高等运筹第七讲（刘巍）大连海事大学

高等运筹学大连海事大学刘巍第二篇运筹学中的数学规划第四章线性规划第五章非线性规划第六章锥规划、矩阵规划及变分不等式第七章整数规划第八章动态规划第九章向量优化（多目标优化）第七讲内容第九章向量优化

（多目标规划）第九章向量优化

（多目标规划）近几十年来向量优化(亦称多目标优化)理论研究有了迅猛发展，在各种解的存在性、稳定性以及最优性条件等方面获得了丰富的结果，并创造性地建立了向量优化问题解集的结构定理、连通性定理和稠密性定理，被应用到经济问题中。通过向量广义凸性的研究，很好地处理了一大类非线性向量优化问题;通过提出向量变分不等式模型，开拓了研究向量优化间题的新方向。由于向量优化中衡量向量“大小”的是不完全的偏序，致使大量的向量优化问题没有解，甚至在向量目标函数光滑并有下界的情况下没有数值优化意义下的近似解。由于任何优化间题算法每一步获得的迭代项都是该优化问题的一个近似解，因此研究向量优化问题近似解的存在性以及拉格朗日和卡罗青一库恩一塔克等优化性条件仍然是具有基础性作用的主要问题也是求解算法的有力保障。分式向量优化问题是具有重要经济意义的数学模型，关于这类模型的求解问题，也是今后向量优化问题研究的重点.利用次微分，使用变分分析技术和方法研究非光滑向量优化问题，就变分分析和向量优化进行交叉研究仍将是未来很有生命力的方向.89.1基本概念解的概念

劣解：可淘汰的解。非劣解：没有其它解可以淘汰它们，但又非绝对最优解。单目标中：任何两个解都可以比较优劣，是完全有序的。多目标中：任何两个解不一定都可以比较出其优劣，因此只能是半序的。多目标优化的几类方法化多目标为单目标引进次序法直接求非劣解法f2(体重)●12●10●13●9●11●8●4●7●3●6●1●5●2

f1(身高)图3-1从线性规划问题可看出：线性规划只研究在满足一定条件下，单一目标函数取得最优解，而在企业管理中，经常遇到多目标决策问题，如拟订生产计划时，不仅考虑总产值，同时要考虑利润，产品质量和设备利用率等。这些指标之间的重要程度（即优先顺序）也不相同，有些目标之间往往相互发生矛盾。线性规划致力于某个目标函数的最优解，这个最优解若是超过了实际的需要，很可能是以过分地消耗了约束条件中的某些资源作为代价。线性规划把各个约束条件的重要性都不分主次地等同看待，这也不符合实际情况。求解线性规划问题，首先要求约束条件必须相容，如果约束条件中，由于人力，设备等资源条件的限制，使约束条件之间出现了矛盾，就得不到问题的可行解，但生产还得继续进行，这将给人们进一步应用线性规划方法带来困难。为了弥补线性规划问题的局限性，解决有限资源和计划指标之间的矛盾，在线性规划基础上，建立目标规划方法，从而使一些线性规划无法解决的问题得到满意的解答。

