华中师范大学《数学分析》课件-第1章极限

华中师范大学《数学分析》第一章极限一、集合二、映射三、函数§1.1映射与函数上页下页铃结束返回首页1.集合集合集合是指具有某种特定性质的事物的总体.

集合可用大写的字母A,B,C,D等标识.元素组成集合的事物称为集合的元素.

集合的元素可用小写的字母a,b,c,d等标识.

a是集合M的元素记为a

M,读作a属于M.

a不是集合M的元素记为a

M,读作a不属于M.一、集合下页集合的表示列举法

把集合的全体元素一一列举出来.

例如A

{a,b,c,d,e,f,g}.描述法

若集合M是由元素具有某种性质P的元素x的全体所组成,则M可表示为

M

{x|x具有性质P}.

例如M

{(x,y)|x,y为实数,x2

y2

1}.下页几个数集所有自然数构成的集合记为N,称为自然数集.

所有实数构成的集合记为R,称为实数集.

所有整数构成的集合记为Z,称为整数集.

所有有理数构成的集合记为Q,称为有理集.子集如果集合A的元素都是集合B的元素,则称A是B的子集,记为A

B(读作A包含于B).A

B

若x

A,则x

B.

显然,N

Z,Z

Q,Q

R.下页2.集合的运算

设A、B是两个集合,则

A

B

{x|x

A或x

B}称为A与B的并集(简称并).

A

B

{x|x

A且x

B}称为A与B的交集(简称交).A\B

{x|x

A且x

B}称为A与B的差集(简称差).AC

I\A

{x|x

A}为称A的余集或补集,其中I为全集.提示:

如果研究某个问题限定在一个大的集合I中进行,所研究的其他集合A都是I的子集.则称集合I为全集或基本集.下页集合运算的法则

设A、B、C为任意三个集合,则有

(1)交换律A

B

B

A,

A

B

B

A;(2)结合律(A

B)

C

A

(B

C),(A

B)

C

A

(B

C);(3)分配律(A

B)

C

(A

C)

(B

C),(A

B)

C

(A

C)

(B

C);(4)对偶律(A

B)C

AC

BC,(A

B)C

AC

BC.(A

B)C

AC

BC的证明下页所以(A

B)C

AC

BC.

x

AC

BC,

x

AC且x

BC

x

A

B

x

A且x

B

x

(A

B)C直积(笛卡儿乘积)

设A、B是任意两个集合,则有序对集合

A

B

{(x,y)|x

A且y

B}称为集合A与集合B的直积.

例如,R

R

{(x,y)|x

R且y

R}即为xOy面上全体点的集合,R

R常记作R2.

下页

数集{x|a<x<b}称为开区间,记为(a,

b),即(a,

b)={x|a<x<b}.[a,b]={x|a

x

b}——闭区间.[a,b)={x|a

x<b}——半开区间,(a,b]={x|a<x

b}——半开区间.有限区间

上述区间都是有限区间,其中a和b称为区间的端点,b-a称为区间的长度.下页3.区间和邻域(-

,b]={x|x

b},(-

,+

)={x||x|<+

}.[a,+

)={x|a

x},无限区间(-

,b)={x|x<b},(a,+

)={x|a<x},下页3.区间和邻域邻域以点a为中心的任何开区间称为点a的邻域,记作U(a).

设

>0,则称

U(a,

)=(a-

,a+

)={x||x-a|<

}为点a的

邻域,其中点a称为邻域的中心,

称为邻域的半径.去心邻域U(a,

)={x|0<|x-a|<

}.。首页二、映射1.映射的概念

设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作

f:X

Y.

定义

y称为元素x(在映射f下)的像,并记作f(x),即y

f(x),X中所有元素的像所组成的集合称为映射f的值域,记为Rf,或f(X),即

Rf

f(X)

{f(x)|x

X}.元素x称为元素y(在映射f下)的一个原像;集合X称为映射f的定义域,记作Df,即Df

X.下页二、映射1.映射的概念

设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作

f:X

Y.

定义(1)构成一个映射必须具备以下三个要素:集合X,即定义域Df

X;集合Y,即值域的范围:Rf

Y;对应法则f,使对每个x

X,有唯一确定的y

f(x)与之对应.需要注意的问题下页二、映射1.映射的概念

设X、Y是两个非空集合,如果存在一个法则f,使得对X中每个元素x,按法则f,在Y中有唯一确定的元素y与之对应,则称f为从X到Y的映射,记作

f:X

Y.

