武汉大学线性代数04 第四章

2026/5/151第四章

向量组的线性相关性2026/5/152§1

向量组及其线性组合定义1：n

个数所组成的有序数组称为一个n

维向量，这n

个数称为该向量的n

个分量，第i

个数称为第i

个分量。这里定义的

n

维向量就是指行(或列)矩阵。2026/5/153称为行向量。称为列向量。2026/5/154例.

3维向量的全体所组成的集合通常称为3维Euclid几何空间。称为R3

中的一个平面。集合2026/5/155称为n维Euclid空间Rn中的n-1维超平面。集合称为n维Euclid空间。例.n维向量的全体所组成的集合2026/5/156例.非齐次线性方程组的解集合齐次线性方程组的解集合2026/5/157m×n阵A的列向量组:行向量组:

同一维数的列向量(或行向量)所组成的集合称为向量组。2026/5/158定义2：设向量组及一组实数称为向量组A的一个线性组合，称为线性组合的系数。表达式2026/5/159定义2：设向量组和向量b若存在一组实数使得则称向量b

是向量组A的一个线性组合，或称向量b

能由向量组A线性表示。2026/5/1510例如：则b能由线性表示.解方程组即解方程组2026/5/1511所以，得2026/5/1512记2026/5/1513则方程组的向量表示为2026/5/1514定理1:

向量b可由向量组线性表示有解，其中2026/5/1515则称向量组B能由向量组A线性表示。若向量组A与向量组B能相互线性表示，若B组中的每一个向量都能由向量组A

线性表示，定义3:设向量组及则称向量组A与向量组B等价。2026/5/1516B能由A线性表示2026/5/1517定理2:向量组能由线性表示有解，其中2026/5/1518定理3:向量组能由线性表示，则R(B)≤

R(A)。其中证：根据定理2有R(A)=

R(A,B)而R(B)≤

R(A,B)，因此R(B)≤

R(A)。

2026/5/1519定义4：§2

向量组的线性相关性2026/5/1520n维向量组线性相关定理4:n维向量组线性无关2026/5/1521例2:试讨论向量组及向量组的线性相关性.2026/5/1522解：设即系数行列式齐次线性方程组有非零解，所以向量线性相关向量对应分量不成比例，所以线性无关。2026/5/1523例3:n维向量讨论它们的线性相关性.结论:线性无关解:上述向量组又称基本向量组或单位坐标向量组.2026/5/1524一些结论：

一个零向量线性相关,

一个非零向量线性无关；(2)两个向量线性相关当且仅当它们的对应分量成比例;

(3)一个向量组线性无关，则增加其中每个向量的分量所得新向量组仍线性无关。(4)向量组线性相关当且仅当向量组中至少有一个向量可由其余向量线性表示。2026/5/1525则向量组也线性相关。则向量组也线性无关。若向量组线性相关，定理5-1：定理5-2：m个n维向量(m>n)构成的向量组一定线性相关.

特别地,n+1个n维向量线性相关.若向量组线性无关，推论：定理5-3：向量组线性无关,向量组线性相关,

则b

能由向量组A线性表示，且表示式唯一.2026/5/1526例4：已知向量线性无关，向量可以由向量线性表示，并且证明：线性无关的充要条件是R(K)=3证：线性无关。设Kx

=0，其中则故x

=0

，即Kx

=0只有零解，于是R(K)=3=02026/5/1527=0故Kx

=0，而R(K)=3，于是x

=0，2026/5/1528例5：已知向量线性无关，证明：向量线性无关。证：线性无关。2026/5/1529§3

向量组的秩定义1:简称最大无关组,r称为向量组A的秩，记作RA（ii）A中任意r+1个向量都线性相关.线性无关,（i）那么称部分组为向量组A的一个最大线性无关组，设A为一个向量组，A的部分组

满足：2026/5/1530例如：在向量组中，首先线性无关，又线性相关，所以是一个极大无关组。还可以验证也是一个极大无关组。2026/5/1531注:（1）只含零向量的向量组没有最大无关组，规定秩为0。（2）一个线性无关向量组的最大无关组就是其本身。（4）向量组A能由A0线性表示。（3）向量组的最大无关组一般不是唯一的。（5）任意一个最大线性无关组都与向量组本身等价。2026/5/1532例：设矩阵矩阵A