多目标规划问题多目标规划问题的提出在实际问题中，可能会同时考虑几个方面都达到最优：产量最高，成本最低，质量最好，利润最大，环境达标，运输满足等。多目标规划能更好地兼顾统筹处理多种目标的关系，求得更切合实际要求的解。目标规划可根据实际情况，分主次地、轻重缓急地考虑问题。例9-1：一个企业需要同一种原材料生产甲乙两种产品，它们的单位产品所需要的原材料的数量及所耗费的加工时间各不相同，从而获得的利润也不相同（如下表）。那么，该企业应如何安排生产计划，才能使获得的利润达到最大？如何安排生产，使利润达到最大。用单纯形法求得最优解=（20，20）最优值=200（百元）问题：该厂提出如下目标（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；如何安排生产？例9-2：某车间有A、B两条设备相同的生产线，它们生产同一种产品。A生产线每小时可制造2件产品，B生产线每小时可制造1.5件产品。如果每周正常工作时数为45小时，要求制定完成下列目标的生产计划：（1）生产量达到210件/周；（2）A生产线加班时间限制在15小时内；（3）充分利用工时指标，并依A、B产量的比例确定重要性。例9-3：某电器公司经营的唱机和录音机均有车间A、B流水作业组装。数据见下表。要求按以下目标制订月生产计划：（1）库存费用不超过4600元；（2）每月销售唱机不少于80台；（3）不使A、B车间停工（权数由生产费用确定）；（4）A车间加班时间限制在20小时内；（5）每月销售录音机为100台；（6）两车间加班时数总和要尽可能小（权数由生产费用确定）；多目标优先级先将目标等级化：将目标按重要性的程度不同依次分成一级目标、二级目标…..。最次要的目标放在次要的等级中。目标优先级作如下约定：对同一个目标而言，若有几个决策方案都能使其达到，可认为这些方案就这个目标而言都是最优方案；若达不到，则与目标差距越小的越好。目标优先级作如下约定：不同级别的目标的重要性是不可比的。即较高级别的目标没有达到的损失，任何较低级别的目标上的收获都不可弥补。所以在判断最优方案时，首先从较高级别的目标达到的程度来决策，然后再其次级目标的判断。目标优先级作如下约定：同一级别的目标可以是多个。各自之间的重要程度可用数量（权数）来描述。因此，同一级别的目标的其中一个的损失，可有其余目标的适当收获来弥补。多目标规划解的概念：若多目标规划问题的解能使所有的目标都达到，就称该解为多目标规划的最优解；若解只能满足部分目标，就称该解为多目标规划的次优解；若找不到满足任何一个目标的解，就称该问题为无解。例9-4：（例9-1）一个企业需要同一种原材料生产甲乙两种产品，它们的单位产品所需要的原材料的数量及所耗费的加工时间各不相同，从而获得的利润也不相同（如下表）。那么，该企业应如何安排生产计划，才能使获得的利润达到最大？如何安排生产，使利润达到最大。前面已经求得最优解=（20，20）最优值=200（百元）问题：该厂提出如下目标（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；如何安排生产？对例4-1的问题，设超过一吨钢材与超过5个工时的损失相同。现有四个方案进行比较优劣？目标：（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；对于（1），只有方案4没有完成。排除方案4。对于（2），只有方案2达到了，因此方案2是最优。目标：（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；方案1与方案3都达到了（1），又没达到（2）方案1与（2）的差距：工时损失=（110-100）*5+（130-120）*1=60方案3与（2）的差距：工时损失=0*5+（190-120）*1=70方案1优于方案3。方案2优于方案1优于方案3优于方案4例9-4：继续上例目标：（1）利润达到280百元；（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；对于（1），三个方案都没有完成。但方案3离目标最远，方案3最差。方案1与（2）的差距：工时损失=（108-100）*5+（130-120）*1=50方案2与（2）的差距：工时损失=0*5+（160-120）*1=40方案2优于方案1方案2优于方案1优于方案39-2多目标规划问题的数学模型多目标的处理为了将不同级别的目标的重要性用数量表示，引进P1，P2，….,用它表示一级目标，二级目标，….，的重要程度，规定P1》P2》

P3》….。称P1，P2，….,为级别系数。约束方程的处理差异变量：决策变量x超过目标值b的部分记d+决策变量x不足目标值b的部分记d-d+

0,d-

0且x-d++

d-=b多目标的综合若决策目标中规定x

b,当d+=0时目标才算达到。多目标的综合若决策目标中规定x

b,当b+=0时目标才算达到。若决策目标中规定x

b,当d-=0时目标才算达到。多目标的综合若决策目标中规定x

b,当b+=0时目标才算达到。若决策目标中规定x

b,当b-=0时目标才算达到。若决策目标中规定x=b,当d+=d-=0时目标才算达到。例9-5（例9-4)解：引进级别系数P1：（1）利润达到280百元；P2：（2）钢材不超过100吨，工时不超过120小时；（权数之比5：1）数学模型：目标函数：MinS=P1d1-+P2(5d2++d3+)约束方程：

