向量组线性相关与线性无关得判别方法

向量组线性相关与线性无关得判别方法

摘要向量组得线性相关性与线性无关性就就是线性代数中最为抽象得概念

之一，如何判别向量组得线性相关与线性无关就就是正确理解向量得关键，本文介

绍了她与行列式、矩阵、线性方程组得解之间得美系、总结了向量组线性相关和

线性无关得判定方法、

关键词向量组线性相关线性无关矩阵秩

1引言

在高等代数中，向量组得线性相关和线性无关得判定这个课题有许多得研究

成果，她与行列式，矩阵，线性方程组得解,二次型，线性变换以及欧式空间都有着重

要得联系，然而向量得线性相关与线性无关得判别就就是比较抽象和难以理解得,

实际上，向量组得线性相关与线性无关就就是相对得,我们只要掌握了线性相关得

判别,那么线性无关得判别也就迎刃而解了，至今已给出了以T几种常见得方法：

利用定义法判断，利用齐次线性方程组得解判断，利用矩阵得秩判断，利用行列式

得值判断等、其中，利用齐次线性方程组，利用矩阵得秩，利用行列式得值这三种方

法得出发点不同但实质就就是一样得、

2向量组线性相关和线性无关得定义

定义设向量组4”都为〃维向量，如果数域P中存在一组不全为零

得数勺,22…仁”，使Ka+右。2+&%+…+心。”,=o则称向量组就就是线性相关,

反之，若数域尸中没有不全为零得数匕&…km，使

ka

攵乌+k2a2++…+mm=0，

称她就就是线性无关、

3向量组线性相关和线性无关得判定方法

3、1一个向量与两个向量线性相关得判定方法

由定义可以看出，零向量得任何一个线性组合为零，只要取系数不为零，即可以

得出这个向量就就是线性相关得、

命题1一个向量线性相关得充分条件就就是她就就是一个零向量、

关于两个向量得线性相关性判断可以转化为向量得成比例判断、

命题2两个〃维向量a=（4,…（仿也…4）线性相关得

充要条件就就是《与=1,2…〃）对应成比例、

证明假设a=（《.&也…〃,）线性相关,则存在不全为。得数

k1,k2，使得尢。+k用=0,即匕。=一鼠/，不妨设！工0,令Z=-殳则

…a）=1g,k%・kb）

因此q=kb卜=1,2…〃）也就就就是说《•与b*=1,2…〃）成比例、

、

反过来，若.=她々=1,2,a-幼=0,所以a,夕线性相关、

3、2多个向量得线性相关与线性无关判别方法

命题3若向量组n线性相关，则任一包含这组向量得向量组都

线性相关、

证明设即线性相关,就就是包含

得一组向量，由于%,出,…0”线性相关，则存在一组不全为零得数

匕,22…心使得Ka\+k2a2+23a3+…+k/m=。此时有

k\%+k?a?++…+鼠。愣+0。州+1+…+Oa〃,+s=0，

因此,4,a2,…,a.,a……,a”,+s线性相关、证毕、

由命题3可知,在多个向量构成得向量组中，如果该向量组中含有零向量或包

含成比例得两向盘，那么这个向量组必定线性相关、

命题4含有零向量或成比例得两向量得向量组必线性相关、

3、2、1运用定义判定

由定义判断向量组得线性相关性就就是最直接得方法,于就就是我们知道若

想判断一个向量组得线性相关性只要求出线性表示得相关系数，并由系数得值便

可以判断出向量组就就是否线性相关、

例1设力=。］+%，片=%+%，…，&-1=%“+%”，证明，当为偶数

时，为%…瓦线性相关、

证明令左典+工四+公凤+…&乩=°，即

4（4+%）+右（生+?）+…+⑥（6”+4）=0

又即

（K+k,0M+（七++…+（尤”+k~\=0

取

%=%='・♦=心T=1，.=.=…=%=-1

则有

kS+kF/k'd+…+k邛『b

、

由线性相关得定义知，川,A,…,pm线性相关、

3、2、2用向量组得秩和矩阵得秩判断