定义需要注意的问题(2)对每个x

X,元素x的像y是唯一的;而对每个y

Rf,元素y的原像不一定是唯一的;映射f的值域Rf是Y的一个子集,即Rf

Y,不一定Rf

Y.下页说明:Rf

是R的一个真子集.

对于Rf中的元素y,除y

0外,它的原像不是唯一的.如y

4的原像就有x

2和x

2两个.

例1

设f:R

R,对每个x

R,f(x)

x2.

f是一个映射,f的定义域Df

R,值域Rf

{y|y

0}.

例2设X

{(x,y)|x2

y2

1},Y

{(x,0)||x|

1},f:X

Y,对每个(x,y)

X,有唯一确定的(x,0)

Y与之对应.

f是一个映射,f的定义域Df

X,值域Rf

Y.说明:

在几何上,这个映射表示将平面上一个圆心在原点的单位圆周上的点投影到x轴的区间[

1,1]上.下页

例1

设f:R

R,对每个x

R,f(x)

x2.

f是一个映射,f的定义域Df

R,值域Rf

{y|y

0}.

例2设X

{(x,y)|x2

y2

1},Y

{(x,0)||x|

1},f:X

Y,对每个(x,y)

X,有唯一确定的(x,0)

Y与之对应.

f是一个映射,f的定义域Df

X,值域Rf

Y.

例3f(x)

sinx.下页满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.若Rf

Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1

x2,它们的像f(x1)

f(x2),则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射).讨论:

下述三个映射各是什么映射？(1)f:R

R,对每个x

R,f(x)

x2.(2)设X

{(x,y)|x2

y2

1},Y

{(x,0)||x|

1},f:X

Y,对每个(x,y)

X,有唯一确定的(x,0)

Y与之对应.下页满射、单射和双射设f是从集合X到集合Y的映射.若Rf

Y,即Y中任一元素y都是X中某元素的像,则称f为X到Y上的映射或满射;若对X中任意两个不同元素x1

x2,它们的像f(x1)

f(x2),则称f为X到Y的单射;若映射f既是单射,又是满射,则称f为一一映射(或双射).讨论:

下述三个映射各是什么映射？下页2.逆映射与复合映射

设f是X到Y的单射,则由定义,对每个y

Rf,有唯一的x

X,适合f(x)

y,于是,我们可定义一个从Rf

到X的新映射g,即

g:R

f

X,对每个y

Rf,规定g(y)

x,这x满足f(x)

y.这个映射g称为f的逆映射,记作f

1,其定义域为Rf,值域为X.逆映射讨论:

下述三个映射是否存在逆映射？(1)f:R

R,对每个x

R,f(x)

x2.(2)设X

{(x,y)|x2

y2

1},Y

{(x,0)||x|

1},f:X

Y,对每个(x,y)

X,有唯一确定的(x,0)

Y与之对应.下页2.逆映射与复合映射

设f是X到Y的单射,则由定义,对每个y

Rf,有唯一的x

X,适合f(x)

y,于是,我们可定义一个从Rf

到X的新映射g,即

g:Rf

X,对每个y

Rf,规定g(y)

x,这x满足f(x)

y.这个映射g称为f的逆映射,记作f

1,其定义域为Rf,值域为X.逆映射讨论:

下述三个映射是否存在逆映射？下页说明:

映射g和f构成复合映射的条件是:g的值域Rg必须包含在f的定义域内,Rg

Df.否则,不能构成复合映射.说明:

映射的复合是有顺序的,fo

g有意义并不表示go

f也有意义.即使它们都有意义,fo

g与go

f也未必相同.2.逆映射与复合映射

设有两个映射g:X

Y1,f:Y2

Z,其中Y1

Y2.则由映射g和f可以定出一个从X到Z的对应法则,它将每个x

X映射成f[g(x)]

Z.显然,这个对应法则确定了一个从X到Z的映射,这个映射称为映射g和f构成的复合映射,记作f

o

g,即

fo

g:X

Z,(fo

g)(x)

f[g(x)],x

X.复合映射下页

例4

设有映射g:R

[

1,1],对每个x

R,g(x)

sinx,则映射g和f构成复映射fo

g:R

[0,1],对每个x

R,有首页说明:

记号f和f(x)的区别:前者表示自变量x和因变量y之间的对应法则,而后者表示与自变量x对应的函数值.说明:

为了叙述方便,常用记号“f(x),x

D”或“y

f(x),x

D”来表示定义在D上的函数,这时应理解为由它所确定的函数f.说明:

函数的记号是可以任意选取的,除了用f外,还可用“g”、“F”、“

”等,此时函数就记作y

g(x)、y

F(x)、y

(x)等.