6X1+4X2+d1--d1+=2802X1+3X2+d2--d2+=1004X1+2X2+d3--d3+=120X1,X2,di-,di+

0(i=1,2,3)例9-6（例9-2)

某车间有A、B两条设备相同的生产线，它们生产同一种产品。A生产线每小时可制造2件产品，B生产线每小时可制造1.5件产品。如果每周正常工作时数为45小时，要求制定完成下列目标的生产计划：（1）生产量达到210件/周；（2）A生产线加班时间限制在15小时内；（3）充分利用工时指标，并依A、B产量的比例确定重要性。解：设A，B生产线每周工作时间为X1，X2。A，B的产量比例2：1.5=4:3目标函数：MinS=P1d1-+P2d2++4

P3d3-+3P3d4-约束方程：2X1+1.5X2+d1--d1+=210

（生产量达到210件/周）

X1+d2--d2+=60（A生产线加班时间限制在15小时内）

X1+d3--d3+=45

（充分利用A的工时指标）

X2+d4--d4+=45

（充分利用B的工时指标）

X1,X2,di-,di+

0(i=1,2,3,4)A，B的产量比例2：1.5=4:3目标函数：

MinS=P1d1-+P2d2++4

P3d3-+3P3d4-约束方程：2X1+1.5X2+d1--d1+=210X1+d2--d2+=60X1+d3--d3+=45X2

+d4--d4+=45X1,X2,di-,di+

0(i=1,2,3,4)例9-7(例9-3)：(1)库存费用不超过4600元；(2)每月销售唱机不少于80台；(3)不使A、B车间停工（权数由生产费用确定）；(4)A车间加班时间限制在20小时内；（5）每月销售录音机为100台；（6）两车间加班时数总和要尽可能小（权数由生产费用确定）；解：设每月生产唱机、录音机X1，X2台。且A、B的生产费用之比为100：50=2：1目标函数：MinS=P1d1++P2d2-+2

P3d4-+P3d5-+P4d41++P5d3-+P5d3++2P6d4++P6d5+约束方程：50X1+30X2+d1--d1+=4600

（库存费用不超过4600元）

X1+d2--d2+=80

（每月销售唱机不少于80台）

X2+d3--d3+=100

（每月销售录音机为100台）

2X1+X2+d4--d4+=180

（不使A车间停工）

X1+3X2+d5--d5+=200

（不使B车间停工）

d4++d41--d41+=20

（A车间加班时间限制在20小时内）

X1,X2,di-,di+,d41-,d41+

0(i=1,2,3,4,5)目标函数：MinS=P1d1++P2d2-+2

P3d4-+P3d5-+P4d41++P5d3-+P5d3++2P6d4++P6d5+约束方程：50X1+30X2+d1--d1+=4600X1+d2--d2+=80X2+d3--d3+=1002X1+X2+d4--d4+=180X1+3X2+d5--d5+=200d4++d41--d41+=20X1,X2,di-,di+,d41-,d41+