向量组得秩就就是指向量组中任一个极大无关组所含得向量个数、

命题5一个向量组线性无关得充要条件就就是她得秩与她所含得向量

得个数相同、

若向量组得秩等于向量得个数，则该向量组就就是线性无关得，若向量组得

秩小于向量得个数，则该向量组就就是线性相关得、

例2设向量组4=（2,-1,3,1）,%=（4,-254）,%=（2,-1,4,-1）,判断%,%，。3

得线性相关性、

解

kq】+k2a2+k3a3=（24+4他+2%，-k「2k2-%,3攵।+Sk2+4&,4+4k2-kj=（0,0,0,0）

得£=k2=匕=0,于就就是四,%，火线性无关、

例3设向量组名,%，…，%,线性无关，且可由向量组夕］，62,…，&线性表示、

证明:历川2,…，色也线性无关，且与G，%，…，?等价、

证明如果阮氏・…，力〃线性相关，假设4,四，…，瓦就就是她得一个极大无

关组，如果r=小，就说明了笈,人,…,凡就就就是她本身得极大无关组，当然就就是

线性无关得，出现矛盾！下面考虑厂<"2、又因为向量组a,”可由

4,人，…,以线性表示，则%，见，…，％”也可由回，外,…，见线性表示，于就就是有

〃7少,矛盾！

由于凡A，…,凡线性无关，则R(0\，阮…，0〃)=m,又a1,a2,am可由

4,人，…,以线性表示,所以，

机，夕2,…，4｝生｛%，%，…，斯，4,夕2,…，&｝等价，所以

M%,%,…,CCm，仇,仇,…，。")=m、

于就就是即。2,…，a,”和4,42,…，乩都就就是｛%，%，…，?”，*夕2,…，人｝得

极大无关组、所以她们就就是等价得,证毕、

命题6设%,%，,•,，巴”为〃维列向量，矩阵4=(四,a,”)、

(i)当R(A)<〃7时,向量组％,线性相关；

(ii)当R(A)=〃z时,向量组a，%，…M线性无关、

例4判断向量组

T

%=(2,1,0,5)\a2=(7,-5,4,-1),%=(3,T4,-11),线性相关性、

解利用矩阵得初等行变换将方程组得系数矩阵A化为行阶梯形矩阵

2731-5-71-5-71-5-7

1-5-7273011011

A=->一->

044044011000

_5-1-11..5-1-11__011._000

由行阶梯形矩阵知/，（力）=2<3,所以向量组4就就是线性相关得、

上面就就是以%,%，%为列向量组构造矩阵,根据矩阵得行秩与列秩得关系,

用名,%，%为行向量组构造矩阵，在进行初等行或者列变换也可以得到相同得结

果、

3、2、3利用行列式得值判断

命题7若

%=（“11，412，••,，4"），。2=（。21，。22，••,，），,,,，。”=（“Il，an2，.’’，，以，。2，‘’’，作

为列向量构成得矩阵4=（四,。2,…，a”）就就是一个方阵,

"的…为」

A_a\2a22…""2

Zl=

•

_a\na2n…a,m_

（i）当网=（）时，向量组。“线性相关、

（ii）当IN-0时，向量组%%,...%线性无关、

例5设e=（1,1,J,%=（1，2,3）T,%=（1,3,/问「取何值时，向量

组%,出,%线性相关、

解向量组区,%，%得个数和维数相等都为3,

|/4=|123=t-5

13t

可见当f=5时M=0,所以向量组区,出,。3线性相关、

3、2、4利用齐次线性方程组得解判断

对于?=(即，的，…，%),&2=(42，%2,…，/I,，«”=(即〃，%\一，《加)|得线

性相关判断

命题8若a,〃为系数向量得齐次线性方程组

匹%+x2a2十…十-0有非零解，则向量组»线性相关，若该齐次线

性方程组只有零解，则向量组

%，%，…，%n线性无关、

例6已知%=(1,1,1),%=(1,2,3),%=(1,3")

