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文档简介
一、矩阵秩的概念矩阵的秩例1解例2解例3解计算A的3阶子式，另解显然，非零行的行数为2，此方法简单！问题：经过变换矩阵的秩变吗？证二、矩阵秩的求法经一次初等行变换矩阵的秩不变，即可知经有限次初等行变换矩阵的秩仍不变．证毕初等变换求矩阵秩的方法：把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵，行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.例4解由阶梯形矩阵有三个非零行可知则这个子式便是的一个最高阶非零子式.例5解分析：例6:设已知R(A)=2,求
与
的值.解:r2-3r1r3–5r1Ar3-r2由R(A)=2,得即二、矩阵秩的性质性质1:0
R(Am
n)
min{m,n};性质2:
R(AT)
=
R(A);性质3:
若A
B,则R(A)
=
R(B);性质4:
若P,Q可逆,则R(PAQ)
=
R(A);性质5:
max{R(A),R(B)}
R(A
¦
B)
R(A)
+
R(B),特别当B
=
b时,R(A)
R(A
¦
b)
R(A)
+
1.证明:
由于A的最高阶非零子式当然是(A
¦
B)的非零子式,故R(A)
R(A
¦
B).同样R(B)
R(A
¦
B),故max{R(A),R(B)}
R(A
¦
B).设R(A)=r
,R(B)=t
.对A和B分别做列变换,化为列阶梯形矩阵A1和B1,则A1和B1中分别含有r
个和t
个非零列,A
A1=(a1,a2,···,ar
,0,···,0),B
B1=(b1,b2,···,bt
,0,···,0),设为从而(A
¦
B)
(A1
¦
B1),但是(A1
¦
B1)中仅有r+t个非零列,因此,R(A
¦
B)
=
R(A1
¦
B1)
r
+
t
=
R(A)
+R(B).性质6:
R(A
+
B)
R(A)
+
R(B).证明:
设A,B为m
n矩阵,对矩阵(A+B
¦
B)作列变换:ci
–cn+i(i=1,2,···,n)得,(A+B
¦
B)
(A+O
¦
B)
于是,R(A+B)
R(A+B
¦
B)=R(A+O
¦
B)
R(A)
+
R(B).性质7:
R(AB)
min{R(A),
R(B)}.性质8:
若Am
nBn
l=O,则R(A)+R(B)
n.这两条性质将在后面给出证明.例7:设A为n阶方阵,证明R(A+E)+R(A–E)
n.证明:
因为(A+E)+(E–A)=2E,由性质6知,R(A+E)+R(E–A)
R(2E)=n,而R(E–A)=R(A–E),R(A+E)+R(A–E)
n.所以
1.矩阵秩的概念
2.求矩阵秩的方法
(1)利用定义寻找矩阵中非零子式的最高阶数;(2)初等变换法把矩阵用初等行变换变成为行阶梯形矩阵,行阶梯形矩阵中非零行的行数就是矩阵的秩.三、小结3.矩阵秩的性质思考题思考题解答设A为任一实矩阵,R(ATA)与R(A)是否相等?相等.由此可知:Ax
=
O与ATAx
=
O同解.因为,对任一实列矩阵
x
O,当
Ax
=
O
时,必有ATAx
=
O,即(ATA)x
=
O.反之当(ATA)x
=
O时,有xT(ATA)x
=
0.即(Ax)T(Ax)=0.则
Ax
=
O.故,R(ATA)=R(A).注:三、小结(2)初等变换法1.
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