0(i=1,2,3,4,5)54目标规划的一般数学模型为

为权系数。

9-3多目标规划问题的求解多目标规划问题的图解法例4-8MinS=d1+X1+2X2+d1--d1+=10X1+2X2

6X1+X2

4X1,X2,d1-,d1+

0x1x204681021342X1+2X2

6x1x204681021342X1+X2

4x1x204681021342x1x204681021342x1x204681021342x1+2x2=105d1+d1-AB(2,2)x1x204681021342x1+2x2=105d1+d1-AB(2,2)当MinS=d1+达到时d1+=0x1x204681021342x1+2x2=105d1-AB(2,2)当MinS=d1+达到时d1+=0x1x204681021342x1+2x2+d1-=10d1-=25d1-AB(2,2)当MinS=d1+达到时d1+=0x1x204681021342x1+2x2+d1-=10d1-=45d1-AB(2,2)有无穷多解：点（0，3）和点（2，2）连线上的点都是最优解。(0,3)x1x204681021342x1+2x2+d1-=10d1-=65d1-AB(2,2)有无穷多解：点（4，0）和点（0，2）连线上的点都是最优解。(0,3)(4,0)(0,2)x1x204681021342x1+2x2+d1-=10d1-=75d1-AB(2,2)有无穷多解：点（1，1）和点（0，3/2）（3，0）连线上的点都是最优解。(0,3)(4,0)(1,1)例9-9MinS=P1d1-+P2d2++5

P3d3-+P3d1+X1+X2+d1--d1+=40X1+X2+d2--d2+=50X1+d3-=30X2+d4-=30X1,X2,dI-,dI+

0(I=1,2,3,4)x1x2020304050101030402050d1-d1+X1+X2=40x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-X1+X2=50x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-d3-X1=30x1x2020304050101030402050d1-d1+d2+d2-d3-d4-X2=30x1x2020304050101030402050d1+d2+d2-d3-d4-Mind1-=0可行域如图x1x2020304050101030402050d1+d2-d3-d4-Mind2+=0可行域如图x1x2020304050101030402050d1+d2-d4-Mind3-=0线段AB是可行域ABx1x2020304050101030402050d2-d4-Mind1+=0P=(30,10)唯一最优解。

d2-=10

d4-=20P例9-10

MinS=P1d1-+P2d2++

P3d3-+P3d4-5X1+10X2+d1--d1+=1002X1+X2+d2--d2+=14X1+d3--d3+=6X2+d4--d4+=10X1,X2,di-,di+

0(i=1,2,3,4)x1x20101520255515201025d1+d1-5X1+10X2=100x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-2X1+X2=14x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-d3+d3-X1=6x1x20101520255515201025d1+d1-d2+d2-d3+d3-d4+d4-X2=10x1x20101520255515201025d1+d2+d2-d3+d3-d4+d4-Mind1-=0x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d3-d4+d4-Mind2+=0可行域如图x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+d4-Mind3-=0可行域为空如图x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+Mind3-

0Mind4-=0可行域如图d3-(2,10)x1x20101520255515201025d1+d2-d3+d4+Mind3-=0Mind4-

0可行域为空如图d4-对于目标P1与目标P2很容易达到。目标P3的两个指标不能同时满足，否则无解。又因为P3中的两个目标同样重要，要讨论（1）Mind3-=0Mind4-

0原问题无解。（2）Mind3-

0Mind4-=0原问题(2,10)是次优解。例9-11

MinS=P1d1-+P1d2-X1+d1--d1+=154X1+5X2+d2--d2+=2003X1+4X2

120X1-2X2

15X1,X2,di-,di+

0(i=1,2)x1x2020304050101030402050d1+d1-X1=15x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-4X1+5X2=200x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-3X1+4X2

120x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-X1-2X2

15x1x2020304050101030402050d1+d1-d2+d2-x1x2020304050101030402050d1+d2+同时考虑d1-=0,d2-=0

原问题无解。9411.4层次分析法（AHP）1.问题的提出

例3.5设某企业拥有一笔资金，现有三种可能的投资去向：办实业、购买股票和存入银行．由于不同去向所冒风险大小不等，资金利润率不一样，资金周转快慢也不同．问如何选择投资去向才能得到最佳投资效益？