(i)当t为何值时,向量组q,%,火线性无关？

(ii)当Z为何值时,向量组q,%,%线性相关？

(iii)当向量组囚,“2，。3线性相关，将鬼表示为%和火得线性组合、

解设有实数土,X2，七使与冈+戈3%=。则5r以得到方程组

X1+工2+=0

+2X2+3X3=0

%+2X2+%=°

111

其系数行列式D=123

13t

(i)当，工5时，。工0,方程组只有零解，即玉二工2=工3=0,这时,向量组％，。2，。3线

性无关、

(ii)当，=5时。=0方程组有非零解,即存在不全为零得数，芭,x2,x3使，

x}a]+x2a2+x3a3=0

此时%,心，4线性相关，

1

(iii)当，=5时，由2302止匕时有

3500

内一刍二0

x2-2X3=0

令％=1,%=2，有%-2%+%=0从而％可由4,%,表示

a.J=-a1,+2a4.,.

在运用定义法，秩得判别方法,齐次线性方程组和行列式法得时候，她们之间

三既有联系又有区别得，联系就就是，运用定义法时，要解一个齐次线性方程组，由

该方程组就就是否有非零解判定向量组得线性相关性,在运用定义法得同时，也运

用了判别齐次线性方程组得有无非零解法,如上述例子中，秩法和判别齐次线性方

程组有无非零解法得出发点不同，但就就是实质也就就是一样得，都就就是要利用

矩阵得初等行变换将相应得矩阵化为阶梯形矩阵，从而分别求出向量组得秩与系

数矩阵得秩,然后再做判断，如行列式法实质J-就就是根据克莱姆法则判别以向量

组各向量作为系数向量得齐次线性方程组有无非零解，所以能运用行列式法进行

判定时，也可以用秩法和判别齐次线性方程组有无非零解法、区别就就是,适用得

前提条件不同，定义法适用于各分量均未具体给出得向量组;秩法和判别齐次线性

方程组有无非零解法适用于各分量都具体给出得向量组，行列式法适用于各分量

都具体给出且向量组中向量得个数与向量得维数相等得向量组，因此，在对向量组

得线性相关性进行判定时，要根据题设条件适当选择判定方法、

以上就就是从向量组得分量就就是否具体绐出两个大得方面介绍了向量组

线性相关性相关性得判断方法，由此可见，如果向量组得分量就就是具体给出得,

则判断向量组线性相关性就就是比较简单得，总可用方程组得解，矩阵得秩和行列

式得值得方法来判断，如果向量组得分量就就是没有具体给出吃得,则熟练理解和

掌握向量组线性相关性得定义，定理，等知识就就是解题得必要条件，要灵活运用

向量组线性相关性得定义，定理等知识和技巧才有助于提高分析解决问题得能

力、

3、2、5用反证法

在有些题目中，直接证明结论有时候比较困难,而从结论得反面入手却很容

易推出一些与已知条件或已知定义，定理，公理，相矛盾得结果，从而结论得反面不

成立,则结论成立、

例7设向量组四,出，…,4”中任一向量见不就就是她前面向量得

线性组合，且％工0证明向量组,线性无关、

证明假设向量组4,a,”线性相关，则存在不全为零得数

K=%2=&=…二尤”使得,

女臼+k2a2+砥氏+…+=0,错误!未

定义书签。

不妨设匕”工0由上式可得,

k,a.k必k、

(I=--!—!-------=--...---i

m

KkniKkm

即区”可以由她前面〃Ll个向量线性表示，这与题设矛盾,因此心=()于就就

、

是错误!式转化为:四+k2a2+k3a3+…+k,”7am7=0,

类似于上面得证明可得配1=除_2=…=&二。

式转化为占%工0,但％工0,所以K工0这与k\=k?=~=km

不全为零得假设相矛盾，所以向量组线性无关、

3、2、6运用相关结论判定

定理1向量以,02,…,a”(n>2)线性相关得充要条件就就是这〃个向量中

得一个为其余〃-1个向量得线性组合、