但在同一问题中,不同的函数应选用不同的记号.

三、函数

设数集D

R,则称映射f:D

R为定义在D上的函数,通常简记为

y

f(x),x

D,其中x称为自变量,y称为因变量,D称为定义域,记作Df,即Df

D.1.函数概念定义下页

构成函数的要素是定义域Df及对应法则f.

如果两个函数的定义域相同,对应法则也相同,那么这两个函数就是相同的,否则就是不同的.函数的两要素

函数的定义域通常按以下两种情形来确定:

对有实际背景的函数,根据实际背景中变量的实际意义确定.函数的定义域

对抽象地用算式表达的函数,其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合,这种定义域称为函数的自然定义域.求函数的定义域举例>>>下页单值函数与多值函数在函数的定义中,对每个x

D,对应的函数值y总是唯一的,这样定义的函数称为单值函数.

如果给定一个对应法则,按这个法则,对每个x

D,总有确定的y值与之对应,但这个y不总是唯一的,我们称这种法则确定了一个多值函数.

例如,由方程x2

y2

r2确定的函数是一个多值函数:下页

此多值函数附加条件“y

0”后可得到一个单值分支下页

表示函数的主要方法有三种:表格法、图形法、解析法(公式法).

用图形法表示函数是基于函数图形的概念,坐标平面上的点集

{P(x,y)|y

f(x),x

D}称为函数y

f(x),x

D的图形.函数的表示法

此函数称为绝对值函数,其定义域为D=(-

,+

),其值域为Rf

=[0,+

).

例6

例5

函数y=2.

这是一个常值函数,其定义域为D=(-

,

+

),其值域为Rf

={2}.下页函数举例

此函数称为符号函数,其定义域为D=(-

,+

),其值域为Rf

={-1,0,1}.

例8

函数y=[x].

例7

下页注:

设x为任上实数,不超过x的最大整数称为x的整数部分,记作[x].

此函数称为取整函数,其定义域为D=(-

,+

),其值域为Rf

=Z.

例9

此函数的定义域为D=[0,1]

(0,+

)=[0,+

).

f(3)=1+3=4.分段函数在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.下页

设函数f(x)的定义域为D,数集X

D.

如果存在数K1,使对任一x

X,有f(x)

K1,则称函数f(x)在X上有上界.(1)函数的有界性

如果存在数K2,使对任一x

X,有f(x)

K2,则称函数f(x)在X上有下界.

如果存在正数M,使对任一x

X,有|f(x)|

M,则称函数f(x)在X上有界;如果这样的M不存在,则称函数f(x)在X上无界.下页2.函数的几种特性f(x)=sinx在(-

,+

)上是有界的:

|sinx|

1.所以函数无上界.下页函数的有界性举例

设函数y=f(x)在区间I上有定义,

x1及x2为区间I上任意两点,

且x1<x2.

如果恒有f(x1)<f(x2),则称f(x)在I上是单调增加的.(2)函数的单调性

如果恒有f(x1)>f(x2),则称f(x)在I上是单调减少的.

单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.

下页

设函数f(x)的定义域D关于原点对称,

如果在D上有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.

如果在D上有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.(3)函数的奇偶性奇偶函数举例

y=x2,

y=cosx都是偶函数.

y=x3,

y=sinx都是奇函数.下页奇函数的图形对称于原点偶函数的图形对称于y轴奇偶函数的图形特点下页

设函数f(x)的定义域D关于原点对称,

如果在D上有f(-x)=f(x),则称f(x)为偶函数.

如果在D上有f(-x)=-f(x),则称f(x)为奇函数.(3)函数的奇偶性(4)函数的周期性

设函数f(x)的定义域为D.如果存在一个不为零的数l,使得对于任一x

D有(x

l)

D,且f(x+l)=f(x),则称f(x)为周期函数,l称为f(x)的周期.周期函数的图形特点下页下页3.反函数与复合函数反函数设函数f:D

f(D)是单射,则它存在逆映射

f

1:f(D)

D,称此映射f

1为函数f的反函数.