目标层G

准则层C

方案层P

权重

w1w2w3

投资效益风险C1

利润C2

周转C3

存款P3

股票P2

实业P1

952.层次分析法的基本原理

以特征向量方法为基础的数学原理．设有n件物体A1,A2,…,An；它们的重量分别为w1,w2,…,

wn．若将它们两两地比较重量，其比值可构成n

n阶矩阵A．若用重量向量右乘矩阵A，得到

96即AW=nW．

由正矩阵的有关理论可知，W为矩阵A的特征向量，n为矩阵A的特征值．

AHP法的基本思路：有一组与某一目标有关的因素，需要知道它们对目标影响程度，就可以把这些因素成对比较，构成比较判断矩阵，通过求解判断矩阵的最大特征值及其对应的特征向量，即可得到这些因素对目标影响的程度——权重．97根据正矩阵理论，可以证明若矩阵A（设aij=wi/wj）具有以下特点：

(1)aii=1(i=1,2,...,n)

(2)aij=1/

aji(i,j=1,2,...,n,i

j)

(3)aij=aik

/

ajk(或aik·akj)(i,j=1,2,...,n,i

j)

则该矩阵一定存在唯一的不为零的最大特征值

max，且

max=n．

若求解时所构造的完全具备上述三个特性，称矩阵完全满足一致性．但在实际问题中，在两两比较时，不可能做到判断的完全一致性而存在估计误差．必然导致特征值及特征向量也有偏差，变成

98为了避免使误差过大，需要检验的一致性．可用一致性比例指标CR来检验的一致性，其中，当

max=n

时，CI=0，为完全一致；RI的值如下：当CR

0.1时，认为判断矩阵一致性是可以接受的．阶数123456789RI0.000.000.580.901.121.241.321.411.46993.AHP法的基本步骤(1)建立递阶层次结构模型需要达到的目标类；判断好坏的准则类；解决问题的方案措施类．

(2)构造判断矩阵

判断同一层次的元素对上一级某一元素的影响程度，并将其定量化．元素aij表示对于元素Cs，Pi比Pj的相对重要程度的标度，即两两比较的比率的赋值．

Cs

P1P2...Pn

P1P2...Pn

a11a12...a1na21a22...a2n............an1an2...

ann

1001~9标度法：一个递阶层次结构，可以构建若干个判断矩阵，其数目是图中除最低一层以外的所有各层的元素之和．

在建立判断矩阵时，通常只遵守aii=1和aij=1/

aji两个条件，再按一致性检验方法进行检验．标度

aij

定义135792,4,6,8上列各数的倒数

同等重要略微重要明显重要强烈重要极端重要上述两相邻判断的中值反比较101(3)层次单排序及其一致性检验层次单排序：把本层所有各元素对相邻上一层元素来说排出一个权重次序，即求判断矩阵的特征向量

根据判断矩阵进行层次单排序的方根法：①先求判断矩阵中每行元素之积Mi：

②再求Mi的n次方根，得③然后对向量进行归一化，得得到特征向量．102层次单排序的一致性检验：①计算判断矩阵的最大特征根（值）：②计算③计算若判断矩阵不满足一致性条件（<0.1），则需修改．103(4)层次总排序及其一致性检验层次总排序：利用层次单排序的计算结果，进一步综合计算出对更上一层（或总目标层）的权重次序．

C层

P层

单排序元素及单排序

P层总排序

C1

C2…Cm

P1P2Pn

104层次总排序的一致性检验：当CR<0.10时，认为层次总排序结果具有满意的一致性，否则需要重新调整判断矩阵的元素取值．1054.实例分析某企业拟引进一台新设备，希望设备的功能强、价格低、维修容易，现有P1、P2、P3三种型号的设备可供选择，试运用层次分析法进行决策分析．(1)建立递阶层次结构模型目标层G

准则层C

方案层P

权重

w1w2w3

引进一台满意设备功能强C1

价格低C2

易维修C3

型号P3

型号P2

型号P1

106(2)构造判断矩阵

G-C判断矩阵对于总目标（G）来说，假设准则层（C）的优先次序是首先考虑要功能强（C1），其次要求易维修（C3），再次才考虑价格低（C2）．G

C1C2

C3

C1C2C3

1531/511/31/331Cs-P判断矩阵:

已知三种备选设备中的功能、价格和维修情况