例8判断向量组%=(0,3,1,-1),4=(6,0,5,1),%=(4,-7,1,3)就

就是否线性相关？

解将以行排成矩阵

031-1274-2

J=6051T031-1

4-7130000

矩阵A化为阶梯形矩阵后出现零行，则%,出,中必有一向量能被其余

剩下得向量线表示，故由定理1知,向量组四,％,线性相关、

我们注意到，例9中得矩阵4在初等行变换得过程中，不论就就是否化成了阶

梯型矩阵,一旦出现零行，就可以断定囚,。2,…，％中必有一个向量能被其余剩下

得〃-1个向量线性表示，从而向量组线性相关、

定理2一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得

到得新向量组仍线性无关、

例9判断向量组：%二(1,2,4,O,1)T,=(0,1,8,1,2)T,%=

(0,2,3,0,5)丁得线性相关性、

解取四=(1,0,0)丁,夕2=(0,L1)=A=(0,2,0)二因为由人仇，仇为列向

量得行列式不为零，所以向量组4,人,凡线性无关，从而在相同位置上增加了两个

分量后所得向量组%,阳，％就就是线性无关得、

定理3任意〃+1个〃维向量必线性相关、

定理4如果向量组四,%,小，…%,可由向量组仇,仇,…,反线性表示,

若，72>S,则…线性相关、

证明设…+x“a”=。，由已知可知

%=k\F、+—+…+ksips=£k/N=l…

/=•

带入上式可得

sms（m、

=£2&产//=£^^jixiPj

j=\1=1j=\\i=l7

要证明4，/M，…q”线性相关，只需证明存在不全为零得数

%"2,…3使得

玉%+x2a2+…+兀°“=0成立,即只要存在不全为零得数X,电，…，x〃使得

叫〃7（$!MS（叫、

£苦a=£%=2£&科句=££人》%pj

r=li=1\j=\yy=lZ=lj=\\1=1）

中得每一个4前将系数均为零即可、

要使每个月前面得系数为零，则可得到,

占自+匕2%+…+髭»切=0

卷内+&2々+•,•+”»（）

4/+&2/+3+4N人机=0

因为m>s即，方程组得个数小于未知量得个数，得到方程组有非零解，所以

卬,%，生，…品线性相关、

定理5如果向量组P\,02,…,B,可以由。］,%，。3广，区线性表示为且

即%，%，…%就就是线性无关得，设4=£%/，）=12…，厂

；=1

如《2…a\r

_a2\a22a2r

ar\〃，2…arr

若网工0则。，尸2,…，瓦线性无关、

证明设占用+&凤+…+L4=0,

将Pi=Z=。必+《2%+…+*a,GT2••厂)代入上式，得

;=|

(4£+生#2+…+ar\k,H+(。12匕+。22&+…+q2&r卜2+…++生见+…+段.=0

由%，见，。3,…凡线性无关，得

+。2/2+•*•+%(=。

%2匕+a22k2+♦••+ak=0

Vr2r

q£+生也+…+”r=o

则应，22,pr线性无关，所以系数全为零,即方程组只有零解，

«ii%…%

〃12〃22•一可2

a\r%…arr

得证！

例10设4=%,。2=%十％，…，以=%+%4..+%且向量组四，

线性无关，求向量组片,人,…，凡得线性相关性、

解因为夕I，夕2,…，瓦由四。2，。3,…%线性表示,由定理5可得，

H..=0：…I­…••1：=1*°

0…01

因为即见，％，…%线性无关，且网工。所以4,夕2,…，氏线性无关、

结束语

本文着重介绍了向量组线性相关和线性无关得判定方法，总介绍定义入手，介

绍了她与行列式，矩阵，线性方程组得解,二次型，线性变换以及欧式空间得重要联

系，深入了解各种方法在解决向量组线性相关和线性无关得解题中得要领,掌握方

法本质，最