的行向量组是可以验证，是一个最大无关组，所以矩阵A的行向量组秩为3。

2026/5/1533矩阵A的列向量组是可以验证是一个最大无关组所以矩阵A的列秩是3。2026/5/1534定理：矩阵的秩=矩阵的行向量组的秩

=矩阵的列向量组的秩注：初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性关系向量组

的秩也记作2026/5/1535例：向量组求向量组的秩和一个最大无关组。2026/5/1536解：2026/5/1537是一个最大无关组。2026/5/1538例如：向量组的秩为2。注意：两个有相同的秩的向量组不一定等价。两个向量组有相同的秩，并且其中一个可以被另一个线性表示，则这两个向量组等价。向量组的秩为2。2026/5/1539例2：求矩阵的列向量组的一个最大无关组，并把其余的向量用这个最大无关组线性表示。2026/5/1540解:2026/5/15412026/5/1542是一个最大无关组.2026/5/1543最大无关组的等价定义:线性无关；（i）那么称部分组为向量组A的一个设A为一个向量组，A的部分组

满足：（ii）A的任意向量都能由线性表示。最大无关组。2026/5/1544证：只需证明A中的任意r+1个向量都线性相关。设为A中的r+1个向量，由(ii)知，这r+1个向量能由A0线性表示，故因此，这r+1个向量线性相关。2026/5/1545线性表示的充要条件是定理2’：向量组能由向量组定理3’：若向量组B能由向量组A线性表示，则

2026/5/1546§5向量空间定义：设

V为

n维向量的非空集合，若

V对于加法及数乘两种运算封闭，则称集合

V为向量空间．说明:集合对于加法及数乘两种运算封闭指注意.0必是向量空间V的元素，即2026/5/1547例：3维向量的全体是一个向量空间。n维向量的全体也是一个向量空间。例：齐次线性方程组的解集合是一个向量空间。不是一个向量空间。但非齐次线性方程组Ax=b的解集合2026/5/1548例：判别下列集合是否为向量空间.2026/5/1549不是向量空间。解：所以，是向量空间。2026/5/1550是否为向量空间.V称为由向量a,b生成的向量空间。例：设a，b为两个已知的n维向量，判断集合解：V是一个向量空间。2026/5/1551由向量组所生成的向量空间为一般地2026/5/1552定义：设V为向量空间,W是V的非空子集，若

W对于加法及数乘两种运算封闭，则称

W是

V的子空间。零子空间V={0}2026/5/1553例.及都是的子空间。是的子空间，称为齐次线性方程组Ax=0的解空间，或A的零空间。2026/5/1554定义7：设V是向量空间，如果向量满足线性无关。（1）（2）V中任一向量都可由线性表示，那么，就称向量组是向量空间V的一个基，r称为向量空间V的维数，记作dimV＝r并称V是r维向量空间。2026/5/1555注：(1)只含有零向量的向量空间{0}-称为零子空间-没有基，规定其维数为0。(2)如果把向量空间V看作向量组V，则V的基就是向量组V的极大无关组，V的维数就是向量组V的秩。(3)向量空间的基一般不唯一。例.都是向量空间的基。

设矩阵例2026/5/1563设是的一个基，x

是中的向量，则称有序数组为向量x

在基下的坐标。设是的另一个基，并且则称此式为基变换公式，矩阵P

称为从基到基的过渡矩阵。

2026/5/1564§4

线性方程组解的结构(1)齐次线性方程组或2026/5/15651.解的性质则仍然是的解。性质1：若是的解，则仍是的解。性质2：若是的解，2026/5/15662.基础解系设是的解，满足线性无关；的任一解都可以由线性表示。则称是的一个基础解系。2026/5/1567定理7：设是矩阵，如果则齐次线性方程组的基础解系存在，且每个基础解系中含有个解向量。证明分三步:1.以某种方法找个解。2.证明这个解线性无关。3.证明任一解都可由这个解线性表示。2026/5/1568证明:化为行最简形2026/5/1569与B对应的方程组2026/5/1570（1）令依次为得方程组的通解2026/5/1571（2）向量组线性无关。综合(1)(2)得,向量组(C)是齐次线性方程组的基础解系.(C)2026/5/1572的通解是记则是令为所得。例求齐次线性方程组的基础解系．

解：

对方程组的系数矩阵作初等行变换化阶梯阵令得令得原方程组的解为

原方程的基础解系为2026/5/1575解：例:求下列齐次方程组的通解。2026/5/1576初等行变换令得通解20