按习惯,y

f(x),x

D的反函数记成y

f

1(x),x

f(D).

例如,函数y

x3,x

R是单射,所以它的反函数存在,其反函数为

函数y

x3,x

R的反函数是提问:下列结论是否正确？3.反函数与复合函数反函数设函数f:D

f(D)是单射,则它存在逆映射

f

1:f(D)

D,称此映射f

1为函数f的反函数.

按习惯,y

f(x),x

D的反函数记成y

f

1(x),x

f(D).

若f是定义在D上的单调函数,则f:D

f(D)是单射,于是f的反函数f

1必定存在,而且容易证明f

1也是f(D)上的单调函数.下页

相对于反函数y

f

1(x)来说,原来的函数y

f(x)称为直接函数.

函数y

f(x)和y

f

1(x)的图形关于直线y

x是对称的.3.反函数与复合函数反函数设函数f:D

f(D)是单射,则它存在逆映射

f

1:f(D)

D,称此映射f

1为函数f的反函数.

按习惯,y

f(x),x

D的反函数记成y

f

1(x),x

f(D).下页3.反函数与复合函数

设函数y

f(u)的定义域为D1,函数u

g(x)在D上有定义且g(D)

D1,则由

y

f[g(x)],x

D确定的函数称为由函数u

g(x)和函数y

f(u)构成的复合函数,它的定义域为D,变量u称为中间变量.复合函数

函数g与函数f构成的复合函数通常记为f

o

g,即

(f

o

g)(x)

f[g(x)].说明:g与f构成的复合函数f

o

g的条件是:是函数g在D上的值域g(D)必须含在f的定义域Df内,即g(D)

Df.否则,不能构成复合函数.

例如>>>下页4.函数的运算

设函数f(x),g(x)的定义域依次为D1,D2,D

D1

D2

,则可以定义这两个函数的下列运算:

和(差)f

g:(f

g)(x)

f(x)

g(x),x

D;

积f

g:(f

g)(x)

f(x)

g(x),x

D;下页

例10

设函数f(x)的定义域为(

l,l),证明必存在(

l,l)上的偶函数g(x)及奇函数h(x),使得f(x)

g(x)

h(x).提示:

如果f(x)

g(x)

h(x),则f(

x)

g(x)

h(x),于是

证

则f(x)

g(x)

h(x),且下页基本初等函数幂函数:y

x

(

R是常数);

指数函数:y

a

x(a

0且a

1);

对数函数:y

loga

x(a

0且a

1),

特别当a

e时,记为y

lnx;

三角函数:y

sinx,y

cosx,y

tanx,y

cotx,y

secx,y

cscx;5.初等函数下页

反三角函数:y

arcsinx,y

arccosx,

y

arctanx,y

arccotx.>>>5.初等函数初等函数

由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.都是初等函数.

例如,函数下页双曲函数应用上常遇到的双曲函数是:双曲正弦:双曲余弦:双曲正切:下页双曲函数与反双曲函数双曲函数与反双曲函数双曲函数的性质比较sin(x

y)=sinxcosy

cosxsiny.sh(x

y)=shxchy

chxshy,>>>

ch2x-sh2x=1,ch(x

y)=chxchy

shxshy,sh2x=2shxchx,ch2x=ch2x+sh2x.比较cos(x

y)=cosxcosysinxsiny.

下页双曲函数与反双曲函数反双曲函数

双曲函数

y=shx,y=chx,y=thx的反函数依次记为反双曲正弦:y=arshx,

反双曲余弦:y=archx,

反双曲正切:y=arthx.可以证明结束>>>一、数列极限的定义二、收敛数列的性质§1.2数列的极限上页下页铃结束返回首页一、数列极限的定义引例如可用渐近的方法求圆的面积S？用圆内接正多边形的面积近似圆的面积S.下页A1A2A3A1表示圆内接正6边形面积,A2表示圆内接正12边形面积,A3表示圆内接正24边形面积,An表示圆内接正6

2n-1边形面积,

,

.

显然n越大,An越接近于S.

