山东省济南市2026届高三年级针对性训练数学+答案

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济南市2026届高三针对性训练

数学试题

本试卷共4页，19题，全卷满分150分。考试用时120分钟。

注意事项：

1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。

2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需

改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在

本试卷上无效。

3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符

合题目要求的。

1.复的虚部为

A.1B.iC.-1D.—i

2.已知随机变量X服从正态分布N(0,a²),且P(X>1)=0.3,则P(-1<X<1)=

A.0.3B.0.4C.0.6D.0.7

3.已知集合,B={x|x>1),则

A.A∩B=B.AUB=RC.BAD.ASB

4.已知

A.-2BCD.2

5.已知直线与双曲)相交于A,B两点，且A,B两点的横坐标之

积为一16,则a=

ABC.2D.4

高三数学试题第1页(共4页)

6.已知x⁸=a₀+a₁(x+1)+a₂(x+1)²+…+a┐(x+1)⁷+ag(x+1,则a₇=

A.-8B.-1C.0D.8

7.已知实数a>0,函数的值域为R,则a的取值范围为

A.(0,十∞)B.[2,+∞]C.[0,1]D.[1,2]

8.在△ABC中，AD=DB,AE=2EC,0为BE与CD的交点，且OB=2OD.若AB=6,则

△ABC面积的最大值为

A.6B.12C.18D.24

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题

目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

9.已知函数图象的两条相邻对称轴之间的距离为,则

A.w=2

B为奇函数

C.单调递减

D.f(x)的图象可由函数y=cos2x的图象向左平移个单位长度得到

10.若l₁,l₂是两条互相垂直的异面直线，A,B,M,N是四个不同的点，满足A,M∈l,

B,N∈l₂,且MN⊥l₁,MN⊥l₂,MN=2,则

A.直线AN与BM是异面直线

B.AN·BM=-2

C.若BN=AM=2,则AB=√6

D.若0为AB的中点，则OM=ON

11.若数列x₁,x₂,xg,…,④m+n(m,n∈N')由m个1和n个-1构成，且对任意k≤m+n,都

有x₁+x₂+x₃+…十x≥0;则称该数列为“C—(m,n)数列”.记“C—(m,n)数列”的个数

为φ(m,n).已知数列x₁,a₂,xg,…,em+n为“C一(m,n)数列”,则

A.φ(3,3)=4

B.若m=n,则x₁+2x₂+3x₃+…+2mxzm的最大值为一m

C.若m=n,则2x₁+2²x₂+2³z₃+…+2ᵐx₂的最小值为-2(2ᵐ—1)²

D.若m>n>1,则φ(m,n)=φ(m,n-1)+φ(m-1,n)

高三数学试题第2页(共4页)

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.已知向量a=(1,2),b-a=(-4,2),则a·b的值为

13.已知f(x)是定义在R上且周期为2的偶函数，当x∈[0,1]时，f(x)=x,则的

值为

14.已知F₁,F₂分别为椭圆C1(a>b>0)的左、右焦点，C上两点P,Q满足

2F₁P=3F₂Q,,则C的离心率为

四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.(本小题满分13分)

国内某摩托车企2025年3月—9月新车月销售量y(单位：百台)的数据如下表：

月份3月4月5月6月7月8月9月

月份代号x1234567

月销售量y11161821242829

(1)求y关于x的线性回归方程；

(2)现从这7个月的月销售量数据中随机抽取3个，记抽取的数据中不低于20(单位：百

台)的数据个数为随机变量X,求X的分布列与数学期望.

参考公式：回归方程y=bx+a中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：

16.(本小题满分15分)

如图，在三棱台ABC-A₁B₁C₁中，AA₁⊥平面ABC,AB⊥AC,且AC=2A₁C₁=2,

AA₁=√2.

(1)证明：平面ABC₁⊥平面A₁BC;

(2)若AB=4,求直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正弦值.

高三数学试题第3页(共4页)

17.(本小题满分15分)

已知数列{an〉的前n项和为S。,a₁=1,是公差为的等差数列.

(1)求{a,}的通项公式；

(2)令求数列{b。}的前2n项和Tπ.

18.(本小题满分17分)

已知函数

(1)设函数g(x)=f'(x),求g(x)的最小值；

(2)对任意x∈[1,+∞],都有f(x)≥kx—1,求k的取值范围；

(3)对任意k∈R,直线y=kx+m与曲线y=f(x)有且仅有一个公共点，求m的取值

范围.

19.(本小题满分17分)

已知A₁,A₂,…,A,(n≥3)是平面直角坐标系xOy内的点，且A₁和A。在抛物线

上.记A,的坐标为(x,y),i=1,2,…,n,对于任意1≤i≤n—1,都有x₁<x+1,

且直线AA+1与C相切.

(1)当n=3时，证明：x₁+x₃=2x₂;

(2)已知函

(i)若x₁=0,n=3,证明：|A₁A₂I+|A₂A₃|>L(xg);

(ii)证明：A|₁A₂I+|A₂A₃|+…+|Aₙ-1A„|>L(xn)-L(x₁).

参考公式：

高三数学试题第4页(共4页)

高三年级针对性训练

数学试题参考答案

2026.5

一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一

项是符合题目要求的。

题号12345678

答案ABCDCADB

二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项

符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。

题号91011

答案ABDADBCD

三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。

12.5;13.

