河南专升本高等数学2012-2021年真题及答案解析

河南专升本高等数学2012-2021年真题及答案解析2012年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。函数f(x)=ln⁡(x+1)4−x2的定义域是（）

A.(−1,2)B.下列函数中，为偶函数的是（）

A.f(x)=xsin⁡xB.f(x)=x3当时x→0，下列无穷小量中，与x等价的是（）

A.1−cos⁡xB.1+x−1C.函数f(x)=x2−1x−1在x=1处的间断点类型是（）极限limx→∞(1+2x)x的值为（）

A.e设函数f(x)在x=0处可导，且f(0)=0，则limx→0f(x)x的值为（）

A.f(0)B.f′(0)设y=x2ln⁡x，则y′等于（）

A.2xln曲线y=x3−3x在点(1,−2)处的切线方程为（）

A.y=0B.y=−2C.设函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则下列结论正确的是（）

A.存在ξ∈(a,b)，使得f′(ξ)=0B.存在ξ∈(a,b)，使得f(ξ)=0

C.存在ξ∈(a,b)，使得f″(ξ)=0函数f(x)=x3−3x2+1的单调递减区间是（）

A.(−函数f(x)=x3−3x的极值点个数为（）

不定积分∫xcos⁡xdx等于（）

A.xsin⁡x+cos⁡x+C定积分0πsin⁡xdx的值为（）

设F(x)=0xt2dt，则F′(x)等于（）

A.x下列广义积分收敛的是（）

A.1+∞1xdxB.微分方程y′=2x的通解为（）

A.y=x2+CB.向量a→=(1,2,3)与b→=(2,4,6)的关系是（）

平面2x+y−3z+1=0的法向量为（）

A.(2,1,−3)B.(2,1,3)C.(1,2,−3)D.(2,−1,3)直线x−11=y−22=z−33二元函数z=x2+y2在点(1,1)处的偏导数∂z∂x设z=xy，则全微分dz等于（）