因此,需要考虑当n

时,An的变化趋势.数列如果按照某一法则,对每一n

N

,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

下页数列举例:2,4,8,

,2n

,

;

1,

-1,1,

,(-1)n+1,

.

x1x5x4x3x2xn数列{xn}可以看作数轴上的一个动点,

它依次取数轴上的点x1,

x2,

x3,

,

xn

,

.

数列的几何意义数列如果按照某一法则,对每一n

N

,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

下页数列{xn}可以看作自变量为正整数n的函数:xn=f(n),

n

N

.

数列与函数数列如果按照某一法则,对每一n

N

,对应着一个确定的实数xn,

则得到一个序列

x1,

x2,

x3,

,

xn

,

,这一序列叫做数列,记为{xn},

其中第n项xn叫做数列的一般项.

下页例如当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则常数a称为数列{xn}的极限,或称数列{xn}收敛a,记为下页数列极限的通俗定义当n无限增大时,

xn无限接近于a

.

当n无限增大时,

|xn-a|无限接近于0.

当n无限增大时,|xn-a|可以任意小,要多小就能有多小.

当n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数.分析因此,如果n增大到一定程度以后,|xn-a|能小于事先给定的任意小的正数,则当n无限增大时,

xn无限接近于常数a.当n无限增大时,如果数列{xn}的一般项xn无限接近于常数a,

则数列{xn}收敛a.下页>>>数列极限的精确定义设{xn}为一数列

如果存在常数a

对于任意给定的正数e

总存在正整数N

使得当n>N

时

不等式|xn

a|<e都成立

则称常数a是数列{xn}的极限

或者称数列{xn}收敛于a

记为如果不存在这样的常数a

就说数列{xn}没有极限

下页

0,

N

N

当n

N时

有|xn

a|

.极限定义的简记形式aa-ea+e()数列极限的几何意义

0,

N

N

当n

N时

有|xn

a|

.下页存在

N

N

当n<N时

点xn一般落在邻域(a-e,

a+e)外:当n>N时

点xn全都落在邻域(a-e,

a+e)内:任意给定a的e邻域(a-e,

a+e),分析:

例1

证明

下页

0,

N

N

当n

N时

有|xn

a|

.

例2分析:证明下页

0,

N

N

当n

N时

有|xn

a|

.分析:

例3设|q|<1,

证明等比数列1,

q

,

q2,

,

qn-1,

的极限是0.

对于

0,

要使|xn-0|=|qn-1-0|=|q|n-1<e

,只要n>log|q|e

+1就可以了.|qn-1-0|=|q|n-1<e,当n

N时,有因为

0,证明

下页

N=[log|q|e+1]

N

0,

N

N

当n

N时

有|xn

a|

.对于某一正数e

0

如果存在正整数N

使得当n

N时

有|xn

a|

e0

是否有xn

a(n

)

讨论首页

0,

N

N

当n

N时

有|xn

a|

.二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛

那么它的极限唯一

使当n>N时,同时有因此同时有这是不可能的.所以只能有a=b.

证明

下页注:

如果

M

0,使对

n

N

有|xn|

M,

则称数列{xn}是有界的;如果这样的正数M不存在,就说数列{xn}是无界的

下页二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛

那么它的极限唯一

定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛

那么数列{xn}一定有界

>>>1

如果数列{xn}收敛,那么数列{xn}一定有界

发散的数列是否一定无界?有界的数列是否收敛?2

数列1,

1,1,

1,

,(

1)N

1,

的有界性与收敛如何？讨论下页二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛

那么它的极限唯一

定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛

那么数列{xn}一定有界

下页二、收敛数列的性质定理1(极限的唯一性)如果数列{xn}收敛

那么它的极限唯一

定理2(收敛数列的有界性)如果数列{xn}收敛

那么数列{xn}一定有界

定理3(收敛数列的保号性)如果数列{xn}收敛于a,且a

0(或a

0)

那么存在正整数N

当n

N时

有xn

0(或xn

0)

推论如果数列{xn}从某项起有xn

0(或xn

0)

且数列{xn}收敛于a

那么a

0(或a

0)

>>>>>>注:

在数列{xn}中任意抽取无限多项并保持这些项在原数列中的先后次序

这样得到的一个数列称为原数列{xn}的子数列.

