安徽合肥市2026届高三下学期第二次教学质量检测试题 数学 含解析

2026年合肥市高三第二次教学质量检测数学（考试时间：120分钟满分：150分）注意事项：1.答卷前，务必将自己的姓名和座位号填写在答题卡和试卷上.2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，务必擦净后再选涂其它答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.设全集，集合，，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助补集与交集定义计算即可得.【详解】由，，则，又，故.2.若，则在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限【答案】A【解析】【分析】借助复数运算法则计算出后，利用复数几何意义即可得.【详解】，故在复平面内对应的点位于第一象限.3.记为数列的前项和，已知，，则（）A.18 B.54 C.81 D.162【答案】B【解析】【分析】借助与关系计算可得，则可由等比数列定义求出数列的通项公式，即可得.【详解】当时，，则，故，又，故数列是以为首项，为公比的等比数列，即，故.4.直线与抛物线交于，两点，则（）.A. B.6 C. D.8【答案】D【解析】【分析】联立直线方程与抛物线方程，可求出两交点坐标，再利用两点间距离公式计算即可得.【详解】，解得或，则.5.已知，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】借助完全平方公式及二倍角公式可得，结合原式计算即可得解.【详解】由，故，故，故，即.6.已知圆柱的轴截面是周长为24的矩形，其上下底面的圆周都在同一球面上，当圆柱的侧面积最大时，该球的体积为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】设该圆柱高为，底面半径为，则可得、间关系，再表示出圆柱的侧面积后，利用二次函数性质可得取最大时的、，从而可求出此时该球的半径，即可得其体积.【详解】设该圆柱高为，底面半径为，则，即有，圆柱的侧面积，故当且仅当、时，取最大，此时圆柱的外接球半径为，则该球的体积.7.设，，，则（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由题意可得，，找出中间值，借助对数运算可得，合理放缩计算可得，则可得，即有，综上即可得解.【详解】由，，则，，由，则，即，由，则，即，故；由，则，即，即；综上可得：.8.在中，，为边上一点，且，，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】设，则可在中利用正弦定理求出，则可求出，从而可结合得到与间关系，再利用即可得解.【详解】设，则，，由，则，，在中，由正弦定理可得，由，则，故，由，故，故，即，则，则，即.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.某社区有150名中老年人参加园艺、摄影、书画等三个兴趣班，每人只参加一个兴趣班，各班人数及年龄（单位：岁）分布如下表：兴趣班年龄园艺班摄影班书画班合计12510272015256018103563合计503070150从这150人中随机抽取1人，设事件为“抽到的人年龄位于区间”，事件为“抽到的人来自园艺班”，则（）A.事件与事件互斥B.事件与事件相互独立C.60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人D.这150人年龄平均数的估计值为60岁【答案】BC【解析】【分析】利用互斥事件定义可得A；利用相互独立事件的性质，验证与是否相等即可得B；估算60岁以上的老年人参加园艺班的人数即可得C；计算平均数即可得D.【详解】对A：由园艺班中有年龄位于区间的人，故事件与事件可以同时发生，故事件与事件不互斥，故A错误；对B：，，，有，则，故事件与事件相互独立，故B正确；对C：，故60岁以上的老年人参加园艺班的人数约为28人，故C正确；对D：，故D错误.10.在平行六面体中，，，，分别为棱，的中点，则（）A. B.平面C. D.