四、解答题：共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

15.【解析】

2-一7207-74×4-3,a-=y-5i=-21-3×4=9

所以V关于x的线性回归方程为=3x+9.

(2)由已知得，7个数据中不低于20的有4个，低于20的有3个.

所以X所有可能的取值为0,1,2,3.

数学试题答案第1页共6页

所以X的分布列为

X0123

P

16.【解析】

(1)因为AA⊥平面ABC,且面ABC//面A₁B₁C₁,所以∠AA₁C₁=∠A₁AC=90°.

又因为AC=2A₁C₁=2,AA=√2,所以

故∠A₁AC₁=∠A₁CA.因为∠A₁AC₁+∠C₁AC=90°,

所以∠A₁CA+∠C₁AC=90°,则AC₁⊥A₁C.

又因为AA⊥平面ABC,所以AA⊥AB,

因为AB⊥AC,AC∩AA₁=A,故AB⊥平面AA₁C₁C,所以AB⊥AC.

因为AB∩AC₁=A,所以AC⊥平面ABC₁.

因为A₁Cc平面ABC,所以平面ABC₁⊥平面A₁BC.

(2)以A为原点，AB,AC,AA所在直线分别为x轴，V轴，z轴建立空间直角坐标系.

因为AB=4,所以B(4,0,0),C(0,2,0),A₁(0,0,√2),C(0,1,√2),

所以BC=(-4,2,0),CC₁=(0,-1,√2),AC=(0,2,=√2).

设n=(x,y,z)是平面BCC₁B₁的法向量，

所以则令x=1,得n=(1,2,√2).

设直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角为θ,则

所以直线A₁C与平面BCC₁B₁所成角的正弦值为

17.【解析】

(1)因为是公差为的等差数列，

数学试题答案第2页共6页

所以,当n≥2时，

两式作差

所以(n-1)a,=na₋,即

,

累乘得即a=n(n≥2),

当n=1时，a₁=1,符合上式，

所以{a的通项公式为a=n.

(2)由(1)得，

所以T=b₁+b₂+b₃+b₄+…+b₂-1+b₂.

即T₂ₙ=(1×2¹+1)+2×2²+(3×2³+1)+4×2⁴+…+[(2n-1)·2²⁻¹+1]+2n·2²ⁿ,

T₂=[1×2¹+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+(2n-1)·22ᵐ⁻¹+2n·2²"]+n.

令M=1×2'+2×2²+3×2³+4×2⁴+…+(2n-1)·2²-¹+2n·2²”,

2M=1×2²+2×2³+3×2⁴+4×2⁵+…+(2n-1)·2²+2n·22n+,

作差得-M=2'+2²+…+2²#-2n·2²n+¹,

所以·22+¹=(1-2n)·2²ᵐ+¹-2,

所以M=(2n-1)·22n++2,所以T=(2n-1)·2ᵐ+¹+2+n.

18.【解析】

(1)由题所

注意到g'(1)=0,且g'(x)在(0,+∞)上单调递增，

所以当x∈(0,1)时，g'(x)<0,g(x)单调递减；

当x∈(1,+∞)时，g'(x)>0,g(x)单调递增.

所以g(x)的最小值为

数学试题答案第3页共6页

(2)因为f(x)≥kx-1,x∈(1,+∞),所则

由(1)知当x∈(1,+∞)时，φ'(x)>0,φ(x)单调递增，

所以当x∈(1,+∞)时，φ(x)≥φ(1)=0,即h'(x)≥0在(1,+∞)上恒成立，

所以h(x)在(1,+)上单调递增，所以,所以

即p(x)在(0,+0∞)上有且仅有一个零点.

当x→0+时，p(x)→-0;当x→+∞0时，p(x)→+∞0.

所以p(x)至少有一个零点.

由p(x)=0得，

因为对任意k∈R,p(x)=0有且仅有唯一解，所以q(x)=k有唯一解，

所以q(x)必为单调函数，即q'(x)≥0恒成立或q'(x)≤0恒成立.

因为当x→+00时，q'(x)→+∞,所以q'(x)≥0恒成立，

所对任意x∈(0,+∞)恒成立.

由(1)知，当x∈(0,1)时，r'(x)>0,r(x)单调递增；

当x∈(1,+0∞)时，r'(x)<0,r(x)单调递减.

所以r(x)≤r(1)=-1,所以m≥-1.

19.【解析】

(1)因为所以y'=x.

由题意知A(x₁,y₁)在抛物线上，故

因为A₁A₂为C的切线，故AA₂的斜率为x₁,

数学试题答案第4页共6页

所以A₁A₂的方程为y-y=x₁(x-x₁),结合

同理有

联立①②得x₁+x₃=2x₂.

命题得证.

(2)因为x₁=0,由(1)可知,结合①可得

所以|

从而

则故g(x)在(0,+∞)上单调递增.

注意到x₃>0,从而g(x₃)>g(0)=0,故f(x₃)>L(x₃),

即|A₁A₂I+|A₂A₃|>L(x₃).

(3)记AA与C切于点B₁,设B(a,,b),i=1,2,…,n-1,

由题意知a,<a,i=1,2,…,n-2.