定理4(收敛数列与其子数列间的关系)

如果数列{xn}收敛于a

那么它的任一子数列也收敛

且极限也是a

下页例如

数列{xn}

1

1

1

1

(

1)n

1

的一个子数列为{x2n}

1

1

1

(

1)2n

1

>>>1

数列的子数列如果发散,原数列是否发散?2

数列的两个子数列收敛,但其极限不同,原数列的收敛性如何?3

发散的数列的子数列都发散吗？4

如何判断数列1

1

1

1

(

1)N

1

是发散的？结束定理4(收敛数列与其子数列间的关系)

如果数列{xn}收敛于a

那么它的任一子数列也收敛

且极限也是a

讨论

二、函数的极限的性质一、函数极限的定义§1.3函数的极限上页下页铃结束返回首页一、函数极限的定义

如果当x无限地接近于x0时

函数f(x)的值无限地接近于常数A

则常数A就叫做函数f(x)当x

x0时的极限

记作函数极限的通俗定义下页1.自变量趋于有限值时函数的极限分析:当x

x0时

f(x)

A

当|x-x0|0时|f(x)-A|0

当|x-x0|小于某一正数d后

|f(x)-A|能小于给定的正数e

任给e

0

存在d

0

使当|x-x0|

d时

有|f(x)-A|

e

设函数f(x)在点x0的某一去心邻域内有定义

如果存在常数A

对于任意给定的正数

总存在正数

使得当x满足不等式0<|x

x0|

时

对应的函数值f(x)都满足不等式|f(x)

A|

那么常数A就叫做函数f(x)当x

x0时的极限

记为函数极限的精确定义定义的简记形式

e>0

d>0

当0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

下页Ay=f(x)x0函数极限的几何意义当0

|x-x0|

d

时

|f(x)-A|

e:

e>0:

d>0:A-eA+ex0-dx0+d下页

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

例1

证明

因为

e>0

d>0

当0

|x-x0|

d时,都有|f(x)-A|

|c-c|

0

e,

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

下页分析:|f(x)-A|

|c-c|

0.

e>0

d>0

当0

|x-x0|

d时,都有|f(x)-A|

e.分析

|f(x)

A|

|x

x0|

e

当0

|x

x0|

d时

有

d

e

因为

e

0

证明

只要|x

x0|

e.要使|f(x)

A|

e

e>0

例2

|f(x)

A|

|x

x0|

下页

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

分析

|f(x)

A|

|(2x

1)

1|

2|x

1|

例3

因为

0

证明

|f(x)

A|

|(2x

1)

1|

2|x

1|

e

下页

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

e>0

当0

|x

1|

时有

/2

只要|x

1|<e/2

要使|f(x)

A|<e

分析

注意函数在x=1是没有定义的

但这与函数在该点是否有极限并无关系

证明

因为

e>0

=e

当0

|x

1|

d时

有

例4

下页分析

e>0

只要|x

1|

e

要使|f(x)

A|<e

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

注:单侧极限下页

若当x

x0-时

f(x)无限接近于某常数A

则常数A叫做函数f(x)当x

x0时的左极限

记为或f(x0

)=A

.

x

x0

表示x从x0的左侧(即小于x0)趋于x0

,

x

x0+表示x从x0的右侧(即大于x0)趋于x0

.

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

e

0

d

0

当x0

d

x

x0

有|f(x)

A|<e

精确定义单侧极限

若当x

x0-时

f(x)无限接近于某常数A

则常数A叫做函数f(x)当x

x0时的左极限

记为或f(x0

)=A

.

e>0

d>0

当

0<|x-x0|<d

有|f(x)-A|<e

e

0

d

0

当x0

d

x

x0

有|f(x)

A|<e

类似地可定义右极限.结论精确定义下页

这是因为

例5

函数当x

0时的极限不存在

下页

类似地可定义

如果当|x|无限增大时

f(x)无限接近于某一常数A

则常数A叫做函数f(x)当x

时的极限

记为下页2.自变量趋于无穷大时函数的极限

0

X

0

当|x|

X时

有|f(x)

A|

精确定义结论

0

X

0

当|x|

X时

有|f(x)

A|

极限的定义的几何意义

0:

X

0:当|x|>X时

有|f(x)-A|<e:水平渐近线

水平渐近线

下页分析

例6

证明

0

X

0

当|x|

X时

有|f(x)

A|

首页二、函数极限的性质定理1(函数极限的唯一性)定理2(函数极限的局部有界性)

