重庆南开中学高2026届高三年级质量检测数学+答案

高2026届高三年级质量检测

数学试题2026.5

注意事项：

1.本试卷满分150分，考试时间120分钟。

2.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

3.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡

皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。

4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.

1.已知集合A={0,1,4},B={1,a,b²+3},若A=B,则b=

A.√2B.2C.-1D.1

2.命题p:a>1,b>2是命题成立的()条件.

A.充分不必要B.必要不充分C.充分必要D.既不充分也不必要

3.我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十

一，请问尖头几盏灯.”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯

数的2倍，则塔的顶层共有()盏灯.

A.1B.3C.7D.192

4.二项式的展开式中，常数项为

A.40B.80C.90D.100

5.已知函数f(x)=x·10*-1,g(x)=x·lgx-1,h(x)=x³-1的零点分别为a,b,c,则a,b,c的大小顺

序为

A.a<b<cB.a<c<bC.b<c<aD.c<a<b

6.已知点P在单位圆的内接正方形ABCD的边AB上运动，则PA²+PB²+PC²+PD²的取值范围为

A.[4,8]B.[4,6]CD.[6,8]

7.已知F为椭圆C的左焦点，抛物线y²=2px(p>0)与椭圆C交于A,B两点，当p变化时，

△ABF周长的最大值为

A.8B.6C.4+2√3D.6+2√3

8.已知正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁棱长为2,点M满足C₁M=MC,点Q在正方体的表面上运动，且AQ⊥

B₁M,则Q的轨迹长度为

A.4+4√5B.4√5C.4+2√5D.4√2

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.

全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错得0分.

9.已知复数z=(m²-4)+(m²-m-2)i,其中m∈R,i是虚数单位，则

A.若m=0,z=-4-2iB.若m=0,则Izl=2√5

C.若z为纯虚数，则m=-2D.若z∈R,则m=2

10.已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且AB·AC<0,则

AB.sinB>cosC

D.sin³B+sin³C<sin³A

11.现有A,B,C,D四个不透明的袋子，每个袋子中均有标号为1,2,3,…,n(n∈N*,n≥4)的n个球，

其中A袋中全是红球，B袋中全是白球，C袋中全是黄球，D袋中全是黑球.若甲、乙、丙、丁四人随

机从四个袋中选取一个(可多人选同一个袋子),并从中随机取出一个球，则

A.取出的四个球颜色互不相同的概率

B.取出的四个球中红球比白球恰好多2个的概率

C.当n=4时，取出的四个球既不同色也不同号码的概率为

D.若甲、乙、丙、丁分别取到红、白、黄、黑球，则甲、乙、丙三人取到的号码之和等于丁取到的号码的

概率

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.已知非零向量a,b满足|a|=|b,(2a-b)·(a+2b)=0,则a,b的夹角为

13.已知函数f(x)=sinwx+√3coswx在内恰好有一个极值点，则正实数w的取值范围是·

14.若曲线和圆x²+y²=t(t>0)存在4条公切线，则t的取值范围是

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

某研究团队在商业运营数据分析中，收集了某商家一段时间内宣传投入费用与销量数据如下表，将

投入经费(单位：万元)作为解释变量x,销售量(单位：万件)作为响应变量y,已知x与y之间呈现

出线性相关关系.

x(投入经费)12345

y(销售量)4691318

(1)试根据这些数据，计算样本相关系数r(结果保留三位小数);

(2)求y关于x的经验回归方程y=bx+a,并求当投入经费为7万元时，销售量的预测值.

参考公式：

参考数据：,√35≈5.916

16.(15分)

已知△ABC的三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,S为三角形△ABC的面积，且√3(a²+b²-c²)=

4S,a²tanB=b²tanA.

(1)判断△ABC的形状；

(2)若D为△ABC所在平面内一动点，C,D分别位于直线AB的异侧，AD=1,BD=2,记∠ADB=θ

(0<θ<π),求四边形ADBC面积的取值范围.

17.(15分)

已知函数f(x)=alnx-x(a∈R)

(1)讨论函数f(x)的单调性；

(2)若函数f(x)有两个不同的零点)为f(x)的导函数，试证明：2f'(x₁)+f'(x₂)>e-3.

18.(17分)

已知S,为数列{an}的前n项和，且a₁=1,nan+1=2S(n∈N*).

(1)求数列{an}的通项公式；

(2)若数列{b}满足bn=2°n-¹(n∈N*),在ak,ak+1之间插入b₁,b₂,…,b₆(k∈N*),得到新数列

{cn}:a₁,b₁,a₂,b₁,b₂,a₃,b₁,b₂,b₃,a₄,…,ak,b₁,b₂,…,b,ak+1…,记数列{cn}的前n项和为Pn.