A.xdx+ydyB.ydx+xdyC.dx+dyD.dx−dy二重积分Ddxdy（其中D是由x=0,x=1,y=0,y=1围成的闭区域）的值为（）

A.0B.1C.2D.4

幂级数n=1∞xnn的收敛半径为（）下列级数中收敛的是（）

A.n=1∞1nB.n=1∞函数f(x)=11−x展开成x的幂级数为（）

A.n=0∞xn(−1≤x≤1)B.设随机变量X∼N(0,1)，则P(X≤0)的值为（）

A.0B.0.5C.0.6826D.0.9544

二、填空题（每小题2分，共20分）limx→0设f(x)={x2,设y=e2x，则不定积分∫1定积分−11微分方程y″向量a→=(1,0,−1)的模设z=x2y+幂级数n=0∞设随机变量X的期望E(X)=2，则E(2X+1)=__________三、计算题（每小题5分，共50分）计算极限limx→1设y=x3+2计算不定积分∫(2x+sin计算定积分01求微分方程y′设z=x2+xy+计算二重积分Dxydxdy，其中D是由x=0,x=1,y=0,y=2判断级数n=1∞求过点(1,2,3)且平行于平面2x+y−z+1=0的平面方程。设随机变量X的概率密度为f(x)={2x,0≤x≤10,四、应用题（每小题7分，共14分）求由曲线y=x2与直线某工厂生产某种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品的成本为10元，售价为20元，求：（1）总成本函数、总收入函数和总利润函数；（2）盈亏平衡点的产量。五、证明题（6分）证明：当x>0时，1+xln2012年高等数学真题答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）答案：A。解析：要使函数有意义，需满足两个条件：①对数的真数大于0，即x+1>0⟹x>−1；②根号下的表达式大于0，即4−x2>0⟹答案：A。解析：偶函数满足f(−x)=f(x)。A选项：f(−x)=(−x)sin⁡(−x)=(−x)(−sin⁡x)=xsin⁡x=f(x)，是偶函数；B选项：答案：B。解析：当x→0时，1−cos⁡x∼12x2，1+x−1∼12答案：A。解析：f(x)=x2−1x−1=x+1（x≠1），lim答案：B。解析：利用重要极限limx→∞(1+kx答案：B。解析：由导数的定义可知，f′(0)=lim答案：C。解析：利用乘积求导法则(uv)′=u′v+uv′，设u=x答案：A。解析：y′=3x2−3，在点(1,−2)处的切线斜率k=y′答案：A。解析：由罗尔定理，若函数f(x)在[a,b]上连续，在(a,b)内可导，且f(a)=f(b)，则存在ξ∈(a,b)，使得f′答案：B。解析：f′(x)=3x2−6x=3x(x−2)，令f答案：C。解析：f′(x)=3x2−3=3(x−1)(x+1)，令f答案：A。解析：利用分部积分法，设u=x，dv=cos⁡xdx，则du=dx，v=sin答案：C。解析：0π答案：A。解析：由变上限积分求导法则，F′答案：B。解析：A选项1+∞1xdx=ln⁡x答案：A。解析：y=∫2xdx=x2+C答案：B。解析：b→答案：A。解析：平面Ax+By+Cz+D=0的法向量为(A,B,C)，故该平面法向量为(2,1,−3)，故选A。答案：C。解析：直线的方向向量s→=(1,2,3)，平面的法向量n→答案：B。解析：∂z∂x=2x，在点(1,1)处，答案：B。解析：∂z∂x=y，∂z∂y答案：B。解析：二重积分Ddxdy表示区域D的面积，D答案：B。解析：收敛半径R=lim答案：C。解析：A、B为p-级数，p≤1，发散；C为p-级数，p=2>1，收敛；D为交错级数，通项不趋于0，发散。故选C。答案：B。解析：11−x=n=0答案：B。解析：正态分布N(0,1)关于y轴对称，故P(X≤0)=0.5，故选B。二、填空题（每小题2分，共20分）答案：3。解析：limx→0答案：1。解析：1≥0，故f(1)=1答案：4e2x。解析：y′答案：ln⁡|x|+C。解析：基本积分公式，∫答案：0。解析：被积函数x3是奇函数，积分区间[−1,1]答案：y=C1cos⁡x+C2sin⁡x（答案：2。解析：|a答案：x2+2y。解析：对y求偏导，将x看作常数，答案：(−1,1)。解析：收敛半径R=limn→∞答案：5。解析：由期望的性质，E(2X+1)=2E(X)+1=2×2+1=5。三、计算题（每小题5分，共50分）解：limx→1解：y′解：∫(2x+sin解：01解：该方程为一阶线性非齐次微分方程，形式为y′+P(x)y=Q(x)，其中P(x)=1，Q(x)=2e−x。

积分因子μ(x)=e∫P(x)dx=e∫1dx=ex。

通解为解：∂z∂x=2x+y，解：二重积分可化为累次积分：

Dxydxdy=解：该级数为等比级数，首项a=12，公比q=1解：平行于平面2x+y−z+1=0的平面方程可设为2x+y−z+D=0。

将点(1,2,3)代入方程，得2×1+2−3+D=0⟹D=−1。

故所求平面方程为2x+y−z−1=0。（5分）解：由期望的定义，E(X)=−四、应用题（每小题7分，共14分）解：第一步，求交点：联立{y=x2y=2x，解得x=0或x=2，对应交点为(0,0)和(2,4)。（2分）

第二步，确定被积函数和积分区间：在(0,2)上，2x≥x2，故面积S=02(2x−x2)dx。（3分）解：（1）设产量为x件，

总成本函数C(x)=2000+10x；（2分）

总收入函数R(x)=20x；（2分）

总利润函数L(x)=R(x)−C(x)=20x−(2000+10x)=10x−2000。（2分）

（2）盈亏平衡点即L(x)=0，令10x−2000=0，解得x=200。

故盈亏平衡点的产量为200件。（1分）五、证明题（6分）证明：设f(t)=1+tln⁡(t+1+t2)−1+t2（t>0）。（1分）

求导：f′(t)=ln⁡(t+1+t2)+t⋅1+t1+t2t+1+t2−t1+t2。（2分）

化简：f′(t)=ln⁡(t+1+t2013年河南省普通高等学校专科毕业生进入本科阶段学习考试高等数学真题及答案解析一、选择题（每小题2分，共60分）在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。函数f(x)=x−1ln⁡(2−x)的定义域是（）

A.[1,2)B.(1,2)C.设f(x+1)=x2−2x，则f(x)=（）

A.x2−4x+3B.函数f(x)=x3sin⁡x是（）

设f(x)=sin⁡(x−1)x−1，则x=1是f(x)的（）

当x→0时，下列无穷小量与x等价的是（）

A.sin⁡xB.1−cos⁡xC.已知limx→2x2+ax+bx−2=3，则a,b的值分别为（）

A.a=1,b=−2曲线{x=cos⁡ty=sin⁡t在t=π2对应点处的法线斜率为（）

A.设y=ln⁡cos⁡x，则y′=（）

A.tan设函数f(x)具有任意阶导数，且f′(x)=[f(x)]2，则f″(x)=（）

A.2[f(x)由方程xy+ln⁡y=1确定