如果f(x)

A(x

x0)

那么f(x)在x0的某一去心邻域内有界

定理3(函数极限的局部保号性)

如果f(x)

A(x

x0)

而且A

0(或A

0)

那么在x0的某一去心邻域内

有f(x)

0(或f(x)

0)

如果当x

x0时f(x)的极限存,那么这极限是唯一的

如果在x0的某一去心邻域内f(x)

0(或f(x)

0)

而且

f(x)

A(x

x0)

那么A

0(或A

0)

推论>>>>>>>>>下页定理4(函数极限与数列极限的关系)

如果当x

x0时f(x)的极限存在

{xn}为f(x)的定义域内任一收敛于x0的数列

且满足xn

x0(n

N

)

那么相应的函数值数列{f(xn)}必收敛

且>>>结束一、无穷小二、无穷大§1.4无穷小与无穷大上页下页铃结束返回首页一、无穷小

如果函数f(x)当x

x0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当x

x0(或x)时的无穷小无穷小的定义下页讨论

很小很小的数是否是无穷小？0是否为无穷小？提示

无穷小是这样的函数

在x

x0(或x

)的过程中

极限为零

很小很小的数

作为常数函数在自变量的任何变化过程中

其极限就是这个常数本身

一、无穷小

例1下页

如果函数f(x)当x

x0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当x

x0(或x)时的无穷小无穷小的定义一、无穷小

如果函数f(x)当x

x0(或x)时的极限为零那么称函数f(x)为当x

x0(或x)时的无穷小无穷小的定义

在自变量的同一变化过程x

x0(或x

)中

函数f(x)具有极限A的充分必要条件是f(x)

A

a

其中

是无穷小

定理1(无穷小与函数极限的关系)定理1证明说明:

二、无穷大

如果当x

x0(或x

)时

对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大

那么称函数f(x)为x

x0(或x

)时的无穷大

记为

当x

x0(或x

)时为无穷大的函数f(x)

按函数极限定义来说

极限是不存在的

但为了便于叙述函数的这一性态

我们也说“函数的极限是无穷大”.无穷大的定义下页讨论无穷大的精确定义如何叙述？很大很大的数是否是无穷大?提示

M

0

d

0

当0

|x

x0|

d时

有|f(x)|

M

下页二、无穷大

如果当x

x0(或x

)时

对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大

那么称函数f(x)为x

x0(或x

)时的无穷大

记为无穷大的定义正无穷大与负无穷大下页二、无穷大

如果当x

x0(或x

)时

对应的函数值的绝对值|f(x)|无限增大

那么称函数f(x)为x

x0(或x

)时的无穷大

记为无穷大的定义铅直渐近线1的铅直渐近线

下页

例2

证当0

|x

1|

时

有铅直渐近线定理2(无穷大与无穷小之间的关系)结束定理2证明

在自变量的同一变化过程中

如果f(x)为无穷大

无穷小的性质极限的四则运算法则§1.5极限运算法则上页下页铃结束返回首页

证明

设

及

是当x

x0时的两个无穷小

则

0

1

0

当0

|x

x0|

1

时

有|

|

2

0

当0

|x

x0|

2

时

有|

|

取

min{

1

2}

则当0

|x

x0|

时

有这说明

也是当x

x0时的无穷小

|

|

|

|

|

|

2

定理1

有限个无穷小的和也是无穷小

无穷小的性质仅就两个x

x0时的无穷小情形证明

举例:

当x

0时

x与sinx都是无穷小

所以x

sinx也是当x

0时的无穷小

下页

设函数u在x0的某一去心邻域{x|0

|x

x0|

1}内有界

即

M

0

使当0

|x

x0|

1时

有|u|

M

又设

是当x

x0时的无穷小

即

0

存在

2

0

使当0

|x

x0|

2时

有|

|

取

min{

1

2}

则当0

|x

x0|

时

有|u

|

|u|

|

|

M

这说明u

也是当x

x0时的无穷小

证明

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小

定理1

有限个无穷小的和也是无穷小

无穷小的性质下页举例:推论2

有限个无穷小的乘积也是无穷小

定理2有界函数与无穷小的乘积是无穷小

定理1

有限个无穷小的和也是无穷小

无穷小的性质推论1

常数与无穷小的乘积是无穷小

首页(2)limf(x)

g(x)=limf(x)

limg(x)=A

B

推论1

如果limf(x)存在

而c为常数

则lim[c

f(x)]=c

limf(x)

