二次根式的乘除（第1课时二次根式的乘法）教学设计

.2二次根式的乘除第1课时教学设计1.教学内容节选自苏科版第十一章11.2二次根式的乘除──第1课时“二次根式的乘法”。主要围绕二次根式乘法基本性质a⋅b=ab(2.内容解析本节在学生已掌握“算术平方根”概念与a2=∣a∣性质的基础上，引入二次根式乘法。先借助“方格求面积”情境，直观展示2×2=2，由数形结合感知两个根式相乘仍得整数，为性质奠基。随后通过填空与代数证明，建立a⋅b=ab的普适性。教学重心放在“把被开方数的积并入一个根号内”与“把能开得尽方因数提出根号外”两种方向的灵活转化，从而完成“计算”与“化简”双重任务。典型例题覆盖：①1.教学目标•了解二次根式乘法的性质，并能运用该性质进行计算，提升运算能力。•能逆用二次根式乘法的性质化简二次根式。2.目标解析•能准确叙述并书写a⋅b=ab；

•计算如35⋅27、6⋅15等题目，正确率≥90%3.重点难点•教学重点：二次根式乘法性质的理解与运用；系数与被开方数分别相乘的操作规则。•教学难点：对被开方数进行分解、提出完全平方因子；含字母、负系数情形的化简。学生已掌握有理数运算、平方与平方根、简单因式分解，能理解“面积＝边长乘积”的几何意义，因此对性质的直观感受较强；但对“完全平方因子”的识别及提取经验不足，常把ab与a2b混淆；同时对含参数根式的“非负条件”敏感性不高。针对以上，教学中需通过数形结合的直观演示、分层练习以及对“因式分解—提取—化简创设情景，引入新课问题情境：1．如图，小正方形的边长为1．矩形ABCD的面积是多少？解：方法方法2：利用小方格面积计算．S矩形ABCD2×82．画出矩形EFGH，使EF＝2，FG＝18．矩形EFGH的面积是多少？解：方法1：矩形面积等于相邻两边之积．S矩形EFGH＝EF×GF＝方法2：利用小方格面积计算．S矩形EFGH＝2×18【设计意图】借助几何中“数格子”与“公式”的对比冲突，引出“二次根式相乘的结果究竟是什么”，激活旧知“面积＝长×宽”，自然过渡到二次根式乘法性质的探究，为之后的抽象概念做好情感与认知准备。探究点1：二次根式乘法的性质1.尝试交流①填空(1)4×25＝______，4×25＝_____；(2)9×16＝______，9×16＝_____；(3)(23)2×(35)解：10，10；12，12；25，2②a×b＝ab（a≥0，证明：当a≥0、b≥0时，因为(a×b)2＝(a×b)(a×又因为(ab)2所以，(a×b因为a×b和所以a×b＝ab(a≥0，2.新知归纳二次根式乘法的性质：a×b＝ab（a≥0，即两个算术平方根的积，等于它们被开方数的积的算术平方根．特别地，当a＝b，a≥0时，(a)2＝3.典例分析例1计算：(1)12×8；(2)3×12；(3)2a·8a解：(1)12×8＝12×8＝(2)3×12＝3×12＝3×3×4＝6；(3)当a≥0时，2a·8a＝2a·8a＝4a4.练一练计算：(1)20×5；(2)2×18；(3)48×12；解：(1)20×5＝20×5＝100＝10；(2)2×18＝2×18＝36＝6；(3)48×12＝48×12＝6×8×6×2＝6×4＝24；(4)23×13；(5)6a·3a2(a≥解：(4)23×13＝2×3×13＝2×1(5)当a≥0时，6a·3a2＝6a·3a2【设计意图】通过平方比较证明让学生充分体验“等价”思想，培养逻辑推理能力；典例紧扣课堂新知，帮助学生形成“见根号先想能否合并”的运算习惯。探究点2二次根式乘法性质的逆用——化简1.新知探究把a⋅b=ab（a≥0，ab利用这个式子可以化简一些二次根式．2.典例分析例2化简：(1)27；(2)128；(3)4a3(a≥解：(1)27＝3×9＝3×9＝3×3＝33；(2)128＝64×2＝64×2＝82；(3)当a≥0时，4a3＝4a2【方法点拨】化简二次根式的结果中，被开方数一般不含能开得尽方的因数或因式．3.新知归纳逆用二次根式乘法的性质化简的步骤：（1）将被开方数进行因数分解或因式分解；（2）利用ab=a⋅b(a≥0，b≥0)和a2＝a(a≥4.练一练化简：(1)16×25；(2)150；(3)262－102；(4)解：(1)16×25＝16×25＝4×5＝20；(2)150＝25×6＝6×25＝56；(3)262－102＝(26＋10)(26(4)当m≥0时，9m3＝9m2【设计意图】逆向思维的引入，突破“根号里如何拆”的难点；通过一拆一合的对照，提升学生数形结合、因式分解与运算能力探究点3：二次根式乘法性质的推广1.讨论交流如何计算23×315？解：23×315＝2×33×15＝63×3×5＝185．教师总结：当二次根式前面有系数时，可类比单项式与单项式的乘法法则进行运算，即把系数之积作为积的系数，被开方数的积作为积的被开方数．变式：如何计算32×210×5？解：32×210×5＝3×22×10×5＝6100＝6×10＝60．2.新知归纳二次根式乘法性质的推广：①ab·cd＝acbd（b≥0，d≥0）．②a·b·c＝abc（a≥0，b≥0，c≥0）．3.练一练计算：(1)23×12；(2)32×(－184)；(3)25a·10a（解：(1)23×12＝23×12＝8＝(2)32×(－184)＝3×(－14)×2×18＝－34×6(3)当a≥0时，25a·10a＝2×5a·10a＝2×(5a)2×2＝2×5a2＝10【设计意图】通过讨论、示范与练习，引导学生将二次根式乘法性质推广到多个及带系数的情形，借助类比思想形成统一运算思路，落实运算技能，发展数学核心素养。直角三角形的两条直角边长分别为2，10，求这个直角三角形的面积．解：直角三角形的面积＝12×2×10＝12×2×10＝12×2×5所以这个直角三角形的面积为5．能力提升1．比较大小：15___22(填“＞”“＜”或“＝”)．解：22＝22×2＝8∵15＞8，∴15＞8，即15＞22．2．若5＝a，17＝b，请用含a，b的式子表示0.85．解：0.85＝85×1100＝85×13．如果x＋1·2－x＝解：∵x＋1·2－∴x＋1≥0，2－x≥0，解得－1≤x≤2．要保证每个根式都有意义，须满足每个二次根式的被开方数都要有意义，据此列出不等式组，从而求出字母的取值范围．4．把根号外面的因式移到根号里面．(1)aa；(2)a1a；(3)a－解：(1)aa＝a2·a＝a(2)a1a＝a2·(3)a－a＝--【设计意图】对应“新知巩固”与“新知探究”内容，帮助学生在