直线与所成角的余弦值为【答案】ABD【解析】【分析】对A：连接，借助中位线性质可得，利用平行六面体性质结合平行四边形定义及其性质可得，则可得；对B：借助菱形性质可得，再利用题目条件可得，则有等腰三角形三线合一可得，即可利用线面垂直判定定理得到平面；对C：得到、及后，利用余弦定理计算即可得；对D：由，，可得即为所求，求出、、后，利用余弦定理计算即可得.【详解】对A：连接，由，分别为棱，的中点，则，由平行六面体性质可得，且，故四边形为平行四边形，故，又，故，故A正确；对B：连接、、、，设，由，则四边形为菱形，故，为中点，由，，，故与全等，故，又为中点，故，又，、平面，故平面，故B正确；对C：由，，则、、都为等边三角形，故，则，，故，故，即，故C错误；对D：连接，由，，故直线与所成角即为直线与所成角，即为，，，，则，故D正确.11.已知：，为上的任意一点，点，线段的垂直平分线与直线相交于点，点的轨迹与轴交于，两点，则（）A.点的轨迹方程为B.当点不在轴上时，直线与的斜率之积为C.当时，D.过点作直线的垂线，垂足为，则的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】对A：借助垂直平分线性质可得，再利用QP+CQ>10可得QA−QC=8，即可由双曲线定义得到点的轨迹方程；对B：设，可得y12=9x1216−1，再表示出并计算即可得；对C：借助三角形内角和及诱导公式可得cos∠QA1A2+∠QA2【详解】又：x+52+y2=64，则由为线段的垂直平分线，故，又为上的任意一点，故，由，则QP+CQ=则CQ−QP=8或QP−CQ故点的轨迹为以、为焦点，的双曲线，由、，故，则，即点的轨迹方程为，故A正确；对B：设在左侧，由点的轨迹方程为，故、，设，则有，故y12=9则kQA1对C：由，故，则cos∠Q即，由B知，又，kQ故，即，则，即，故C正确；对D：取点关于对称点，则C′A=CP=8故点的轨迹方程为x−52+y由在上且，则为中点，则有，，故，，即有2x0+5−52化简得，故可设，，，则x0+2y即的最大值为，故D正确.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知非零向量，满足，，则与的夹角为________.【答案】【解析】【分析】借助数量积公式及模长与数量积的关系计算即可得.【详解】由，则，即，则.13.设函数，，是直线与曲线的两个交点，且最小值为.若，则________.【答案】【解析】【分析】由最小值可得的最小正周期，从而可得，再将代入计算即可得.【详解】由最小值为，则的最小正周期为，即，则，，解得，又，故.14.已知函数，设，若恒成立，则的最小值为________.【答案】【解析】【分析】分析函数的单调性、奇偶性，及值域，分0≤x0<x1<x2<⋅⋅⋅<xn−1【详解】因为fx=ef−x=efx因为，所以，所以，所以1−2e2x+1所以fx因为内层函数在上为增函数，外层函数在上为增函数，所以函数在上为增函数，当时，，，，则fx当时，，，，则fx所以函数在上单调递减，在上单调递增.①若0≤x则i=1=−fx因为，fxn∈0,1显然fxn>f②若x0同①可知i=1n③若x0则fxfxi−1−fxi表示函数的图象上两点由图可知，i=1k−1fxi−f所以i=1nfx又因为i=1nfxi−f综上所述0≤i=1nfxi−fxi−1四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.某出行平台为缓解市高峰时段打车难问题，实行“动态调价”机制.平台根据历史数据发现，乘客是否接受调价与其出行目的密切相关.根据历史订单，市高峰时段乘客出行目的可分为三类：工作通勤、接驳交通枢纽及其他，其占比分别为，，，且这三类出行目的的乘客接受动态调价的概率分别为，，.从市高峰时段所有订单中随机抽取一单.（1）求该订单乘客接受动态调价的概率；（2）已知该订单乘客接受动态调价，求其出行目的为工作通勤的概率.【答案】（1）（2）.【解析】【小问1详解】设事件表示“出行目的为工作通勤”，表示“出行目的为接驳交通枢纽”，表示“出行目的为其他”，事件表示“乘客接受动态调价”.由题意得：，，.，，.由全概率公式：.代入计算：.故该订单乘客接受动态调价的概率为.【小问2详解】由贝叶斯公式：.