(i)求P₂₁;

(ii)是否存在Pn,使得P为数列{b}中的项，若存在，求出所有这样的Pn,若不存在，说明理由.

19.(17分)

球的体积公式可以利用微分法推导：先将半球用平行于底面(大圆面)的平面将其分成等高的n部

分，每一部分可近似看作圆柱，这些圆柱体积之和V就作为半球体积的近似结果，当n→+∞时，V

的极限即为半球的体积，从而得到球的体积公式.

图19-1中，ABCD为过圆柱0₁02的轴的截面，M,N分别为圆柱上下底面圆周上的点，且O₁M,O₂N

的夹角为.若将直线MN绕0₁0₂转一周，可得双曲面α(图19-2),即过圆柱的轴的任一截面与

双曲面的交线都为双曲线.设0为0₁0₂的中点，在平面ABCD内以0为原点，0₁O₂为y轴建立如

图19-1所示的平面直角坐标系，记圆柱高为h,底面半径为r.

(1)若h=4,r=2.记坐标平面x0y中相应的双曲线为E.

(i)求点0到直线MN距离，并求双曲线E的方程；

(ii)过0作直线GH⊥平面ABCD,交圆柱侧面于G,H两点.过双曲线E的右焦点F的直线l与

双曲线E右支交于S,T两点，求四面体STGH体积的最小值.

(2)若矩形ABCD周长为16.将双曲面α与圆柱0₁0₂上下底面围成的封闭几何体记为w,利用微

分法求w的体积最大值.

参考公式：

图19-1图19-2

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数学试题参考答案与评分细则

题号1234567891011

BD

选项DABB均给分DACBCADABD

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.

1.D【解析】a=0,b²+3=4,b²=1,b=±1,则b⁴=(±1)°=1,选D.

2.A【解析】若a>1,b>2,可得“a+b>3πab>2”.反之，可取,b=6,,满足“a+b>31ab>

2”,但不符合“a>1,b>2”,选A.

3.B【解析】顶层记为m,公比q=2,,解得m=3,选B.

4.B【解析】则k=1,常数项为T₂=C'·2⁴=80,选

B.

【解析,y=lgx,都关于

y=x对称，由图知：a<1<b,h(x)单调递增，若h(x)=0,可得c=1,可得：

a<c<b,选B.

6.D【解析】如图建立坐标系：可得

.不妨令,PA²+PB²+PC²+PD²=

8],故选D.

7.A【解析】设AB与x轴交于M,则AM⊥x轴，设椭圆右焦点为F',AF+

AM≤AF+AF′=4,所以△FAB周长为2(AF+AM)≤8,故选A.

8.C【解析】取B₁C₁中点T,A₁D₁中点K,易证B₁M⊥面ABTK,则点Q的轨迹

长度为矩形ABTK的周长，BT=√5,C=2×(2+√5)=4+2√5,故选C.

数学试题参考答案第1页(共6页)

二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.

9.BC【解析】A.若m=0,则z=-4-2i,则z=-4+2i,A错；

B.m=0,|z|=2√5,B对；

C.若z为纯虚数，则则m=-2,C对；

D.z∈R,则：m²-m-2=0,m=-1或2,D错，故选BC.

10.AD【解析】由AB·AČ<0知,所以

cosC.同理sinC<cosB,所I,故可知A正确，B,C错误；

由知b²+c²<a²,且b<a,c<a,所以b³+c³<(b²+c²)a<a³,∴由正弦定理知sin³B+

sin³C<sin³A成立，故D正确，选AD.

11.ABD【解析】对于A选项，四个人选出球颜色互不相同的概率,A正确；

对于B选项，有两种情况，①红球2个，白球0个时，概率为,②红球3个，

白球1个时，概率为,四人选出的球中红球个数比白球个数多2个的概率

B正确；

对于C选项，四个人取出的四个球颜色和号码均不同的概率,C错；

对于D选项，设甲乙丙丁取出球号码分别为a,b,c,d,则所求概率转化为求a+b+c=d(1≤

a,b,c,d≤n)的整数解组数，当d=3时，方程的解的组数为C²,当d=4时，方程的解的组数

为C²3,……,当d=n时，方程的解的个数为C²-1,故满足条件的取法有C2+C²+…+C²-1=

C³,故所求概率D正确.故选ABD.

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.

12.

【解析】由题2a²-2b²+3a·b=0,则a·b=0,所以夹角为

13.