推论2如果limf(x)存在

而n是正整数

则lim[f(x)]n=[limf(x)]n

定理3

如果limf(x)=A

limg(x)=B

那么下页极限的四则运算法则(1)lim[f(x)

g(x)]=limf(x)

limg(x)=A

B

>>>数列极限的四则运算法则定理5

如果j(x)

y(x)

而limj(x)=a

limy(x)=b

那么a

b

不等式定理4

设有数列{xn}和{yn}

如果那么下页求极限举例讨论

提示

例1

解

下页>>>

例2

解

提问

解

例3

解

例4

根据无穷大与无穷小的关系得下页因为提问讨论

提示

当Q(x0)

P(x0)

0时

约去分子分母的公因式(x

x0)

下页先用x3去除分子及分母

然后取极限

解

先用x3去除分子及分母

然后取极限

例5

解:

例6

下页讨论提示

例7

解

所以下页

解

当x

时

分子及分母的极限都不存在

故关于商的极限的运算法则不能应用

例8

是无穷小与有界函数的乘积

下页定理6(复合函数的极限运算法则)说明

设函数y

f[g(x)]是由函数y

f(u)与函数u

g(x)复合而成

f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义

若g(x)

u0(x

x0)

f(u)

A(u

u0)

且在x0的某去心邻域内g(x)

u0

则

把定理中g(x)

u0(x

x0)换成g(x)

(x

x0或x

)

而把f(u)

A(u

u0)换成f(u)

A(u

)可类似结果

下页>>>定理6(复合函数的极限运算法则)结束

设函数y

f[g(x)]是由函数y

f(u)与函数u

g(x)复合而成

f[g(x)]在点x0的某去心邻域内有定义

若g(x)

u0(x

x0)

f(u)

A(u

u0)

且在x0的某去心邻域内g(x)

u0

则

例9

解

一、准则I及第一个重要极限二、准则II及第二个重要极限§1.6极限存在准则两个重要极限上页下页铃结束返回首页一、准则I及第一个重要极限

如果数列{xn}、{yn}及{zn}满足下列条件

(1)yn

xn

zn(n=1

2

3

)

准则

I

准则I

如果函数f(x)、g(x)及h(x)满足下列条件

(1)g(x)

f(x)

h(x)

(2)limg(x)

A

limh(x)

A

那么limf(x)存在

且limf(x)

A

下页>>>第一个重要极限

显然BC

AB

AD

(因此sinx

x

tanx

DB1OCAx

简要证明

参看附图

设圆心角

AOB=x

下页注:

这是因为

令u=a(x)

则u

0

于是下页第一个重要极限

例1

解

解

例2

首页二、准则II及第二个重要极限注:

如果xn

xn+1

n

N

就称数列{xn}是单调增加的

如果xn

xn+1

n

N

就称数列{xn}是单调减少的

单调增加和单调减少数列统称为单调数列

下页准则II

单调有界数列必有极限

提问:

收敛的数列是否一定有界？

有界的数列是否一定收敛？M二、准则II及第二个重要极限准则II

单调有界数列必有极限

准则II的几何解释x1x5x4x3x2xnA

以单调增加数列为例数列的点只可能向右一个方向移动

或者无限向右移动

或者无限趋近于某一定点A

而对有界数列只可能后者情况发生

根据准则II

数列{xn}必有极限,

此极限用e来表示,即第二个重要极限e是个无理数

它的值是e=2

718281828459045

下页二、准则II及第二个重要极限准则II

单调有界数列必有极限

可以证明(2)xn

3

(1)xn

xn+1

n

N

>>>>>>下页第二个重要极限二、准则II及第二个重要极限准则II

单调有界数列必有极限

我们还可以证明这就是第二个重要极限

根据准则II

数列{xn}必有极限,

此极限用e来表示,即可以证明(2)xn

3

(1)xn

xn+1

n

N

第二个重要极限二、准则II及第二个重要极限准则II

单调有界数列必有极限

注:>>>

解

例3

令t=-x

则x

时

t

于是结束§1.7无穷小的比较观察与比较

观察两个无穷小比值的极限

两个无穷小比值的极限的各种不同情况

反映了不同的无穷小趋于零的“快慢”程度