代入计算：.故在接受动态调价的条件下，该订单出行目的为工作通勤的概率为.16.设函数.（1）证明：曲线在点处的切线过定点，并求出该定点坐标；（2）若有两个零点，求的取值范围.【答案】（1）证明见解析，（2）【解析】【分析】（1）借助导数几何意义计算可得曲线在点处的切线方程，再求出该切线所过定点即可得；（2）求导后分及讨论该函数单调性，结合零点存在性定理可得不符，时需满足，解出即可得.【小问1详解】因为，，所以，又，所以曲线在点处的切线方程为：，即，即，所以曲线在点处的切线过定点；【小问2详解】，，当时，，则在上单调递减，此时最多有一个零点，不满足题意；当时，令，解得，令，解得，于是在上单调递减，在上单调递增，所以，当时，，当时，，又因为有两个零点，所以，即，解得或，因此，的取值范围为.17.记椭圆：的左、右顶点分别为，右焦点为，为上的动点.已知过点且与恰有一个公共点的直线的方程为，与直线分别交于两点.（1）证明为定值；（2）求面积的最小值及此时点的坐标.【答案】（1）证明见解析（2）1，.【解析】【分析】（1）根据给定条件，求出点的坐标，结合点在椭圆上计算得证.（2）由（1）的结论，利用直角梯形及三角形面积公式求出面积的函数关系，利用基本不等式求出最小值，进而求出点的坐标.【小问1详解】直线的方程为，当时，，即，而，，则，同理，，因此，由在上，得，则，所以为定值1.【小问2详解】令，由（1）得，则直角梯形的面积，而，于是，，因此，当且仅当，即时取等号，此时，则直线的斜率，即，又，而，解得，所以的面积有最小值1，点的坐标为.18.如图，在面积为的梯形中，，，为的中点.将沿翻折至.（1）证明：；（2）当时，求平面与平面夹角的余弦值；（3）当时，求四棱锥体积的最大值.【答案】（1）证明见解析（2）（3）【解析】【分析】（1）连接，由菱形性质可得，即可得；（2）借助梯形面积可得的面积，从而可求出，再以为坐标原点，建立适当空间直角坐标系，可求出平面与平面的法向量，利用空间向量夹角公式计算即可得解；（3）过作，垂足为，利用线面垂直判定定理可得平面，即为四棱锥的高，再设，，可得，则可用表示出，再构造相应函数，利用导数求出最大值即可得解.【小问1详解】连接，由为中点，则，又，则四边形为菱形，设，则为中点，则，故；【小问2详解】当时，是边长为的等边三角形，又因为梯形的面积为，所以的面积为，所以，所以，以为坐标原点，以，分别为，轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，，，，所以，，，设为平面的法向量，则，即，令，则，所以，设为平面的法向量，则，即，令，则，，所以，所以，因此，平面与平面夹角的余弦值为；【小问3详解】过作，垂足为，因为四边形为菱形，所以，即，又是平面内的两条相交直线，所以平面，因为平面，所以，又因为，、平面，所以平面，设，，则，，根据的面积为，得，即，要使三棱锥的体积最大，则最大，因为，所以，，其中，令，记，，令，，或（舍），当时，，在上单调递增，当时，，在上单调递减，所以，即，所以三棱锥的体积最大值为，因此，四棱锥体积的最大值为.19.“二分法”是一种常用的检索方法.为正整数且数，为了寻找，我们可以把与区间中点进行比较，不断缩小区间范围，最后检索到.检索的过程分为取数和比较两个步骤.①取数：是集合中的整数，若为偶数，取；若为奇数，取.②比较：比较与的大小关系.若，则停止检索：若，则，，继续检索：若，则，，继续检索，下一次检索区间范围更新为，其中，.对于正整数，从集合中任取一个数，按上述检索过程找到数经历的比较次数为，记.（1）请完成表1和表2.表1：时，不同取值所经历的比较次数1234567比较次数

2313

3表2：当时，不同取值所经历的比较次数12345678910111213141516比较次数4342

3414342434

（2）求、，并求出；（3）证明：，.参考数据：.【答案】（1）答案见解析（2），（3）证明见解析【解析】【分析】（1）根据定义，对每个数进行考查，即可列出表格；（2）考虑随机变量的可能取值，研究对应值的概率，结合期望算法即可求出；（3）结合第（2）问，可设，则，利用换元，构造函数，，利用导数研究函数的单调性，即可证得结论成立.【小问1详解】通过实际操作可以发现：当时的取值与其比较次数如下表：123456