【解析】可得

数学试题参考答案第2页(共6页)

14.0<t<2√2+2

【解析】由得曲线上x=x。处的切线方程为,即

,若同时和圆x²++y²=t(t>0)木相切，则

则整理可得方程

若存在四条公切线，则方程应有两个不同的正数根，∴0<t<2√2+2.

四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.

15.(13分)

解：(1)因为9,x=3,y=10,……2分

所以………………5分

②

当x=7时，y=24,所以当投入经费x=7万元时，销售量的预测值为24万件.………………13分

16.(15分)

(1)由已知√3(a²+b²-c²)=4S,结合余弦定理a²+b²-c²=2abcosC和得：

2√3abcosC=2absinC,所以tanC=√3.∵0<C<π,∴……3分

又由a²tanB=b²tanA结合正弦定理得，sin²AsinBcosA=sin²BsinAcosB.

∵0<A<π,0<B<π,∴sinAcosA=sinBcosB,sin2A=sin2B,∴2A=2B,A=B或2A+2B=π,

,但矛盾，舍去.故,所以△ABC为等边三角形.…7分

(2)在△ABD中由余弦定理得AB²=AD²+DB²-2AD·DBcosθ=5-4cosθ(0<θ<π),

所以四边形ADBC的面积为

………………12分

∵0<θ<π,

所以四边形ADBC的面积的取值范围为…………15分

数学试题参考答案第3页(共6页)

17.(15分)

当a≤0时，在x∈(0,+∞)时，f'(x)<0,f(x)在(0,+∞)上单调递减；

当a>0时，令f'(x)=0,得x=a,当x∈(0,a)时，f'(x)>0,

当x∈(a,+∞)时，'(x)<0,所以f(x)在(0,a)上单调递增，f(x)在(a,+∞)上单调递减.……4分

综上：当a≤0时，f(x)在(0,+∞)上单调递减.

当a>0时，f(x)在(0,a)上单调递增，f(x)在(a,+∞)上单调递减.…5分

(2)由(1)知，若函数f(x)有两个不等实根，则a>0,又当x→0时，f(x)→-∞,f(1)=-1<0知，

要使函数f(x)有两个不等实根，则f(a)=alna-a>0,故a>e.………………6分

因为x₁<x₂,由可得,故要证明2f'(x₁)+f'(x₂)>e-3,

即证,即证……8分

,令

所以(*)转化为证明当t∈(0,1)时成立.…………………10分

令,则

对于m(t)=-t²+et-2(0<t<1),对应二次方程的△=e²-8<0,所以当0<t<1时，m(t)<0,故

g'(t)<0,所以函数g(t)在(0,1)上单调递减，故g(t)>g(1)=0,

,故不等式2f'(x₁)+f'(x₂)>e-3得证.…………………15分

18.(17分)

解：(1)由nan+1=2S,可得n(Sn+1-Sn)=2S,即nSn+1=(n+2)Sn,所以,……1分

可,即………………3分

当n≥2时,又a₁=1满足，所以aπ=n.………………5分

(2)因为an=n,bπ=2”-1.

(i)记d₆=aŁ+b₁+b₂+…+b,则d₆=2ᵗ+k-1,

………………9分

数学试题参考答案第4页(共6页)

(ii)易有P₁=c₁=1,P₂=a₁+b₁=2=b₂,P₃=a₁+b₁+a₂=4,满足条件.P₄=5不满足条件.P₅=7

也不满足.下证仅有P₁,P₂,P₃满足.……………10分

情况一：若P=d₁+d₂+…+d₆+ak+1+b₁+b₂+…+b(k≥2,0≤n₀≤k+1),

则

,所以Pn只可能为2*+2,2*+³,……的形式.…………12分

记f(k)=2*+¹+4-k(k+1)易有f(2)>0,f(3)>0,

而k≥4时，f(k)=(1+1)+¹+4-k(k+1)≥2(C+1+Ck+1+C²+1)+4-k(k+1)>0,

,当n₀=k+1时，则不成立；

当n₀≤k时，P,<2*+¹+2*+2*=2*+²不成立.……………………15分

情况二：若,当k=2时，Pn=7不成立；

当k≥3时不成立.

综上，仅P₁,P₂,P₃满足条件.……………………17分

19.(17分)

(1)(i)作MM′垂直圆柱0₁0₂下底面于M',作NN′垂直圆柱0₁0₂上底面于

N′,连接O₁N'、O₂M'、MN'、M'N得到正三棱柱0MN′-O₂M'N,则点0到直

线MN距离即为直线O₁0₂到平面MN'NM'距离，即等边三角形△OMN'的高

√3,…………2分

所以双曲线E的实半轴为√3.易知双曲线E过(2,2)点，所以双曲线E方程